向量的概念和基本運(yùn)算

1、第六章平面向量、復(fù)數(shù)考試內(nèi)容:1 平面向量向量.向量的加法與減法.實(shí)數(shù)與向量的積.平面向量的坐標(biāo)表示. 線段的定比分點(diǎn).平面向量的數(shù)量積.平面兩點(diǎn)間的距離、平移.2復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的概念.復(fù)數(shù)的加法和減法.復(fù)數(shù)的乘法和除法.數(shù)系的擴(kuò)充.考試要求：1.平面向量(1)理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念.(2) 掌握向量的加法和減法.(3) 掌握實(shí)數(shù)與向量的積，理解兩個(gè)向量共線的充要條件.(4) 了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.(5) 掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、 角度和垂直的問(wèn)題，掌握向量垂直的條件

2、.(6) 掌握平面兩點(diǎn)間的距離公式，以及線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并且能熟練運(yùn) 用.掌握平移公式.2復(fù)數(shù)(1) 了解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及復(fù)數(shù)的代數(shù)表示和幾何意義.(2) 掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則，能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法、減法、乘法、除法運(yùn) 算.(3) 了解從自然數(shù)系列復(fù)數(shù)系的關(guān)系及擴(kuò)充的基本思想.g3.1053向量的概念和基本運(yùn)算、知識(shí)回顧1.向量的概念向量的基本要素：大小和方向.向量的表示：幾何表示法 AB ;字母表示：a； 坐標(biāo)表示法a=xi+yj=(x，y ).向量的長(zhǎng)度：即向量的大小，記作Ia | .特殊的向量：零向量 a=O|aI二 o單位向量：ao為單位向量|ao| = 1.(

3、5) 相等的向量：大小相等，方向相同(x1，yi) =(x2，y2)=Xlx2y =y2(6)相反向量：a=- bb=-aa+b=0(7) 平行向量(共線向量)：方向相同或相反的向量，稱(chēng)為平行向量.記作 a/ b.平行向量 也稱(chēng)為共線向量.2.向量的運(yùn)算運(yùn)算類(lèi)型幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì)4 4 4 4a + b = b + a向量的1.平行四邊形法則1 4加法2.三角形法則a +b = (X1 +X2,y1 +y2)(a + b) + c=a + (b + c)AB+ BC = AC向量的三角形法則4 4a b = a + (-b)減法a 13 =(咅X2，T T._.AB = -BA, OB-

4、OA = AB1.是一個(gè)向量，滿(mǎn)4)足:|丸 a 冃丸| a |X(Aa) = (沖)a數(shù)*彳 T乘4 呻2.0 時(shí)，Za 與a同向；4(人十 A)a = X a + A a向ha =(九 x,九 y)-I 444量彳片量1. a=0 或 b=0 時(shí)，(扎 a)b = a (hb)=扎(ab)的1 44 4 4 4 44數(shù)-4 4a = 0.ab = XjX2+ y1y2(a + b)c = abc呻 2量積c aO且b年0時(shí)，a=|a |2即|a|=Jx2+ y22. 4 44 4aLb =| a |b | cos(a,b)1 44 4|ab 閆 a|b|3.重要定理、公式(1)平面向量基本

5、定理&, e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么，對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任一向量，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)入1,入2,使 a=Xie+入2e?.(2)兩個(gè)向量平行的充要條件a/ba= Xb(bM0)xiy2xyi= O.(3)兩個(gè)向量垂直的充要條件a 丄 ba b= CkiX2+O.線段的定比分點(diǎn)公式設(shè)點(diǎn) P 分有向線段PP所成的比為X,即 RP =XPF2，則-1 1 OP= OR + 一 OF2 (線段的定比分點(diǎn)的向量公式)1 +扎1 +扎充分不必要條件 B.必要不充分條件 充要條件 D.既不充分也不必要條件3. 若a =(1,1),b (1, - 1),c = (-1,2),則c =6對(duì)平面內(nèi)任

6、意的四點(diǎn) A,B,C,D，則AB BC CD DA =.7若a =3,b與a的方向相反，且 b=5,則a =8化簡(jiǎn):(1)AB+BC+CD=_ cX,1（線段定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式） 、，力+矽2y1 +扎當(dāng)入=1 時(shí)，得中點(diǎn)公式:1 . -OP = - ( OP + OP2)或*捲+x2X二2力+丫2（5）平移公式設(shè)點(diǎn) P（x，y）按向量 a =（h，k）平移后得到點(diǎn) P（ x，y），x = x + h, y = y+ k.曲線 y=f （x）按向量 a=（h，k）二、基本訓(xùn)練則 OP 鼻 OP+a 或丿平移后所得的曲線的函數(shù)解析式為：yk=f（xh）1 .已知ADB分別是：ABC的邊BC A上

7、的中線，且AD =a,BE=b ,貝U為A.)42斗a b33C.2；耳D. 一2；瓷33332.已知AB =a,BC =b,CA =2叫4沖B.2a4b33C,則a b c=0是A,B,C三點(diǎn)構(gòu)成三角形的(2)AB AD DC =A.C.“1叫 3f1叫3片314A.abB.-abC.-ab2 2 2 2 2 24.設(shè)A(2,3), B(-1,5),且AC nAB, AD =3AB,3A.(1二),(-7,9)332 35.已知OA =(-1,2),OB=(3,m)，若O_OB，貝U m則 C、1*D 的坐標(biāo)分別是D.(1,3),(-7,9)(3)(AB _CD) _(AC _BD)=o9.

8、 (04 年上海卷.理 6)已知點(diǎn)A(1,_2)若向量與：=(2,3)同向,|AB|=2.13,則點(diǎn) B 的坐標(biāo)為.10. 判斷下列命題是否正確(i)若2=b，貝U a=b。(2)兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同(3)若=DC，則ABCD是平行四邊形。(4)若ABCD是平行四邊形，則AB(5)若a =b,b =c，貝U a =C。(6)若a/b,b/C，貝U a/c。三、例題分析例 1.已知是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若OA OB OC =0，求證：是ABC的重心.例 2.已知a = (1,1),b=(4, x)，；=；+2b，?=2?+b，且u/v，求 x. 4例 3.ABCD是梯形，

9、AB / CD且AB=2CD，M,N分別是DC和的中點(diǎn)，設(shè)-1,A-b，試用表示和MN例 4.已知，OA二 a,OB 二 b,OC 二 c (如圖)，求證：A、B、C三點(diǎn)在一直線上的充要條件是存在不全為 0 的實(shí)數(shù) I、m、n 使得 la mb nc 二 0 且 I m n = 0.A例 5 在水流速度為4 3km/h的河中，如果要使船的速度行駛方向與兩岸垂直，并使船速達(dá)到B12km / h，求船的航行速度與方向。O四、作業(yè) 同步練習(xí) g3.1053 向量的概念和基本運(yùn)算呻呻1.下面給出四個(gè)命題：對(duì)于實(shí)數(shù) m 和向量 a,b，恒有m a-b二ma-mb對(duì)于實(shí)數(shù) m、n 和向量，恒有 m-n a

10、 二 ma -na若 ma 二 mb(m R,m=0),貝 Ua 二 b若 ma 二 na(a = 0)，則 m=n其中正確的命題個(gè)數(shù)是A.AD =0B.AB=0 或 AD =0C.ABCD是矩形 D.ABCD是正方形2.在平行四邊形ABCD中，若AB +C、3AD=|AB-AD，則必有*3.已知AB=8A=5，則|BC|的取值范圍是A. 3, 8 B. (3, 8).C. 3, 13 D. (3,13)4. (04 年浙江卷.文 4)已知向量a =(3,4),b =(sinj,cos: ),且a/b,則tan：二()(05 全國(guó)卷 III )已知向量 OA = (k,12),OB =(4,5

11、),OC =(-k,10)，且 A、B、C 三點(diǎn)共線,10. （05 湖北卷）已知向量 a = （-2,2）,b =（5,k）.若|a b|不超過(guò) 5，則 k 的取值范圍是11. （05 廣東卷）已知向量a =（2,3），b = （x,6），且aLI b，貝Ux 為_(kāi).12.D,E,F分別是ABC的邊BC,CA, AB的中點(diǎn)，且BC =a,CA =b,給出下列命題AD - -abBE =aCF - -a2bAD BE CF =02 2 2 2其中正確的序號(hào)是_。11M13.若2（x丄a）丄（b+c3x）+b=0，貝U。3214. 兩列火車(chē)，先各從一站臺(tái)沿相反方向開(kāi)出，走了相同的路程，這兩列火車(chē)

12、位移的和是O時(shí)叫、斗 斗嗎斗 斗 T15._已知e,e2不共線，a =ke1+e2,b =G+ke2，當(dāng)_ 時(shí)，共線。_ ，一 ”，一* 4寸4.16、證明：始點(diǎn)在同一點(diǎn)的向量 a,b,3a-2b 的終點(diǎn)在同直線上。17.如圖,OADB是以向量OA二a,OB二b為邊的平行四邊形，又BM =1 BC,CN，試用表3318知M3B. -3C.444D.35.下列命題中，正確的是（）A.若a=b，貝u a=bB.若a=b，貝abc.若a b，貝aD.若a=1，貝u a=16.下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）B.任一非零向量都可以平行移動(dòng)C.長(zhǎng)度不等且方向相反的兩個(gè)向量不一定是共線向量其終點(diǎn)必相同.D.兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量,7.若三點(diǎn)P(1,1)A(2, ),B(x, -9)共線，則()9A.B. 3C. -D. 5128.已知正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 1，AB =a,BCb,AC =C，則a b c的模等于（）A.0B.3C.D.29.*15、316、答案:基本訓(xùn)練：1、 B2、B3、B4、A33T5、6、27、8、5(1)AD(2)(3)9、B(5,4)10、(1)X(2)X(3)X(4)V(5)V(6)X例題分析：例 1、略例 2、4