利用放縮法證明數(shù)列型不等式解壓軸題

1、利用放縮法證明數(shù)列型不等式解壓軸題摘要：縱觀近幾年高考數(shù)學卷，壓軸題很多是數(shù)列型不等式，其中通常需要證明數(shù)列 型不等式，它不但可以考查證明不等式和數(shù)列的各種方法，而且還可以綜合考查其它多種 數(shù)學思想方法，充分體現(xiàn)了能力立意的高考命題原則。處理數(shù)列型不等式最重要要的方法 為放縮法。放縮法的本質是基于最初等的四則運算，利用不等式的傳遞性，其優(yōu)點是能迅速地化繁為簡，化難為易，達到事半功倍的效果；其難點是變形靈活，技巧性強，放縮尺度很難把握。對大部分學生來說，在面對這類考題時，往往無從下筆本文以數(shù)列型不等 式壓軸題的證明為例，探究放縮法在其中的應用，希望能拋磚引玉，給在黑暗是摸索的學 生帶來一盞明燈。

2、關鍵詞：放縮法、不等式、數(shù)列、數(shù)列型不等式、壓軸題主體：一、常用的放縮法在數(shù)列型不等式證明中的應用1裂項放縮法： 放縮法與裂項求和的結合，用放縮法構造裂項求和，用于解決和 式問題。裂項放縮法主要有兩種類型：（1）先放縮通項，然后將其裂成某個數(shù)列的相鄰兩項的差，在求和時消去 中間的項。4i22例1設數(shù)列站勺前n項的和S-a-3 2_ 3，n w。設飛，證明：易得 Sn =2(2n 1 -1)(2n -1), Tn332n3112(2n 1 1)(2n 一1) 一 2(2n 一1 一2“ 1 一1)12i -11 1 1 1 1 、+ - + T)223nn 1212121 2-12 -1-1點評

3、:達到目標。此題的關鍵是將2n(2n 1 -1)(2n -1)裂項成，然后再求和，即可n =1,2,3，證明：J T：-。y21（2）先放縮通項，然后將其裂成 n（n 一 3）項之和，然后再結合其余條件進 行二次放縮。例 2 已知數(shù)列an和bn滿足 d =2,an -1 F（an 1 -1），bn F - 1，數(shù)列bn的 前 n 和為 S.，Tn 二 S2n -Sn ；（1）求證：Tn1 Tn ；（II）求證：當n _2時,S27n 11 。121 1 1 1 1 亠 亠 亠 (亠 亠 亠) n 3 2n 2 n 1 n 2 2n152n 1 2n 2 一 n 1 一 (2n1)(2n 2)(

4、II)n _ 2, S?n = S，2n_S2njgn - S2n2 亠 亠 一 S|S14= T2nL T,n 2亠 T2£ S1 7由(I)可知 Tn 遞增，從而 T2nj_T2nz 一_T2，又 T1,S1 =1“2 ：2 12717n+11二 Sr =T2n丄 +口乙+T2+T +S 織n1)丁2十丁1 +S1 =石(n1)+?+1=27n +11即當n _2時，S。2 12點評：此題(II )充分利用(1 )的結論，Tn遞增，將S2n裂成S?n - S2nL + S2業(yè)一 S22+ss的稲 從而找到了解題的突破口。2、迭乘放縮法： 放縮法與迭乘法的結合，用放縮法構造迭乘形式

5、，相乘時消去中 間項。用于解決積式問題。例3已知數(shù)列 aj的首項為q =3,點n，an出在直線3x y = 0(N*)上。3*若Cn =log3an -2(N ),證明對任意的nN ，不等式111 (1 * )(1+) “(1 ) a 3n *1 恒成立.C1C2Cn證明：4=3n -2, (1+)3 =Cn3n -1 3 3n -1 3n 3n 1 3n 1( )3n -2 3n -2 3n -1 3n 3n -2所以(1 丄)(1+丄)(1+丄)347旦丄=3 n 1c,c2cn1 4 3n-2111 (1)(1+) ：(1+)33n 1。C1C2Cn點評：此題是證明積式大于根式，由于左邊

6、沒有根式，右邊是三次根式，立方后比較 更容易處理。(1+)3 =( 泌)3可以看成是三個假分式的乘積，保持其中一項不變，另G 3n - 2兩項假分數(shù)分子分母同時加 1, 加 2 , 則積變小“3n -1、3 3n -13n 3n 1 3n 1( )3n -2 3n -2 3n -13n 3n -23n +1而通項式為的數(shù)列在迭乘時剛好相消，從而達到目標。3n -23、迭代放縮法：通過放縮法構造遞推不等關系，進行迭代，從而求解。1 1例4已知數(shù)列xn滿足，x-i,xn1, n N * ,證明21 Xn2 n 4I xn 1 - Xn I()651證明：當n 時，| Xn 1 - Xn F| X2

7、 - X1 |，結論成立。6當 n 2 時，易知 0 .： xn 斗：1,1xn 4 ： 2, xn-(1 ' Xn)(1 * Xn)=(1)(1 XnJ =2，X.-1+也_-211| Xn Xn 1 |丨 Xn 1 - xn 丨=| =1 Xn 1 Xnj(1 Xn)(1 Xn j)22 22 nJ1 2 n JXn-Xn( ) |Xn-Xnj1-()丨 X2 - 為 |()5556 5點評：此題將目標式進行放縮得到遞推不等關系，進行迭代，找到解題途徑。4、等比公式放縮法：先放縮構造成等比數(shù)列，再求和，最后二次放縮實現(xiàn)目標轉化。a _ 12例5已知數(shù)列aj的各項均為正數(shù)，且滿足印=

8、2,上n(N”)，記an -1an*0 =an2 -an，數(shù)列bj的前門項和為X.，且f ( X* ) = £ X.(I )數(shù)列 和津的通項公式；(II )求證:略解:口迪.迪，.丄侖！(門.n)2f(X2)f(X3)f(Xn 1)2n1 +J1 +2n 書(I)bn -2n , an 二證明:(II)空丄 f(Xn 卅)2nn2 -1 2 -1宀_2(212,f(X1). f (X2)f (Xn)f(Xn 1)f(X1)f (X2)n -1'-<2f (X2). .f(X3)f(Xm) 22n -11 1 12n 1 -1 _ 2 _2(2n 1 -1) _2.f(X

9、2). f (Xn)nf(X3)f(Xn1) 212n1 (2n1-2)1 1(手戸2 21+2n，' 2 2、 2f(X1) . f(X2)f(Xn) , nf (X2)f (Xs)f (Xn 1)2n12n _1反思：右邊是-，感覺是n個丄的和，而中間剛好是n項，所以利用1 12佔_1n -1n T n 12 -( f(n)(f(n) 0)，試著考慮n _1、.左邊是不能用同樣的方式來實現(xiàn)，想到22n -11，從而找到了此題的突破口。將巧 縮小成一- 5 ( Cn是等比數(shù)列)2 -125、二項式定理放縮法：在證明與指數(shù)有關的數(shù)列型不等式時，用二項式定理放縮 特別有效。二項式定理放縮

10、法有兩種常見類型：(1)部分二項式定理放縮法：即只在式子的某一部分用二項式定理放縮。例 6 已知數(shù)列an滿足十 a (a 一2) , an (4n 62：14n 10( n N)(i)證明數(shù)列 an 2是等比數(shù)列，并求出通項 an ；2n +qn(n)如果a=1時，設數(shù)列an的前n項和為Sn，試求出Sn，并證明當n_3時，有1111.21世紀教育網(wǎng)S3 S4Sn 10略解：an = (a 2)(2n J -2nJ -23二 2n =c： +cn + , 二當 n3 時，2C° +Cn +C；+C；(n N),-2(n 1)，則則 & =(2 n- 1)(2n2n -1 _2n

11、 1.-1).1.Sn _(2n -1)(2n 1)，則<Sn(2n - 1)(2n1)2(2n 一11 1因此，丄 S4S3丄_丄(丄一丄Sn 2 574(52n 1)炸.反思：為什么會想到將丄11 22 3 n (n 1)11Sn 一(2n-1)(2n -1)1 <1 ,數(shù)列前n項的和,最后通過放縮很可能變成1 1S31?聯(lián)想到1)1 是§3S4&11f(n)(f (n)0)的形式，而 應是由 10101 11 1 1而 成 ， 丄：丄(丄-丄)，35235因為要證明放縮成(2n 1) (n 才111，而10S3<Sn(2n- 1)(2n -1) (2n

12、-1)(2n 1)11 11111 1 1)，此時剛好得到"()，接下來就2 2n-1 2n1SsS4Sn 2 52n110要處理2n -1 _2n 1,想到用二項式定理。(2)完全二項式定理放縮法：例7設數(shù)列an的前n項和為Sn ,且對任整個式子的證明主要借助于二項式定理。意的n N* ,都有7nn . na2n 1 - a2na2n4 °1X =2nan 0,Sna；飛；*；.(I)求q,a2的值；(II)求數(shù)列an的通項公式an ； ( III)證明: 略解：(1)( II) a = 1,a2 = 2, a* = n ； 證明(山) (1+x)n =Cn0+Cnx+C

13、；x2+C3x3+,(1-x)n=C0-Cnx C；x2-C；x31 (1+x)n (1x)n =2C：x+2C；x3+2C；x5啟2C：x = 2nx ,令1 1則有(1 2/ "2/ "，從而(2n 仁(2n)n (2n B，即 1 一 隘乩 °點評：利用二項式定理結合放縮法證明不等式時，一定要緊密結合二項式展開式的特 點，聯(lián)系需證不等式的結構，通過化簡、變形、換元等手段使問題得以解決。6、比較放縮法： 比較法與放縮法的結合，先進行比較（作差或作商），再進行放 縮。例8在單調遞增數(shù)列an中，a1 =1 , a2 =2，且a2nJ> a2n > a2

14、n 1 成等差數(shù)列,a2n , a2n 1 , &2n 成等比數(shù)列，n =1,2,3.（I ）分別計算a3， a5和a4，a6的值;(Ildll）求數(shù)列an的通項公式（將）設數(shù)列 - 的前n項和為anan用n表示）;Sn ,證明:Sn4n<n 2(IIasa4a6 =8.an證明:(n 1)(n 3),n為奇數(shù)n為偶數(shù)(Ill )由(Il)得丄= （門+以門+3） 'an,n為奇數(shù)82 >(n 2)n為偶數(shù)11 a1 當n為偶數(shù)時，c 4n c 1丄1丄1丄1一 n 2 一 2 4424 662<8丄顯然，Si =11*2 42 44 64 6=8 丄11 -

15、1_.2 44 66_ 1一8l2 n +2 丿 n+21-4n4nn (n 2) (n 2)2n 2亠1.nx (n+2) n(n +2)丿n+214n"24nn為4n1SnSn 1an奇4nn _3)4nn 2n -1二 4.ILn 1綜上所述,數(shù)；4(n-1).(n -1) 2 (n 1)(n 3) n 28+（n 1）（n 3） n 2S _如 一n n 2nn 2此題在作差比較中實施裂項放縮，進而得到最后結果小于0,從而得證。根據(jù)題目特征，構造特殊的單調函數(shù)，再進行放縮求解。<0.(n 1)(n 2)( n 3):0，即 Sn ： -丄,n N * .點評：7、單調函

16、數(shù)放縮法:例9設函數(shù)f (xx2 bln(x 1),其中b = 0 證明對任意的正整數(shù)n，不等式In | - 1O-T 都成立.nn2 n3分析：欲證上述結論，直接作差比較In 11 1 _(_)，無從下手；接著想到令In 丿 n2 n31 1 1 g(n) =ln丄1 -(冷-冷)，判斷函數(shù)g(n)(n N*)的單調性，由于定義域為正整數(shù)，5 丿n n不能用導數(shù)，只能計算g(n1)_g(n)，其結果還是很難處理；聯(lián)想到數(shù)列是一種特殊的1函數(shù)，將命題加強，令X，(0, r)，判斷函數(shù)h(x) =X3 - X2-1 n(x1)(x0)的單n調性，如果在(0,=)單調，則函數(shù)g(n)也單調。解：令

17、函數(shù) h(x)二 x3 -x2 - In(x 1) = x3 - x2 In(x 1)，3221 3x (x -1)則 h (x) =3x2 -2xx+1x+1.當x ：= 0, :時，h'(x)0，所以函數(shù)h(x)在0 :上單調遞增，23.x (0, ：)時，恒有 h(x) h(0) = 0，即 x x - In(x 1)恒成立. 故當(0,：)時，有 In(x 1) xx3.1i1、11對任意正整數(shù)n取x(0,二)，則有In 123 nnnn二、放縮法的注意冋題以及解題策略1明確放縮的方向：即是放大還是縮小，看證明的結論，是小于某項，則放大，是大于某個項，則縮小。2、放縮的項數(shù)：有

18、時從第一項開始，有時從第三項，有時第三項，等等，即不一定是對全部項進行放縮。3、放縮法的常見技巧及常見的放縮式：1 1 1；.k k 1. 2k(1)根式的放縮:(2)在分式中放大或縮小分子或分母:k k -11 1 12(k 一 2)；k(k 1) k k(k -1)真分數(shù)分子分母同時加上一個正數(shù)，則變大;假分數(shù)分子分母同時加上一個正數(shù)，則變小,(3)應用基本不等式放縮:二項式定理放縮：如5) 舍 掉2nn . nn 2 n I-1 _2n 1(n 一3)； (或 加 進)<n 1；n2n 12n2n2n -1nn 2n n -1(4)(|an -印 |-心2 -印 I a -a21|

19、an -an4 1(n -2)。些 項 ，如4、把握放縮的尺度： 如何確定放縮的尺度，不能過當，是應用放縮法證明中最關 鍵、最難把握的問題。這需要勤于觀察和思考，抓住欲證命題的特點，只有這樣，才能使 問題迎刃而解。n1 117n +11再看例 2，若構造函數(shù) f(n) =S2n _(1 . n) =1 .1 .丄(n. N*),22321291 J 12- 2- 2N*遞增，丿丄丄44 122 344223 門一1111 7n 18111 7n 11則 f (n 1) _ f (n) = (1-7) _ (1-)2 32-d1122 32-1211111&7171 小- _- - -

20、1111n 2,S-2()， 02 1 2 2 2 2 2 2 2 12 2 12 12前后不等號不一致，不能確定f)的單調性，此時放縮過當，此題不適宜用單調函數(shù)放111 門 3縮法。若要證明S2- _仆 2)，則 f(- 1)- f( -(V- - -_)-111 門 2111_(1):23222122221 10 ，所以 f(-1) .f(門)，從而 f(- )52 2f5)_ f(1) =v - - =o，所以s2- _(v -)成立，此時用單調函數(shù)放縮法可行。同樣 2 2 2 2的題干，稍有調整，我們所用的方法便有不同。5、放縮法的策略以及精度的控制1例10已知數(shù)列a的前門項和為S，且滿足31,a - - 2