專題訓(xùn)練螞蟻爬行的最短路徑含答案

1、t n螞蟻爬行的最短路徑1.一只螞蟻從原點0出發(fā)來回爬行，爬行的各段路程依次為：+5 , -3 , +10 , -8 , -9 , +12 ,-10 .-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 910*回答下列問題：(1) 螞蟻最后是否回到出發(fā)點0 ；(2) 在爬行過程中，如果每爬一個單位長度獎勵2粒芝麻，則螞蟻一共得到多少粒芝麻.解：(1 )否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故沒有回到 0;(2) (|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+1-9|+|+12|+|-10|) X2=114 粒2.如圖，邊長為 1的正方體中，一只螞蟻從頂點A

2、出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點最短距離是第6題解：如圖將正方體展開，根據(jù)/2 + 2 _AB= 215 .“兩點之間，線段最短 ”知，線段AB即為最短路線.3. ( 2006?茂名)如圖，點 A、B分別是棱長為 2的正方體左、右兩側(cè)面的中心，一螞蟻從點A沿其表面爬到點B的最短路程是 cm第3頁共19頁解：由題意得，從點2+2=4 4 .如圖，一只螞蟻從正方體的底面A點處沿著表面爬行到點上面的B點處，它爬行的最短路線是（）A. A? P? BB A? Q? BC A? R? BD A? S? BB解：根據(jù)兩點之間線段最短可知選A .故選A .2,5.如圖，點 A的正方體左側(cè)面的中心，點B是正方體

3、的一個頂點，正方體的棱長為螞蟻從點A沿其表面爬到點B的最短路程是（）解：如圖，AB= 12110 故選C t n6.正方體盒子的棱長為2 ,BC的中點為M，一只螞蟻從A點爬行到M點的最短距離為解：展開正方體的點M所在的面，v BC的中點為 M ,所以 MC = 1 bc =1何+ (1+2)2 皿2 ，在直角三角形中AM=7.如圖，點A和點B分別是棱長為 20cm的正方體盒子上相鄰面的兩個中心，一只螞蟻在盒子表面由 A處向B處爬行，所走最短 cm。B解：將盒子展開，如圖所示：1111AB=CD =DF +FC= EF+ GF=X20+X20=20cm .2 2 2 2故選C.第7頁共19頁3.

4、正方體盒子的棱長為 為2, BC的中點為 M，一只螞蟻從A點爬行到 M點的最短距離解：將正方體展開，連接M、D1 ,根據(jù)兩點之間線段最短，MD =MC +CD =1+2=3，DDMD 1 =MD9 .如圖所示一棱長為假設(shè)一只螞蟻每秒爬行3cm的正方體，把所有的面均分成3 X3個小正方形.其邊長都為2 cm，則它從下底面點A沿表面爬行至側(cè)面的B點，最少要用1 cm,2.5的路線.(1)展開前面右面由勾股定理得(2)展開底面右面由勾股定理得AB=5cm ;秒鐘解：因為爬行路徑不唯一，故分情況分別計算，進行大、小比較，再從各個路線中確定最短譏2+3尸+11 V55AB=廠二十十=cm;t n10 .

5、 （2009?恩施州）如圖，長方體的長為一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點所以最短路徑長為5cm，用時最少：5*2=2.5秒.15，寬為10，高為 20，點 B離點 C的距離為 5， A爬到點B，需要爬行的最短距離是。解：將長方體展開，連接根據(jù)兩點之間線段最短，AB=25.C1處（三D1C解：正面和上面沿A1B1展開如圖，連接AC1, ABC1是直角三角形，C二 AC1= AB4. 如圖，一只螞蟻從實心長方體的頂點A出發(fā)，沿長方體的表面爬到對角頂點條棱長如圖所示），問怎樣走路線最短？最短路線長為第5頁共19頁t n12 .如圖所示：有一個長、寬都是 點，那么這只螞蟻爬行的最短路徑為2米，高為3

6、米的長方體紙盒，一只小螞蟻從A點爬到B米。解：由題意得，路徑一：AB= HO卜2：十護=；路徑二：AB= 7（2+2）2+32 =5 ；路徑三：AB= V（3tl2）24-22=；二5米為最短路徑.13 .如圖，直四棱柱側(cè)棱長為4 cm，底面是長為 5cm寬為3cm的長方形. 一只螞蟻從頂點A出發(fā)沿棱柱的表面爬到頂點B .求：（1 ）螞蟻經(jīng)過的最短路程;（2 ）螞蟻沿著棱爬行（不能重復(fù)爬行同一條棱）的最長路程.S解：（1 ） AB的長就為最短路線.然后根據(jù)若螞蟻沿側(cè)面爬行，則經(jīng)過的路程為(cm)；若螞蟻沿側(cè)面和底面爬行，則經(jīng)過的路程為也4 + 3)052 二 V丙(cm),或血+ 5）032

7、二戀（cm）所以螞蟻經(jīng)過的最短路程是cm .(2)5cm+4 cm+5 cm+4 cm+3 cm+4 cm+5cm =30cm ,最長路程是 30cm .第11頁共19頁t n14 .如圖，在一個長為 50cm，寬為40cm，高為30cm的長方體盒子的頂點A處有一只螞蟻，它要爬到頂點B處去覓食，最短的路程是多少？解：圖1圖2中，圖3中，二采用圖E1S2中，4&二咚L十80女二4:0/5訊陽公cm.AB v902+3t)2 = 30V10*94.7 cm.AB = V502+702 = 20VI5e 775 cm.3的爬法路程最短，為址0#j5cm第17頁共19頁15 .如圖，長方體的長、寬、高

8、分別為6cm , 8cm , 4cm . 一只螞蟻沿著長方體的表面從點爬到點B .則螞蟻爬行的最短路徑的長是解：第一種情況：把我們所看到的前面和上面組成一個平面，則這個長方形的長和寬分別是12cm和6cm ,則所走的最短線段是Vn5 + S=6cm ； 第二種情況：把我們看到的左面與上面組成一個長方形，則這個長方形的長和寬分別是10cm和8cm ,所以走的最短線段是=cm ；第三種情況：把我們所看到的前面和右面組成一個長方形，則這個長方形的長和寬分別是14cm和4cm，所以走的最短線段是#14咎卜恥=2cm ；三種情況比較而言，第二種情況最短.16 .如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高

9、分別為20cm、3cm、2 cm . A和B是這個臺階上兩個相對的端點，點A處有一只螞蟻，想到點B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點B的最短路程為cm20解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為20cm，寬為(2+3 ) X3cm ,則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是此長方形的對角線長.可設(shè)螞蟻沿臺階面爬行到 B點最短路程為xcm ,2 2 2 2由勾股定理得：X=20 + ( 2+3) X3 =25 ,解得x=25 .故答案為 25.5cm , 3cm 和 1cm , A 和 B17 .如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到

10、B點去吃可口的食物 .請你想一想，這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點，最短線路是TTPcm。解：將臺階展開，如下圖，因為 AC=3 X3+1 X3=12 , BC =5,2 2 2所以 AB+BC =169 ,=AC所以 AB=13 ( cm),所以螞蟻爬行的最短線路為13 cm.答：螞蟻爬行的最短線路為13 cm .2cm 和4cm，高為 5cm .若一只螞蟻從18 .（ 2011?荊州）如圖，長方體的底面邊長分別為P點開始經(jīng)過 4個側(cè)面爬行一圈到達Q點，則螞奴爬行的最短路徑長為cm .解:v PA= 2 X ( 4+2 ) =12 , QA=5二 PQ =13 .故答案為：13.19

11、.如圖，一塊長方體磚寬AN =5 cm，長 ND =10 cm , CD上的點 B距地面的高 BD =8 cm，地面上A處的一只螞蟻到B處吃食，需要爬行的最短路徑是多少？解：如圖1，在磚的側(cè)面展開圖2上，連接 AB ,則AB的長即為 A處到B處的最短路程.解：在Rt ABD中，t n因為 AD =AN + ND =5+10=15 , BD =8,2 2 2 2 2 2所以 AB+BD =15 +8 =289=17=AD所以 AB=17 cm .故螞蟻爬行的最短路徑為17cm .20 . （2009?佛山）如圖，一個長方體形的木柜放在墻角處（與墻面和地面均沒有縫隙） 一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表

12、面爬到柜角C1處.（1 ）請你畫出螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑；（2 ）當(dāng)AB=4 , BC =4 , CC1=5時，求螞蟻爬過的最短路徑的長；（3）求點B1到最短路徑的距離.解：（1 ）如圖，奮用圖木柜的表面展開圖是兩個矩形ABC 1D1和ACC 1A1.故螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑有如圖的AU 和AC1. （2 分）（2）螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段A1B1到C1,/i = 12,故最短路徑的長是.（5分）(3)作 B1E丄 AC1 于 E,?為所求.(8 分)第19頁共19頁21 .有一圓柱體如圖，高4cm，底面半徑 5cm , A處有一螞蟻，若螞蟻欲爬行到C處，求螞蟻爬行的最短距離

13、t njfl I第2題解：AC的長就是螞蟻爬行的最短距離.C , D分別是 BE , AF的中點AF =2 ?5=10 n AD =5 nAC=2 CD、 2AD16cm.故答案為：16cm .22 .有一圓形油罐底面圓的周長為24m，高為6m，一只老鼠從距底面1m的A處爬行到對角B處吃食物，它爬行的最短路線長為2 2解：AB= 512第3題6若圓柱底面半徑為23 .如圖，一只螞蟻沿著圖示的路線從圓柱高AA1的端點A到達A1,高為5，則螞蟻爬行的最短距離為第11頁19頁t n第12頁共19頁解：因為圓柱底面圓的周長為2nX=12，高為5,所以將側(cè)面展開為一長為12，寬為5的矩形，根據(jù)勾股定理，

14、對角線長為V5a+122=13 .24 .如圖，一圓柱體的底面周長為點A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點故螞蟻爬行的最短距離為24cm，高 AB為9cm , BC是上底面的直徑.一只螞蟻從C ,則螞蟻爬行的最短路程是解：如圖所示:由于圓柱體的底面周長為24cm ,則 AD =24 X =12 cm .2又因為 CD =AB=9cm ,V122+93所以 AC=15 cm .故螞蟻從點 A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點C的最短路程是15cm .故答案為：15.25 . （ 2006?荊州）有一圓柱體高為 10cm，底面圓的半徑為 4cm, AA1, BB 1為相對的兩條母 線.在 AA1上有一個蜘蛛

15、Q , QA =3cm ;在BB1上有一只蒼蠅 P , PB1=2cm，蜘蛛沿圓柱體側(cè)面爬到 P點吃蒼蠅，最短的路徑是cm.（結(jié)果用帶n和根號的式子表示）t n第31頁共19頁aV JB4 n和5的直角三角形中，A處爬行到對解：QA=3 , PBi=2,即可把PQ放到一個直角邊是根據(jù)勾股定理得：QP=26 .同學(xué)的茶杯是圓柱形，如圖是茶杯的立體圖，左邊下方有一只螞蟻，從面的中點 B處，如果螞蟻爬行路線最短，請畫出這條最短路線圖.A處爬行到側(cè)棱 GF上的中點 MA、B分別位于如圖所示的位置，問題：某正方體盒子，如圖左邊下方A處有一只螞蟻，從點處，如果螞蟻爬行路線最短，請畫出這條最短路線圖.解：如

16、圖，將圓柱的側(cè)面展開成一個長方形，如圖示，則連接AB，即是這條最短路線圖.如圖，將正方體中面AABCD和面 CBFG展開成一個長方形，如圖示，則A、M分別位于如圖所示的位置，連接AM,即是這條最短路線圖.27 .如圖，圓錐的主視圖是等邊三角形，圓錐的底面半徑為2cm,假若點 B有一螞蟻只能沿圓錐的表面爬行，它要想吃到母線AC 的中點 P處的食物，那么它爬行的最短路程Bfp第5題解：圓錐的底面周長是4 n,貝V 4n 4180二n = 180 即圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是180 二在圓錐側(cè)面展開圖中AP=2 , AB=4 ,/ BAP =90 ,二在圓錐側(cè)面展開圖中BP=202 5 ,二這只螞蟻爬

17、行的最短距離是2 5 cm.故答案是：2 5 cm .28 .如圖，圓錐的底面半徑R=3dm，母線1=5 dm, AB為底面直徑，C為底面圓周上一點,/ COB =150 D 為 VB 上一點，VD= V?dm螞蟻爬行的最短路程是（）現(xiàn)有一只螞蟻， 沿圓錐表面從點 C爬到D .貝VrxIT5-2解:設(shè)弧BC所對的圓心角的度數(shù)為n,5 k 71兀馮5=解得n=90 ,:丄 CVD =90 ,CD= V52 1-7=4,29 .已知圓錐的母線長為5cm，圓錐的側(cè)面展開圖如圖所示，且 /AOA1=120 只螞蟻欲從圓錐的底面上的點A出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬行一周回到點A.則螞蟻爬行的最短路程長為 。解：連

18、接 AA，作 OC丄AA于C,.圓錐的母線長為5cm , / AOA 1=120 .AA =A2C=53 .30 .如圖，底面半徑為1,母線長為4的圓錐，一只小螞蟻若從A點出發(fā)，繞側(cè)面一周又回到A點，它爬行的最短路線長是解：由題意知，底面圓的直徑為2,故底面周長等于2n.4 n180設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得，解得n=90 ，所以展開圖中圓心角為90 根據(jù)勾股定理求得到點31 . （2006?南充）如圖，底面半徑為1，母線長為 4的圓錐，一只小螞蟻若從A點出發(fā)，繞側(cè)面一周又回到A點，它爬行的最短路線長是。pA解：由題意知底面圓的直徑=2 ,故底面周長等于

19、2n.設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為n 根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得2 n= 4n ,180解得n=90 ,所以展開圖中的圓心角為 90 根據(jù)勾股定理求得它爬行的最短路線長為4 2.32 .（2009?樂山）如圖，一圓錐的底面半徑為螞蟻從點 A出發(fā)，沿著圓錐的側(cè)面爬行到點2，母線 PB的長為 6, D為PB的中點.一只D，則螞蟻爬行的最短路程為。t n第35頁共19頁解：由題意知，底面圓的直徑AB =4,hD故底面周長等于4n.設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得4 n=2n 6360P解得 n=120 , 所以展開圖中 / APD =120 2=60 根據(jù)勾股定理求得AD=所以螞蟻爬行的最短距離為33 .如圖，圓錐底面半徑為r，母線長為3r,底面圓周上有一螞蟻位于A點，它從 A點出發(fā)沿圓錐面爬行一周后又回到原出發(fā)點，請你給它指出一條爬行最短的路徑，并求出最短路徑.則螞蟻運動