克萊姆法則及證明

1、第7節(jié)克萊姆（Cramer）法則、線性方程組元線性方程組是指形式為：*阿+先乜+孤西片旳內(nèi)+如帀+靭內(nèi)=b2（1）厲內(nèi)燈加花+匕祕召=bjn的方程組，其中/ '!打代表1個未知量，匸是方程的個數(shù), I.- - 稱為方程組的系數(shù)，-_"小稱為常數(shù)項。線性方程組的一個解是指由、個數(shù)：J ! 組成的有序數(shù)組-'-'j1，當、個« y m i y尸 戶 Hu戶未知量；：打分別用代入后，式（1）中每個等式都成為恒等式。方程組（1）的解的全體稱為它的解集合， 如果兩個線性方程組有相同的解集合，就稱它們是同解方程組。為了求解一個線性方程組，必須討論以下一些問題：（

2、1）.這個方程組有沒有解？（2）.如果這個方程組有解，有多少個解？（3）.在方程組有解時，解之間的關(guān)系，并求出全部解。本節(jié)討論方程的個數(shù)與未知量的個數(shù)相等（即）的情形。、克萊姆法則定理1 （克萊姆法則）如果線性方程組內(nèi)+沁再十+弧f(2)的系數(shù)行列式:那么這個方程組有解，并且解是唯一的，這個解可表示成:(3)其中一是把二中第列換成常數(shù)項所得的行列式，即分析：定理一共有3個結(jié)論：*方程組有解；解是唯一的；解由公式（3）給出。因此證明的步驟是:D.= -5-(i = 1,2, ,«)第一，把代入方程組，驗證它確實是解。這樣就證明了方程組有解，并且（3）是一個解，即證明了結(jié)論第二，證明如果

3、 I''：:是方程組（2）的一個解，那么一定有。這就證明了解的唯一性，即證明了結(jié)論證明：先回憶行列式的一個性質(zhì)，設(shè)乜D = an階行列式I%，則有:+處禺岸工險嗎t(yī)二砌%+如4/1+接下來證明定理。首先，證明（3）確實是（2）的解。將行列式按第：列展開得:6、三：'，,其中是行列式二中元素r的代數(shù)余子式“2（ij"2衛(wèi)）?，F(xiàn)把! D= 12; ;«)代入第：個方程的左端，得：鞘土卡菩+陶才二（明耳+知2 +2=萬如©血'1玄4l +Q4J+知（坊血+鳥&2十+打&+»+4 +M>+-+44.）1=i

4、Oja血 + 致is +''' + &屏用)+ 血 S*i4n + au4aa +''1 + %&J+4(%4i+知4嚴+%4J=irD =bj.D這說明將（3）代入第J一-其川，個方程后，得到了一個恒等式，所以（ 一個解。3）是（2）的其次，設(shè)礦知為二:是方程組（2）的一個解，那么，將!代入（2）后，得到1個恒等式:砌5 +巾=ig(4)中個恒等用系數(shù)行列式的第列的代數(shù)余子式 一勺 依次去乘（ 式，得到:九砧+如4巾+ %血勺 $4彳闖血5 4宓2九心+3生&% =婦&W門4®亠空也+耳心=64將此"

5、個等式相加，得：（如4 +也+如比>! + %血+也血+- +衍右）令+（縮41 +縮禺+小+孤4k>=+ Ma +爲4從而有：2 丫這就是說，如果（心農(nóng)）是方程組（2）的D一個解，那么一定有'匚:所以方程組只有一個解。三、齊次線性方程組在線性方程組中，有一種特殊的線性方程組，即常數(shù)項全為零的方程組，稱為齊次線性方程組。顯然，齊次線性方程組總是有解的，因為: - >|就是它的解，這個解I,稱為零解；其他的，即！不全為零的解（如果還有的話），稱為非零解。所以，對于齊次線性方程組，需要討論的問題，不是有沒有解，而是有沒有非零解。這個問題與齊次線性方程組解的個數(shù)是有密切關(guān)系

6、的。如果一個齊次線性方程組只有零解，那么這個方程組就只有唯一解；反之， 如果某個齊次線性方程組有唯一解，那么由于零解是一個解，所以這個方程組不可能有非零解。對于方程個數(shù)與未知量個數(shù)相同的齊次線性方程組，應用克萊姆法則，有推論1如果齊次線性方程組嗎+ 12兀2 +=0ax + ax2 +' - + a2K =0嚴戒冏十査再+_+細耳=0（ 5）的系數(shù)行列式不等于零，那么（5）只有零解。推論2齊次線性方程組OnK】+口口眄+%吟-0+ =0咼+知再+十細耳=0有非零解的必要條件是它的系數(shù)行列式等于零。四、例子例i解線性方程組卩町十乜-再+ x4 =-3 嗎 _彫+碼斗2百=4 2兀i +

7、觀 + 2巧-x4 = 7 丐 +2x3 + 兀=6-11122-12113"解：方程組的系數(shù)行列式:311 -1 D =2 11 0-31-113 -3 -114-112= -13 A =1412712-1272 -16 0 2 )16 2 1所以根據(jù)克萊姆法則,這個線性方程組有唯一解。又因A-2631-3131-1-31-142= -391-114217-1212710611026A-13所以這個線性方程組的唯一解為:例2解線性方程組：齊一牝+ 3號十2眄=6”碼-3xj + 3也 + 2x4 = 53! 叼-西 + 24 = 33x1 _ 花 + 3勺-x4 = 4解：方程組的

8、系數(shù)行列式：-1-70023-1-33 63 5= -70, A =3-1-133-134-152-70324-16-13226325-3323532D廠3-1-12£33-124-13-134孑-1所以根據(jù)克萊姆法則，這個線性方程組有唯一解。又因6-70262所以這個線性方和組的唯一解為:例3已知三次曲線'''7 ''在四個點-I-' 二處的值分別為：，試求其系數(shù)'O解：將三次曲線在4點處的值代入其方程，得到關(guān)于的線性方程組:+ 曲 十 tXj + 角=6 呦十 ®i(T)十 cjT)'十 «3(-

9、1)3 = 6 ru0 + 曲 2+ (sra23 + 角 2弓=6<30 + drl(-2) +(3a(-2)a +a3(-2)3-6所以根據(jù)克萊姆法則,-1-1576-72-8-1一-172它的系數(shù)行列式是范德蒙行列式:1 1111 1111 -1(T)：(-D31 -11-11 222231 24E1 -2（唧(-窈1 -24-8D= 720這個線性方程組有唯一解。又因-一 I ,即所求的三次曲線方程為一"：一'二”*例4如果齊次線性方程組珂十巧十可十= 0 珂十 2xa + x3 += 0珂+吧一 3再+曲=° 珀+陽+盤丙7兀=0有非零解，那么'必須滿足什么條件?解：由克萊姆法則知，齊次線性方程組有非零解的必要條件是其系數(shù)行列式等于零, 此有111121D =11-311a1=01b11 D =1又由：11 a-3 111 a0 T Ip -（逢+緲夠0 a -1 b-a，從而血/必須2滿足的條件為 + 1）43。注 用克萊姆法則求解系數(shù)行列式不等于零