第二部分 運(yùn)動(dòng)定律和力學(xué)中的守恒定律

1、第二部分 運(yùn)動(dòng)定律和力學(xué)中的守恒定律基本要求一、理解牛頓運(yùn)動(dòng)定律的內(nèi)容及實(shí)質(zhì)，明確牛頓運(yùn)動(dòng)定律的適用范圍及條件，對(duì)定律的應(yīng)用要求掌握兩點(diǎn)：1、牛頓定律只在慣性系中成立；2、會(huì)用微只分的方法處理變力作用下簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題。二、掌握動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒定律。三、理解功的概念，會(huì)計(jì)算變力的功。四、掌握動(dòng)能定理、功能原理、機(jī)械能守恒定律。五、掌握質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理、機(jī)械能守恒定律。*能綜合運(yùn)用三大守恒律解決質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。六、理解轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念，掌握剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律；理解剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，對(duì)軸的角動(dòng)量；掌握定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理，角動(dòng)量定理及機(jī)械能守恒，角動(dòng)量守恒定律。七、理解以伽里略變換

2、為代表的力學(xué)相對(duì)性原理。八、了解混沌現(xiàn)象；了解對(duì)稱性的概念及時(shí)空對(duì)稱性與力學(xué)中三大守恒定律的關(guān)系。學(xué)習(xí)指導(dǎo)一、內(nèi)容提要解決動(dòng)力學(xué)的方法有三種：一是突出過(guò)程矢量性和瞬時(shí)性關(guān)系的牛頓定律（在剛體中則是標(biāo)量關(guān)系的轉(zhuǎn)動(dòng)定律）；二是突出始末狀態(tài)矢量關(guān)系的動(dòng)量定理，角動(dòng)量定理；三是突出始末狀態(tài)標(biāo)量關(guān)系的功能原理。1、牛頓定律牛頓第一定律指出了任何物體都有慣性，運(yùn)動(dòng)無(wú)需力來(lái)維持，力是改變物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因。牛頓第二定律確定的是力與加速度之間瞬時(shí)的矢量關(guān)系，而質(zhì)量是物體慣性大小的量度。牛頓第三定律指出了作用力與反作用力總是成對(duì)出現(xiàn)的，作用力與反作用力是屬于同一性質(zhì)的。注意：牛頓定律只適用于質(zhì)點(diǎn)模型，只在慣性系

3、中成立，只在低速（）、宏觀的條件下適用。牛頓定律常用的坐標(biāo)分量式有： （21） （22）2、動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒定律（1）動(dòng)量；動(dòng)量是矢量，方向由物體的運(yùn)動(dòng)方向（即速度方向）決定；動(dòng)量是相對(duì)量，與參照系的選擇有關(guān)。（2）單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理： （23）即力的沖量等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量（3）質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理： （24）即質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量的增量等于合外力的沖量，而與內(nèi)力無(wú)關(guān)。對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系進(jìn)行受力分析時(shí)，要注意內(nèi)力和外力之分。例如一個(gè)由個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，其中質(zhì)點(diǎn)所受合力為式中表示質(zhì)點(diǎn)受到的質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力之和。由于內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)的，所以在求整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力之和時(shí)，即再對(duì)求和必然為零。 （25）所以說(shuō)，內(nèi)力對(duì)系統(tǒng)的總

4、動(dòng)量無(wú)貢獻(xiàn)。（4）動(dòng)量守恒定律：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系所受合外力為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量保持不變，即恒矢量 （26）注意，守恒條件只能是，而不能是，前者表示在()這段時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)與外界無(wú)動(dòng)量交換，因此在()這段時(shí)間內(nèi)的任一時(shí)刻，系統(tǒng)的總動(dòng)量都與初始時(shí)刻的總動(dòng)量相同；而后者表示在()這段時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)與外界動(dòng)量的交換量為零，它只能保證系統(tǒng)初始時(shí)刻與終了時(shí)刻的動(dòng)量相等，這不能稱之為動(dòng)量守恒。3、動(dòng)能定量、功能原理、機(jī)械能守恒定律（1）功： （27）即某力的功等于在力的作用下質(zhì)點(diǎn)的位移的標(biāo)積之和，在直角坐標(biāo)系中 （28）（2）能量E：能量是物體的一種潛在的做功本領(lǐng)的量度；機(jī)械能E是機(jī)械運(yùn)動(dòng)狀態(tài)參量是相對(duì)量，與參照系選

5、擇有關(guān)。動(dòng)能是狀態(tài)參量的函數(shù)，因與參照系的選擇有關(guān)，所以也是相對(duì)量。勢(shì)能是狀態(tài)參量的函數(shù)，是一種由一對(duì)保守力的功來(lái)度量的能量，因此勢(shì)能是彼此作用的系統(tǒng)所共有。 （29）即一對(duì)保守力的功等于相關(guān)勢(shì)能增量的負(fù)值，勢(shì)能大小與勢(shì)能零點(diǎn)的選擇有關(guān)，勢(shì)能函數(shù)的形式取決于保守力的函數(shù)形式，例如a、重力勢(shì)能為地表附近的質(zhì)點(diǎn)與地球之間的相互作用能；其力函數(shù)；零勢(shì)能點(diǎn)可任取，h取為質(zhì)點(diǎn)所在位置與零勢(shì)能點(diǎn)間的高度差。b、彈性勢(shì)能是彈簧形變時(shí)所具有的能量；力函數(shù)為，此時(shí)系統(tǒng)的坐標(biāo)原點(diǎn)及彈性勢(shì)能零點(diǎn)均在彈簧自然伸長(zhǎng)處。c、引力勢(shì)能是彼此以萬(wàn)有引力互相作用的物體間的相互作用能；力函數(shù)為，此時(shí)是以無(wú)窮遠(yuǎn)處為引力勢(shì)能的零點(diǎn)。

6、（3）單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理： （210）即質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量等于合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作的功。（4）質(zhì)點(diǎn)繁育的動(dòng)能定理、功能原理、機(jī)械能守恒律：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理 （211）質(zhì)點(diǎn)系的功能原理 （212）即系統(tǒng)機(jī)械能的增量等于外力功與內(nèi)部非保守力功之總和。機(jī)械能守恒律如果，即系統(tǒng)與外界無(wú)機(jī)械能交換，同時(shí)，即系統(tǒng)內(nèi)部無(wú)機(jī)械能與其他形式能量的轉(zhuǎn)換，則系統(tǒng)的機(jī)械能始終保持一個(gè)常數(shù)，即 （213）（5）能量守恒與轉(zhuǎn)換律：在孤立系統(tǒng)內(nèi)不論發(fā)生何種變化過(guò)程，各種形式的能量之間無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)換，系統(tǒng)的總能量將保持不變。4、角動(dòng)量定理、角動(dòng)量守恒定律（1）力矩，力矩是質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的外在因素，力矩與參考點(diǎn)的選取有關(guān)。（2）角動(dòng)量，

7、角動(dòng)量是相對(duì)量，既與參照系的選擇有關(guān)，又與坐標(biāo)原點(diǎn)的選擇有關(guān)。（3）角動(dòng)量定理： （214）作用在質(zhì)點(diǎn)上的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量。（4）角動(dòng)量守恒定律：如果質(zhì)點(diǎn)所受外力對(duì)某固定點(diǎn)的力矩為零，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該固定的角動(dòng)量守恒。即，若M=0，則 （215）若質(zhì)點(diǎn)受有心力作用，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)力心的角動(dòng)量一定守恒。5、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律（1）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：表征剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的物理量，通常用符號(hào)I表示，它的定義式為：質(zhì)點(diǎn)系 （216）質(zhì)量連續(xù)分布的剛體上述定義式中的勻?yàn)樗疾斓馁|(zhì)點(diǎn)到軸的距離.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小與三個(gè)因素有關(guān);與質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量有關(guān);與質(zhì)量的分布有關(guān);與轉(zhuǎn)動(dòng)軸的位置有關(guān),對(duì)于給定的轉(zhuǎn)軸而言,剛體的轉(zhuǎn)

8、動(dòng)慣量為一常數(shù).(2)對(duì)軸的力矩:力矩是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化的原因，即獲得角加速度的原因，用M表示，對(duì)軸的力矩的定義式為 （217）式中|是力的作用點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離，力矩對(duì)軸的方向只能沿著轉(zhuǎn)軸的方向。（3）轉(zhuǎn)動(dòng)定律： （218）即剛體所獲得的角加速度與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比，與作用于剛體的外力矩之和成正比。轉(zhuǎn)動(dòng)定律在剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的地位與牛頓定律在質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中的地位相當(dāng)。6、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理（1）轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)所有各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能之和，即 （219）（2）力矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所做的功為 （220）（3）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 （221）（4）剛體的勢(shì)能：由剛體質(zhì)心（在一般情況下質(zhì)心位置與重心位置相

9、同）的高度來(lái)決定，即 （222）（5）機(jī)械能守恒律：守恒條件為外力矩的功，同時(shí)內(nèi)部非保守力矩的功。7、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理（1）對(duì)軸的角動(dòng)量：是所有質(zhì)點(diǎn)在各自的轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)對(duì)圓心（即軸與轉(zhuǎn)動(dòng)平面的交點(diǎn)）的角動(dòng)量之和，即 （223）即剛體對(duì)某軸的角動(dòng)量等于剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積，可見(jiàn)角動(dòng)量的大小與軸的位置有關(guān)。（2）對(duì)軸的角動(dòng)量定理： （224）（224）式表明：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所受合外力矩的沖量矩等于剛體對(duì)該軸角動(dòng)量的增量。（3）對(duì)軸的角動(dòng)量守恒律：若外力對(duì)某軸的力矩之和為零，則該物體對(duì)同一軸的角動(dòng)量守恒，即若，則 （225）注意：a、若系統(tǒng)為一定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，由于對(duì)于給定軸為常數(shù)，故

10、時(shí)，這與轉(zhuǎn)動(dòng)定律的結(jié)果一樣。b、若剛體組繞同一軸轉(zhuǎn)動(dòng)而角動(dòng)量守恒，由于此時(shí)總角動(dòng)量為 故守恒時(shí)只是總角動(dòng)量守恒，但各個(gè)剛體的角動(dòng)量則在內(nèi)力矩的作用下進(jìn)行再分配（見(jiàn)教材之例224 225）c、若是以相同角速度繞同一軸轉(zhuǎn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)系（即非剛體）角動(dòng)量守恒，則由于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是變量，故有 （226）即質(zhì)點(diǎn)組轉(zhuǎn)動(dòng)角速度與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比，由此可解釋許多體育運(yùn)動(dòng)。8、伽利略變換及絕對(duì)時(shí)空觀（1）伽利略坐標(biāo)變換法則：設(shè)系相對(duì)于慣性繁育S以勻速軸正方向運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)重合，則對(duì)某一空一時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)變換方程為： 或 （227）（2）絕對(duì)時(shí)、空觀 同時(shí)性是絕對(duì)的：即在系是同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，在S系的觀察者觀測(cè)到這兩個(gè)事件也是同

11、時(shí)發(fā)生的。這就是的含義；時(shí)間間隔是絕對(duì)的：即在兩個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不同的慣性系統(tǒng)中時(shí)間間隔是相同的、是絕對(duì)的，與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無(wú)關(guān)；空間間隔是絕對(duì)的：一物體的長(zhǎng)度測(cè)量值是絕對(duì)的，與物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無(wú)關(guān)。以上就是伽利略變換所代表的絕對(duì)時(shí)空觀，概括起來(lái)說(shuō)：時(shí)間與空間之間彼此獨(dú)立、互無(wú)聯(lián)系，且與物質(zhì)的分布和物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無(wú)關(guān)。（3）伽利略速度變換法則 或 （228）（4）伽利略相對(duì)性原理（或力學(xué)相對(duì)性原理）對(duì)（227）式求t的一階導(dǎo)數(shù)，即得 （229）于是又有 （230）上式表明：任何慣性系在牛頓動(dòng)力學(xué)規(guī)律面前都是等價(jià)的，這就是說(shuō)，不可能借助于在慣性系中所做的力學(xué)實(shí)驗(yàn)來(lái)確定該參考系作勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度。二、重點(diǎn)、難

12、點(diǎn)分析1、關(guān)于牛頓定律的應(yīng)用（1）牛頓定律只在慣性系中成立：在運(yùn)用牛頓定律解題時(shí)，首先要確認(rèn)所選參考系是慣性系，如果所研究的問(wèn)題是地面上物體的運(yùn)動(dòng)，一般可選地球作為慣性系。在確定研究對(duì)象后，除了正確地畫出隔離體受力圖，還要對(duì)研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行分析。如圖21所示，以加速度上升的升降機(jī)內(nèi)有一定滑輪，質(zhì)量不計(jì)，滑輪兩邊各持質(zhì)量分別為的物體（對(duì)地的加速度。不少讀者這樣解題：設(shè)對(duì)升降機(jī)的加速度為，則因?yàn)?所以對(duì)地加速度為這樣解是錯(cuò)誤的，錯(cuò)就錯(cuò)在上面括號(hào)內(nèi)的一組方程。因?yàn)檫@時(shí)升降機(jī)有對(duì)地的加速度，是非慣性系，在升降機(jī)參考系中牛頓定律不成立，此時(shí)只能以地面為參考系，取向上為軸正向，則對(duì)地加速度分別是和，

13、動(dòng)力學(xué)方程為：解得然后再利用對(duì)地的加速度。（2）運(yùn)用微積分處理力學(xué)問(wèn)題：解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)，其一是根據(jù)力函數(shù)的形式選擇運(yùn)動(dòng)定律的形式；其二是正確地分離變量，見(jiàn)解題示例中例23，例24，例25。2、關(guān)于動(dòng)量定理，動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用（1）在運(yùn)用動(dòng)量定理解題時(shí)，通常要注意如下幾點(diǎn)：a、明確研究對(duì)象并進(jìn)行受力分析，若是變力，則須明確力函數(shù)的形式，在碰撞問(wèn)題中若，重力等恒力可略去不計(jì)：b、正確分析出對(duì)象始、末太的動(dòng)量，并向選定的坐標(biāo)軸進(jìn)行投影；列出坐標(biāo)軸的分量式方程。由于動(dòng)量是矢量，因此要特別注意始、末態(tài)動(dòng)量在坐標(biāo)軸上分量的正、負(fù)號(hào)；若遇到的是變質(zhì)量系統(tǒng)，則要正確地分析出時(shí)刻和時(shí)刻的動(dòng)量，如教材上

14、冊(cè)中的例26所示。（2）在應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定恒定律時(shí)要注意：a、首先應(yīng)明確系統(tǒng)的范圍以便正確地分析出內(nèi)力和外力；b、若，則系統(tǒng)無(wú)論在哪個(gè)方向動(dòng)量都守恒；若，但系統(tǒng)在某一方向上的合力為零，則該方向上動(dòng)量守恒；c、必須把系統(tǒng)內(nèi)各量統(tǒng)一到同一慣性系中。判斷哪一方向上的合外力為零時(shí)要注意的原則是在時(shí)，只能忽略恒定的有限大小的主動(dòng)外力（例如重力）而，隨碰撞而變化的被動(dòng)外力（例如支持力）一般是不能忽略的。例如質(zhì)量為M的木聲在光滑的固定斜面上，由A點(diǎn)從靜止開(kāi)始下滑，當(dāng)經(jīng)過(guò)路程運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，木塊被一水平飛來(lái)的子彈擊中，子彈立即陷入木塊內(nèi)（如圖22(a)所示），設(shè)子彈的質(zhì)量為m，速度為v，求子彈擊中木塊后，子彈

15、與木塊的共同速度。對(duì)此題，若以子彈、木塊為一系統(tǒng)，則子彈、木塊間的相互作用力為內(nèi)力；子彈、木塊系統(tǒng)所受外力有重力(M+m)g，彈力N（如圖22(b)所示），重力為有限恒力，在子彈擊中木塊瞬間可略去，而支持力N是與碰撞有關(guān)的變化的外力，不能略去，但N垂直于斜面，因此若以斜面方向?yàn)閤軸，則系統(tǒng)在斜面方向合外力為零因而動(dòng)量守恒。設(shè)木塊沒(méi)至B點(diǎn)時(shí)的末速度為，方向沿斜面向下，在子彈擊中木塊瞬間，x方向動(dòng)量守恒，即于是有式中V是子彈擊中木塊后的瞬間，系統(tǒng)沿斜面方向的共同速度。在做該題時(shí)常犯的一個(gè)錯(cuò)誤，是忽視了斜面對(duì)木塊的支持力N與水平方向不垂直，認(rèn)為水平方向動(dòng)量守恒。涉及質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量守恒時(shí)，由于質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各

16、質(zhì)點(diǎn)間可能存在著相對(duì)運(yùn)動(dòng)，因此必須把所有動(dòng)量統(tǒng)一到同一慣性系中，詳見(jiàn)例26。3、關(guān)于動(dòng)、機(jī)械能及機(jī)械能守恒定律（1）關(guān)于變力的功：此處難點(diǎn)有二：其一，已知的力函數(shù)的變量與元位移dr的變量不一致；其二是如何選取積分元。例如一物體按在介質(zhì)占作直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)介質(zhì)的阻力正比于速度的平方，即，求物體由時(shí)阻力所做的功。題中力函數(shù)與積分元的變量就不一致，應(yīng)進(jìn)行如下變換：因?yàn)?所以 由 ，得 故 ，這時(shí)被積函數(shù)與積分元的變量一致，故有功的定義源于恒力的功，那么在選取積分元之時(shí)，必須使積分元內(nèi)的功可視為恒力的功，即有，。例如，有一地下蓄水池，面積為S，蓄水深為h，如水面低于地面高度為H，要將這些水全部抽到地面至少

17、需做功多少（即假定將水勻速提升到地面）。如圖23所示，以地面為坐標(biāo)原點(diǎn)，向上為y軸的正向，向下在y處取厚度為dy的一層水為研究對(duì)象，則有勻速將的水提至地面需加的外力為而且這部分水提至地面所作功可視為恒力作功，即所以 （2）關(guān)于作用力的功與反作用力的功：有一種錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，認(rèn)為作用力與反作用力大小相等、方向相反，因此作用力的功與反作用力的功之和，就像作用力的沖量與反作用力的沖量之和一樣，其和為零，這種認(rèn)識(shí)之所以錯(cuò)誤，是因?yàn)樵谧饔昧ψ饔孟沦|(zhì)點(diǎn)的位移與在反作用力作用下的質(zhì)點(diǎn)的位移與在一般情況下各不相同，因此作用力的功與反作用力的功之和不一定為零。例如，將一物體在地面上拖動(dòng)，若以地面為參照系，地面給運(yùn)動(dòng)物

18、體的摩擦力做了功，而運(yùn)動(dòng)物體給地面的摩擦力就沒(méi)有做功。因此，物體與地面之間一對(duì)作用力與反作用力的功之和不為零。那么作用力與反作用力作功之和為多少呢？如圖24所示，設(shè)為一對(duì)內(nèi)力，則它們功之和為因?yàn)?所以 式中兩質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位移。由此可知，一對(duì)作用力與反作用力作功之和等于力與相對(duì)位移的標(biāo)積，欲使一對(duì)內(nèi)力功之和為零，須使這一內(nèi)力處處與它們的相對(duì)位移垂直。例如，當(dāng)一物體沿著一光滑斜面下滑時(shí)，那么物體對(duì)斜面的壓力與斜面對(duì)物體的支持力這一對(duì)內(nèi)力就與它們的相對(duì)位移（即物體沿斜面滑動(dòng)的距離）處處垂直，故這一對(duì)內(nèi)力功之和為零，而且這結(jié)論與斜面是否因定無(wú)關(guān)。一對(duì)內(nèi)力功之和僅由它們的相對(duì)位移決定，這一結(jié)論給解題帶來(lái)許

19、多方便，見(jiàn)教材例213。（3）關(guān)于勢(shì)能函數(shù)：勢(shì)能函數(shù)的形式不僅取決于保守力的力函數(shù)，還與勢(shì)能零點(diǎn)的選取有關(guān)，求勢(shì)能函數(shù)的通式為例如，已知地球的半徑為R，質(zhì)量為M，一質(zhì)量為m的物體，在距地面高為h處，若取地面為引力勢(shì)能零點(diǎn)，則地球、物體系統(tǒng)的引力勢(shì)能應(yīng)取什么形式？因?yàn)镸與m之間的引力大小為到地心的距離。所以 （從地心指向m）依題意m在離地面為h處，即，引力勢(shì)能（4）關(guān)于功能原理、機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用：對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理（211）式和質(zhì)點(diǎn)系的功能原理（212）式，二者的區(qū)別在于：（211）式中功是一切力做的功，它包括作用于系統(tǒng)的外力的功，系統(tǒng)內(nèi)保守力的功和非保守力的功，即；而功能原理（212）式

20、中的功不能包含系統(tǒng)內(nèi)部保守力的功，這時(shí)系統(tǒng)內(nèi)部保守力的功已用相關(guān)的勢(shì)能表示了。在運(yùn)用功能原理、機(jī)械能守恒定律解題時(shí)，通常要注意如下幾點(diǎn)：a、應(yīng)指明系統(tǒng)的范圍，以便區(qū)分內(nèi)力和外力，對(duì)于內(nèi)力還要分清保守內(nèi)力和非保守內(nèi)力，并判斷守恒條件是否成立；對(duì)于保守內(nèi)力，則可引入一種相關(guān)的勢(shì)能。b、在列方程之前必須將質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各物理量統(tǒng)一到同一慣性系中，以便正確地計(jì)算每一個(gè)力的功和每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能。C、交待各相關(guān)勢(shì)能的零勢(shì)能位置，然后明確系統(tǒng)始末狀態(tài)的機(jī)械能。4、關(guān)于角動(dòng)量守恒律（1）為什么要引入角動(dòng)量：我們知道，質(zhì)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，其動(dòng)量是不守恒的，但是質(zhì)點(diǎn)對(duì)圓心的位矢與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的矢積卻是守恒的。中外，大量的

21、事實(shí)表明行星繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，行星對(duì)太陽(yáng)的位矢與行星的動(dòng)量的矢積也是守恒。衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)、微觀粒子的運(yùn)動(dòng)中也存在這一類物理現(xiàn)象，這就是引入角動(dòng)量的理由。（2）關(guān)于角動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用：角動(dòng)量守恒的條件是，質(zhì)點(diǎn)所受外力對(duì)某固定點(diǎn)的力矩為零，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該固定點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。由此可知，在應(yīng)用角動(dòng)量守恒定律時(shí)，除了要選擇慣性系以外，還必須指明是對(duì)哪一點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。例如在圓錐擺的運(yùn)動(dòng)中（如圖25所示），質(zhì)點(diǎn)m對(duì)圓心O的角動(dòng)量守恒，而對(duì)懸點(diǎn)的角動(dòng)量就不守恒，這就因?yàn)橛蓤D25可看出，是質(zhì)點(diǎn)作圓錐擺動(dòng)所需的向心力，它與共線，故；而（因?yàn)門與共線，所以）在質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中遇到碰撞一類問(wèn)題時(shí)，如果在已經(jīng)運(yùn)用了能量守恒、動(dòng)量守恒

22、等定律后仍然不能回答題設(shè)要求，則要考慮是否有可能還要運(yùn)用角動(dòng)量守恒；詳見(jiàn)教材例216。5、關(guān)于剛體中對(duì)軸力矩的計(jì)算（1）對(duì)軸力矩的一般特點(diǎn)：a、由于剛體是特殊的質(zhì)點(diǎn)組，即各質(zhì)點(diǎn)間無(wú)相對(duì)位移，所以對(duì)于一個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)不用考慮內(nèi)力矩，如果是剛體組合，則要考慮剛體與剛體之間內(nèi)力矩的作用。b、在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，若力的作用線與軸平行，或力的作用線（或延長(zhǎng)線）與軸相交，則這個(gè)力對(duì)該軸無(wú)力矩。C、由（式中為軸矢徑）知，對(duì)軸的力矩其方向只能沿軸的方向，故力矩的方向只有兩個(gè)，或正或負(fù)，所以對(duì)軸的力矩的合成可用代數(shù)和完成。d、恒力力矩的數(shù)學(xué)式為。所謂合外力矩，應(yīng)理解成每一個(gè)外力對(duì)同一軸的力矩之和，而不能理解成合外力對(duì)某

23、一軸的力矩，這是因?yàn)槊恳粋€(gè)外力的作用點(diǎn)對(duì)同一軸的軸矢徑是不相同的。（2）變力矩的計(jì)算：處理這類問(wèn)題的關(guān)鍵是正確寫出作用在剛體上各部分的力對(duì)軸的力矩。例如，有一質(zhì)量為，長(zhǎng)為的均勻細(xì)桿，可在水平桌面上繞通過(guò)其一端的豎直固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，已知細(xì)桿與桌面的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為，求桿轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受到的摩擦力矩的大小。如圖26所示，在桿上取質(zhì)元，則質(zhì)元受摩擦力。摩擦力矩則桿轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受到的摩擦力矩為又例如圖27所示，葉片繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，單位面積上所受阻力與速度的平方成正比，求葉片以速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)所受的阻力矩。在距軸處取一個(gè)面積元?jiǎng)t該面積元所受阻力大小為則整個(gè)葉片所受阻力矩為6、轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用在涉及滑輪的力學(xué)題中，如題中交待了滑輪質(zhì)量不

24、計(jì)，則是質(zhì)點(diǎn)力學(xué)問(wèn)題，如教材中例21，如題中交待了滑輪的質(zhì)量及半徑，并說(shuō)明繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，則屬于剛體力學(xué)問(wèn)題，如教材中例220，這時(shí)滑輪兩邊繩中的張力不相等。對(duì)于變力矩作用下剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)，則要根據(jù)變力矩的函數(shù)形式來(lái)選擇轉(zhuǎn)動(dòng)定律的形式，例如若阻力矩是角速度的函數(shù)，即則有進(jìn)行變量分離即得7、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中守恒律的應(yīng)用（1）關(guān)于機(jī)械能守恒：在剛體運(yùn)動(dòng)中機(jī)械能守恒條件是。即外力不做功，內(nèi)部非保守力不做功。只是需要注意，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能不能用其質(zhì)心的動(dòng)能代替，而剛體的勢(shì)能是以它的質(zhì)心位置作為代表，即（2）在質(zhì)點(diǎn)與剛體的相互作用中，初學(xué)者往往習(xí)慣用動(dòng)量守恒而不考慮角動(dòng)量守恒的問(wèn)題，為區(qū)分這兩個(gè)守恒律，必

25、須注意：a、動(dòng)量守恒只適用于質(zhì)點(diǎn)模型，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，一般性地討論動(dòng)量是沒(méi)有意義的；角動(dòng)量守恒，既適用于剛體模型也適用于質(zhì)點(diǎn)模型，只要涉及了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)于工科學(xué)生不考慮動(dòng)量守恒為宜。b、一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系所受合外力為零，并不意味著合外力矩一定為零。例如對(duì)于一對(duì)力偶，其合力為零，合力矩不為零，因此動(dòng)量守恒的系統(tǒng)，其角動(dòng)量不一定守恒。解題示例例21 兩個(gè)物體A和B位于無(wú)摩擦的桌面上如例21圖所示，它們系于繞過(guò)輕滑輪長(zhǎng)度為的輕繩兩端，另外用一輕繩把滑輪和懸掛著的物體C連接起來(lái)，求每個(gè)物體的加速度，設(shè)A，B，C的質(zhì)量分別為。解：設(shè)A、B兩物體對(duì)動(dòng)滑輪的相對(duì)另速度為，且相對(duì)動(dòng)滑輪的加速度方向如圖所示，又設(shè)動(dòng)滑輪的

26、加速度為，則兩物對(duì)地的加速度分別為由牛頓定律:對(duì)有 （1）對(duì)有 （2）對(duì)有 （3）對(duì)動(dòng)滑輪有 聯(lián)立以上4式得例22 一桶水以角速度繞鉛直軸做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，試證明當(dāng)水與水桶處于相對(duì)靜止時(shí)，桶內(nèi)水的自由面開(kāi)關(guān)是一個(gè)旋轉(zhuǎn)拋物面。解：如例22圖，取液面底為原點(diǎn)建立坐標(biāo)，在液面上取一質(zhì)量元，其受重力和周圍流體對(duì)的壓力，它們的合力F就是使繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的向心力。 （1）而切線與同夾角的正切是該處斜率，即 （2）于是有即積分得，因時(shí)，所以C = 0，故，得證。例23 一質(zhì)量為45kg的物體，由地面以初速豎直向上發(fā)射，空氣的阻力為的單位是的單位是。求（1）物體發(fā)射到最大高度所需的時(shí)間；（2）最大高度為多少？解：（1）物

27、體豎直向上發(fā)射后將受到向下的重力和向下的阻力F的作用，取地面為原點(diǎn)，坐標(biāo)軸的正方向向上，按牛頓第二定律有由題意知，時(shí)物體位于地面，其速度為時(shí)，物體位于最高點(diǎn)，其速度為零，故對(duì)上式積分有得物體自地面發(fā)射到最大高度所需的時(shí)間為（2）因 故 得 又因 所以 解得物體到達(dá)的最大高度為 例24 如例24圖，光滑水平面上固定一半徑為薄圓筒，質(zhì)量為m的物體在筒內(nèi)以初速率沿筒的內(nèi)壁逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，物體與筒內(nèi)壁接觸處的摩擦系數(shù)為，求：（1）作用在物體上的摩擦力；（2）物體的切向加速度；（3）物體速度從減小到所需的時(shí)間和經(jīng)歷的路程。解：由題意知物體作半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)任一時(shí)刻物體的速率為，受力情況如例24圖所示

28、，N和分別是環(huán)內(nèi)壁作用在物體上的彈力和摩擦力，物體所受重力和水平面的支承力在豎直方向相互平衡，圖中未畫出，物體的動(dòng)力學(xué)方程為，在自然坐標(biāo)系中的分量式是 (1)由,兩邊積分再由摩擦力公式和(1)式得即摩擦力隨時(shí)間逐漸減小;方向沿圓周切向與物體相對(duì)于筒的運(yùn)動(dòng)方向相反.（2）由(2)式得（3）當(dāng)時(shí)，有得 再由，兩邊積分得 例25 如例25圖(a)所示，質(zhì)量為的物體的左側(cè)與勁度系數(shù)為k的固定輕彈簧相連，靜止在光滑水平桌面上，右側(cè)由細(xì)繩繞過(guò)定滑輪與質(zhì)量為的物體相連，繩不可伸長(zhǎng)，滑輪質(zhì)量不計(jì)，上托使彈簧為原長(zhǎng)，然后從靜止釋放，求：（1）系統(tǒng)的加速度；（2）系統(tǒng)的速度。解（1）設(shè)時(shí)刻彈簧伸長(zhǎng)，則彈性力，取為

29、隔離體并畫出其受力圖如例25圖(b)所示，取坐標(biāo)系則的動(dòng)力學(xué)方程分別為 （1） （2）因?yàn)?由（1），（2）兩式得（2）求速度有兩種方法：方法 由兩邊積分得方法 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，取，彈簧和地球組成的系統(tǒng)，除保守內(nèi)力作功外，外力不作功。而非保守內(nèi)力（為繩中的張力）作的功之和，所以機(jī)械能守恒。得由此即可求出速度，與方法所得結(jié)果相同。例26： 一質(zhì)量為m的人抓住一根掛在質(zhì)量為M的氣球下面的繩梯，最初氣球相對(duì)于地面是靜止的。（1）如果這人以相對(duì)于繩梯的速率v攀登繩梯，則氣球?qū)⒊裁捶较颍ㄏ鄬?duì)于地球）運(yùn)動(dòng)？速率多大？（2）這人停止攀登后，氣球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如何？解：（1）由于系統(tǒng)（氣球和人）最初處于靜止?fàn)顟B(tài)，

30、且在人攀登繩梯的過(guò)程中，系統(tǒng)所受合外力為零，設(shè)氣球向著地球運(yùn)動(dòng)速度為u，則人相對(duì)于地球攀登速度將為，以地面作為參考系，列出系統(tǒng)的動(dòng)量守恒方程由上述方程得氣球向著地面運(yùn)動(dòng)的速度（2）根據(jù)上述結(jié)果，當(dāng)?shù)?，有，即?dāng)人停止攀登時(shí)，氣球也靜止不動(dòng)。例27 設(shè)有一鐵道炮車在水平線上運(yùn)動(dòng)，炮車及炮身的質(zhì)量為M，炮彈的質(zhì)量為m，炮筒與水平線的夾角為（如例27圖所示），在彈藥爆炸后炮彈對(duì)炮車的相對(duì)速度為，求彈藥爆炸的氣體壓力所作的功。解 選定地面為靜止參照系，設(shè)發(fā)射炮彈前炮車和炮彈對(duì)地的速度為（水平方向）；爆炸后，炮車對(duì)地的水平速度為炮彈對(duì)地的速度為，如例27圖所示，則炮車、炮彈系統(tǒng)沿水平方向動(dòng)量守恒； （1）

31、爆炸氣體壓力的功為 （2）由（1）式得代入（2）式得例28 如例28圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)鏈條，質(zhì)量均勻分布，總質(zhì)量為m，置于水平桌面上，鏈條與桌面間的摩擦系數(shù)為，開(kāi)始時(shí)下垂部分的長(zhǎng)度為4L/5，處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)沿水平方面施外力F將鏈條勻速拉上桌面，求外力作的功。解 方法 取坐標(biāo)Ox，設(shè)某時(shí)刻鏈條水平部分的長(zhǎng)度為x，受桌面的摩擦力為，下垂部分的長(zhǎng)度為，所受重力為，因鏈條勻速運(yùn)動(dòng)，故有當(dāng)鏈條位移時(shí)，拉力作功故 方法 用功能原理求解，對(duì)鏈條和地球組成的系統(tǒng)，外力F和非保守內(nèi)力作功之和應(yīng)等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量。即所以例29 同一個(gè)人消耗同樣的能量從河中的一只船上往岸上跳，一次是從大船中起跳，一次是從小船上起跳

32、，問(wèn)哪次容易達(dá)到目的？試定量說(shuō)明之（設(shè)船、岸近似在同一水平高度）。解：設(shè)人的質(zhì)量為m，船的質(zhì)量為M，在人跳離時(shí)，人對(duì)地的速度是v，船對(duì)地的速度是，人之所以能跳上岸是因?yàn)槿撕痛g的一對(duì)非保守內(nèi)力作了正功，使人和船均獲得了動(dòng)能。即有 （1）另外，人、船這一系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒，即有 （2）聯(lián)立（1），（2）兩式可得 ，這說(shuō)明，當(dāng)人消耗同樣的能量時(shí)，船的越大，人獲得的動(dòng)能越大，因而從大船往岸上跳要容易些。例210 如例210所示，輕繩跨過(guò)光滑滑輪，一端系升降亭，質(zhì)量為M，亭中人的質(zhì)量為m，繩的另一端系一重物，質(zhì)量為(M+m)，以與升降亭平衡，設(shè)人在地面上跳時(shí)所能達(dá)到的最大高度為h，若人在升降亭中消耗同樣的能量上跳，試問(wèn)最大高度是多少？忽略滑輪的質(zhì)量。解 設(shè)人上跳的初速為v，升降亭獲得向下的速度為V（均相對(duì)于地），以升降亭、滑輪、人和平衡重物為物體系，以滑輪中心為參考點(diǎn)，系統(tǒng)所受合外力矩為零，故角動(dòng)量守恒，有式中r為滑輪半徑，于是升降亭獲得的速度為根據(jù)題意，人上跳消耗的能量為mgh，轉(zhuǎn)變?yōu)橄到y(tǒng)的動(dòng)能，即解得故人在長(zhǎng)降亭中上跳的最大高度為例211 如例211圖(a)，兩物體A,B的質(zhì)量相同，均在m. A放在傾角為的光滑斜