輔助角公式的推導

1、輔助角公式。$由6 + /?85。=，。2 +Z?2 sin(6 + °)的推導在三角函數(shù)中，有一種常見而重要的題型，即化asin夕+ /?cosg為一個角的 一個三角函數(shù)的形式，進而求原函數(shù)的周期、值域、單調區(qū)間等.為了幫助學生記憶和掌握這種題型的解答方法，教師們總結出公式asin8 + cos<9 =J/ + sin(e + 0asine + bcos8 = Jo2 +b?cos(，- 9),讓-教學中常見的的推導方法教學中常見的推導過程與方法如下1 .引例例 1求證：百sin。+cos6Z =2 s i n (a+ )=2 cos (a ).63其證法是從右往左展開證明，

2、也可以從左往右“湊”，使等式得到證明，并得出 結論：可見， JHsina+cosa可以化為一個角的三角函數(shù)形式.一般地,as inJ+bcos。是否可以化為一個角的三角函數(shù)形式呢？2 .輔助角公式的推導例2化asing + bcos。為一個角的一個三角函數(shù)的形式.解：asind +bc o s 6 =1a2 + / ( 八 " = sin 6+ . " 二 cost ),. ab® 令,-=c os(Z?,-二s i n(p ,J/ +/ Ja2 +b-則 a sinO+bco s 0 =ja + b2 (s i n/co s 夕+ c osOsi n (p)=y

3、ja2 +b2 si n ( 6 + 0),(其中 tan9 = 2)Cl-、， Qb八令 ,= =sin6? , ,- =c o s 0 ,則 asinp +b cosyja1 +b2 ja2 +b20 = yla+b2 ( s in。s i n(p +c o s 8cos(p) = JcT + b2 c os(6-g),(其中 tan.其中w的大小可以由s in0、c o s 9的符號確定"的象限，再由tan"的 值求出.或由tan0 =2和(a, b)所在的象限來確定.a推導之后，是配套的例題和大量的練習.但是這種推導方法有兩個問題：一是為什么要令, "二c

4、o S(P， "一產i n?讓學生費解.二是這種 “規(guī)定”式的推導，學生難記 Ja2 +/72易忘、易錯！.讓輔助角公式。sin夕+ b cos9=J/ +b2 sin(9 + 0)來得更自然能否讓讓輔助角公式來得更自然些？這是我多少年來一直思考的問題.2 0 09年春.我乂一次代2008級學生時，終于想出一種與三角函數(shù)的定義銜接乂通俗 易懂的教學推導方法.數(shù)的形式，無需化簡.故有abW0.1 .在平面直角坐標系中，以a為橫坐 標,b為縱坐標描一點P (a, b)如圖1所示，則總有一個角中,它的終邊經(jīng)過點P.設0P二r , r=yja2 +/,由三角函數(shù)的定義知bbsi"一

5、 r，r Ja' +b-aaco s(p = =.r荷+從所以 a s i nO+bco s 0y/a2 +b2 cos9 si n0的終邊X p(a.b)0x圖10 +yla2 +b2 s i n(p c o sO首先要說明，若a=0或b=0時，asinO + bcos6已經(jīng)是一個角的一個三角函2.若在平面直角坐標系中，以b為 橫坐標，以a為縱坐標可以描點P( b, a), 如圖2所示，則總有一個角9的終邊經(jīng)過點 P (b, a),設 0P=r,則 r=ya2 + .由夕的終邊1 / P(b.a) /O+ b2 sin(8 + o).(其中三角函數(shù)的定義知a as i n（p = -

6、f,r yja- +b-b bCOS（P = =.=.r Ja2 +b2asinO + bcos。= &+ b1 sincpsmO + yja1 +b2 cos 9cos 6=yja2 +b2cos（0-（p）.（其中 t a n（p- - ） b例3 化百sin夕+ cos d為一個角的一個三角函數(shù)的形式.解：在坐標系中描點P（ 5/3,1）,設角0的終邊過點P,則o P =r =J（途 j +=2. si nq二;,cos（p=-./ /3 Sin 0 + COS 0 =2cos （p sin 0 +2sin （p c os 3 = 2si ncy/3（夕 + 9）. tan （p

7、 -（D = -F69 + 2%），百Sind + COS，=2s i n（ + ）. ）6經(jīng)過多次的運用，同學們可以在教師的指導下，總結出輔助角公式>Ja2 +b2asi n 0 + b cos 0 = /a+bn6+ / b CGS0）+b? sin（e + 0）,（其中 tang=2）.或者 y1a2+b2aa s in6 +bcos3 =+/?'（a2 +b2八b八s in 0+ 1= cos 0 ）=da2 + byjcr +b2 COS（ -（P）,（其中 tan0='）b我想這樣的推導，學生理解起來會容易得多，而且也更容易理解a s i n9+bc os。湊

8、成，儲+必（j_=sin6+ i b ；co s 6）的道理，以及為 什么只有兩種形式的結果.例4化sin c cos a為一個角的一個三角函數(shù)的形式.解法一：點（1,一石）在第四象限.0P=2.設角°過P點.則sino = g, cos.滿足條件的最小正角為*乃，（p ="兀+ 2k兀，k eZ. v3sin a -聒cos a = 2( sin a - - cos a) = 2(sin a cos cp + cos a sin cp)=2 sin(a + p) = 2 sin(cz + 2 乃 + 2k 兀)=2 sin(a + -兀).解法二：點P （-5/3,1）在

9、第二象限，o P=2 ,設角8過P點.則sin, cos? = -.滿足條件的最小正角為-7T 226(p = 7r + 2k7r,k e Z.6>/3sine?-73 cos a = 2( sin a cos a) = 2(sin a sin 9 + cos a cos 9)2=2 cos(a -(p) = 1 cos(a *;r - 2k不)=2 cos(a -4).66三.關于輔助角的范圍問題由 asine + Z?cos8 =/ sin（e + g）中，點 P（a,b）的位置可知，終邊過點P（a,b）的角可能有四種情況（第一象限、第二象限、第三象限、第四象 限）.設滿足條件的最小

10、正角為例，則9 =例+2%）.由誘導公式（一）知osine+ bcos® = Ja? +b2 sin（6 + °） = J。？ +b sin（e + %）.其中/e （0,2兀）,tan , （p、的具體位置由sin/與cos/決定，例的大小由tan cp= 一決定. a類似地，a sin e + b cgs e = da2 +cos（e-r）, 9 的終邊過點 P （b,a ）,設滿足條件的最小正角為/，則e = p+2Qr.由誘導公式有asinO + bcosO = ja2 +b2 cos（。-9） = Ja2 +b2 cos（0-）,其中口 £（0,2乃），

11、tan/=乜，份的位置由sin份和cos0確定，份的大小由 btan?2 =上確定. b注意：一般地，四。七；以后沒有特別說明時，角外（或夕2）是所求 的輔助角.四.關于輔助角公式的靈活應用引入輔助角公式的主要目的是化簡三角函數(shù)式.在實際中結果是化為正弦還 是化為余弦要具體問題具體分析,還有一個重要問題是，并不是每次都要化為 asin0 + bcos0 =+b2 sin（ + ） 的 形 式 或osine + bcos。= /a2 +b cos（-（p2）的形式.可以利用兩角和與差的正、 余弦公式靈活處理.例5化下列三角函數(shù)式為一個角的一個三角函數(shù)的形式.（1） y/Ssina-cosa ；/

12、、& . /乃 、娓 /4、1.2) sin(c()H cos(a).6363>/3 sinar - cos a = 2( sin a - cos a)解：(1)22=2(sin a cos - - cos a sin ) = 2 sin(a -)666JI.4、冊 產 、sin(- -a) + cos(- - a) 63636rl.產百萬=-sm(- - a) + cos(- - a) J， 32Jy/2 . 7T7T 71. 7T=不-sin(y - a) cos + cos(y -a) sin -= 33在本例第（1）小題中，a = >/3,b = -l,我們并沒有取

13、點而取的是點P（J，1）.也就是說，當。、b中至少有一個是負值時.我們可以取P （卜巾問），或者P （|©,同）.這樣確定的角/（或%）是銳角，就更加方便.-7rl7t 1例 6 已知向量a = (cos(x + ),1), b = (cos(x + ),),77* c = (sin(x + ),0),求函數(shù)/?*) = “。一bc +2的最大值及相應的x的值.解:h(x) = cos2(x + )-sin(x + )cos* + ) + 2 3233 小 2 、1+ COS(2x+萬)1cca1.25sin(2x+一)+ 一2 232=-cos(2x + -7V)-sin(2x +

14、 -) + 223232 V2 2_V22cos(2x + %)sin(2x + 萬)+ 2/c 11、 ccos(2x + -t) + 2-2+四 2這時 2x + 兀=2k小 x = k7r7r.k G Z .1224此處,若轉化為兩角和與差的正弦公式不僅麻繁,而且易錯,請讀者一試.五.與輔助角有關的應用題與輔助角有關的應用題在實際中也比較常見,而且涉及輔角的范圍，在相應 范圍內求三角函數(shù)的最值往往是個難點.例7如圖3 ,記扇OAB的中心角為45',半徑為1,矩形PQMN內接于這個扇 形，求矩形的對角線/的最小值.解:連結0M,設NAOM=d .則MQ = sin。，0 Q=cos。，OP二PN=sin，.PQ=OQ 0 P = cos 夕 一 sinZ2