材料力學第七章_2_+空間應力狀態(tài)及廣義胡克定律

1、材 料力學第第7 7章章應力狀態(tài)和強度理論應力狀態(tài)和強度理論 目目 錄錄7- -1 應力狀態(tài)概述應力狀態(tài)概述7-2 7-2 平面應力狀態(tài)分析平面應力狀態(tài)分析主應力主應力7-3 7-3 空間應力狀態(tài)的概念空間應力狀態(tài)的概念7-4 7-4 應力與應變間的關系應力與應變間的關系7-5 7-5 空間應力狀態(tài)下的應變能密度空間應力狀態(tài)下的應變能密度7-6 7-6 強度理論及其相當應力強度理論及其相當應力7-7 7-7 強度理論的應用強度理論的應用材料力學實驗（拉、壓、扭）：材料力學實驗（拉、壓、扭）：5月月11日（本周日）日（本周日） 安全安全12-112-1、12-312-3：上午：上午9:00-12

2、:009:00-12:00 安全安全12-212-2、12-412-4：下午：下午3:00-6:003:00-6:00 安全安全12-512-5：晚上：晚上7:00-9:307:00-9:30材料力學期末考試材料力學期末考試考試時間：考試時間：6月月7日（日（15周周六）上午周周六）上午8:30-10:30?？荚嚪绞剑洪]卷、考試方式：閉卷、統(tǒng)考統(tǒng)考。cos2sin222xyxyx sin2cos22xyx 斜截面上的應力：斜截面上的應力：2max2min22xyxyx 主應力的解析表達式：主應力的解析表達式：1022tan ()xxy D xo o xy xA y yD應力圓的作法：應力圓的作

3、法：2 22 21 1 minmax最大和最小切應力的表達式：最大和最小切應力的表達式： 當一點處的三個主應力都不等于零時，稱該點處的應力狀態(tài)為空間應力狀態(tài)(三向應力狀態(tài))；鋼軌在輪軌觸點處就處于空間應力狀態(tài)(圖a)。7-4 三向應力狀態(tài)簡介三向應力狀態(tài)簡介已知已知受力物體內某一點處三個受力物體內某一點處三個主應力主應力利用應力圓確定該點的最大利用應力圓確定該點的最大正應力和最大切應力。正應力和最大切應力。首先研究與主應力首先研究與主應力 平行的斜截面上的應力，由于平行的斜截面上的應力，由于 作用作用平面上的力自相平衡，因此，凡是與主應力平面上的力自相平衡，因此，凡是與主應力 平行的斜截平行的

4、斜截面上的應力與面上的應力與 無關，這一組斜截面上的應力在無關，這一組斜截面上的應力在平面上平面上所對應的點，必在由所對應的點，必在由 和和 所確定的應力圓的圓周上。所確定的應力圓的圓周上。 3333 2 1 123A 1 2BC 3123123同理，可畫出另外兩個同理，可畫出另外兩個應力圓。將三個應力圓應力圓。將三個應力圓畫在同一平面上，稱為畫在同一平面上，稱為三向應力圓。三向應力圓。 O A 1O 2BC 31 2 3 k A 1O 2BC 3由三向應力圓可見由三向應力圓可見)(max3 31 12 21 1 1 1 max例題例題9 單元體的應力如圖所示單元體的應力如圖所示 ,作應力圓作

5、應力圓, 并求出主應力和最大并求出主應力和最大切應力值及其作用面方位切應力值及其作用面方位.解解: 該單元體有一個已知主應力該單元體有一個已知主應力MPa20 z 因此與該主平面正交的各截面因此與該主平面正交的各截面上的應力與主應力上的應力與主應力 z 無關無關, 依據(jù)依據(jù) x 截面和截面和 y 截面上的應力畫出應力截面上的應力畫出應力圓圓. 求另外兩個求另外兩個主應力主應力40MPaxyz20MPa20MPa20MPa40MPa , 20MPa20MPa , 20MPaxxyy 由由 x ， x 定出定出 D 點點 由由 y ， y 定出定出 D 點點以以 DD為直徑作應力圓為直徑作應力圓A

6、1，A2 兩點的橫坐標分別代兩點的橫坐標分別代表另外兩個主應力表另外兩個主應力 1 和和 3 A1A2 O C 1 3 1 =46MPa , 3 =-26MPa該單元體的三個主應力該單元體的三個主應力 1 =46MPa, 2 =20MPa, 3 =-26MPa根據(jù)上述主應力，作出三個應力圓根據(jù)上述主應力，作出三個應力圓MPamax3636 132E11 E21 E31 32111E 一、廣義胡克定律一、廣義胡克定律7-5 廣義胡克定律廣義胡克定律 32111E 13221E 21331E xyxyxzxzyxyzzxzy,yzyzG ,xyxyG Gzxzx zyxxE 1 xzyyE 1 1

7、zzxy E 主應變方向與主主應變方向與主應力方向相同；應力方向相同； 線應變與切應力無關，線應變與切應力無關， 切應變與正應力無關。切應變與正應力無關。y 例題例題5 5 邊長邊長 a = 0.1m 的銅立方塊，無間隙地放入體積較大，的銅立方塊，無間隙地放入體積較大， 變形可略去不計的鋼凹槽中變形可略去不計的鋼凹槽中, 如圖所示如圖所示. 已知銅的彈性模量已知銅的彈性模量 E=100GPa，泊松比泊松比 =0.34，當受到當受到F=300kN 的均布壓力作用的均布壓力作用時，求該銅塊的主應力和最大切應力。時，求該銅塊的主應力和最大切應力。解：銅塊橫截面上的壓應力解：銅塊橫截面上的壓應力323

8、00 1030MPa0.1zFA aaaFxzy x y z 10 xxyz E 10yyzxE 22(1)0.34(10.34)( 30)-15.5MPa11-0.34xyz MPa51521. MPa303 MPa25.7)(2131max K 例例11.6 11.6 圖示矩形截面簡支梁，在梁的跨中受一集中力作圖示矩形截面簡支梁，在梁的跨中受一集中力作用，測得中性層上用，測得中性層上K點處沿點處沿45方向的線應變?yōu)榉较虻木€應變?yōu)?。已知。已知材料的彈性模量材料的彈性模量 E 和泊松比和泊松比 ，試求集中力，試求集中力F 的大小。的大小。K bh解：解：k點為純剪切應力狀態(tài)，單元體如圖所示。

9、點為純剪切應力狀態(tài)，單元體如圖所示。 2FFSbhFAFS4323（a） 由上式解出由上式解出43(1)KbhEF102 3（b）由廣義胡克定律由廣義胡克定律11231()KE （c） 1134KFEEbh（d） 將式（將式（a a）和式（）和式（b b）代入式（）代入式（c c），得），得bhFAFS4323（a） 例題例題11.711.7 從鋼構件內某一點的周圍取出一部分如圖所從鋼構件內某一點的周圍取出一部分如圖所示。根據(jù)理論計算已求得示。根據(jù)理論計算已求得 ， 。材料的彈性模量材料的彈性模量 ，泊松比，泊松比 。試求。試求對角線對角線AC的長度改變的長度改變 。MPa 30MPa 15G

10、Pa 200E3 . 0l 。25A30 C解：解： 3030 030 0cos 2 30( 15 )sin 2 3035.5 MPa22 12030 030 0cos 2 12015 sin 2 1205.5 MPa22 30301206311 35.5 MPa + 0.3 5.5 MPa185.8 10200 10 MPaE633025 mm185.8 109.29 10 mmsin30ACACll25A30 C二、各向同性材料的體積應變二、各向同性材料的體積應變123123構件每單位體積的體積變化構件每單位體積的體積變化, , 稱為體積應變用稱為體積應變用表示表示. .如圖所示的單元體，三個邊長為如圖所示的單元體，三個邊長為 a1 , a2 , a3變形后的邊長分別為變形后的邊長分別為變形后單元體的體積為變形后單元體的體積為a1(1+ ，a2(1+ 2 ，a3(1+ 3 V=a1(1+ a2(1+ 2 a3(1+ 3 體積應變體積應變?yōu)椋簽椋?12233123123123123123123123 (1)(1)(1) (1) VVVaaaa a aa a aa a aa a aa a a 32111E 13221E 21331E )(213