泛函分析答案泛函分析解答(張恭慶)

1、第五章習(xí)題第一部分 01-151 . M為線性空間X的子集，證明span( M )是包含M的最小線性子空間.證明顯然span( M )是*的線性子空間.設(shè)N是X的線性子空間，且M N. 則由span(M )的定義，可直接驗(yàn)證span( M ) N.所以span(M )是包含M的最小線性子空間.2 .設(shè)B為線性空間X的子集，證明 nnconv(B) = aixi| a i 0, ai = 1, x i B, n 為自然數(shù).i 1i 1nn證明設(shè)A = aiXi | a i 0,= 1, x i B, n為自然數(shù).首先容易看出A為i 1i 1包含B的凸集，設(shè)F也是包含B的凸集，則顯然有A F,故A

2、為包含B的最 小凸集.3 .證明a, b上的多項(xiàng)式全體Pa, b是無限維線性空間，而E = 1, t,t2,tn,. 是它的一個(gè)基底.證明首先可以直接證明Pa, b按通常的函數(shù)加法和數(shù)乘構(gòu)成線性空間， 而Pa, b中的任一個(gè)元素皆可由E中有限個(gè)元素的線性組合表示.設(shè) C0, C1, C2, ., Cm 是 m + 1 個(gè)實(shí)數(shù)，其中 Cm 0, m 1 . m若Cntn = 0,由代數(shù)學(xué)基本定理知 C0 = C1 = C2 = . = Cm= 0,n 0所以E中任意有限個(gè)元素線性無關(guān)，故Pa, b是無限維線性空間，而E是它的一個(gè)基底。4 .在 2 中對任意的 x = (x1, x2)2,定義 |

3、 x |1 = | x1 | + | x2 |,| X |2 = (X12 + X22)1/2,| x | = max | x1 |, | x2 | .證明它們都是2中的范數(shù)，并畫出各自單位球的圖形.證明證明是直接的，只要逐條驗(yàn)證范數(shù)定義中的條件即可.單位球圖形略.5 .設(shè)X為線性賦范空間，L為它的線性子空間。證明cl(L)也是X的線性子空間. 證明 x, y cl(L), a ,存在 L 中的序列 xn, yn使得 xn x, yn y. 從而 x + y = lim xn + lim yn = lim (xn + yn) cl(L), a x = a lim xn = lim (axn)

4、cl(L). 所以cl(L)是X的線性子空間.注這里cl(L)表示子集L的閉包.6 .設(shè)X為完備的線性賦范空間，M為它的閉線性子空間，x0 M.證明：L = ax0 + y | y M, a也是X的閉線性子空間.證明 若 a, b , y, z M 使得 ax。+ y = bx。+ z,則(a b) x0 = z y M,得到a = b, y = z；即L中元素的表示是唯一的.若L中的序列 an x0 + yn 收斂于X中某點(diǎn)z,則序列 an x° + yn 為有界序列.由于M閉，x0 M ,故存在r > 0,使得| x0 y | r, y M .則當(dāng)an 0時(shí)有| an |

5、= | an | r - -(1/r) | an| | x0 + yn/an | (1 / r) = | an x0 + yn | (1 /r),所以數(shù)列 an 有界，故存在 an的子列 an(k)使彳3an(k)a .這時(shí) yn(k)=(anxo+ yn)an xoz axoM ,所以 zL,所以 L 閉.注在此題的證明過程中，并未用到“ X為完備的”這一條件.7 .證明：a,在2中，| ?|1, | ?|2與| ?|都是等價(jià)范數(shù)；b. | ?|1與| ?|2是等價(jià) 范數(shù)的充要條件是：X中任意序列在兩個(gè)范數(shù)下有相同的收斂性.證明a,顯然| x | x |2 | x |1 2| x | ,所以

6、 | ?|1, | ?|2與| ?| 都是等價(jià)范數(shù).b,必要性是顯然的，下面證明充分性.首先 inf | x |2| | x |1= 1 0.若 inf | x |2| | x |1 = 1 = 0 ,則存在 X 中序列 xn,使得 | xn |1 二 1 , | xn |20.而任意序列在兩個(gè)范數(shù)下有相同的收斂性，從而| xn |10.這矛盾說明 inf | x |2 | |x |i = 1 = a > 0.對 x X,當(dāng) x 0 時(shí)，|(x/| x |1) |1 = 1,所以 |(x/| x |1) |2 a.故 x X有 a | x |1 | x |2.類似地可以證明存在b >

7、; 0使得b | x |2 | x |1, x X.所以兩個(gè)范數(shù)等價(jià).8 .證明：Banach空間m不是可分的.證明見教科書p187,例3,59,證明：c是可分的Banach空間.證明見第4章習(xí)題1610.設(shè)X,Y為線性賦范空間，T B(X, Y),證明T的零空間N(T) = x X | Tx = 0 是X的閉線性子空間.證明顯然N(T) = x X | Tx = 0 是*的線性子空間.對x N(T)c, Tx 0,由 于T是連續(xù)的，存在x的鄰域U使得u U有Tu 0,從而U N(T)c,故N(T)c 是開集，N(T)是X的閉子空間.11,設(shè)無窮矩陣(a i j ), ( i, j = 1,2

8、,.)滿足sup |，定義算子T : m m如i j 1下：y = Tx, ia。j ,其中x = ( i ), y = ( i ) m.證明：T是有界線性算j 1子，并且 |T | sup |aij |0i j 1證明13 11Tx | sup|aj j | sup( |a“sup| j|) (sup 冏 |) (sup | j |),i j 1i j 1ji j 1j及T是線性的，所以T為有界線性算子，|T | sup |aj |。對任意的實(shí)數(shù)i j 1u sup |aij |,存在自然數(shù)K使得|aKj | u。取xk( i) m ,使得其第j個(gè)i j 1j 1坐標(biāo) j sgn(aKj),

9、則 |xk | 1 ,且|Txk | a& |。所以 |T | a& | u,故j 1j 1有 |T | sup|aij |,從而 |T | sup | aj 10i j 1i j 112.設(shè) Sn：l212 滿足對 X ( 1, 2，, 口，)l2 有 Sn(X)(ni, n2,)。證明Sn是有界線性算子，|Sn| 1。證明顯然Sn是線性算子。因?yàn)閨Sn(X)| k |2| k |2 |X，X 12,kn1k1所 以 |Sn(X) | |X| ， X 12 ， 可 見 Sn 是 有 界 線 性 算 子 ， 且 |Sn | 1 。 令 Xn (0,0, 0,1,0, ) ( 僅

10、 第 (n 1) 個(gè) 坐 標(biāo) 不 為 零 ) ， 則 Xn 12 ， |Xn | 1 ， Sn(Xn) (1,0, ) ， |Sn(Xn) | 1 。所以|Sn | sup|Sn(X) | |Sn(Xn)| 1。|X| 113.證明Ca,b上的泛函f(X)bX(t)dt是有界線性泛函，且| f | b a。 a 證明 顯然 f 是線性泛函。對b|f(X)| | X(t)dt|a所以 f 是有界線性泛函，且對 x Ca,b有b| X(t) |dt (b a) maX| X(t) | at a,b| f | b a。進(jìn)一步，取 X0(b a)|X|，Ca,b 使得X0(t)1，則 |X0 | 1

11、。得到 | f | sup | f(X) | | f (X0) | b a|X| 114 .取定to a, b,在Ca,b上定義泛函f1如下：f1(x)x(t0)。證明f1是有界線性泛函，| f1 | 1 。證明顯然 G 是線性泛函，由 |3(x)| |x(to)| max|x(t)| |x |,知 片 有界 11f1 | 1。 t a,b取 Xo Ca,b使 x0(t) 1,貝”IxoII 1 ,得|f1 II sup|3(x)| | f-x。)| |xO(t0)| 1。 |x| 115 . 證明： (11)* 1 。 證 明 任 取 y ( i ) 1 ， 顯 然 f(x) i i 是 1

12、 1 上 有 界 線 性 泛 函 ， 且i1| f II |y II。又取Xk l1使其第k個(gè)坐標(biāo)為1其余皆為0,則11f | | f(xj | | k |,k 1,2, 。從而 | f | | y |，進(jìn)而 | f | |y|另一方面，設(shè)f為11上有界線性泛函，令i f (xj ,則I i I II f II |x 1111f II,i 1,2, ， 從而 y ( i ) 1 。 對 x ( i ) 11 ， 我們令 un ( 1, 2, n,0,0, ) ，nnn則 f(un) f(ixi)if(xi) i ii1i1i1注意到在11中Un X,以及f為11上有界線性泛函，故 f (x)

13、i i ，并且滿足這樣條件的y ( i ) 1 是唯一的i116 . 證明： n 維線性賦范空間的共軛空間仍是一個(gè)n 維線性賦范空間。證明設(shè)X是n維線性賦范空間， X1, X1,xn 是它的一個(gè)基.n令 f i : X X 表示fi (akxk ) ai ， i = 1, 2, .k1n n則？13,借1百-|akXi |,注意到N(x) |同為|也是 X上的范數(shù)，以及有限維線性空間上的范數(shù)都是等價(jià)的，故存在k 1M > 0使得N(x) M |x|,所以 | fi(x) | L|x|,所以 f i X* .下面證明 fi, fl,，fn是 |Xi |X*的一組基。事實(shí)上，f X*, nn

14、nnnnf ( akxk)akf(xjf (xk)fk(ajxj) (f(xjfk)(ajxj),k 1k 1k 1j 1k 1j 1nn所以ff(xk)fk。故X為有限維空間，且維數(shù)不超過 n.若Ckfk 0,則nCi k 1k 1k 1nCkfk(xi)( Ckfk)(xi)0,所以f1,f1, .,fn線性無關(guān),故 X 維數(shù)為 n。k 117 .證明：無窮維線性賦范空間的共腕空間仍是無窮維線性賦范空間。證明設(shè)X是無窮維線性賦范空間，由于典范映射J : X X是保范的線性同構(gòu)，故X*必定是無窮維空間.由前面的習(xí)題16知道X*必然也是無窮維的.18 .設(shè)X是賦范空間，M為X的子集，x X。證

15、明：x cl( span(M)的充分必要 條件為 f X*,若 f(M) = 0 則 f(x) = 0.證明設(shè)x cl(span(M),則對f X*,若f(M) = 0,由于f是線性的和連續(xù)的， 自然8 f (cl(span(M) = 0,從而 f (x) = 0.反過來，設(shè) x cl(span(M),貝U d(x, cl(span(M) > 0.由 Hann-Banach定理，存在 f X ,使 f (cl(span(M) = 0,且 f (x) = d(x, cl(span(M) > 0,得到矛盾.19 .驗(yàn)證極化恒等式。證明我們只對實(shí)內(nèi)積空間來驗(yàn)證，對于復(fù)內(nèi)積空間，方法是類似

16、的.| x + y |2 | x y |2 = < x + y, x + y > < x y, x y >=(< x, x > + < x, y > + < y, x > + < y, y> ) ( < x, x > < x, y > < y, x > + < y, y >)=4< x, y >.20 .證明由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)| x | = < x, x >1/2滿足范數(shù)定義的三個(gè)條件。證明前兩個(gè)條件是顯然的，我們只證明三角不等式.事實(shí)上，22.2| x

17、 + y | = < x + y, x + y > = | x | + < x, y > + x, y + | y |=| x |2 + 2 Re(< x, y >) + | y |2 | x |2 + 2 | < x, y > | + | y |2| x |2 + 2 | x | | y | + |y |2= (| x | + | y |)2.所以三角不等式成立21 .證明內(nèi)積空間中的勾股定理。證明 設(shè) x = x1 + x2,且 x1 x2 .貝U< x1, x2> = < x2, x1> = 0,所以| x |2 =

18、 | x1 + x2 |2 = < x1 + x2, x1 + x2> = < x1, x1 > + < x1, x2 > +< x2, x1 > + < x2, x2>=< x1, x > + < x2, x2> = | x1 |2 + | x2 |2 .22 .設(shè)X是內(nèi)積空間，M, N X, M N。證明：N M 。證明對x N,因MN,得xM,故x M ,所以N M。23 .設(shè)X是內(nèi)積空間，M,N X, M N。證明：N M 。證明對x N，由xN,及M N,知xM,故x M 。所以N24 .設(shè)H為Hil

19、bert空間，M是H的線性子空間。證明：M (M ) , M (M )。 證明對x M ,顯然有x M ,從而x (M )，故M (M )。若* M , 由投影定理，設(shè)x x1 x2,其中x1 M , x2 (M),且*2 0。此時(shí)x2 M , 故有 x, x2 xi x2，x2 x2，x2 |x2 |2 0 ,所以 x (M ),故 M (M ) o由23題結(jié)果，M (M),而對x M , x M ,故x M ,所以x (M), 因此M (M),故有M (M) 025 .設(shè)X為內(nèi)積空間，M是X的線性子空間，滿足：對任何x X ,它在M上的 正交投影都存在。證明：M是X的閉線性子空間。證明對x

20、 M,由于存在它在 M上的正交投影，故可設(shè)x xi x2 ,其中 x1 M , x2 M 。由 26題知 x2 (M ),而 x2 x x1 M ,故 x2 0 ,所以 x x1 M ,因此M M ,即M為X的閉子空間。26 .設(shè)X為內(nèi)積空間，M是X的稠密子集， e n 是*的標(biāo)準(zhǔn)正交系。證明： e n 完備的充要條件是在子集 M上，Parseval等式成立.證明由 e n 完備性定義知必要性是顯然的，下面證明充分性。對 x X,由M在X中稠密，對任意的0,存在y M,使得|x y | /2 ,|x|1211y |2 /2。而對于y M , Parseval等式成立，即|y|2| y,en |

21、2 ,存在自然數(shù)N使得 n 1| y, en |2Z o 下面估計(jì) |x|2 :n N 12NNl|x|1211y |2 -| y,en |2| x©2 n 1n 1, 2InN nJ I x,en |2| x y© |2:n 1, n 1NI x,en I2 2|x| |x y| |x y |2 n 1| x,en |2 （|x| - 1）, n 141 2x y,en |（三角不等式）N（用 | u,en |2 |u|2放大）n 1由0的任意性，及Bessel不等式有|x | x©n 1式成立，所以 e n是完備的標(biāo)準(zhǔn)正交系。|2。即 x X, Parseva

22、l等27.設(shè)X為內(nèi)積空間， en 是*的標(biāo)準(zhǔn)正交系。證明： x, y X,都有| x,eny，en |x| |y|證明由Cauchy-Schwarz不等式，及Bessel不等式，有| x,eny© |n 1| x,en |2n 12y,en |2 |x|111y|。28.設(shè)H為Hilbert空間， e n 是H的標(biāo)準(zhǔn)正交系。證明： e n 是完全的的充要條件是：對于 x, y H,都有 x,yx, enn 1y, en。證明若 e n 是完全的，則它是完備的.于是 x, yH總有xx,enen ,n 1x, yy,enen ,計(jì)算x, y的內(nèi)積得:x,enen,y,emm 1emx,eny, emem反過來，若x,x,enx, enen,y, enx,eny,enen ,eny,eny H都有 x,yx,eny,en，令 y = x,貝U有 Parseval等式成立，從而 e n是完備的,所以在Hilbert空間H中 e n 是完全的。29 .設(shè)H為Hilbert空間， e n , 4是H的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交系，其中 e n 是完備的，并且它們滿足條件|en n |2 1