2018版高中數(shù)學第一章解三角形1.1.1正弦定理(二)學案新人教B版必修5

1、1.1.1正弦定理（二）【學習目標】1.熟記并能應用正弦定理的有關變形公式解決三角形中的問題判斷三角形解的個數(shù) 3 能利用正弦定理、三角變換解決較為復雜的三角形問題.If問題導學-知識點一正弦定理的常見變形1. sinA： sin B : sinC=_;a b ca+b+c2 - -；sinAsinBsinCsinA+ sinB+ sinC - 3.a=_,b=_ ,c=_ ;4._sinA=_, sinB=_ , sinC=_.知識點二判斷三角形解的個數(shù)思考 1 在厶ABC中,a= 9,b= 10,A= 60,判斷三角形解的個數(shù).梳理已知三角形的兩邊及其中一邊的對角，三角形解的個數(shù)并不一定唯

2、一.a b例如在ABC中，已知a,b及A的值由正弦定理=，可求得si nAsinB在由 sinB求B時，如果ab，則有AB,所以B為銳角，此時B的值唯一;AB,所以B為銳角或鈍角，此時B的值有兩個.思考 2 已知三角形的兩邊及其夾角，為什么不必考慮解的個數(shù)？.2.能根據(jù)條bsinAsin B=.a如果ab，則有2梳理解三角形 4 個基本類型:（1）已知三邊；（2）已知兩邊及其夾角；（3）已知兩邊及其一邊對角；（4）已知一邊兩角.3其中只有類型（3）解的個數(shù)不確定.知識點三正弦定理在解決較為復雜的三角形問題中的作用思考 1 在厶ABC中，已知acosB= bcosA.你能把其中的邊a，b化為用角

3、表示嗎（打算怎 么用上述條件）?梳理 一個公式就是一座橋梁，可以連接等號兩端正弦定理的本質就是給出了三角形的邊與對角的正弦之間的聯(lián)系. 所以正弦定理的主要功能就是把邊化為對角的正弦或者反過來.簡稱邊角互化.思考 2 什么時候適合用正弦定理進行邊角互化?類型一 判斷三角形解的個數(shù)例 1 在厶ABC中，已知a= 1,b= ,3,A= 30,解三角形.引申探究若a= 3,b= 1,B= 120,解三角形.尖子主走問成功的赭品riwww.91 ）利用正弦定理探究三諱形解的牛數(shù)反思與感悟已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，首先求出另一邊的對角的正弦值，根據(jù)該正弦值求角時， 要根據(jù)已知兩邊的大小情況來確定

4、該角有一個值還是兩個值.或者根據(jù) 該正弦值（不題型探究4等于 1 時）在 0180范圍內求角，一個銳角，一個鈍角，只要不與三角形內 角和定理矛盾，就是所求.跟蹤訓練 1 已知一三角形中a= 2 3,b= 6,A= 30,判斷三角形是否有解，若有解，解 該三角形.類型二利用正弦定理求最值或取值范圍例 2 在銳角ABC中，角A B, C分別對應邊a,b,c,a= 2bsinA,求 cosA+ sinC的 取值范圍.反思與感悟解決三角形中的取值范圍或最值問題：（1）先利用正弦定理理清三角形中元素間的關系或求出某些元素.（2）將所求最值或取值范圍的量表示成某一變量的函數(shù)（三角函數(shù)），從而轉化為函數(shù)的值

5、域或最值問題.跟蹤訓練 2 在厶ABC中，若C= 2B,求C的取值范圍.類型三正弦定理與三角變換的綜合例 3已知ABC的三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若a+c= 2b,2cos 2B- 8cosB+ 5 = 0,求角B的大小并判斷ABC的形狀.5反思與感悟 借助正弦定理可以實現(xiàn)三角形中邊角關系的互化，轉化為角的關系后，常利用三角變換公式進行變形、化簡，確定角的大小或關系，繼而判斷三角形的形狀、證明三角恒等式.跟蹤訓練 3 已知方程x2(bcosA)x+acosB= 0 的兩根之積等于兩根之和，其中a、b為ABC勺兩邊，A B為兩內角，試判斷這個三角形的形狀.當堂訓練1.在ABC中,

6、AC=6,BC=2,B= 60，則角C的值為()A. 45 B . 30 C . 75 D . 90a b c2 .在ABC中,若 cok coriT冊 貝仏ABC是()A.直角三角形B.等邊三角形C.鈍角三角形D.等腰直角三角形2sinA sin B“,+63 在ABC中，若a:b：c= 1 : 3 : 5, 求的值.sinC廠規(guī)律與右法 - ,1.已知兩邊和其中一邊的對角，求第三邊和其他兩個角， 這時三角形解的情況可能無解，也可能一解或兩解首先求出另一邊的對角的正弦值，當正弦值大于1 或小于 0 時，這時三角形解的情況為無解；當正弦值大于0 小于 1 時，再根據(jù)已知兩邊的大小情況來確定該角

7、有一個值還是兩個值.2 判斷三角形的形狀，最終目的是判斷三角形是不是特殊三角形，當所給條件含有邊和角時，應利用正弦定理將條件統(tǒng)一為“邊”之間的關系式或“角”之間的關系式.7合案精析問題導學知識點一1.a:b:c2.2R3. 2RsinA2FSinB2RsinCa b c4_ _2R2R2R知識點二b A103 3思考 1 sinB=-sinA=x=,a929而_235$1，所以當B為銳角時，滿足 sinB=晉的角有 60B90o，故對應的鈍角B有 90B120,也滿足A+Ba,.B A= 30,.B= 60 或 120當B= 60時，C= 180 (A+B)8=180 (30 + 60 ) =

8、 90,bsinC3sinBsin 60當B= 120 時，C= 180 (A+B) = 180 (30 + 120 ) = 30=A, c = a= 1.引申探究asinB解根據(jù)正弦定理，sinA=3sin 120 3= 1 = 2 1.因為 sinAW1.所以A不存在，即無解.反思與感悟已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，首先求出另一邊的對角的正弦值，根據(jù)該正弦值求角時， 要根據(jù)已知兩邊的大小情況來確定該角有一個值還是兩個值或者根據(jù) 該正弦值（不等于 1 時）在 0180范圍內求角，一個銳角，一個鈍角，只要不與三角形內 角和定理矛盾，就是所求.跟蹤訓練 1 解a= 2 3,b= 6,ab,

9、A= 30 90.又因為bsin A= 6sin 30 = 3,bsinAaa,BA B (0 , 180 ), 所以 B= 60 或 120.當B= 60 時，C= 90,c= Va2+b2= 4 3;當B= 120 時，C= 30,c=a= 2 3. 所以 B= 60,C= 90,c= 4 3 或B= 120,C= 30,c= 2 3.類型二例 2 解/a= 2bsinA由正弦定理，得 sinA=2sinBsinA,又A (0 ,n, sinAM0,sinB= bsinA6sin 30a2 391n sinB= 2.TB為銳角B=g.令y= cosA+ sinC=cosA+sinn B+A

10、=cosnn=cosA+sincosA+cos sinA66由銳角ABC知, cosA+ sinC的取值范圍是孑，2-跟蹤訓練 2 解因為A+B+C=n,C= 2B,n所以A=n 3B0,所以 0玄牙,3所以 12cos B2,所以 1-2.b3=qcos又b=sinCsinBsin 2BsinB2cosBnn2 BA2,323y2所以 2cosB1,A+ sin10類型三例 3 解 /2cos 2B 8cosB+ 5 = 0,112 2(2cos B 1) 8cosB+ 5= 0.2 4cosB8cosB+ 3 = 0, 即(2cosB-1)(2cosB3) = 0.13解得 cosB= 2 或 cosB= 2(舍去).nT0Bn , B=石3/a+c= 2b.由正弦定理，得 sinA+ sinC= 2sinB=2sin才=.3. sin跟蹤訓練 3 解 設方程的兩根為xi、X2,i+X2=bcos A, 由根與系數(shù)的關系，得乜bcosA=acosB由正弦定理，得 sinBcosA= sinAcosB, sinAcosBcosAsinB=0,sin(AB=0. A、BABC的內角， 0An ,0Bn , nABn ,A B= 0，即 卩A=B.2n sinA+ si