2019高中數(shù)學(xué)第2章推理與證明2.3數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案新人教B版選修2-2

1、課程目際1了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單命題.2 理解數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟的作用，進(jìn)一步規(guī)范書寫的語言結(jié)構(gòu).墾礎(chǔ)如識(shí)數(shù)學(xué)歸納法一個(gè)與自然數(shù)相關(guān)的命題，如果(1)當(dāng)n取第一個(gè)值no時(shí)命題成立；(2)在假設(shè)當(dāng)n=k(kN+,且kno)時(shí)命題成立的前提下，推出當(dāng)n=_時(shí)命題也成立，那么可以斷定，這個(gè)命題對(duì)n取第一個(gè)值后面的所有正整數(shù)成立.名師點(diǎn)撥iI數(shù)學(xué)歸納法是專門證明與自然數(shù)集有關(guān)的命題的一種方法，它是一種完全歸納法，是對(duì)不完全歸納法的完善證明分兩步，其中第一步是命題成立的基礎(chǔ)，稱為“歸納奠基”；第二步解決的是延續(xù)性問題，又稱“歸納遞推”.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)命題時(shí)應(yīng)注意以下 幾

2、點(diǎn):(1) 兩個(gè)步驟缺一不可；(2) 在第一步中，n的初始值不一定從 1 取起，也不一定只取一個(gè)數(shù)(有時(shí)需取n=no,no+1 等)，證明應(yīng)視具體情況而定；(3) 第二步中，證明n=k+ 1 時(shí)命題成立，必須使用歸納假設(shè)，否則就會(huì)打破數(shù)學(xué)歸納 法步驟間的嚴(yán)密邏輯關(guān)系，造成推理無效；證明n=k+ 1 時(shí)命題成立，要明確求證的目標(biāo)形式，一般要湊出歸納假設(shè)里給出的 形式，以便使用歸納假設(shè)， 然后再去湊出當(dāng)n=k+1 時(shí)的結(jié)論，這樣就能有效減少論證的盲 目性_i W【做一做】對(duì)于不等式.n2+nvn+ 1(n N+)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程如下：(1) 當(dāng)n= 1 時(shí)，1 + 1v1 + 1，不

3、等式成立.(2) 假設(shè)當(dāng)n=k(k N+)時(shí)，不等式成立，即，k2+kvk+ 1,則當(dāng)n=k+ 1 時(shí)，,；(k+1)2+(k+1)=. k2+3k+2v(k2+3k+2)+(k+2)=(k+1)+1,當(dāng)n=k+ 1 時(shí)，不等式成立.上述證法().A.過程全部正確B.n= 1 時(shí)驗(yàn)證不正確C.歸納假設(shè)不正確D.從n=k到n=k+ 1 的推理不正確1.利用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)有哪些注意事項(xiàng)?剖析：(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)命題的關(guān)鍵在第二步，即n=k+ 1 時(shí)命題為什么成立？n=k+1 時(shí)命題成立是利用假設(shè)n=k時(shí)命題成立，根據(jù)有關(guān)的定理、定義、公式、性質(zhì)等 數(shù)學(xué)結(jié)論推證出來的，而不是直接代入，

4、否則n=k+ 1 時(shí)命題成立也成假設(shè)了， 命題并沒有得到證明.(2)用數(shù)學(xué)歸納法可證明有關(guān)的正整數(shù)問題，但并不是所有的正整數(shù)問題都能用數(shù)學(xué)歸 納法證明，學(xué)習(xí)時(shí)要具體問題具體分析.2.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)易犯的錯(cuò)誤有哪些？剖析：(1)對(duì)項(xiàng)數(shù)估算的錯(cuò)誤， 特別是尋找n=k與n=k+ 1 的關(guān)系時(shí)，項(xiàng)數(shù)發(fā)生什么變 化被弄錯(cuò).(2)沒有利用歸納假設(shè)：歸納假設(shè)是必須要用的.假設(shè)是起橋梁作用的，橋梁斷了就通2.3數(shù)學(xué)歸納法2不過去了.(3)關(guān)鍵步驟含糊不清，“假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，利用此假設(shè)證明n=k+1 時(shí)結(jié)論也成 立”是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵一步，也是證明問題中最重要的環(huán)節(jié)，對(duì)推導(dǎo)的過程要把步驟寫完整，注意證明

5、過程的嚴(yán)謹(jǐn)性、規(guī)范性.啟型例題-XING I I II lhi(VV 題型一用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式等式右邊，當(dāng)n取一個(gè)值時(shí)，對(duì)應(yīng)一項(xiàng).無論 右邊有n項(xiàng)，然后再按數(shù)學(xué)歸納法的步驟要求給出證明.題型二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式由(1)和，可知等式對(duì)一切nN+都成立.【例題 1】用數(shù)學(xué)歸納法證明1 1 112+ 34+12n11 1 1 1亦=n+ 1+n+2 十十 2n分析：左邊式子的特點(diǎn)為：各項(xiàng)分母依次為 母由n+ 1 開始，依次增大 1, 一直到 2n,共1,2 , 3,，2n,右邊式子的特點(diǎn)為：分n項(xiàng).11n取一個(gè)值反思：理解等式的特點(diǎn)：在等式左邊，當(dāng)【例題 2】已知a0，b0，n 1，n N+

6、，用數(shù)學(xué)歸納法證明：2一2反思：應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，往往通過拼湊項(xiàng)或拆項(xiàng)用上歸納假設(shè),縮法或其他證明不等式的方法證得n=k+ 1 時(shí)命題成立.題型三歸納一一猜想一一證明【例題 3】某數(shù)列的第一項(xiàng)為 1,并且對(duì)所有的自然數(shù)(1) 寫出這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)；(2) 寫出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式并加以證明. 分析：根據(jù)數(shù)列前五項(xiàng)寫出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，的關(guān)系，歸納出構(gòu)成數(shù)列的規(guī)律. 同時(shí)還要特別注意第一項(xiàng)與其他各項(xiàng)的差異， 段表示證明這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式可用數(shù)學(xué)歸納法.反思：先計(jì)算出一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)，用不完全歸納法猜想得到通項(xiàng)公式，法給予證明，這是解數(shù)列問題的常見思路.題型四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸

7、納法證明問題時(shí)兩步缺一不可，且在證明由 題成立時(shí)必須用上歸納假設(shè)，否則證明過程就是錯(cuò)誤的.【例題 4】用數(shù)學(xué)歸納法證明：1 1 +- +a+bn.2.再應(yīng)用放n2,數(shù)列的前n項(xiàng)之積為n2.要注意觀察數(shù)列中各項(xiàng)與其序號(hào)變化必要時(shí)可分再用數(shù)學(xué)歸納n=k至 Un=k+1 命+ +2x44x66X82n(2n+2) 4(n+1)1 1 1當(dāng)n=1時(shí)，左邊= 2X4，右邊= 4(1 + 1)=4X2，等式成立.n=k時(shí)等式成立，那么當(dāng)n=k+ 1 時(shí)，直接使用裂項(xiàng)相減法求得1 1 11 +4X66X81 17 +錯(cuò)證：(1)假設(shè)當(dāng)1 1+2X42k(2k+ 2)+(2k+ 2)(2k+ 4) 丄1=單1

8、 2嶇4+妙6/1 1=2 22k+4=4(k+ 1) + 1，即當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立.3腿皇練三)-、SU1 TANGXJ GONG1 用數(shù)學(xué)歸納法證明(n+1)(n+ 2) (n+n) = 2n 1 3(2n 1)(n N+)，從“n=k到n=k+1”左端需增乘的代數(shù)式為().A. 2k+ 1 B . 2(2k+ 1)41114 用數(shù)學(xué)歸納法證明“若f(n) = 1 + 尹 3 +一，則n+f(1) +f(2) +f(n 1)=2 3nnf(n)(n N+,且n2) ”時(shí)，第一步要證的式子是 _ .5 在數(shù)列an中，a1= 1，且S,S+1,2S 成等差數(shù)列，則Sa,S, S分別為_，由

9、此猜想$=_ .答案：基礎(chǔ)知識(shí)梳理k+ 1【做一做】D 因?yàn)閺膎=k到n=k+1 的證明過程中沒有用到歸納假設(shè)，故從n=k到n=k+ 1 的推理不正確.典型例題領(lǐng)悟1 1 1【例題 1】證明：(1)當(dāng)n= 1 時(shí)，左邊=1 2= q = 1 + 1=右邊, 等式成立.假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即1 1 1 1 11 一_+一一_+ 23 42k 1 2k1 1 1= + +k+ 1+k+ 2+2k則當(dāng)n=k+ 1 時(shí)，亠丄1111111左邊=12+34+冇 一 2k+2k+l一 汞花11丄、 111 1 1 1 =k+2+2k+冇+k+1=右邊當(dāng)n=k+ 1 時(shí)等式也成立.由(1)和(2)，知等式

10、對(duì)任意nN+都成立.c.2k+ 1k+ 12k+ 3k+ 1A. f(k) +kBC.f(k) +k+ 1 D.f(k) + 1 .kf(k)3 利用數(shù)學(xué)歸納法證明1 1 1 1n+n+ 1+n+ 2+2n 0,62 2a+ba+b2【例題 2】證明：(1)當(dāng)n= 2 時(shí)，左邊=,右邊=(一)，左邊右邊=不等式成立.k k(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN+,k 1)時(shí)，不等式成立，即a+k + 1 . k + 1kkk . kk+1 . k+ 1 kkk 1,k N+,所以(a+b) (a b+ab) = (ab)(ab) 0,于是a+ba b+ab.+ 1k +1ka+b a+b a+b+a b+a

11、bw=224，因?yàn)閍0,b 0,，不等式也成立.由(1)和(2)，知對(duì)于a0,b0,n 1,nN+,不等式2【例題 3】解：(1)已知a= 1,由題意，得a1a2= 22,a2= 22.32-aia2a3= 3，a3=寧.2 245同理，可得a4=3,as=42.因此該數(shù)列的前五項(xiàng)為 1,4 , 4, 196, 166.(2)觀察這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)，猜測數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)為an=T n=1,；n2nI2,nA2.!n1F 面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n2時(shí)，an=2nn12.222,1當(dāng)n= 2 時(shí)，比=2 = 2 ,等式成立.2假設(shè)當(dāng)n=k(kA2)時(shí)，結(jié)論成立，即/aia2.ak 1= (k 1),2

12、a1a2ak1akak+1= (k+ 1),k+l2a1a2.a1k2 ak=k12.ak + iakk2-R2k+2k+l2k+l 1當(dāng)n=k+ 12.時(shí)，結(jié)論也成立.根據(jù)和，可知當(dāng)n2時(shí)，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是2.1n= 1,2,nA2. 0,78【例題 4】 錯(cuò)因分析： 由 用數(shù)學(xué)歸納法的一種偽證.n=k到n=k+1 時(shí)等式的證明沒有用歸納假設(shè)，是典型的套111正確證法：(1)當(dāng)n= 1 時(shí)，左邊=石，右邊=：，等式成立2X488假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，1111k亠2X?+4X6+ 6X8+ 2k?k +?= 成立.那么當(dāng)n=k+ 1 時(shí)，1 1 1 1 1-亠- 亠- 亠亠 亠2X44X66X8

13、2k?k+k+k+_k _1_ _k k+2+1_k+ 12:_k+1 +_k+k+ 2 : _k+k+ 2 _k+k+2k+ 1_k+ 1=_k+2= _k+，當(dāng)n=k+ 1 時(shí)，等式成立.由(1)和(2)，可得對(duì)一切nN+等式都成立.隨堂練習(xí)鞏固1.Bn=k時(shí)，左邊=(k+ 1)(k+ 2) (k+k)，而n=k+ 1 時(shí)，左邊=(k+1) + 1(k+ 1) + 2(k+1) + (k- 1)(k+1) +k(k+ 1) +(k+ 1) =(k+ 2)(k+ 3) (k+k)(2k+ 1)(2k+ 2)=2(k+ 1)(k+ 2)(k+k)(2k+1).2.A 第k+1 條直線與原來k條直線相交，最多有k個(gè)交點(diǎn).3.C 不等式左端共有n+ 1 項(xiàng)，且分母是首項(xiàng)為n,公差為 1,末項(xiàng)為 2n的等差數(shù)列，111 1 111當(dāng)n=k時(shí)，