構(gòu)造角平分線借助其性質(zhì)解題

1、構(gòu)造角平分線借助其性質(zhì)解題在解決三角形的問題中，如果已知條件中涉及到角的平分線，我們則可以考慮利用角的平分線的性質(zhì)解題.現(xiàn)舉例如下. 一、證明線段相等例1 如圖1，在ABC中，BAC的角平分線AD平分底邊BC.求證AB=AC.分析：根據(jù)已知可知AD是BAC的平分線，可通過點D作BAC的垂線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，結(jié)合三角形的面積進行證明.證明：過點D作DEAB，DFAC，垂足分別為E、F.因為DA為BAC的平分線，所以DE=DF.又因為AD平分BC，所以BD=CD，所以SABD=SACD，又SABD=AB·DE，SACD=AC·DF，所以AB·DE=AC·

2、DF，所以AB=AC. 圖1 圖2二、證明兩角的和等于180°.例2 已知，如圖2，AC平分BAD，CD=CB，AB>AD.求證:B+D=180°.分析:因為AC是BAD的平分線,所以可過點C作BAD的兩邊的垂線,構(gòu)造直角三角形,通過證明三角形全等解決問題. 證明:作CEAB于E,CFAD于F.因為AC平分BAD,所以CE=CF.在CBE和CDF中,因為CE=CF,CB=CD,所以RtCBERtCDF,所以B=1,因為1+ADC=180°,所以B+ADC=180°,即B+D=180°.三、證明角相等例3如圖3，在ABC中，PB、PC分別是

3、ABC的外角的平分線，求證：1=2分析：要證明AP是BAC的平分線，需要證明點P到BAC兩邊的距離相等，可作PEAB，PGAC，PHBC，易證PE=PH，PH=PG，從而PE=PG.證明；過點P作PEAB于點E，PGAC于點G，PHBC于點H.因為P在EBC的平分線上，PEAB，PHBC，所以PE=PH，同理可證PH=PG，所以PG=PE，又PEAB，PGAC，所以PA是BAC的平分線.所以1=2. 圖3 圖4四、證明角的平分線例4 如圖4，DAAB，CBAB，P是AB的中點，PD平分ADC.求證：CP平分DCB.分析：因為DAAB，PD平分ADC，所以可過點P作PEAC，利用角平分線的性質(zhì)得

4、到PE=PA，進而可得到PE=PB.證明：過點P作PEDC，垂足于E，因為PD平分ADC，PAAD，所以PA=PE，因為P為AB的中點，所以PA=PB，所以PE=PB，因為CBBP，CEPE，所以CP平分DCB五、求角的度數(shù)例5 如圖5，在ABC中，ABC=100°，ACB=20°，CE平分ACB，D是AC上一點，若CBD=20°，求ADE的度數(shù).分析：由于CE平分ACB，可過點E作ACB的兩邊的垂線，通過證明DE是ADB的平分線解決問題.解：作ENCA，EMBD，EPCB，垂足分別是N、M、P.因為ABD=ABC-CBD=100°-20°=8

5、0°，PBA=180°-100°=80°，所以PBA=ABD，因為EMBD于M，EPCB于P，所以EP=EM，又CE平分ACB，ENCA，EPCB，所以EN=EP，所以EN=EM，所以ED平分ADB，所以ADE=ADB=×40°=20°. 圖5“截長補短法”在角的平分線問題中的運用人教八年級上冊課本中，在全等三角形部分介紹了角的平分線的性質(zhì)，這一性質(zhì)在許多問題里都有著廣泛的應(yīng)用.而“截長補短法”又是解決這一類問題的一種特殊方法，在無法進行直接證明的情形下，利用此種方法常可使思路豁然開朗.請看幾例.例1. 已知，如圖1-1，在

6、四邊形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC.求證：BAD+BCD=180°.分析：因為平角等于180°，因而應(yīng)考慮把兩個不在一起的通過全等轉(zhuǎn)化成為平角，圖中缺少全等的三角形，因而解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形，可通過“截長補短法”來實現(xiàn).證明：過點D作DE垂直BA的延長線于點E，作DFBC于點F，如圖1-2圖1-1BD平分ABC，DE=DF，在RtADE與RtCDF中，圖1-2RtADERtCDF(HL),DAE=DCF.又BAD+DAE=180°，BAD+DCF=180°，即BAD+BCD=180°例2. 如圖2-1，ADBC，點E

7、在線段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB.求證：CD=AD+BC.分析：結(jié)論是CD=AD+BC，可考慮用“截長補短法”中的“截長”，即在CD上截取CF=CB，只要再證DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題，從而達到簡化問題的目的.圖2-1證明：在CD上截取CF=BC，如圖2-2在FCE與BCE中，F(xiàn)CEBCE（SAS）,2=1.圖2-2又ADBC，ADC+BCD=180°，DCE+CDE=90°，2+3=90°，1+4=90°，3=4.在FDE與ADE中，F(xiàn)DEADE（ASA），DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC.例3. 已知，如

8、圖3-1，1=2，P為BN上一點，且PDBC于點D，AB+BC=2BD.求證：BAP+BCP=180°.分析：與例1相類似，證兩個角的和是180°，可把它們移到一起，讓它們是鄰補角，即證明BCP=EAP，因而此題適用“補短”進行全等三角形的構(gòu)造.證明：過點P作PE垂直BA的延長線于點E，如圖3-2圖3-11=2，且PDBC，PE=PD，在RtBPE與RtBPD中，RtBPERtBPD(HL),圖3-2BE=BD.AB+BC=2BD，AB+BD+DC=BD+BE，AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.在RtAPE與RtCPD中,RtAPERtCPD(SAS),PAE=PC

9、D又BAP+PAE=180°.BAP+BCP=180°例4. 已知：如圖4-1，在ABC中，C2B，12.圖4-1求證：AB=AC+CD.分析：從結(jié)論分析，“截長”或“補短”都可實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，即延長AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.證明：方法一（補短法）延長AC到E，使DC=CE，則CDECED，如圖4-2ACB2E，圖4-2ACB2B，BE，在ABD與AED中,ABDAED（AAS）,AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC，AB=AC+DC.方法二（截長法）在AB上截取AF=AC，如圖4-3在AFD與ACD中,圖4-3AFDACD（SAS）,DF=DC

10、，AFDACD.又ACB2B，F(xiàn)DBB，F(xiàn)D=FB.AB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD.由角平分線引出的線段關(guān)系一.過三角形一邊的兩個頂點分別作兩個內(nèi)角的平分線相交于一點，過這點作這邊的平行線與其他兩邊相截，則截線長等于每個截點到同一邊上每個頂點之間的線段長的和。已知：如圖1，、的平分線相交于點F，過F作DE/BC，交AB于D，交AC于E，求證：圖1證明：BF平分，BE/BC同理可證即二. 過三角形兩個外角（或一個內(nèi)角與一個外角）的平分線的交點作平行截線，三條截線段的關(guān)系又怎么樣？請看以下例證。例1. 已知：如圖2，D是的外角，的平分線AD、CD的交點，過D作EF/AC，交BA的延

11、長線于E，交BC的延長線于F。圖2試指出AE、FC、EF的關(guān)系。分析：AD平分，EF/AC同理可證。而例2. 已知，如圖3，D是的內(nèi)角與外角的平分線BD與CD的交點，過D作DE/BC，交AB于E，交AC于F。試確定EF、EB、FC的關(guān)系。圖3分析：BD平分，DE/BC易證又，CD平分而因此，這道習(xí)題的命題可推廣為：過三角形一邊的兩個頂點分別作兩個內(nèi)角或兩個外角（一個內(nèi)角與一個外角）的平分線相交于一點，過這點作這邊的平行線與其他兩邊或兩邊的延長線相截，則截線段的長等于每個截點到同一邊上每個頂點之間的線段長的和（或差）。三角形角平分線的應(yīng)用例析三角形的角平分線是三角形的主要線段之一，它在幾何的計算

12、或證明中，起著“橋梁”的作用那么如何利用三角形的角平分線解題呢？下面舉例說明A一、“以角平分線為軸翻折”構(gòu)造全等三角形A此情形可構(gòu)造兩種基本圖形如圖1、2所示：CB如圖1，以AD為軸翻折，ED使點C落在AB上（即在ABEDCB上截取AE = AC），得ACD（圖2）（圖1）AED如圖2，以AD為軸翻折，使點B落在AC的延長線上（即延長AC到E，使 AE = AB），得ABDAED例 1 如圖3，在ABC中，AD平分BAC，AB + BD = AC，求B C的值（河南省中考題）解法1：在AC上截取AE = AB ，連結(jié)AEBAD = DAE，AD = AD， AABDAED， ECB = AED

13、，BD = DEB又AB + BD = AC， （圖3）DCE = BD = DE，C = EDC，B = AED = 2C，B C = 21解法2：延長AB到E，使AE = AC ，連結(jié)DE請讀者一試二、“角平分線 + 垂線”構(gòu)造全等三角形或等腰三角形1、根據(jù)角平分線的性質(zhì)作垂線：自角的平分線上任一點向兩邊作垂線，得兩個全等的直角三角形；2、根據(jù)等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)作垂線：自角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與另一邊相交，則截的一個等腰三角形例 2 如圖4，在四邊形ABCD中，EABC > BA，AD = DC，BD平分ABCD求證：A + C = 180°證明：

14、過點D作DEAB，交BA延FCB長線于點E，作DFBC，交BC于點F （圖4）BD平分ABC，DE = DF 又AD = DC，RtEADRtFCD，C = EADEAD + BAD = 180°，C + BAD = 180°F例 3 如圖5，已知等腰RtABC中，A = 90°，B的平分線交AC于D，過C作BD的垂線交BD的延長線于E求證：BD = 2CE .A證明：延長CE交BA的延長線于點F EBE是B的平分線，BECF，DBCF = F， CBFBC是等腰三角形（圖5）CE = FE CF = 2CE AB = AC，ABD = ACF，BAD = CAF

15、 = 90°，RtBADRtCAFBD = CF = 2CE三、“角平分線 + 平行線”構(gòu)造等腰三角形A1、自角的平分線上任一點作角的一邊的平行線交另一邊，得等腰三角形；2、自角的一邊上任一點作角平分線的平EFD行線交另一邊的反向延長線，得等腰三角形CB例 4 如圖6，在ABC中，B和（圖6）C的平分線相交于點F，過F作DEBC，交AB于D，交AC于E若BD + EC =9，則線段DE的長為（ ）A.9；B.8；C.7；D.6. （河北省中考題）解：DEBC， DFB = FBC FBC = FBD， DFB = FBD，DF = BD同理可證，F(xiàn)E = EC DF + FE = D

16、E，BD + EC = DE，即DE = 9. 故應(yīng)選A.例 5 如圖7，ABC中，AD是BAC的平分線，E是BC中點，EFAD，交AB于M，交CA的延長線于F，求證：BM = CFNF證明：作CNEF交BA的延長線于NE是BC中點， MABM = MN BAD =CAD，EFAD， BF = FMA， EDCAM = AF又CNEF，（圖7） N = ACN，AN = ACAC + AF = AN + AM = BM，BM = CF總之，三角形的角平分線問題的輔助線的添加，一般不外乎以上三種情形，只要根據(jù)題目所給的條件，靈活選用上述三種構(gòu)圖方法，問題可獲得解答與角有關(guān)的輔助線一、截取構(gòu)全等幾

17、何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與猜想是在一定的規(guī)律基本之上的，希望同學(xué)們能掌握相關(guān)的幾何規(guī)律，在解決幾何問題中大膽地去猜想，按一定的規(guī)律去嘗試。下面就幾何中常見的定理所涉及到的輔助線作以介紹。如圖1-1，AOC=BOC，如取OE=OF，并連接DE、DF，則有OEDOFD，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。例1 如圖1-2，AB/CD，BE平分BCD，CE平分BCD，點E在AD上，求證：BC=AB+CD。分析：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平分線來構(gòu)造全等三角形，即利用解平分線來構(gòu)造軸對稱圖形，同時此題也是證明線段的和差倍分問題，在證明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長法或截取法

18、來證明，延長短的線段或在長的線段長截取一部分使之等于短的線段。但無論延長還是截取都要證明線段的相等，延長要證明延長后的線段與某條線段相等，截取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等，進而達到所證明的目的。簡證：在此題中可在長線段BC上截取BF=AB，再證明CF=CD，從而達到證明的目的。這里面用到了角平分線來構(gòu)造全等三角形。另外一個全等自已證明。此題的證明也可以延長BE與CD的延長線交于一點來證明。自已試一試。例2 已知：如圖1-3，AB=2AC，BAD=CAD，DA=DB，求證DCAC分析：此題還是利用角平分線來構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問題自已證明。例3 已知：如圖1-

19、4，在ABC中，C=2B,AD平分BAC，求證：AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長的線段上截取短的線段，來證明。試試看可否把短的延長來證明呢？練習(xí)1 已知在ABC中，AD平分BAC，B=2C，求證：AB+BD=AC2 已知：在ABC中，CAB=2B，AE平分CAB交BC于E，AB=2AC，求證：AE=2CE3 已知：在ABC中，AB>AC,AD為BAC的平分線，M為AD上任一點。求證：BM-CM>AB-AC4 已知：D是ABC的BAC的外角的平分線AD上的任一點，連接DB、D

20、C。求證：BD+CD>AB+AC。二、角分線上點向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。例1 如圖2-1，已知AB>AD, BAC=FAC,CD=BC。求證：ADC+B=180 分析：可由C向BAD的兩邊作垂線。近而證ADC與B之和為平角。例2 如圖2-2，在ABC中，A=90 ，AB=AC，ABD=CBD。求證：BC=AB+AD 分析：過D作DEBC于E，則AD=DE=CE，則構(gòu)造出全等三角形，從而得證。此題 是證明線段的和差倍分問題，從中利用了相當(dāng)于截取的方 法。例3 已知如圖2-3，ABC的角平

21、分線BM、CN相交于點P。求證：BAC的平分線也經(jīng)過點P。分析：連接AP，證AP平分BAC即可，也就是證P到AB、AC的距離相等。練習(xí)：1如圖2-4AOP=BOP=15 ，PC/OA，PDOA， 如果PC=4，則PD=（ ） A 4 B 3 C 2 D 12已知在ABC中，C=90 ，AD平分CAB， 3已知：如圖2-5, BAC=CAD,AB>AD，CEAB，AE=（AB+AD）.求證：D+B=180 。 4.已知：如圖2-6,在正方形ABCD中，E為CD 的中點，F(xiàn)為BC 上的點，F(xiàn)AE=DAE。求證：AF=AD+CF。5 已知：如圖2-7，在RtABC

22、中，ACB=90 ,CDAB，垂足為D，AE平分CAB交CD于F，過F作FH/AB交BC于H。求證CF=BH。三：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形（構(gòu)造全等三角形）從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形，垂足為底邊上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交）。例1 已知：如圖3-1，BAD=DAC，AB>AC,CDAD于D，H是BC中點。求證：DH=（AB-AC）分析：延長CD交AB于點E，則可得全等三角形。問題可證。例2 已知：

23、如圖3-2，AB=AC，BAC=90 ，AD為ABC的平分線，CEBE.求證：BD=2CE。分析：給出了角平分線給出了邊上的一點作角平分線的垂線，可延長此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。例3已知：如圖3-3在ABC中，AD、AE分別BAC的內(nèi)、外角平分線，過頂點B作BFAD，交AD的延長線于F，連結(jié)FC并延長交AE于M。求證：AM=ME。分析：由AD、AE是BAC內(nèi)外角平分線，可得EAAF，從而有BF/AE，所以想到利用比例線段證相等。例4 已知：如圖3-4，在ABC中，AD平分BAC，AD=AB，CMAD交AD延長線于M。求證：AM=（AB+AC）分析：題設(shè)中給出了角平分

24、線AD，自然想到以AD為軸作對稱變換，作ABD關(guān)于AD的對稱AED，然后只需證DM=EC，另外由求證的結(jié)果AM=（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可嘗試作ACM關(guān)于CM的對稱FCM，然后只需證DF=CF即可。練習(xí)：1 已知：在ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中點，AE是BAC的平分線，且CEAE于E，連接DE，求DE。2 已知BE、BF分別是ABC的ABC的內(nèi)角與外角的平分線，AFBF于F，AEBE于E，連接EF分別交AB、AC于M、N，求證MN=BC四、以角分線上一點做角的另一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形有角平分線時，常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形?；蛲?/p>

25、過一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。線段垂直平分線中一道習(xí)題的變式 例1：如圖1，在ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，BCE的周長等于50，求BC的長.解析：由線段垂直平分線定理得出AE=BE，由此BCE的周長等于AC+BC，進而可以求得BC的長為23.點評：此題是ABC中一邊AB的垂直平分線AC相交;那么當(dāng)AB的垂直平分線與BC相交時，(如圖2),對應(yīng)的是ACE的周長，它的周長也等于AC+BC.圖形變化，但結(jié)論不變.圖1圖2變式1：如圖1，在ABC中， AB的垂直平分線交AB于點D，交A

26、C于點E，若BEC=70°，則A=？解析：由線段垂直平分線定理得出AE=BE，可得ABE是等腰三角形，由 “三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和”可得出BEC=2A，進而得出A=35°.點評：此題變式求角的計算方法，應(yīng)用了兩個定理.按照同樣的方法,圖2中也能得出相應(yīng)的結(jié)論：AEC=2B.變式2：如圖3，在RtABC中，AB的垂直平分線交BC邊于點E。若BE=2，B =15°求：AC的長。圖3解析：由線段垂直平分線定理得出AE=BE，應(yīng)用變式1的結(jié)論，可求得AEC =30°，再應(yīng)用“直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”性質(zhì)，可出

27、求AC=1.點評：此題為圖形變式，由一般三角形變?yōu)橹苯侨切危厦嫖覀兛偨Y(jié)的結(jié)論不變，然后再應(yīng)用直角三角形的有關(guān)性質(zhì)。變式練習(xí)1如圖4，在RtABC中，AB的垂直平分線交BC邊于點E.若BE=2，B =22.5°求：AC的長.圖4提示與答案：AEC是等腰直角三角形,AE=2,再應(yīng)用勾股定理得AC= 例2: 如圖5，在ABC中，AB=AC, BC=12,BAC =120°,AB的垂直平分線交BC邊于點E, AC的垂直平分線交BC邊于點N.(1) 求AEN的周長.圖5(2) 求EAN的度數(shù).(3) 判斷AEN的形狀.解析：此題圖形為一個頂角是鈍角的等腰三角形，兩腰的垂直平分線都與底邊相交，（1）應(yīng)用線段垂直平分線定理得出AE=BE，AN=NC，因此AEN的周長等于BC的長.（2）應(yīng)用變式1的結(jié)論AEN=2B=60°，ENA=2C=60°所以EAN=60°.（3）由（2）知AEN是等邊三角形.變式練習(xí)2:如圖6，在ABC中，AB=AC, BC=12,BAC =130°,AB的垂直平分線交BC邊于