一元二次不等式的解法專題

1、一元二次不等式及其解法目標認知學習目標：1會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型；2掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解決一些實際問題。3培養(yǎng)數(shù)形結合的能力，培養(yǎng)分類討論的思想方法，培養(yǎng)抽象概括能力和邏輯思維能力。重點：從實際情境中抽象出一元二次不等式模型；熟練掌握一元二次不等式的解法.難點：理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式解集的關系，設計求解一元二次不等式的程序框圖。知識要點梳理知識點一：一元二次不等式的定義只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式。比如：.任意的一元二次不等式，總可以化為一般形式：或.知識點二：一般的一元二次不等式的解法一元二次不

2、等式或的解集可以聯(lián)系二次函數(shù)的圖象，圖象在軸上方部分對應的橫坐標值的集合為不等式的解集，圖象在軸下方部分對應的橫坐標值的集合為不等式的解集.設一元二次方程的兩根為且，則相應的不等式的解集的各種情況如下表：二次函數(shù)（）的圖象有兩相異實根有兩相等實根無實根注意：（1）一元二次方程的兩根是相應的不等式的解集的端點的取值，是拋物線與軸的交點的橫坐標；（2）表中不等式的二次系數(shù)均為正，如果不等式的二次項系數(shù)為負，應先利用不等式的性質轉化為二次項系數(shù)為正的形式，然后討論解決；（3）解集分三種情況，得到一元二次不等式與的解集。知識點三：解一元二次不等式的步驟（1）先看二次項系數(shù)是否為正，若為負，則將二次項系

3、數(shù)化為正數(shù)； （2）寫出相應的方程，計算判別式： 時，求出兩根，且（注意靈活運用因式分解和配方法）； 時，求根； 時，方程無解 （3）根據(jù)不等式，寫出解集.知識點四：用程序框圖表示求解一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的過程規(guī)律方法指導1解一元二次不等式首先要看二次項系數(shù)a是否為正；若為負，則將其變?yōu)檎龜?shù)；2若相應方程有實數(shù)根，求根時注意靈活運用因式分解和配方法；3寫不等式的解集時首先應判斷兩根的大小，若不能判斷兩根的大小應分類討論；4根據(jù)不等式的解集的端點恰為相應的方程的根，我們可以利用韋達定理，找到不等 式的解集與其系數(shù)之間的關系；5若所給不等式最高項系數(shù)含有字母，還需要討論最高項的

4、系數(shù)經(jīng)典例題透析類型一：解一元二次不等式1解下列一元二次不等式（1）； （2）； （3）思路點撥：轉化為相應的函數(shù)，數(shù)形結合解決，或利用符號法則解答.解析：（1）方法一： 因為 所以方程的兩個實數(shù)根為：， 函數(shù)的簡圖為： 因而不等式的解集是. 方法二： 或 解得 或 ，即或. 因而不等式的解集是.（2）方法一： 因為， 方程的解為. 函數(shù)的簡圖為： 所以，原不等式的解集是 方法二： （當時，） 所以原不等式的解集是（3）方法一： 原不等式整理得. 因為，方程無實數(shù)解， 函數(shù)的簡圖為： 所以不等式的解集是. 所以原不等式的解集是. 方法二： 原不等式的解集是.總結升華：1. 初學二次不等式的解法

5、應盡量結合二次函數(shù)圖象來解決，培養(yǎng)并提高數(shù)形結合的分析能力；2. 當時，用配方法，結合符號法則解答比較簡潔（如第2、3小題）；當且是一個完全平方數(shù)時，利用因式分解和符號法則比較快捷，（如第1小題）.3. 當二次項的系數(shù)小于0時，一般都轉化為大于0后，再解答.舉一反三：【變式1】解下列不等式(1) ；(2) (3) ； (4) .【答案】（1）方法一： 因為 方程的兩個實數(shù)根為：， 函數(shù)的簡圖為： 因而不等式的解集是：. 方法二： 原不等式等價于, 原不等式的解集是：.（2）整理，原式可化為, 因為, 方程的解， 函數(shù)的簡圖為： 所以不等式的解集是.（3）方法一： 因為 方程有兩個相等的實根：，

6、 由函數(shù)的圖象為： 原不等式的的解集是. 方法二： 原不等式等價于：, 原不等式的的解集是.（4）方法一： 因為，方程無實數(shù)解， 由函數(shù)的簡圖為： 原不等式的解集是. 方法二： ， 原不等式解集為.【變式2】解不等式：【答案】原不等式可化為不等式組，即，即，解得原不等式的解集為.類型二：已知一元二次不等式的解集求待定系數(shù)2不等式的解集為，求關于的不等式的解集。思路點撥：由二次不等式的解集為可知：4、5是方程的二根，故由韋達定理可求出、的值，從而解得. 解析：由題意可知方程的兩根為和由韋達定理有，化為，即，解得，故不等式的解集為.總結升華：二次方程的根是二次函數(shù)的零點，也是相應的不等式的解集的端

7、點.根據(jù)不等式的解集的端點恰為相應的方程的根，我們可以利用韋達定理，找到不等式的解集與其系數(shù)之間的關系，這一點是解此類題的關鍵。舉一反三：【變式1】不等式ax2+bx+120的解集為x|-3x2，則a=_, b=_?！敬鸢浮坑刹坏仁降慕饧癁閤|-3x2知a0，且方程ax2+bx+12=0的兩根為-3，2。由根與系數(shù)關系得解得a=-2, b=-2?！咀兪?】已知的解為,試求、,并解不等式.【答案】由韋達定理有：，,.代入不等式得，即，解得，故不等式的解集為：.【變式3】已知關于的不等式的解集為，求關于的不等式的解集.【答案】由韋達定理有：，解得, 代入不等式得，即，解得或.的解集為：.類型三：二

8、次項系數(shù)含有字母的不等式恒成立恒不成立問題3已知關于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+30對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。思路點撥：不等式對一切實數(shù)恒成立，即不等式的解集為R，要解決這個問題還需要討論二次項的系數(shù)。解析：(1)當m2+4m-5=0時，m=1或m=-5 若m=1，則不等式化為30, 對一切實數(shù)x成立，符合題意。 若m=-5，則不等式為24x+30，不滿足對一切實數(shù)x均成立，所以m=-5舍去。(2)當m2+4m-50即 m1且m-5時， 由此一元二次不等式的解集為R知，拋物線y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3開口向上，且與x軸無交點， 所以， 即

9、， 1m19。 綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是m|1m19?？偨Y升華：情況(1)是容易忽略的，所以當我們遇到二次項系數(shù)含有字母時，一般需討論。舉一反三：【變式1】 若關于的不等式的解集為空集，求的取值范圍.【答案】關于的不等式的解集為空集 即的解集為R 當時，原不等式為：，即，不符合題意，舍去. 當時，原不等式為一元二次不等式，只需且， 即，解得， 綜上，的取值范圍為：.【變式2】若關于的不等式的解為一切實數(shù)，求的取值范圍.【答案】當時，原不等式為：，即，不符合題意，舍去. 當時，原不等式為一元二次不等式，只需且， 即，解得， 綜上，的取值范圍為：.【變式3】若關于的不等式的解集為非空集，求的取

10、值范圍.【答案】當時，原不等式為：，即，符合題意. 當時，原不等式為一元二次不等式，顯然也符合題意 當時，只需， 即，解得， 綜上，的取值范圍為：.類型四：含字母系數(shù)的一元二次不等式的解法4解下列關于x的不等式（1）x2-2ax-a2+1； （2）x2-ax+10； （3）x2-(a+1)x+a0； 解析：(1) 原不等式的解集為。(2) =a2-4當0，即a2或a-2時，原不等式的解集為當=0，即a=2或-2時，原不等式的解集為。當0，即-2a2時，原不等式的解集為R。(3) (x-1)(x-a)0當a1時，原不等式的解集為x|1xa當a1時，原不等式的解集為x|ax1當a=1時，原不等式的

11、解集為?？偨Y升華：對含字母的二元一次不等式，一般有這樣幾步：定號：對二次項系數(shù)大于零和小于零分類，確定了二次曲線的開口方向；求根：求相應方程的根。當無法判斷判別式與0的關系時，要引入討論，分類求解；定解：根據(jù)根的情況寫出不等式的解集；當無法判斷兩根的大小時，引入討論。舉一反三：【變式1】解關于x的不等式：【答案】原不等式化為a=1或a=-1時，解集為；當0a1 或a-1時，解集為：；當a1或 -1a0時，解集為：?！咀兪?】解關于的不等式：（）【答案】當a0或a1時，解集為；當a=0時，解集為；當0a1時，解集為；當a=1時，解集為；5解關于x的不等式：ax2(a+1)x+10。解析：若a=0

12、，原不等式x+10x1；若a0，原不等式或x1；若a0，原不等式，其解的情況應由與1的大小關系決定，故（1）當a=1時，原不等式；（2）當a1時，原不等式；（3）當0a1時，原不等式綜上所述：當a0，解集為；當a=0時，解集為x|x1；當0a1時，解集為；當a=1時，解集為；當a1時，解集為。總結升華：熟練掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基礎，對最高項含有字母系數(shù)的不等式，要注意按字母的取值情況進行分類討論，分類時要“不重不漏”。舉一反三：【變式1】解關于x的不等式：(ax-1)(x-2)0； 【答案】當a=0時，x(-,2. 當a0時，方程(ax-1)(x-2)=0兩根為當a0時，若，

13、即時，；若， 即時，xR； 若， 即時，.當a0時，則有：， ?！咀兪?】解關于x的不等式：ax22x-10；【答案】當a=0時，.當a0時，=4+4a=4(a+1)， a0時，則0，.a0時，若a0，0， 即a-1時，xR；若a0，=0， 即a=-1時，xR且x1；若a0，0， 即 -1a0時， ?！咀兪?】解關于x的不等式：ax2-x+10【答案】若a=0，原不等式化為-x+10，解集為x|x1；若a0，原不等式為關于x的一元二次不等式.方程的判別式=1-4a()當=1-4a0，即時，方程沒有實數(shù)根，故函數(shù)的圖象開口向上，與x軸沒有交點，其簡圖如下：所以，此時不等式的解集為實數(shù)集R；()當

14、=1-4a=0，即時，方程有兩個相等實數(shù)根x=2，故函數(shù)的圖象開口向上，與x軸有唯一交點(2，0)，其簡圖如下：所以，此時不等式的解集為；()當=1-4a0，即時，方程有兩個不等實數(shù)根，當時，函數(shù)的圖象開口向上，與x軸有兩個不同的交點，且，其簡圖如下：所以，此時不等式的解集為；當a0時，函數(shù)的圖象開口向下，與x軸有兩個不同的交點，且，其簡圖如下：所以，此時不等式的解集為；綜上所述：a0時，原不等式解集為；a=0時，原不等式解集為；時，原不等式解集為；時，原不等式解集為；時，原不等式解集為實數(shù)集R學習成果測評基礎達標：1不等式x2ax12a20（其中a0）的解集為（ ）A（3a，4a） B（4a

15、，3a） C（3，4） D（2a，6a）2使有意義的x的取值范圍是（ ）A B C D3不等式ax2+5x+c0的解集為，則a，c的值為（ ）Aa=6，c=1 Ba=6，c=1 Ca=1，c=1 Da=1，c=64解不等式得到解集，那么的值等于( )A10 B-10 C14 D-145不等式x2axb0的解集是x|2x3，則bx2ax10的解集是（ ）A B C D6拋物線y=x2+5x5上的點位于直線y=1的上方，則自變量x的取值范圍是_。7如果關于x的方程x2(m1)x+2m=0的兩根為正實數(shù)，則m的取值范圍是_。8解下列不等式(1) 14-4x2x；(2) x2+x+1>0；(3)

16、 2x2+3x+4<0； (4) ；(5) ；(6) ； (7) 9已知不等式ax23x+64的解集為x|x1或xb。（1）求a，b；（2）解不等式ax2(ac+b)x+bc0。10. 不等式mx2+1mx 的解集為實數(shù)集R，求實數(shù)m的取值范圍能力提升：11不等式的解集是全體實數(shù)，則a的取值范圍是( )A B C D12對于滿足0p4的實數(shù)p，使恒成立的x的取值范圍是_.13已知的解集為，則不等式的解集是_.14若函數(shù)的定義域為R，則a的取值范圍為_.15若使不等式和同時成立的x的值使關于x的不等式也成立，則a的取值范圍是_.16若不等式ax2+bx+c0 的解集為x|2x3，則不等式a

17、x2-bx+c0 的解集是_；不等式cx2+bx+a0的解集是_17已知，(1)如果對一切xR，f(x)0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)如果對x-3，1，f(x)0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.18解下列關于x的不等式 ； 綜合探究：19解關于x的不等式：.20. 設集合A=x|x2-2x-80, B=x|x2+2x-30, C=x|x2-3ax+2a20，若C(AB)，求實數(shù)a的取值范圍參考答案：基礎達標：1B； 2B； 3B； 4D； 5C6； 78答案：（1）原不等式的解集為；（2）原不等式的解集為R；（3）原不等式的解集為；（4）原不等式的解集是；（5）原不等式的解集是；（6）原不等

18、式的解集是；（7）原不等式的解集是.9答案：（1）a1，b=2；（2）當c2時，解集為x|2xc；當c2時，解集為空集；當c2時，解集為x|cx2；10解析：當m0時，不等式即為10，滿足條件當m0時，若不等式的解集為R，則應有， 解得0m4綜上，m的取值范圍是m|0m4.能力提升：11C12； 13； 14-1，0 15； 16x|x-3，或x-2；x|17解析：(1)由題意得：=，即0a4；(2)由x-3，1，f(x)0得，有如下兩種情況： 或 綜上所述：.18. 解析：當a=0時，原不等式即為-(x+1)0，解得x-1；當a0時，原不等式為關于x的一元二次不等式，方程(ax-1)(x+1)=0有兩個實數(shù)根和.()當，即，時，函數(shù)的圖象開口向下，與x軸有兩個交點，其簡圖如下：故不等式的解集為；()當，即時，函數(shù)的圖象開口向下，與x軸有一個交點，其簡圖如下：故不等式的解集為空集；()當，即，或，若，函數(shù)的圖象開口向下，與x軸有兩個交點，其簡圖如下：故不等式的解集為；若a0，數(shù)的圖象開口向上，與x軸有兩個交點，其簡圖如下：故不等的解集為；綜上所述，當a-1時，不等式的解集為；當a=-1時，不等式的解集為空集；當-1a0時，不等式的解集為；當a=0時，不等式的解集為；當a0時，不等式