王式安14考研概率講義

1、概率統(tǒng)計(jì)主要參考書1、2014年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試，數(shù)學(xué)考試大綱。2、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) （浙江大學(xué)或經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)編寫組）3、2014年考研數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)全書 （理工類）對(duì)外經(jīng)貿(mào)大學(xué)出版社4、2014年考研數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)全書 （經(jīng)濟(jì)類）對(duì)外經(jīng)貿(mào)大學(xué)出版社5、2014年考研數(shù)學(xué)理念真題解析（數(shù)一，二，三，四） 對(duì)外經(jīng)貿(mào)大學(xué)出版社6、考研數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)必備手冊(cè) 對(duì)外經(jīng)貿(mào)大學(xué)出版社7、2014年碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)（一）/（二）/（三）/（四）8卷模擬試卷 對(duì)外經(jīng)貿(mào)大學(xué)出版社第一講隨機(jī)事件和概率考試要求：數(shù)學(xué)一、三、四要求一致。了解： 樣本空間的概念理解： 隨機(jī)事件，概率，條件概率，事件獨(dú)立性，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)掌握

2、： 事件的關(guān)系與運(yùn)算，概率的基本性質(zhì)，五大公式（加法、減法、乘法、全概率、貝葉斯），獨(dú)立性計(jì)算，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)就算會(huì)計(jì)算：古典概率和幾何型概率。§1 隨機(jī)事件與樣本空間一、 隨機(jī)試驗(yàn)：（1）可重復(fù) （2）知道所有可能結(jié)果 （3）無法預(yù)知二、樣本空間試驗(yàn)的每一可能結(jié)果樣本點(diǎn)所有樣本點(diǎn)全體樣本空間三、 隨機(jī)事件樣本空間的子集隨機(jī)事件 樣本點(diǎn)基本事件， 隨機(jī)事件由基本事件組成。如果一次試驗(yàn)結(jié)果，某一基本事件出現(xiàn)發(fā)生，出現(xiàn)如果組成事件的基本事件出現(xiàn)發(fā)生，出現(xiàn) 必然事件 不可能事件§2 事件間的關(guān)系與運(yùn)算一事件間關(guān)系包含，相等，互斥，對(duì)立，完全事件組，獨(dú)立二事件間的運(yùn)算： 并，交，差運(yùn)

3、算規(guī)律：交換律，結(jié)合律，分配律，對(duì)偶律概率定義，集合定義，記號(hào)，稱法，圖 三事件的文字?jǐn)⑹雠c符號(hào)表示例2 從一批產(chǎn)品中每次一件抽取三次，用表示事件：“第二次抽取到的是正品”試用文字?jǐn)⑹鱿铝惺录海?）； （2）；（3）； （4）；再用表示下列事件：(5)都取到正品； (6)至少有一件次品；(7)只有一件次品； (8)取到次品不多于一件。§3 概率、條件概率、事件獨(dú)立性、五大公式一公理化定義 (1)(2)(3) 二性質(zhì)(1)（2） (3)(4)(5)三條件概率與事件獨(dú)立性(1)事件發(fā)生條件下事件發(fā)生的條件概率；(2)事件獨(dú)立，獨(dú)立獨(dú)立獨(dú)立獨(dú)立；時(shí),獨(dú)立；(3)稱相互獨(dú)立,(個(gè)等式)相互

4、獨(dú)立兩兩獨(dú)立。四五大公式(1)加法公式： (2)減法公式：(3)乘法公式：時(shí)，(4)全概率公式：是完全事件組，且，(5)貝葉斯公式：是完全事件組， §4 古典型概率和伯努利概率一古典型概率二幾何型概率三獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)獨(dú)立各試驗(yàn)間事件獨(dú)立，重復(fù)同一事件在各試驗(yàn)中概率不變四伯努利試驗(yàn)試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果伯努利試驗(yàn)重伯努利試驗(yàn)二項(xiàng)概率公式 §5 典型例題分析例1.設(shè)為兩事件，且滿足條件，則_ .例2.為任意兩事件，則事件等于事件 例3隨機(jī)事件，滿足和 則有 例4設(shè)且 則必有 例5(06)設(shè)、為隨機(jī)事件，且，則必有 例6試證對(duì)任意兩個(gè)事件與，如果，則有）例7有兩個(gè)盒子，第一盒中裝有2個(gè)紅

5、球，1個(gè)白球；第二盒中裝一半紅球，一半白球，現(xiàn)從兩盒中各任取一球放在一起，再從中取一球，問：（1） 這個(gè)球是紅球的概率；（2） 若發(fā)現(xiàn)這個(gè)球是紅球，問第一盒中取出的球是紅球的概率。例8假設(shè)有兩箱同種零件：第一箱內(nèi)裝50件，其中10件一等品；第二箱內(nèi)裝30件，其中18件一等品，現(xiàn)從兩箱中隨意挑出一箱，然后從該箱中先后隨機(jī)取出兩個(gè)零（不放回）試求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取的零件是一等品的條件下，第二次取出的零件仍為一等品的條件概率.例9袋中裝有個(gè)白球和個(gè)黑球，分有放回和無放回兩種情況連續(xù)隨機(jī)每次一個(gè)地抽取，求下列事件的概率：（1） 從袋中取出的第個(gè)球是白球（2） 從袋中取出個(gè)

6、球中，恰含個(gè)白球和個(gè)黑球例10隨機(jī)地向半圓（其中，是常數(shù)）內(nèi)擲一點(diǎn)，則原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與軸的夾角小于的概率為_。例11在伯努利試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)成功的概率為，求在第次成功之前恰失敗了次的概率。例12四封信等可能投入三個(gè)郵筒，在已知前兩封信放入不同郵筒的條件下，求恰有三封信放入同一個(gè)郵筒的概率為_。例13已知三事件中相互獨(dú)立，則三事件 相互獨(dú)立 兩兩獨(dú)立，但不一定相互獨(dú)立 不一定兩兩獨(dú)立 一定不兩兩獨(dú)立例1410臺(tái)洗衣機(jī)中有3臺(tái)二等品，現(xiàn)已售出1臺(tái)，在余下的9臺(tái)中任取2臺(tái)發(fā)現(xiàn)均為一等品，則原先售出1臺(tái)為二等品的概率為 例15甲袋中有2個(gè)白球3個(gè)黑球，乙袋中全是白球，今從甲袋中任取2球，從乙袋中任取

7、1球混合后，從中任取1球?yàn)榘浊虻母怕?例1610件產(chǎn)品中含有4件次品，今從中任取兩件，已知其中有一件是次品，求另一件也是次品的概率。例17兩盒火柴各根，隨機(jī)抽用，每次一根，求當(dāng)一盒用完時(shí)，另一盒還有根的概率。例18（05）從數(shù)1，2，3，4中任取一個(gè)數(shù)，記為，再從1，2，中任取一個(gè)數(shù)記為，則_。第二講隨機(jī)變量及其概率分布考試要求：理解：離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量，概率分布，分布函數(shù)，概率密度掌握： 分布函數(shù)性質(zhì)：0-1分布，二項(xiàng)分布，超幾何分布，泊松分布，均勻分布，正態(tài)分布，指數(shù)分布及它們的應(yīng)用會(huì)計(jì)算： 與隨機(jī)變量相聯(lián)系的事件的概率，用泊松分布近似表示二項(xiàng)分布，隨機(jī)變量簡(jiǎn)單函數(shù)的概率分布。數(shù)學(xué)一，

8、了解；數(shù)學(xué)三、四，掌握：泊松定理結(jié)論和應(yīng)用條件§1 隨機(jī)變量及其分布函數(shù)一隨機(jī)變量樣本空間上的實(shí)值函數(shù)，。常用表示二隨機(jī)變量的分布函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)，記函數(shù)，稱為隨機(jī)變量的分布函數(shù)；的值等于隨機(jī)變量在內(nèi)取值的概率。三分布函數(shù)的性質(zhì)（1），記為；，記為。（2）是單調(diào)非減，即時(shí)，（3）是右連續(xù)，即（4）對(duì)任意，有（5）對(duì)任意，性質(zhì)（1）（3）是成為分布函數(shù)的充要條件。例 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，其中是常數(shù)，求常數(shù)及。§2 離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量一離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量和可能取值是有限多個(gè)或可數(shù)無窮多個(gè)。二離散型隨機(jī)變量的概率分布設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值是稱為的概率分布或

9、分布律分布律性質(zhì)：（1）（2）分布律也可表示為三離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)，例1 求四連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度設(shè)的分布函數(shù)，如存在非負(fù)可積函數(shù)，有， 稱為連續(xù)型隨機(jī)變量，為概率密度。概率密度性質(zhì)：（1）；（2）；（3），；（4）的連續(xù)點(diǎn)處有。例 已知和均為概率密度，則必滿足 §3 常用分布一（01）分布 二二項(xiàng)分布. ， 三超幾何分布 ，四泊松分布 ，例 設(shè)某段時(shí)間內(nèi)通過路口車流量服從泊松分布，已知該時(shí)段內(nèi)沒有車通過的概率為，則這段時(shí)間內(nèi)至少有兩輛車通過的概率為_。五均勻分布 例 設(shè)隨機(jī)變量在上服從均勻分布，則方程有實(shí)根的概率是_。六指數(shù)分布 ，七正態(tài)分布 ，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，如果，則（1

10、）（2）（3）（4），例 ，且，則_。§4 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布一離散型隨機(jī)變量的函數(shù)分布設(shè)的分布律，則的分布律，（如果相同值，取相應(yīng)概率之和為取該值概率）二連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)分布1公式法：的密度單調(diào)，導(dǎo)數(shù)不為零可導(dǎo)，是其反函數(shù)，則的密度為 其中是函數(shù)在可能取值的區(qū)間上值域。2定義法： 先求然后。§5 典型例題分析例1設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)求的值。例2設(shè)隨機(jī)變量的分布律為試確定常數(shù)的值。例3汽車沿街行駛需要過三個(gè)信號(hào)燈路口，各信號(hào)燈相互獨(dú)立，且紅綠顯示時(shí)間相等，以表示汽車所遇紅燈個(gè)數(shù)，求的分布及分布函數(shù)。例4（04）設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，對(duì)給定的數(shù)滿足，若，則等于 例5在

11、區(qū)間上任意投擲一點(diǎn)，為這點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)該點(diǎn)落在中任意小區(qū)間的概率與這小區(qū)間長度成正比，求的概率密度。例6，對(duì)進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè)，試求至少有兩次觀測(cè)值大于3的概率。例7（06）設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布 且，則必有 例8的密度，試求常數(shù)。例9設(shè)服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，證明：隨機(jī)變量服從。例10已知的密度為，求的概率密度。例11設(shè)隨機(jī)變量的密度滿足，是的分布函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)有 例12設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，引入函數(shù)，和，則可以確定也是分布函數(shù)為 例13設(shè)且，則_。例14設(shè)，則隨的增大，概率 單調(diào)增大 單調(diào)減小 保持不變 非單調(diào)變化例15證明具有相同密度，則其分布函數(shù)一定滿足。例16，且，求：

12、（1）的概率密度；（2）。第三講多維隨機(jī)變量及其概率分布考試要求理解：隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布，離散型聯(lián)合概率分布，邊緣分布和條件分布，連續(xù)型聯(lián)合概率密度。邊緣密度和條件密度，隨機(jī)變量獨(dú)立性和相關(guān)性。掌握：隨機(jī)變量的聯(lián)合分布的性質(zhì)，離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量§1 二維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布函數(shù)一二維隨機(jī)變量設(shè)是定義在樣本空間上的兩個(gè)隨機(jī)變量，則稱向量為二維隨機(jī)變量或隨機(jī)向量。二二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)定義：，性質(zhì)：（1）； （2），； （3）關(guān)于和關(guān)于單調(diào)不減； （4）關(guān)于和關(guān)于右連續(xù)。例1設(shè)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，則隨機(jī)變量的分布函數(shù)=_.三二維隨機(jī)變量的邊緣分布函數(shù)例2設(shè)二維隨機(jī)變量的

13、分布函數(shù)為試求§2 二維離散型隨機(jī)變量一聯(lián)合概率分布 性質(zhì)：（1）（2）例 設(shè)隨機(jī)變量在1，2，3三個(gè)數(shù)字中等可能取值，隨機(jī)變量在中等可能的取一整數(shù)值，求的概率分布。二邊緣概率分布，三條件概率分布， ，例 設(shè)分布律為，已知，求§3 二維連續(xù)型隨機(jī)變量一概率密度 概率密度性質(zhì)：（1） （2）例 ，則_。二邊緣密度，三條件概率密度1條件分布 2條件概率密度 §4 隨機(jī)變量的獨(dú)立性定義：對(duì)任意離散型連續(xù)型例1設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布及關(guān)于的邊緣概率分布的部分?jǐn)?shù)值，將剩余數(shù)值填入表中空白處例2判斷是否獨(dú)立（1）（2） §5 二維均

14、勻分布和二維正態(tài)分布一二維均勻分布，的面積例 設(shè)二維隨機(jī)變量在平面上由曲線所圍成的區(qū)域上服從均勻分布，則概率_。二二維正態(tài)分布， 性質(zhì)：（1）， （2）相互獨(dú)立的充分必要條件是 （3）§6 兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布一二維離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布求法與一維類似。二二維連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布求法，可用公式當(dāng)時(shí)， 或 特別，當(dāng)相互獨(dú)立時(shí)， 三簡(jiǎn)單函數(shù)通常包括線形函數(shù)，初等函數(shù)，最大值，最小值，絕對(duì)值等。例 設(shè)相互獨(dú)立，分布函數(shù)為，試求（1）的分布函數(shù)；（2）得分布函數(shù)。§7 典型例題分析例1從1，2，3三個(gè)數(shù)字中一次任取兩數(shù)，第一個(gè)數(shù)為，第二個(gè)數(shù)為，記，試求和的分布律及其

15、邊緣分布。例2設(shè)隨機(jī)變量，且，則_。例3設(shè)某班車起點(diǎn)站上車人數(shù)服從參數(shù)的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為，且他們?cè)谥型鞠萝嚺c否是相互獨(dú)立的，用表示在中途下車的人數(shù)，求：（1） 在發(fā)車時(shí)有個(gè)乘客的條件下，中途有人下車的概率；（2） 二維隨機(jī)向量的概率分布。例4設(shè)隨機(jī)變量的密度為，求（1）常數(shù)；（2）邊緣密度；（3）是否獨(dú)立。例5設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，均服從分布，求行列式的概率分布。例6設(shè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量分別服從和，則 例7設(shè)，則_。例8設(shè)兩隨機(jī)變量相互獨(dú)立且同分布，則成立 例9（06）設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間上的均勻分布，則。例10設(shè)，試求（1），是否獨(dú)立； （2）和。例11相互

16、獨(dú)立，服從參數(shù)為的泊松分布，證明服從參數(shù)為的泊松分布。例12（04）設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間（0，1）上服從均勻分布，在的條件下，隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布，求：（I）隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度；（II）的概率密度；（III）概率。例13（05）設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為求（I）的邊緣概率密度；（II）的概率密度；（III）。第四講 隨機(jī)變量的數(shù)字特征考試要求：數(shù)學(xué)一，數(shù)學(xué)三，數(shù)學(xué)四，要求一致理解：隨機(jī)變量數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望，方差，標(biāo)準(zhǔn)差，矩，協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)。掌握：常用分布的數(shù)字特征會(huì)計(jì)算：用數(shù)字特征的基本性質(zhì)計(jì)算具體分布的數(shù)字特征，根據(jù)一維和二維隨機(jī)變量的概率分布求其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。§1

17、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望一定義1離散型： 當(dāng)絕對(duì)收斂2連續(xù)型： 當(dāng)絕對(duì)收斂二性質(zhì)（1） （2）（3）（4）相互獨(dú)立，則例 將一均勻骰子獨(dú)立拋擲三次，求擲得三數(shù)之和的數(shù)學(xué)期望。三隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望（1）離散型，當(dāng)絕對(duì)收斂， （2）連續(xù)型 ，當(dāng)絕對(duì)收斂 四隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望（1）離散型 ，當(dāng)絕對(duì)收斂（2）連續(xù)型，當(dāng)絕對(duì)收斂例1商店經(jīng)銷某種商品，每周進(jìn)貨的數(shù)量與顧客對(duì)該種商店的需求量是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都在區(qū)間上服從均勻分布。商店每售出一單位商品可得利潤1000元，若需求量超過了進(jìn)貨量，商店可以從其他商店調(diào)劑供應(yīng)，這時(shí)每單位商品獲利500元，試計(jì)算此商店經(jīng)銷該種商品每周所得利潤的期望值。&

18、#167;2 隨機(jī)變量的方差一定義：方差 標(biāo)準(zhǔn)差，均方差二計(jì)算方差的公式：，三性質(zhì)：（1），反之不能得出為常數(shù)；（2）；（3）相互獨(dú)立。例 隨機(jī)變量的概率密度為，則_。§3 常用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差一（01）分布 二二項(xiàng)分布 三泊松分布 四均勻分布 五指數(shù)分布 六正態(tài)分布 ， ，例 已知隨機(jī)變量，試證例 設(shè)隨機(jī)變量，試證§4 矩原點(diǎn)矩 ，中心矩 混合矩 混合中心矩 §5 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)一協(xié)方差定義：公式：性質(zhì)：（1）； （2）； （3）二相關(guān)系數(shù)定義：不相關(guān)：相互獨(dú)立不相關(guān)性質(zhì)：（1）； （2）； （3）設(shè)，則，且相互獨(dú)立不相關(guān)。例 對(duì)隨機(jī)變量，證明下列關(guān)系

19、是等價(jià)的（1）（2）不相關(guān)（3）（4）§6 典型例題分析例1設(shè)隨機(jī)變量服從分布，且已知，則_。例2已知件產(chǎn)品中含有件次品，從中任意取出件，設(shè)這件產(chǎn)品中的次品件數(shù)為，試求。例3（04）設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則_。例4設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為其中為常數(shù)，已知，試求和。例5（04）設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布，且其方差為令，則 例6在伯努利試驗(yàn)中，已知，現(xiàn)獨(dú)立，重復(fù)地進(jìn)行試驗(yàn)直到出現(xiàn)為止，令表示所需進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)，試求。例7設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布在以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域上服從均勻分布，試求隨機(jī)變量的方差。例8設(shè)隨機(jī)變量的概率分布密度為，（1） 求的（2） 求與的協(xié)方差，問與是否不相關(guān)？（

20、3） 問與是否相互獨(dú)立？為什么？例9已知隨機(jī)變量服從，設(shè)（1） 求的（2） 求（3） 問是否相互獨(dú)立？為什么？例10設(shè)隨機(jī)變量在：內(nèi)服從均勻分布，則的相關(guān)系數(shù)_。例11隨機(jī)變量均服從正態(tài)分布，則 一定服從正態(tài)分布 不相關(guān)與獨(dú)立等價(jià) 一定服從正態(tài)分布 未必服從正態(tài)分布例12在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，分別表示成功和失敗的次數(shù)，則的相關(guān)系數(shù)等于 0 例13設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)事件，定義兩個(gè)隨機(jī)變量如下：和證明：不相關(guān)的充分必要條件是相互獨(dú)立。例14已知隨機(jī)變量的分布其中為常數(shù)，則隨機(jī)變量的_。例15（04）設(shè)為兩個(gè)隨機(jī)事件，且，令，求（I）二維隨機(jī)變量的概率分布；（II）的相關(guān)系數(shù)；（III）的概率分布。例16（

21、06）設(shè)二維隨機(jī)變量的概率分布為 其中為常數(shù)，且的數(shù)字期望，記 求（I）的值；（II）Z的概率分布；（III）。例17（06）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為令為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)，求（I）的概率度； （II）； （III）第五講大數(shù)定律和中心極限定理考試要求：數(shù)學(xué)一：了解：切比雪夫不等式，切比雪夫大數(shù)定律，伯努利和辛欽大數(shù)定律，棣莫弗拉普拉斯定理，列維林德伯格定理數(shù)學(xué)三、四：了解：切比雪夫大數(shù)定律，伯努利和辛欽大數(shù)定律，棣莫弗-拉普拉斯定理，列維林德伯格定理數(shù)學(xué)三：掌握：切比雪夫不等式數(shù)學(xué)三、四：會(huì)用：相關(guān)的定理近似計(jì)算有關(guān)事件的概率。數(shù)學(xué)四：了解：切比雪夫不等式§1 切比雪夫不等式和依

22、概率收斂一切比雪夫不等式 二依概率收斂記作例 設(shè)隨機(jī)變量的方差為2，則根據(jù)切比雪夫不等式有估計(jì)_。§2 大數(shù)定律一切比雪夫大數(shù)定律設(shè)兩兩不相關(guān)，存在且存在常數(shù)，使則對(duì)任意 二伯努利大數(shù)定律 ，則對(duì)任意 三辛欽大數(shù)定律設(shè)獨(dú)立同分布，則對(duì)任意，§3 中心極限定理一棣莫弗拉普拉斯定理設(shè)，則對(duì)任意 二列維林德伯格定理設(shè)獨(dú)立同分布，則對(duì)任意 §4 典型例題分析例1設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望都是2，方差分別為和，而相關(guān)系數(shù)為0.5，則根據(jù)切比雪夫不等式_。例2將一枚骰子重復(fù)擲次，則當(dāng)時(shí)，次擲出點(diǎn)數(shù)的算術(shù)平均值依概率收斂于_。例3（05）設(shè)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量列，且均服從參數(shù)為的指

23、數(shù)分布，記為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，則 第六講 數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章 基本概念考試要求：數(shù)學(xué)一、三理解：總體，簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，統(tǒng)計(jì)量，樣本均值樣本方差和樣本矩?cái)?shù)學(xué)一了解：分布，分布，分布，分位數(shù)并會(huì)查表計(jì)算，正態(tài)總體的常用抽樣分布數(shù)學(xué)三了解：產(chǎn)生變量，變量，變量的典型模式理解：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)，分布，分布，分布的分位數(shù)并會(huì)查表計(jì)算，經(jīng)驗(yàn)分布掌握：正態(tài)分布的常用抽樣分布§1 總體和樣本一總體：所研究對(duì)象的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)全體。二樣本，如果相互獨(dú)立且都與總體同分布，則稱為來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，簡(jiǎn)稱樣本。樣本容量，樣本值，觀測(cè)值，則的聯(lián)合分布 ，則的聯(lián)合密度例 設(shè)總體，則來自總體的樣本的聯(lián)合概率密度_§

24、2 統(tǒng)計(jì)量和樣本數(shù)字特征一統(tǒng)計(jì)量樣本的不含未知參數(shù)的函數(shù)。如果是樣本的樣本值，則數(shù)值為統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值。二樣本數(shù)字特征1樣本均值；2樣本方差 ， 樣本標(biāo)準(zhǔn)差；3樣本階原點(diǎn)矩 ；4樣本二階中心矩，如果，。例 設(shè)總體的概率密度為，來自總體的樣本為則的概率密度_.§3 常用統(tǒng)計(jì)抽樣分布常用統(tǒng)計(jì)抽樣分布：正態(tài)分布，分布，分布和分布。除正態(tài)分布外不必記憶這些分布的概率密度，但要了解其典型模式，分布曲線示意圖和分位數(shù)，會(huì)查表。一分布1典型模式：相互獨(dú)立且均服從，則稱 服從自由度為的分布，記，；2可加性：設(shè)，且相互獨(dú)立則；3上分位點(diǎn)：設(shè)，對(duì)于給定的，稱滿足條件的點(diǎn)為分布的上分位點(diǎn)。例 已知，則=_。

25、二分布1典型模式：獨(dú)立，則，是偶函數(shù)，充分大時(shí)，近似。2上分位點(diǎn)，三分布1典型模式：獨(dú)立，則如果 ，則2上分位點(diǎn)，§4 正態(tài)總體的抽樣分布一一個(gè)正態(tài)總體設(shè)，來自總體的樣本 樣本均值，樣本方差，則（1），（2）與相互獨(dú)立，且（3）（4）二兩個(gè)正態(tài)總體設(shè)，和，分別來自的樣本，相互獨(dú)立，（1），（2）如果，則其中（3）§5 典型例題分析例1設(shè)總體服從參數(shù)為的01分布，則來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的概率分布為_。例2設(shè)總體，則來自總體的樣本的樣本均值的分布律為_。例3（98）設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本，已知服從分布，其中為常數(shù)，則_。例4設(shè)隨機(jī)變量，則服從的分布及參數(shù)為_。例5（05）設(shè)為

26、來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，為樣本均值，為樣本方差，則 例6設(shè)，從總體中抽樣取樣本，試確定的值，使得為最大，其中。例7已知相互獨(dú)立，且服從，證明服從分布。例8設(shè)總體服從正態(tài)，從該總體中抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其樣本均值為，求統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)期望。例9（04）設(shè)總體服從正態(tài)分布，總體服從正態(tài)分布，和分別是來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則_。例10（06）設(shè)總體的概率密度為，為總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其樣本方差為，則 。第二章 參數(shù)估計(jì)考試要求：理解：參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)，估計(jì)量和估計(jì)值了解：估計(jì)量的無偏性，有效性，一致性，區(qū)間估計(jì)掌握：矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法會(huì)：驗(yàn)證估計(jì)量的無偏性 單個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間 兩個(gè)正態(tài)

27、總體的均值差比的置信區(qū)間數(shù)學(xué)三還要求：掌握：建立未知參數(shù)的置信區(qū)間的一般方法 單個(gè)正態(tài)總體的標(biāo)準(zhǔn)差，矩以及與其相聯(lián)系的數(shù)字特征，置信區(qū)間的求法 兩個(gè)正態(tài)總體相關(guān)數(shù)字特征的置信區(qū)間的求法會(huì)：用大數(shù)定律證明估計(jì)量相合性。§1 點(diǎn)估計(jì)一點(diǎn)估計(jì)的概念 用樣本構(gòu)造的統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)未知參數(shù)，統(tǒng)計(jì)量稱為估計(jì)量，它所取得的觀測(cè)值稱為估計(jì)值，估計(jì)量和估計(jì)值統(tǒng)稱的估計(jì)。二估計(jì)量的選擇標(biāo)準(zhǔn)1 無偏性：2 有效性：如果和都是的無偏估計(jì)量，且，則稱比 更有效3 一致性（相合性）：，稱為的一致估計(jì)量例 設(shè)總體的數(shù)學(xué)期望存在，從來自總體的樣本的樣本均值，試證是的無偏估計(jì)量。例 設(shè)總體的數(shù)學(xué)期望和方差分別為，是來自總

28、體的樣本，記（1）試證：是的無偏估計(jì)；（2）確定使最小。§2 估計(jì)量的求法一 矩估計(jì)法用樣本估計(jì)相應(yīng)的總體矩，用樣本矩的函數(shù)估計(jì)總體矩相應(yīng)函數(shù)1 矩估計(jì)不必知道分布形式，只要矩存在2 可用中心矩，也可用原點(diǎn)矩3 個(gè)參數(shù)要求列出一階至階矩方程考試大綱只要一階矩和二階矩4 為一階、二階原點(diǎn)矩，為一階、二階樣本原點(diǎn)矩，就是的矩估計(jì)量。二最大似然估計(jì)法1似然函數(shù)離散型連續(xù)型2最大似然估計(jì) 使似然函數(shù)達(dá)到最大值的參數(shù)值3似然方程 為一維時(shí)，或 為二維時(shí)，或§3 區(qū)間估計(jì)一 置信區(qū)間對(duì)于給定的，如果兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量滿足，則稱隨機(jī)區(qū)間為參數(shù)的置信水平（或置信度）為的置信區(qū)間（或區(qū)間估計(jì)），簡(jiǎn)稱

29、為的的置信區(qū)間，分別稱為置信下限和置信上限。二 一個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)未知參數(shù)置信區(qū)間已知未知三 兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)未知參數(shù)置信區(qū)間已知未知，但例 設(shè)來自正態(tài)總體的樣本值，則未知參數(shù)的置信水平為0.95的置信區(qū)間是_。例 （05）設(shè)一批零件的長度服從正態(tài)分布，其中均未知，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取16個(gè)零件，測(cè)得樣本均值，樣本標(biāo)準(zhǔn)差，則的置信度為0.90的置信區(qū)間是 §4 典型例題分析例1設(shè)為總體的一個(gè)樣本，已知為的無偏估計(jì)，則常數(shù)等于 例2（05）設(shè)為來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，為樣本均值，。求：（I）的方差，；（II）的協(xié)方差；（III）若是的無偏估計(jì)量，求常數(shù)；（IV）。例3從總體

30、中分別抽取容量為的兩個(gè)獨(dú)立樣本，樣本均值分別為，且和，已知為的無偏估計(jì)量，試求：（1） 常數(shù)應(yīng)滿足的條件；（2） 使達(dá)到最小值的。例4設(shè)是來自總體的樣本，已知，證明是的無偏估計(jì)量。例5(04)設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，其中參數(shù)，設(shè)為來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，（I）當(dāng)時(shí)，求未知參數(shù)的矩估計(jì)量；（II）當(dāng)時(shí)，求未知參數(shù)的最大似然估計(jì)量；（III）當(dāng)時(shí)，求未知參數(shù)的最大似然估計(jì)量。例6設(shè)某種元件的使用壽命的概率密度為其中為未知參數(shù)，又設(shè)是的一組樣本觀測(cè)值，求參數(shù)的最大似然估計(jì)值。例7設(shè)總體，是來自總體的樣本，試求：參數(shù)的最大似然估計(jì)。例8設(shè)總體的概率分布為，其中是未知參數(shù)，利用總體的如下樣本值：3，1，

31、3，0，3，1，2，3求的矩估計(jì)值和最大似然估計(jì)值。例9（06）設(shè)總體的概率密度為，其中是未知參數(shù)，為來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記為樣本值中小于1的個(gè)數(shù)，求（I）的矩估計(jì)； （II）的最大似然估計(jì)。第三章 假設(shè)檢驗(yàn)考試要求：理解：顯著性檢驗(yàn)的基本思想。掌握：假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟，單個(gè)及兩個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的假設(shè)檢驗(yàn)。數(shù)一了解：假設(shè)檢驗(yàn)可能產(chǎn)生的兩類錯(cuò)誤。數(shù)三理解：假設(shè)檢驗(yàn)可能產(chǎn)生的兩類錯(cuò)誤。數(shù)三會(huì)：構(gòu)造簡(jiǎn)單假設(shè)的顯著性檢驗(yàn)，較簡(jiǎn)單情形兩類錯(cuò)誤概率的計(jì)算。§1 基本概念一實(shí)際推斷原理：小概率事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上是不會(huì)發(fā)生的。二假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)：基本假設(shè)（原假設(shè)，零假設(shè)）和備選假設(shè)（備擇假

32、設(shè)，對(duì)立假設(shè)），參數(shù)假設(shè)和非參數(shù)假設(shè)，簡(jiǎn)單假設(shè)和復(fù)合假設(shè)假設(shè)檢驗(yàn)：根據(jù)樣本，按照一定規(guī)則判斷所做假設(shè)的真?zhèn)?，并作出接受還是拒絕接受的決定。三兩類錯(cuò)誤 拒絕實(shí)際真的假設(shè)（棄真）稱為第一類錯(cuò)誤；接受實(shí)際不真的假設(shè)（納偽）稱為第二類錯(cuò)誤。四顯著性檢驗(yàn)1顯著性水平：在假設(shè)檢驗(yàn)中允許犯第一類錯(cuò)誤的概率，記為，則稱為顯著水平2顯著性檢驗(yàn)，只控制第一類錯(cuò)誤概率的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)3顯著性檢驗(yàn)的一般步驟（1）根據(jù)問題要求提出原假設(shè)；（2）給出顯著性水平；（3）確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及拒絕域形式；（4）按犯第一類錯(cuò)誤的概率等于，求出拒絕域；（5）根據(jù)樣本值計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值，當(dāng)時(shí)，拒絕原假設(shè)，否則接受原假設(shè)。§2 正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)設(shè)顯著性水平為，單個(gè)正態(tài)總體為的參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)以及兩個(gè)正態(tài)總體與的和的假設(shè)檢驗(yàn)，列表如下：檢驗(yàn)參數(shù)情形假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為真時(shí)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布拒絕域已知未知已知或未知或已知未知但已知或未知或表中§3 典型例題分析例1已知總體的概率密度只有兩種可能，設(shè)對(duì)進(jìn)行一次觀測(cè)，得樣本，規(guī)定時(shí)拒絕，否則就接受，則此檢驗(yàn)的分別為_。例2設(shè)是取自正態(tài)總體的簡(jiǎn)單樣本，其中未知，記，則假設(shè)的檢驗(yàn)使用統(tǒng)計(jì)量_。例