大學(xué)微積分入門(一)

1、 定積分第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)abxyo? A曲邊梯形由連續(xù)曲線曲邊梯形由連續(xù)曲線實(shí)例實(shí)例1 1 （求曲邊梯形的面積）（求曲邊梯形的面積）)(xfy )0)( xf、x軸與兩條直線軸與兩條直線ax 、bx 所所圍圍成成.一、問題的提出)(xfy abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積曲邊梯形面積（四個(gè)小矩形）（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）曲邊梯形如圖所示，曲邊梯形如圖所示，,1210bxxxxxabann 個(gè)分點(diǎn)，個(gè)分點(diǎn)，內(nèi)插入若干內(nèi)插入若干在區(qū)間在區(qū)間ab

2、xyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為，個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間分成分成把區(qū)間把區(qū)間，上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)在每個(gè)小區(qū)間在每個(gè)小區(qū)間iiixx ,1 iiixfA )( 為高的小矩形面積為為高的小矩形面積為為底，為底，以以)(,1iiifxx iniixfA )(1 曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積的近似值為iniixfA )(lim10 12,()max,(00)nxxxxxx當(dāng)分割無限加細(xì) 記小區(qū)間的最大長(zhǎng)度或者趨近于零或者時(shí)，曲邊梯形面積為曲邊梯形面積為實(shí)例實(shí)例2 2 （求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程）（求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程）思路思路：把整段時(shí)間分割成若干小段，

3、每小段上：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對(duì)時(shí)間的無限細(xì)得到路程的近似值，最后通過對(duì)時(shí)間的無限細(xì)分過程求得路程的精確值分過程求得路程的精確值（1）分割）分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某時(shí)刻的速度某時(shí)刻的速度（2）求和）求和iinitvs )(1 （3）取極限）取極限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精確值路程的精確值設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba上上有有界界，如如果果不不論論對(duì)對(duì),ba在在,ba中中任

4、任意意插插入入若若干干個(gè)個(gè)分分點(diǎn)點(diǎn)bxxxxxann 1210把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間，各各小小區(qū)區(qū)間間的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度依依次次為為1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小區(qū)區(qū)間間上上任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)i （iix ），作作乘乘積積iixf )( ), 2 , 1( i并作和并作和iinixfS )(1 ，二、定積分的定義定義定義怎樣的分法，怎樣的分法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量積分區(qū)間積分區(qū)間,ba也也不不論論在在小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 上上點(diǎn)點(diǎn)i 怎怎樣樣的的取取法法，和和S總趨于總趨

5、于確確定定的的極極限限I，在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分，記為記為積分上限積分上限積分下限積分下限積分和積分和注意：注意：（1） 積積分分值值僅僅與與被被積積函函數(shù)數(shù)及及積積分分區(qū)區(qū)間間有有關(guān)關(guān)， badxxf)( badttf)( baduuf)(（3 3）當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分存存在在時(shí)時(shí)，而而與與積積分分變變量量的的字字母母無無關(guān)關(guān).稱稱)(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上上可積可積. 當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí)，定理定理1 1定理定理2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上有界，上有界，稱稱)(xf在在區(qū)區(qū)間間,b

6、a上上可可積積. .且且 只只 有有 有有 限限 個(gè)個(gè) 第第 一一 類類 的的間間 斷斷 點(diǎn)點(diǎn) ， 則則)(xf在在三、存在定理區(qū)間區(qū)間,ba上可積上可積. ., 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值的負(fù)值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 四、定積分的幾何意義幾何意義：幾何意義：積積取取負(fù)負(fù)號(hào)號(hào)軸軸下下方方的的面面在在軸軸上上方方的的面面積積取取正正號(hào)號(hào)；在在數(shù)數(shù)和和之之間間的的各各部部分分面面積積的的代代直直線線的的圖圖形形及及兩兩條條軸軸、函函數(shù)數(shù)它它是是介介于于xxbxaxxfx

7、 ,)( 例例1 1 利用定義計(jì)算定積分利用定義計(jì)算定積分.102dxx 解解將將1 , 0n等等分分，分分點(diǎn)點(diǎn)為為nixi ，(ni, 2 , 1 )小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度nxi1 ，(ni, 2 , 1 )取取iix ，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1 iinix 21 ,12iniixx nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nn0 xn dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 五、定積分 的性質(zhì)證證 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim

8、10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.（此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)作和的情況）（此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)作和的情況）性質(zhì)性質(zhì)1 1 babadxxfkdxxkf)()( (k為為常常數(shù)數(shù)).證證 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性質(zhì)性質(zhì)2 2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.補(bǔ)充補(bǔ)充：不論：不論 的相對(duì)位置如何的相對(duì)位置如何, 上式總成立上式總成立.cba,例例 若若,

9、 cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf（定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性）（定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性）則則假設(shè)假設(shè)bca 性質(zhì)性質(zhì)3 3dxba 1dxba ab .則則0)( dxxfba. . )(ba 證證, 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 . 0)( badxxf性質(zhì)性質(zhì)4 4性質(zhì)性質(zhì)5 5如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上0)( xf，例例 1 1 比比較較積積分分值值d

10、xex 20和和dxx 20的的大大小小.解解令令,)(xexfx 0, 2 x, 0)( xf, 0)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是于是dxex 20.20dxx 可以直接作出答案可以直接作出答案性質(zhì)性質(zhì)5 5的推論：的推論：證證),()(xgxf , 0)()( xfxg, 0)()( dxxfxgba, 0)()( babadxxfdxxg于于是是 dxxfba )( dxxgba )(.則則dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba 如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上)()(xgxf ，（1）dxxfba )(dxxfba )(.)(ba 證證, )()()

11、(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa 即即dxxfba )(dxxfba )(.說明：說明： 可積性是顯然的可積性是顯然的.|)(xf|在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的性質(zhì)性質(zhì)5 5的推論：的推論：（2）設(shè)設(shè)M及及m分分別別是是函函數(shù)數(shù)證證,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍）（此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍）則則 )()()(abMdxxfabmba . .)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性質(zhì)性質(zhì)6 6曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 夾在兩個(gè)矩

12、形之間夾在兩個(gè)矩形之間解解,sin)(xxxf 22cossincos (tan )( )0 xxxx xxfxxx2,4x)(xf在在2,4 上上單單調(diào)調(diào)下下降降,例例2 不計(jì)算定積分不計(jì)算定積分 估計(jì)估計(jì) 的大小的大小dxxx 24sin2424222(),(),42,2442sin22,441sin2.22Mfmfbaxdxxxdxx如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)，證證Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知?jiǎng)t則在在積積分分區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn) ，使

13、使dxxfba )()(abf . . )(ba 性質(zhì)性質(zhì)7 7（Th5.1 Th5.1 定積分第一中值定理）定積分第一中值定理）積分中值公式積分中值公式使使,)(1)( badxxfabfdxxfba )()(abf .)(ba 在在區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn) ，即即積分中值公式的幾何解釋：積分中值公式的幾何解釋：xyoab )( f使得以區(qū)間使得以區(qū)間,ba為為以以曲曲線線)(xfy 底底邊邊，為為曲曲邊邊的的曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積等等于于同同一一底底邊邊而而高高為為)( f的一個(gè)矩形的面積。的一個(gè)矩形的面積。Th5.2(Th5.2(推廣的積分第一中值定理）推廣的

14、積分第一中值定理） 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)，并并且且設(shè)設(shè)x為為,ba上上的的一一點(diǎn)點(diǎn)， xadxxf)(考察定積分考察定積分 xadttf)(記記.)()( xadttfx積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) 如如果果上上限限x在在區(qū)區(qū)間間,ba上上任任意意變變動(dòng)動(dòng)，則則對(duì)對(duì)于于每每一一個(gè)個(gè)取取定定的的x值值，定定積積分分有有一一個(gè)個(gè)對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)值值，所所以以它它在在,ba上上定定義義了了一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)，六、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)abxyo定定理理 如如果果)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則積積分分上上限限的的函函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且它

15、它的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa xx 證證dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x.)()( xadttfx dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由積分中值定理得由積分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x計(jì)算下列導(dǎo)數(shù)計(jì)算下列導(dǎo)數(shù)xtxtxtdtetdxddtedxddtedxdcos1211222)3()2() 1 ( 如如果果)(tf連連續(xù)續(xù)，)(xa、)(xb可可導(dǎo)導(dǎo)，

16、則則dttfxFxbxa )()()()(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(xF 為為補(bǔ)充補(bǔ)充 )()()()(xaxafxbxbf 證證 dttfxFxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxF )()()()(xbxadttfdxdxF例例1 1 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：這是這是 型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法

17、則型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則.定理定理2 2（原函數(shù)存在定理）（原函數(shù)存在定理） 如如果果)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則積積分分上上限限的的函函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù). .定理的重要意義：定理的重要意義：（1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.（2）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系間的聯(lián)系.定理定理 3 3（微積分基本公式）（微積分基本公式）如如果果)(xF是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)，則則)()()(aF

18、bFdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù), 已知已知)(xF是是)(xf的一個(gè)原函數(shù)，的一個(gè)原函數(shù)，CxxF )()(,bax 證證七 牛頓萊布尼茨公式令令ax ,)()(CaaF 0)()( dttfaaa,)(CaF ),()()(aFxFdttfxa ,)()(CdttfxFxa 令令 bx).()()(aFbFdxxfba 牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 微積分基本公式表明：微積分基本公式表明： baxF)( 一一個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分等等于于它它的的任任意意一一

19、個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的增增量量.注意注意當(dāng)當(dāng)ba 時(shí)，時(shí)，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.例例4 4 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 例例5 5 設(shè)設(shè) , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上規(guī)規(guī)定定當(dāng)當(dāng)1 x時(shí)時(shí)，5)( xf, 102152dxxdx原原式式. 6 xyo12例例6 6 求求 .,max222 dxxx解解由圖形可知由圖形可知

20、,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原原式式.211 xyo2xy xy 122 , )()(, ,)(xfxFbaCxf且設(shè)則有1. 微積分基本公式xxfbad)(積分中值定理)(abF)()(aFbF微分中值定理)(abf牛頓 萊布尼茨公式定理定理 假假設(shè)設(shè)（1 1）)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)；（3 3）當(dāng)當(dāng)t在在區(qū)區(qū)間間, 上上變變化化時(shí)時(shí)，)(tx 的的值值在在,ba上上變變化化，且且a )( 、b )( ， 則則 有有dtttfdxxfba )()()(. .八、換元公式證證設(shè)設(shè))(xF是是)(xf的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)，

21、),()()(aFbFdxxfba ),()(tFt dtdxdxdFt )()()(txf ),()(ttf ),()()()( dtttf)(t 是是)()(ttf 的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù).a )( 、b )( ,)()( )()( FF ),()(aFbF )()()(aFbFdxxfba )()( .)()(dtttf 注注意意 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)，換換元元公公式式仍仍成成立立.應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意:（1）（2）250cossin.xxdx例例1 1 計(jì)算計(jì)算.ln43eexxdx例例2 2 計(jì)算計(jì)算例例1 1 計(jì)算計(jì)算.sincos205 xdxx222550060co

22、ssincos( cos )cos11(0).666xxdxxdxx 解湊微分是第一類換元積分法，特點(diǎn)是不要明顯地?fù)Q元，也就不要更換積分的上下限。例例2 2 計(jì)算計(jì)算解解原式原式)2143(2ln2lnlnln434343eeeeeexxxdxxdx.ln43eexxdx例例3 3 計(jì)算計(jì)算解解23xdx三角代換和根式代換例例4 4 計(jì)算計(jì)算解解12122.11dxxx令令,sintx 1x,2t21x6 t,costdtdx 原式原式22222666coscotsincossin(cotcot)(03)326tdtdttttt 明顯換元證證,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf

23、在在 0)(adxxf中令中令tx , 0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf)(xf為偶函數(shù)，則為偶函數(shù)，則),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf)(xf為為奇奇函函數(shù)數(shù)，則則),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 在在 0)(adxxf中令中令tx ,奇函數(shù)奇函數(shù)例例6 6 計(jì)算計(jì)算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函數(shù)偶函數(shù) 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102

24、144dxx.4 單位圓的面積單位圓的面積總結(jié)：總結(jié)： 1、定積分公式、定積分公式2、定積分計(jì)算方法（直接代入，湊微分，、定積分計(jì)算方法（直接代入，湊微分，根式代換，三角代換）根式代換，三角代換）3、根式和三角代換為明顯的代換，所以換、根式和三角代換為明顯的代換，所以換元要換上下限元要換上下限4、 介紹了積分上限函數(shù)介紹了積分上限函數(shù)5、積分上限函數(shù)是原函數(shù)、積分上限函數(shù)是原函數(shù)6、計(jì)算上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、計(jì)算上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例例 7 7 若若)(xf在在1 , 0上上連連續(xù)續(xù)，證證明明 （1） 2200)(cos)(sindxxfdxxf; （2） 00)(sin2)(sindxxfdxxxf.

25、由由此此計(jì)計(jì)算算 02cos1sindxxxx. 證證（1）設(shè)）設(shè)tx 2,dtdx 0 x,2 t2 x, 0 t 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxftx 2（2）tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 dttft 由此計(jì)算由此計(jì)算 00)(sin2)(sindxxfdxxxf 02cos1sindxxxx設(shè)設(shè) 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02c

26、os1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 0)(sindxxxf 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xu、)(xv在在區(qū)區(qū)間間 ba,上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則有有 bababavduuvudv. .定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式推導(dǎo)推導(dǎo) ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . bababavduuvudv九、分部積分公式例例 計(jì)算計(jì)算解解.ln1exdx例例2 2 計(jì)算計(jì)算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdx

27、du , xv 210arcsin xdx 210arcsinxx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 則則例例3 3 計(jì)算計(jì)算解解dxxex10例例4 4 計(jì)算計(jì)算dxxx10cos例例5 5 計(jì)算計(jì)算解解edxxx12ln定定義義 1 1 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間), a上上連連續(xù)續(xù)，取取ab ，如如果果極極限限 babdxxf)(lim存存在在，則則稱稱此此極極限限為為函函數(shù)數(shù))(xf在在無無窮窮區(qū)區(qū)間間), a上上的的廣廣義義積積分分，記記作作 adxxf)(. . adxxf)( babdxxf)(lim當(dāng)當(dāng)極極限限存

28、存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .第四節(jié) 廣義積分一、無窮限的廣義積分類類似似地地，設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,(b上上連連續(xù)續(xù)，取取ba ，如如果果極極限限 baadxxf)(lim存存在在，則則稱稱此此極極限限為為函函數(shù)數(shù))(xf在在無無窮窮區(qū)區(qū)間間,(b上上的的廣廣義義積積分分，記記作作 bdxxf)(. . bdxxf)( baadxxf)(lim當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間),( 上

29、連續(xù)上連續(xù), ,如果如果廣義積分廣義積分 0)(dxxf和和 0)(dxxf都收斂，則都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為函數(shù)稱上述兩廣義積分之和為函數(shù))(xf在無窮區(qū)間在無窮區(qū)間),( 上的廣義積分，記作上的廣義積分，記作 dxxf)(. . dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0)(limaadxxf bbdxxf0)(lim極極限限存存在在稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；否否則則稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .例例1 1 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx211sinxdx21cosx100cos2cos1coslimxx)()(lim)

30、()()()(aFxFaFFxFdxxfxaa簡(jiǎn)記為例例1 1 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分.12 xdx解解 21xdx 021xdx 021xdx 0211limaadxx bbdxx0211lim 0arctanlimaax bbx0arctanlim aaarctanlim bbarctanlim .22 證證, 1)1( p 11dxxp 11dxx 1ln x, , 1)2( p 11dxxp 111pxp 1,111,ppp因因此此當(dāng)當(dāng)1 p時(shí)時(shí)廣廣義義積積分分收收斂斂，其其值值為為11 p；當(dāng)當(dāng)1 p時(shí)時(shí)廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散.回顧回顧 曲邊梯形求面積的問題曲邊梯形求面積的問題

31、badxxfA)(第五節(jié)、定積分應(yīng)用曲曲 邊邊 梯梯 形形 由由 連連 續(xù)續(xù) 曲曲 線線)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成。ab xyo)(xfy 1、幾何上的應(yīng)用面積ab xyo)(xfy iinixfA )(lim10 badxxf)(.)( badxxfxdxx dA面積元素面積元素一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積1. 直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線)0()(xfy與直線)(,babxax及 x 軸所圍曲則xxfAd)(dxxfAbad)(邊梯形面積為 A ,Oxbay)(xfy xxdxyb xa)(2xfy )(1xfy Oxxxdx

32、xfxfAbad)()(21xxfxfAd)()(d21右圖所示圖形，面積元素為xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfA)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfxfA)()(12xxxx x xxfxfAbad)()(21ybxa)(2xfy )(1xfy Ocxxfxfcad )()(21xxxdxxfxfbcd )()(12yyyAdcd)()(Oxy)(yx)(yxdcyyydxxfxfAd| )()(|d21有時(shí)也會(huì)選 y 為積分變量yyyAd| )()(|d例例 1 1 計(jì)算由兩條拋物線計(jì)算由兩條拋物線xy 2和和

33、2xy 所圍成的所圍成的圖形的面積圖形的面積.解解（1）作圖）作圖（2）求出兩曲線的交點(diǎn)）求出兩曲線的交點(diǎn))1 , 1()0 , 0(（3） 選選 為積分變量為積分變量x1 , 0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx （4）代公式）代公式 badxxfxfA)()(12解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)).4 , 8(),2, 2( 422xyxy選選 為積分變量為積分變量y4, 2 ydyyydA 242.1842 dAAxy22 4 xy解題步驟：解題步驟：(2) 求出交點(diǎn)；(3) 選擇合適的積分變量，確定積分區(qū)間，計(jì)算。(1) 畫出草圖；ab例例3. 求橢圓1

34、2222byax解解: 利用對(duì)稱性 , xyAdd所圍圖形的面積 . 有axyA0d4利用橢圓的參數(shù)方程)20(sincosttbytax應(yīng)用定積分換元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba當(dāng) a = b 時(shí)得圓面積公式xxxdxyO aaxxb02d14二、立體體積二、立體體積設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x), ,)(baxA在則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間d,xxx的體積元素為xxAVd)(d因此所求立體體積為xxAVbad)(xabxxxd)(xA上連續(xù),1. 已知平行截面面積函數(shù)的立體體積已知平行截面面積函數(shù)的立體體積例例1. 一平面經(jīng)過半徑為R 的圓柱體的底圓中心 ,并與底面交成 角,222Ryx解解: 如圖所示取坐標(biāo)系