等差數(shù)列求和公式(課堂PPT)

1、12.3.1 2.3.1 等差數(shù)列的求和公等差數(shù)列的求和公式式 ( (第一課時第一課時) )21.1.數(shù)列前數(shù)列前n n項和的定義項和的定義一般地，稱一般地，稱_為數(shù)列為數(shù)列an的前的前n項和，項和，用用Sn表示，即表示，即Sn _.S Sn n與通項與通項a an n之間的關(guān)系：之間的關(guān)系：a1a2a3ana1a2a3an新課講解32. 2. 等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n n項和公式項和公式求和公式變形：求和公式變形：2) 1 (1nnaaanaS中中，AdBAaBnAnSn2)2(124等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項和公式的函數(shù)特征項和公式的函數(shù)特征(2)當(dāng)當(dāng)A0，B0時，時，Sn0是關(guān)于是關(guān)

2、于n的常數(shù)函數(shù)的常數(shù)函數(shù)(此時此時a10，d0)；當(dāng)當(dāng)A0，B0時，時，SnBn是關(guān)于是關(guān)于n的正比例函數(shù)的正比例函數(shù)(此時此時a10，d0)；當(dāng)當(dāng)A0，B0時，時，SnAn2Bn是關(guān)于是關(guān)于n的二次函數(shù)的二次函數(shù)(此時此時d0)5題型一與等差數(shù)列前題型一與等差數(shù)列前n n項和有關(guān)的基本量的計算項和有關(guān)的基本量的計算(2)a14，S8172，求，求a8和和d.(3)已知已知d2，an11，Sn35，求，求a1和和n.【例例1】 在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中中例題講解6781. 在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中；中；(1)已知已知a610，S55，求，求a8和和S10；(2)已知已知a3a1540，求，

3、求S17.跟蹤練習(xí)9題型二利用題型二利用S Sn n與與a an n的關(guān)系求的關(guān)系求a an n解解(1)當(dāng)當(dāng)n1時，時，a1S1325.當(dāng)當(dāng)n2時，時，Sn132n1，又又Sn32n，anSnSn12n2n12n1.10化簡得化簡得(an1an)(an1an2)0，因為因為an0，an1an2，又又4S14a1(a11)2得得a11，故故an是以是以1為首項，為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以為公差的等差數(shù)列，所以an2n1.1112(2)已知一個數(shù)列的前已知一個數(shù)列的前n項和為項和為Snn2n1，求它，求它的通項公式，問它是等差數(shù)列嗎？的通項公式，問它是等差數(shù)列嗎？解解(1)a1S15，當(dāng)當(dāng)

4、n2時，時，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n1，當(dāng)當(dāng)n1時也適合，時也適合，an4n1.1. (1)已知數(shù)列已知數(shù)列an的前的前n項和項和Sn2n23n，求，求an.跟蹤練習(xí)131415題型三求數(shù)列題型三求數(shù)列|an|的前的前n項和項和【例【例3】163n104.n1也適合上式，也適合上式，數(shù)列通項公式為數(shù)列通項公式為an3n104(nN*)由由an3n1040，得，得n34.7.即當(dāng)即當(dāng)n34時，時，an0；當(dāng)；當(dāng)n35時，時，an0，此時，此時TnSnn210n；當(dāng)當(dāng)n5時，時，an0，此時，此時Tn2S5Snn210n50.跟蹤練習(xí)19方法技巧等差數(shù)列中創(chuàng)新型問題的

5、求解策略方法技巧等差數(shù)列中創(chuàng)新型問題的求解策略 關(guān)于等差數(shù)列的創(chuàng)新型試題，常以圖表、數(shù)陣、新定關(guān)于等差數(shù)列的創(chuàng)新型試題，常以圖表、數(shù)陣、新定義等形式出現(xiàn)義等形式出現(xiàn)【示例示例】 下表給出一個下表給出一個“等差數(shù)陣等差數(shù)陣”：47()()()a1j712()()()a2j()()()()()a3j()()()()()a4jai1ai2ai3ai4ai5aij20其中每行、每列都是等差數(shù)列，其中每行、每列都是等差數(shù)列，aij表示位于第表示位于第i行第行第j列的列的數(shù)數(shù)(1)寫出寫出a45的值；的值；(2)寫出寫出aij的計算公式的計算公式解解(1)通過觀察通過觀察“等差數(shù)陣等差數(shù)陣”發(fā)現(xiàn)：第一行的

6、首項為發(fā)現(xiàn)：第一行的首項為4，公，公差為差為3；第二行首項為；第二行首項為7，公差為，公差為5.歸納總結(jié)出：第一列歸納總結(jié)出：第一列(每每行的首項行的首項)是以是以4為首項，為首項，3為公差的等差數(shù)列，即為公差的等差數(shù)列，即3i1，各行的公差是以各行的公差是以3為首項，為首項，2為公差的等差數(shù)列，即為公差的等差數(shù)列，即2i1.所以所以a45在第在第4行，首項應(yīng)為行，首項應(yīng)為13，公差為，公差為9，進(jìn)而得出，進(jìn)而得出a4549.21(2)該該“等差數(shù)陣等差數(shù)陣”的第一行是首項為的第一行是首項為4，公差為，公差為3的等差數(shù)列：的等差數(shù)列：a1j43(j1)；第二行是首項為第二行是首項為7，公差為，

7、公差為5的等差數(shù)列：的等差數(shù)列：a2j75(j1)；第第i行是首項為行是首項為43(i1)，公差為，公差為2i1的等差數(shù)列，因此，的等差數(shù)列，因此，aij43(i1)(2i1)(j1)2ijiji(2j1)j.222.3.1 2.3.1 等差數(shù)列的求和公等差數(shù)列的求和公式式 ( (第二課時第二課時) )231. 1. 等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項和的性質(zhì)項和的性質(zhì)(1)Sm，S2m，S3m分別為分別為an的前的前m項，前項，前2m項，前項，前3m項的和，項的和，則則Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差數(shù)列，公差為也成等差數(shù)列，公差為_.(2)m2d新課講解24(3)若若S奇奇表示奇數(shù)項的和，

8、表示奇數(shù)項的和，S偶偶表示偶數(shù)項的和，公差為表示偶數(shù)項的和，公差為d，若若 ，則，則S偶偶 S奇奇 =若若 ，則則kn2kd12 kn中偶中奇kaSakS) 1(kkSS1偶奇25思考：如果數(shù)列的前思考：如果數(shù)列的前n項和公式項和公式SnAn2Bn，其，其中中A，B為常數(shù)，那么這個數(shù)列是否一定為等差數(shù)為常數(shù)，那么這個數(shù)列是否一定為等差數(shù)列？列？提示提示：由由S Sn na a1 1a a2 2a a3 3a an n1 1a an n得得S Sn n1 1a a1 1a a2 2a a3 3a an n1 1(n2)(n2)由由得得a an nS Sn nS Sn n1 1(n2)(n2)，S

9、S1 1a a1 1，又又S Sn nAnAn2 2BnBn，當(dāng)當(dāng)n2n2時，時，a an nS Sn nS Sn n1 12An2AnA AB.B.當(dāng)當(dāng)n n1 1時，時，a a1 1S S1 1A AB B符合上式，符合上式，aan n2An2AnA AB(nNB(nN* *) )數(shù)列數(shù)列 a an n 是等差數(shù)列，首項為是等差數(shù)列，首項為A AB B，公差為，公差為2 2A A. .262. 2. 等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項和的最值項和的最值(1)在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中中最大最大最小最小最小最小最大最大27題型一等差數(shù)列前題型一等差數(shù)列前n項和性質(zhì)的應(yīng)用項和性質(zhì)的應(yīng)用(2)一個等差

10、數(shù)列的前一個等差數(shù)列的前10項之和為項之和為100，前，前100項之和為項之和為10，求前求前110項之和項之和(3)兩個等差數(shù)列兩個等差數(shù)列an,bn的前的前n項和分別為項和分別為Sn,Tn,1）若）若 , 求求 ；2）若）若 ，求，求【例例1】 (1)設(shè)等差數(shù)列的前設(shè)等差數(shù)列的前n項和為項和為Sn，已知前，已知前6項和項和36，Sn324，最后，最后6項的和為項的和為180(n6)，求數(shù)列的項，求數(shù)列的項數(shù)數(shù)n.例題講解3225nnbann77TS3225nnTSnn77ba2829303132規(guī)律：等差數(shù)列中，規(guī)律：等差數(shù)列中，Sm=n,Sn=m，則，則Sm+n= (m+n)331. 1

11、. 等差數(shù)列中，等差數(shù)列中，(1)a(1)am m=n=n， a an n=m=m，求證：，求證：a am+nm+n= 0= 0(2)S(2)Sm m=S=Sn n，求證：，求證：S Sm+nm+n= 0= 0(3)S(3)Sm m=n,S=n,Sn n=m=m，求證：，求證：S Sm+nm+n= = (m+n)(m+n)跟蹤練習(xí)343. 3. 等差數(shù)列中，等差數(shù)列中，S S3030=90=90，a a3 3+a+a6 6+a+a9 9+a+a3030=36=36(1)(1)求求d (2)d (2)求求a a1 1+a+a4 4+a+a7 7+a+a28282. 2. 等差數(shù)列中，等差數(shù)列中，

12、S S3 3=45=45，S Sn n=360, S=360, Sn-3n-3=225,=225,求求n n35【例【例2】一個等差數(shù)列的前一個等差數(shù)列的前12項和為項和為354，前，前12項中項中偶數(shù)項和與奇數(shù)項和之比為偶數(shù)項和與奇數(shù)項和之比為32 27，求公差，求公差d.解解法一法一設(shè)此數(shù)列首項為設(shè)此數(shù)列首項為a1，公差為，公差為d， S偶偶S奇奇6d，d5.36跟蹤練習(xí)1.1.一個等差數(shù)列有奇數(shù)項，奇數(shù)項和為一個等差數(shù)列有奇數(shù)項，奇數(shù)項和為132132，偶數(shù)項和為偶數(shù)項和為120120，求項數(shù)。，求項數(shù)。37題型二等差數(shù)列前題型二等差數(shù)列前n項和的最值問題項和的最值問題3839401.

13、已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an中，中，a19，a4a70.(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項公式；的通項公式；(2)當(dāng)當(dāng)n為何值時，數(shù)列為何值時，數(shù)列an的前的前n項和取得最大值項和取得最大值解解(1)由由a19，a4a70，得得a13da16d0，解得解得d2，ana1(n1)d112n.(2)法一法一a19，d2，跟蹤練習(xí)41n210n(n5)225當(dāng)當(dāng)n5時，時，Sn取得最大值取得最大值法二法二由由(1)知知a19，d20，n6時，時，an0.S5最大最大422.2.等差數(shù)列中，等差數(shù)列中，(1) (1) 求求S Sn n最大值；最大值； 求求S Sn n最大值；最大值； (3) (3) 求求T

14、 Tn n=|a=|a1 1|+|a|+|a2 2|+|a|+|an n| | ,201a, 4d, 3d, 4d43已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an滿足：滿足：a37，a5a726，an的的前前n項和為項和為Sn.(1)求求an及及Sn.解解(1)設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列an的公差為的公差為d，因為因為a37，a5a726，所以有，所以有題型三題型三裂項相消法求數(shù)列的和裂項相消法求數(shù)列的和【例【例3】44451.已知數(shù)列已知數(shù)列an是等差數(shù)列，其前是等差數(shù)列，其前n項和為項和為Sn，a36，S312.(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項公式；的通項公式；跟蹤練習(xí)46(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項公式；的通項公式；題型四等差數(shù)列的綜合應(yīng)用題型四等差數(shù)列的綜合應(yīng)用4748491.1. 已知數(shù)列已知數(shù)列 an的前的前 n 項和為項和為 Sn(Sn0)，且滿足，且滿足an2SnSn10(n2)，a112. (1)求證：求證： 1Sn是等差數(shù)列；是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列求數(shù)列an的通項公式的通項公式 跟蹤練習(xí)5051誤區(qū)警示誤區(qū)警示分析問題不嚴(yán)密致誤分析問題不嚴(yán)密致誤【示示例】例】52解中僅解不等式解中僅解不等式an0是不正確的，事實上應(yīng)解是不正確的，事實上應(yīng)解an0，an10.53S10S15，S15