仿射變換--不變量

1、第2章仿射變換2.2仿射不變性與不變量經(jīng)過平行射影不改變的性質(zhì)和數(shù)量，稱為仿射不變性質(zhì)和仿射不變量.經(jīng)過仿射對(duì)應(yīng)它們也是不變的由前面所述，可知同素性、結(jié)合性都是仿射不變性質(zhì)因此，仿 射對(duì)應(yīng)把共點(diǎn)的線變成共點(diǎn)的線，把共線的點(diǎn)變成共線的點(diǎn).此外我們還可以證明如下的一些不變性質(zhì)和不變量.定理2.1二直線間的平行性是仿射不變性質(zhì).證明 設(shè)a與b是平面內(nèi)的兩條平行線，a與b是它們?cè)谄矫鎯?nèi)的仿射對(duì)應(yīng)下的象.F面證明a'與b'平行.若a'與b不平行，交于P'點(diǎn)，那P'有原象點(diǎn)P , P在a上，又在b上，于是a與b相交于P ,ba與b平行.圖2-4由上面的結(jié)果可知推論2

2、.2平行四邊形在仿射對(duì)應(yīng)下的象還是平行四邊形.思考題:正方形在仿射對(duì)應(yīng)下的象是不是正方形?設(shè)A,B,C是直線上三點(diǎn)（見圖2-5）,有向線段的比AC定義2.1AC,稱為這三點(diǎn)的簡(jiǎn)比（或BC單比），記為（ABC），即（ABC）能圖2-5顯然：當(dāng)C在A,B之間時(shí)，（ABC） 0,當(dāng)C在A,B之外時(shí)，（ABC） 0,當(dāng) C A時(shí)，（ABC） 0,當(dāng)C B時(shí)，（ABC）定理2.3 共線三點(diǎn)的簡(jiǎn)比是仿射不變量.（見圖2-6）.由初等幾何這是顯然的.因證明 首先注意到，簡(jiǎn)比在平行射影下是不變的， 此，經(jīng)過有限次平行射影變換也是不變的，即它是仿射不變量.定理2.4兩條平行線段的比是仿射不變量.證明 設(shè)AB與C

3、D是兩條平行的線段見圖 2-7 , 過AB上取E，使BDCE是平行四邊形，它們?cè)诜律鋵?duì)應(yīng)下的象是 a'b'c'd'與E'.由上面推論2.2可知，B DC E是平行四邊形,A B 平 行 與 C DE射A不變量，因此圖2-7CAB EB (AEB) (AEB) ABIIA BIIC D定理證畢.定理2.5 直線上兩條線段的比是仿射不變量.證明留做作業(yè).注：一般地，任意兩直線段之比，不是仿射不變量F面證明：平面上兩個(gè)圖形的面積之比是仿射不變量.先證明一個(gè)引理.引理2.6 在平行射影下，任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)應(yīng)軸的距離之比是一個(gè)常數(shù).證明 設(shè)A與a' ,

4、B與b'是兩對(duì)平行射影對(duì)應(yīng)點(diǎn)，如圖2-8 ,A0 Co B從而AA平行于BB，從這些點(diǎn)到對(duì)應(yīng)軸作垂線 AAo, A Ao , BBo, B Bo，若AB和結(jié)論是明顯的AAo.設(shè)AB與a'b'交g于P.則AP a'Ao'a'pBBoBP，B'Bo'b'pAP a'pBP b'pA B平行與對(duì)應(yīng)軸g ,于是AAoBB0AAo甌從而有AAoa'AoBBoB'Bok （常數(shù)）這個(gè)比例常數(shù)k由平行射影確定.定理2.7 在仿射對(duì)應(yīng)下，任何一對(duì)對(duì)應(yīng)三角形面積之比等于常數(shù) 三角形面積之比是仿射不變量.換句話

5、講，任意兩個(gè)證明 先對(duì)平行射影證明，然后推廣到仿射對(duì)應(yīng).若對(duì)應(yīng)三角形 ABC與a'b'c'有兩對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)， A與a',B與B'重合在對(duì)應(yīng)軸 g上，由第三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn) C與c'，作g的垂線cc0,c'c0'見圖2-9.則a'b'c' C'Co'ABCCCo這里ABC表示了三角形的面積，由引理 2.6知道，上式右邊是一個(gè)常數(shù) k ,所以IIIABC一般情況.如圖2-10所示,ABC與平行射影對(duì)應(yīng)的 ABC中，三對(duì)對(duì)應(yīng)邊相交于對(duì)應(yīng)軸g上于三點(diǎn)X, Y, Z A圖 2-10AY由上一步的證明ABC CYX

6、 B XZ AYZ ,當(dāng)ABC與ABCk CYX k BXZ k AYZ , k ABC.有一對(duì)對(duì)邊平行，且與 g沒有交點(diǎn)時(shí)，結(jié)論顯然還是成立的.上面對(duì)平行射影證明了定理2.7，下面就一般的仿射對(duì)應(yīng)證明定理27 .變到所以設(shè)1上三角形1經(jīng)平行射影變到2上三角形3上3，以此類推，n 1 上 n 1經(jīng)過n1到由上面證明，每一次投影，有一個(gè)面積比較常數(shù)2 k13k22 ,n k1若1是1上另一個(gè)三角形，k1k2.kn 1 1 ,故有2,2經(jīng)2到3的平行射影n的平行射影Tn 1變到n上三角形k1 , k2 , kn 1 ,，于是n kn 1 n 1經(jīng)過“2,Tn 1變成n上三角形n,且證畢.推論2.8 任何兩個(gè)多邊形的面積之比是仿射不變量，因此任意兩個(gè)圖形的面積之比是 仿射不變量。.練習(xí)2 21、證明:三角形的重心有仿射不變性.證明:平行四邊形的中心有仿射不變性.證明:梯形在仿射對(duì)應(yīng)下仍為梯形.4、 證明：任意兩個(gè)