二,等差等比數(shù)列性質(zhì)練習(xí)題(含答案)以及基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)

1、、等差等比數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)（一）知識(shí)歸納:1 .概念與公式：d（常數(shù)），則an稱等差數(shù)列;等差數(shù)列：1.定義：若數(shù)列an滿足an 1 an2.通項(xiàng)公式：an a1 (n 1)d ak (n k)d;、,n(a1 an)n(n 1)30.前n項(xiàng)和公式：公式： Sn - na1 -()d.22等比數(shù)列:1;定義若數(shù)列 an滿足an 1ann 1n kq （常數(shù)），則an稱等比數(shù)列；2.通項(xiàng)公式：an aqakq ；3.前 n 項(xiàng)和公式：Sna1 anq a1（1 q ）（q 1）,當(dāng) q=1 時(shí) Sn na1.1 q 1 q2.簡單性質(zhì)：首尾項(xiàng)性質(zhì)：設(shè)數(shù)列an : a，a2, a3, ,an,1.若

2、an是等差數(shù)列，則 a an a? an 1 a3 an 2；2若an是等比數(shù)列，則 a an a2 an 1 a3 an 2.中項(xiàng)及性質(zhì)：1.設(shè)a, A, b成等差數(shù)列，則 A稱a、b的等差中項(xiàng)，且 A ab; 22.設(shè)a,G,b成等比數(shù)列，則 G稱a、b的等比中項(xiàng)，且 GJOB.設(shè)p、q、r、s為正整數(shù)，且 p q r s,1.若an是等差數(shù)列，則ap aq a a$；2 .若an是等比數(shù)列，則ap aq aras；順次n項(xiàng)和性質(zhì)：n2n3n1.若an是公差為d的等差數(shù)列， 則 ak,ak,ak組成公差為n2d的等差數(shù)列；k 1 k n 1 k 2n 1n2n3n2 .若an是公差為q的等

3、比數(shù)列， 則 ak, ak,ak組成公差為qn的等比數(shù)列.（注意：當(dāng)q=-1, n為k 1 k n 1 k 2n 1偶數(shù)時(shí)這個(gè)結(jié)論不成立）若an是等比數(shù)列，2則順次n項(xiàng)的乘積：a an, an冏2 a2n,a2n1a2n 2 a3n組成公比這q的等比數(shù)列.若an是公差為d的等差數(shù)列，1。 .若n為奇數(shù)，則Sn n等且S奇 S偶 a中( : a中指中項(xiàng)，即a中 an1,而S奇、S偶指所有奇數(shù)項(xiàng)、所有偶數(shù)項(xiàng)的和)；nd2。 .若n為偶數(shù)，則S偶 S奇.2(二)學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1 .學(xué)習(xí)等差、等比數(shù)列，首先要正確理解與運(yùn)用基本公式，注意公差dw0的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是項(xiàng) n的一次函數(shù)an=an+b；公差d

4、w0的等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式項(xiàng)數(shù)n的沒有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù) Sn= an2+bn;公比qwi的等 比數(shù)列的前n項(xiàng)公式可以寫成“ $=a(1-qn)的形式；諸如上述這些理解對(duì)學(xué)習(xí)是很有幫助的 2 .解決等差、等比數(shù)列問題要靈活運(yùn)用一些簡單性質(zhì)，但所用的性質(zhì)必須簡單、明確，絕對(duì)不能用課外的需要證 明的性質(zhì)解題.3”巧設(shè)“公差、公比”是解決問題的一種重要方法，例如：三數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)三數(shù)為a,a+m,a+2m (或2 , aa-m,a,a+m ) ”三數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)三數(shù)為a,aq,aq2(或一，a,aq) 四數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)四數(shù)為a,a m, a 2m,a 3m(或a 3m, a m,a m

5、,a 3m); 四數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)四數(shù)為a,aq,aq2,aq3(或 斗，一，aq, aq3),”等等；類似的經(jīng)驗(yàn)還很多，應(yīng)在學(xué)習(xí)中總結(jié)經(jīng)驗(yàn) q q例1解答下述問題： 1 1 1 ,(I)已知一，一,一成等差數(shù)列，求證：a b cb c c a a b(1),成等差數(shù)列；abcbbb(2) a -,-,c成等比數(shù)列.222解析該問題應(yīng)該選擇“中項(xiàng)”的知識(shí)解決，112 a c 2。/、- 2ac b(a c),a c b ac b2222小 b c a b bc c a ab b(a c) a c(1)a cacac22(a c)22(a c).b(a c) bb、/ b、 b /、 b2/

6、b、2(2)(a 2)(c 2) ac 2(a c)(-),a , , c 2成等比數(shù)列.2 22評(píng)析判斷(或證明)一個(gè)數(shù)列成等差、等比數(shù)列主要方法有：根據(jù)“中項(xiàng)”性質(zhì)、根據(jù)“定義”判斷, (n)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù) n為奇數(shù)，且所有奇數(shù)項(xiàng)的乘瑕為1024,所有偶數(shù)項(xiàng)的乘積為12872 ,求項(xiàng)數(shù)n.解析股公比為q, a3- an021 4五a2a4 an i 128 2n 1ai q-4,235(n 1) 2在此 數(shù)列中 依次取 出部分 項(xiàng)組成 的數(shù)列35而a1a2a3an1024 128.2 2 三a1 q123n 135535(a1 q -)n 2將(1)代入得(22)n 2T ,5n 35 /

7、 /4n 7.2 2(出)等差數(shù)列an中，公差 d w 0 ,ak,ak ,ak恰為等比數(shù)列，其中k1 1,k2 5,k3 17,X k2kn123求數(shù)列kn的前n項(xiàng)和. 2解析a1,a5,a17成等比數(shù)列，a5a1 a17,(a1 4d)2 a1 (a1 16d)d(a1 2d) 0d 0, a12d,數(shù)列ak的公比q a5父d 3, na1a1aka1 3n1 2d 3n 1n而 akna1 (kn 1)d 2d (kn 1)d 由，得kn 2 3n 1 1,，_3n 1.kn的刖 n項(xiàng)和 Sn 2 n 3n n 1.3 1評(píng)析例2是一組等差、等比數(shù)列的基本問題，熟練運(yùn)用概念、公式及性質(zhì)是

8、解決問題的基本功例3解答下述問題：(I)三數(shù)成等比數(shù)列，若將第三項(xiàng)減去32,則成等差數(shù)列；再將此等差數(shù)列的第二項(xiàng)減去4,又成等比數(shù)列,求原來的三數(shù)解析設(shè)等差數(shù)列的三項(xiàng)，要比設(shè)等比數(shù)列的三項(xiàng)更簡單, 設(shè)等差數(shù)列的三項(xiàng)分別為 a-d, a, a+d ,則有2(a d)(a d 32) a2(a 4) (a d)(a d)_2 _3d 32d 64 0, d原三數(shù)為2,10,50或2, 269 9(n)有四個(gè)正整數(shù)成等差數(shù)列,d28a338.9公差為32d 32a 016 d28,得 a 10 或26, 3910,這四個(gè)數(shù)的平方和等于個(gè)偶數(shù)的平方，求此四數(shù)解析設(shè)此四數(shù)為a 15,a 5,a 5,a

9、15(a 15),2222_2(a 152) (a 5)2 (a 5)2 (a 15)2 (2m)2(m N )4a2 500 4m2(m a)(m a)125,1251 125 5 25,a與m a均為正整數(shù)，且m am a,解得aa 12562或a12(不合),25所求四數(shù)為47, 57, 67, 77評(píng)析巧設(shè)公差、公比是解決等差、等比數(shù)列問題的重要方法，特別是求若干個(gè)數(shù)成等差、等比數(shù)列的問題中是主 要方法.、等差等比數(shù)列練習(xí)題、選擇題1、如果一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則此數(shù)列(A)為常數(shù)數(shù)列(B)為非零的常數(shù)數(shù)列(C)存在且唯一(D)不存在2.、在等差數(shù)列 an中,a14,且a

10、1 ,a5 ,a13成等比數(shù)列，則an的通項(xiàng)公式為3、4、(A) an 3n 1(B)ann(C)an 3n 1 或an(D)an3 或 an 4已知a,b, c成等比數(shù)列，且 x, y分別為aa與b、b與c的等差中項(xiàng)，則一xC ,一,一的值為y1(A) T2(B)2(C) 2(D) 不確定互不相等的三個(gè)正數(shù)a,b,c成等差數(shù)列,x是a,b的等比中項(xiàng)，y是b,c的等比中項(xiàng)，那么b22y三個(gè)數(shù)(A)(C)成等差數(shù)列不成等比數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列(B)成等比數(shù)列不成等差數(shù)列(D)既不成等差數(shù)列，又不成等比數(shù)列5、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn , S2 n 14n22n,則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為6

11、、已知(z7、x)22n 2(B) an8nn(C) an 21(D) an4(x y)(y z),則(A) x, y, z成等差數(shù)列(B) x, y, z成等比數(shù)列(C)一，一，一成等差數(shù)列x y z(D)一，一，一成等比數(shù)列x y z數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snan 1 ,則關(guān)于數(shù)列an的下列說法中，正確的個(gè)數(shù)有一定是等比數(shù)列，但不可能是等差數(shù)列 可能既不是等差數(shù)列，又不是等比數(shù)列一定是等差數(shù)列，但不可能是等比數(shù)列可能既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列可能是等比數(shù)列，也可能是等差數(shù)列8、(A) 4M 1 o 1 匚 1 7 1數(shù)列 1 ,3 ,5 - ,7,2 4 8 16(B) 3，前n項(xiàng)和為(C)

12、2(D) 12(A) n21(B)n 歹(C) n2(D)12n 19、若兩個(gè)等差數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和分別為An、Bn ,且滿足AnB4n5n 5a5a13b5b13的值為(A)(B)(C)1920(D)10、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn5n2，則數(shù)列an的前10項(xiàng)和為(A)56(B) 58(C)62(D) 6011、已知數(shù)列的通項(xiàng)公式an5為，從中依次取出第3, 9, 27，3n,項(xiàng)，按原來的順序排成一個(gè)新的數(shù)歹U，則此數(shù)列的前n項(xiàng)和為(A)n(3n 13)2(B)3n10n 3(D)嬰10n 312、下列命題中是真命題的是A .數(shù)列an是等差數(shù)列的充要條件是anpnq (p 0)b,已知

13、一個(gè)數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Snan2bn a，如果此數(shù)列是等差數(shù)列，那么此數(shù)列也是等比數(shù)列C,數(shù)列an是等比數(shù)列的充要條件anabnd .如果一個(gè)數(shù)列 an的前n項(xiàng)和Snabnc (a 0,b 0,b1),則此數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件是填空題13、各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列an1 a5,a7, a8,成等差數(shù)列,則公比 q =14、已知等差數(shù)列 an ，公差dca10,a1,a5,a17成等比數(shù)列，則一a5a”a?a6 a1815、已知數(shù)列an滿足Sn 114 an,則 an =16、在2和30之間插入兩個(gè)正數(shù)，使前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則插入的這兩個(gè)數(shù)的等比中項(xiàng)為 解答題17、已

14、知數(shù)列 an是公差d不為零的等差數(shù)列，數(shù)列abn是公比為q的等比數(shù)歹U，b1 1,b2 10,b346 ,求公比q及bn。18、已知等差數(shù)列an的公差與等比數(shù)列bn的公比相等，且都等于d (d 0,d1) ,a1 b，a33b3,a5 5b5,求 an, bn。19、有四個(gè)數(shù),其中前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其積為216,后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為36,求這四個(gè)數(shù)。20、已知an為等比數(shù)列，a32, a2 a4an的通項(xiàng)式。21、數(shù)列 an的前n項(xiàng)和記為Sn,a1 1,an 12Sn 1 n 1(i)求 an的通項(xiàng)公式;(口)等差數(shù)列bn的各項(xiàng)為正，其前n項(xiàng)和為Tn,且T315,又a16但b?b3成等

15、比數(shù)列，求Tn*.22、已知數(shù)列 an 滿足 ai 1,an 12an 1(n N ).(i)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；b11t2 1bn 1bn .(ii)若數(shù)列bn滿足4 .44 n (an 1)n(n N )，證明：bn是等差數(shù)列；數(shù)列綜合題、選擇題題號(hào)123456789101112答案BDCAAACADDDD由T3 15得，可得b1 b2 b3 15,可得b2 5二、填空題15264,13. 14. 15. ( 一)16.6 .322933三、解答題17.ab1 =a1,ab2 =a10=a1+9d,ab3 = a46=a1+45 d由abn為等比數(shù)例，得(a1+9d) 2= aa1+4

16、5d)得 a=3d,即 ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d.1. q=4又由abn是an中的第bna項(xiàng)，及 abn= ab14n-1=3d4n-1,a1+(bn-1) d=3 d4n-1bn=3 4n-1-218.，a3=3b3 ,a1+2d=3a1d2 ,a1(1-3 d2)=-2 d4/口 1 5d42f_ 2 1彳，得2 =2, - d =1或d = 一，由題息,1 3d25d=世,a5a5=5 b5,a+4 d=5ad4 , /. a1(1-5 d )=-4 d 5n-1_ 5 n-1V5 o . . an=a1+( n-1) d= (n-6)bn=a1d=- V5 (-)、

17、一 、一 *, a 一19 .設(shè)這四個(gè)數(shù)為 一，a, aq,2aq a qaa aq 2163則 q由，得a =216, a=6a aq (3aq a) 36 代入，得3aq=36,q=2一.這四個(gè)數(shù)為3, 6, 12, 18Qa3220 .解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,貝U q迫a2= = 一 , a4=a3q=2q q q所以 2 + 2q = 20 ,解得 q1 = 1 , q2= 3, q 331 1 n 1183n當(dāng) q1=3, a1=18.所以 an=18 X3) =31 = 2X3 .當(dāng) q=3 時(shí)，a1= 2 ,所以 an=2 3n- 1=23.9921.解：(I)由an1 2Sn 1可彳# an 2Sn 1 1 n 2，兩式相減得an 1an2an,an 1 3an n 2又22 2s 1 3a2 3al故an是首項(xiàng)為1,公比為3得等比數(shù)列3n 1(n)設(shè)bn的公差為d故可設(shè) b1 5 d,b3 5 d 又a1 1,a2 3,a3 92由題意可得 5 d 1 5 d 95 3解得di 2,d2 10等差數(shù)列 bn 的各項(xiàng)為正，d 0. . d 2 Tn 3n n n 12 n2 2n*.22 (I)： Qan i 2an 1(n N ),ani 12(an 1),an 1