專題一阿基米德三角形的性質(zhì)講課教案

1、專題一阿基米德三角形的性質(zhì)阿基米德三角形的性質(zhì)阿基米德三角形：拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形。阿基米德最早利用逼近的思想證明了：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的 。阿基米德三角形的性質(zhì)：設(shè)拋物線方程為x2=2py,稱弦AB為阿基米德三角形的底邊，M為底邊AB的 中點(diǎn)，Q為兩條切線的交點(diǎn)。性質(zhì)1阿基米德三角形底邊上的中線與拋物線的軸 。性質(zhì)2阿基米德三角形的底邊即弦 AB過拋物線內(nèi)定點(diǎn)C,則另一頂點(diǎn)Q的軌跡為 0性質(zhì)3拋物線以C為中點(diǎn)的弦與Q點(diǎn)的軌跡 o性質(zhì)4若直線l與拋物線沒有公共點(diǎn)，以l上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過止點(diǎn)。性質(zhì)5底邊長為a

2、的阿基米德三角形的面積的最大值為 。性質(zhì)6若阿基米德三角形的底邊過焦點(diǎn)，則頂點(diǎn) Q的軌跡為拋物線的 ,且阿 基米德三角形的面積的最小值為性質(zhì)7在阿基米德三角形中，/ QFA=/QFB性質(zhì)8在拋物線上任取一點(diǎn)I (不與A、B重合)，過I作拋物線切線交QA、QB于S、T,則AQST的垂心在 上。性質(zhì) 9 AF| |BF|=|QF|2.性質(zhì)10 QM的中點(diǎn)P在拋物線上，且P處的切線與AB。性質(zhì)11在性質(zhì)8中，連接AI、BI,則BBI的面積是zQST面積的一倍。高考題中的阿基米德三角形例1 (2005江西卷，理22題)如圖，設(shè)拋物線C :y= x2的焦點(diǎn)為F,動點(diǎn)P在直l線l:x- y- 2= 0上運(yùn)

3、動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB,且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).(1)求小PB的重心G的軌跡方程.(2)證明/ PFA=/ PFB.解：(1)設(shè)切點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為(x,x0)和(X1，x；)(X1 1 x0),切線AP的方程為：2XoX - y - x2 = 0;切線BP的方程為：2xj- y - x2= 0;解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為：Xp = *1，Vp = X0X1所以AAPB的重心G的坐標(biāo)為22y0 + y + ypx0 + x + xx1yG =G332(Xo + X1) - X0X124xd - yP p3所以yp = - 3yG + 4x1 ,由點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動，從而得到重心

4、G的軌跡方程為:212x - (- 3y + 4x ) - 2 = 0,即y = 一(4x - x + 2).3uiuuun(2)方法 1 :因?yàn)?FA = (x0,x02 - -), FP =0 04x0 + x11 uuu(yAxX1- 4),FB.21 .=(X1,X1- ;).由于P點(diǎn)在拋物線外，則uuu|FP |1 0. cos? A FPuuu uuuFP FA-utu |FPuiuIIFA |X0 + X12?X0(X0X11 、/21 、-)(X0 -)44uuu22I FP I . x。2 + (x。24)2X0X1 + uuw- |FP I同理有cos?BFPuur urn

5、FP FB-utuutu-|FP II FB |x0 + X1一2一?x1(x0x11-4)(x113)XXi ./AFP=/PFB.方法2:當(dāng)中0= 0時，由于5點(diǎn)到直線AF的距離為：diuuu221 2|FP | ,七 + ( - 4)? X0,不妨設(shè)x0uun|FP Ix0,則y0 = 0,所以P點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),則P2| x1 |3;而直線BF的方程：y-221 X1=41-X,Xi即(xj - 1)x - x1y + 1x1 = 0. 44所以P點(diǎn)到直線BF的距離為：d221 X1 X1I(X1- 4)7+7|(x2+二)出(X2-14)+ (Xj2x： +IX112所以 d1=

6、d2,即得/ AFP=/PFB.當(dāng)51 0時，直線AF的方程:2X0X0 - 01(X - 0),即(X0- -)X -4,1 cX“ +X0 = 0,421,.、一一X，-直線BF的方程：v 1.14儀y (X -4X1 - 0210),即(Xi - -)x - Xiy41+x1 = 0,4所以P點(diǎn)到直線AF的距離為:di21 X0 + X1|(X0 - 7 m, 21211)-X0Xi+4X0|(X2- 4)2 + XX0- X121yg/21X0+ 4|X0- X1 |2，同理可得到P點(diǎn)到直線BF的距離d2 = j,因此由d解、式得y1 = % y2=入，且有x1x2=入22= -4入2

7、= -4,拋物線方程為y=4x2,求導(dǎo)得y= 2x.所以過拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線方程分別是也可得到/ AFP=/PFB*例2 (2006全國卷H,理21題)已知拋物線X2 = 4y的焦點(diǎn)為F, A、B是拋物線上的 . . 兩動點(diǎn)，且AF=乃B (人0) .過A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其父點(diǎn)為M.、(I )證明FM AB為定值；(H)設(shè) ABM的面積為S,寫出S= f(的表達(dá)式，并求S的最小值.解：(I)由已知條件，得F(0, 1),人0.、r設(shè) A(x1, y1), B(x2, y2).由 AF=；FB,即得 (-X1, 1 y)= Xx2, y2-1),X1= 2x21 y1 = X

8、y2- 1)11將式兩邊平方并把 y1 = 4x12, y2 = 4x22代入得y1 = ；2y2 11y = 2x1(x x1) + y1, y= 2x2(x x2)+ y2,即 y= 2x1x 4x12, y=2x2x 4x22.x1+x2 x1x2 x1+x2解出兩條切線的交點(diǎn) M的坐標(biāo)為( 2，4 ) = ( 2， 1 1) 4分一一 x1+x2111所以 F MA B=( 2， 2)(x2x1, y2y1) = 2(x22 x12)2(4x22a12) = 0-. .、 一所以FM AB為定值，其值為0.7分1(H)由(I )知在 ABM 中，F(xiàn)M1AB,因而 S= 2AB|FM|-

9、 |FM|= l( 2 -)2+ (-2)2 =44x12 + 4x22 + 2x1x2+ 411_1+ y2 + 2X 4)+4 = 廿廿 2=T廿因?yàn)锳F|、|BF|分別等于A、B到拋物線準(zhǔn)線y= 1的距離，所以1. J.|AB|= AF| + |BF尸y1+y2+2=壯入 + 2=(4 廿/2.于是S= 1|AB|FM | = (6+ 工3,1由6旅口 S4且當(dāng)人=1時，S取得最小值4.例3 (2007江蘇卷，理19題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過y軸正方向上一點(diǎn)C(0,c)任作一直線，與拋物線y=x2 相交于AB兩點(diǎn)，一條垂直于x軸的直線，分別與線段AB和 直線l :y = -

10、c交于P,Q ,uuu uuu(1)右OA?OB 2,求。的值；(5分)(2)若P為線段AB的中點(diǎn)，求證：QA為此拋物線的切線；(5分)(3)試問(2)的逆命題是否成立？說明理由。(4分)解：(1)設(shè)過 C 點(diǎn)的直線為 y = kx + c ,所以 x2 = kx+ c(c 0),即 x2- kx- c = 0 ,設(shè) A(xi,y)B (x2,y2)urnuuu一 , uur uun 一，OA=(xi，yi), OB = (x2，y2),因?yàn)?OA?OB 2,所以22x1x2 + y1y2 = 2 ,即 x1x2 + (kx1 + c)(kx2 + c)= 2 , x1x2 + k x1x2

11、- kc(x1 + x2)+ c = 2所以-c- k2c + kcgk + c2 = 2 ,即 c2- c- 2= 0,所以c=2 (舍去 c = - 1)(2)設(shè)過 Q 的切線為 y - yi = ki(x - xj, y/ = 2x ,所以 K = 2x1，即y = 2x1x - 2x12 + y1 = 2x1x - x12 ,它與 y = - c 的交點(diǎn)為 M?1- -,- c豐，又 ?22x1 于P扛上,y+X察|,ki cg所以Q |,-c I因?yàn)閤j2，所以-1x2,所以初22千？22一般 一x1x2,-哇普,-噫所以點(diǎn)M和點(diǎn)Q重合，也就是QA為此拋物線的切線。(3) (2)的逆

12、命題是成立，由(2)可知Q套-4 因?yàn)镻QA x 軸,所以 P ?|,ypi因?yàn)? k,所以p為ab的中點(diǎn)。 22例4 (2008山東卷，理22題)如圖，設(shè)拋物線方程為x2= 2py(p 0) , M為直線y = - 2p上任意一點(diǎn)，過M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為 A, B .(I )求證：A, M , B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；(II)已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，- 2p)時，AB|=440.求此時拋物線的方程；(m)是否存在點(diǎn)M ,使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)D在拋物線x2 = 2py(p 0)上，其中，點(diǎn)c滿足OCu=OAu + OBu(o為坐標(biāo)原點(diǎn)).若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo)；

13、若不存在，請說明理由.解：(I)證明：由題意設(shè)AX2B12Pli將x2入2B X2? 杪2px1 得y&所以2 = ，* = 因此直線MA的方程為y + 2Pxi ,、=(X Xo),P直線MB的方程為y + 2p = x2(x - Xo).P2X .X ,所以，+2p=(x/x0), 2Pp2x2-+ 2p =2pX2 , 、小(x2 xo) .P由、得X5Xi + X2 Xo ,即 2Xo = Xi + X2 .所以A, M, B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.(n)解：由(i)知，當(dāng)xo= 2時,將其代入、并整理得:2222x1 4x1 4p = 0 ,x2 4x2 4p = 0 ,所以9 X2

14、是方程x2 4x 4p2= 0的兩根,因此 Xi + X2 = 4 , X1X2 = 4p2 ,22X2X1乂 V 2P 2P X1 + x2x0 ,所以 kABx2 x1 2p pkAB =由弦長公式得AB =2 J(xi + x2)2 - 4%x2 = J1 + /6+ 16P2 .又AB = 4而,所以p = 1或p = 2 ,因此所求拋物線方程為x2 = 2y或x2 = 4y .（田）解：設(shè) D區(qū), 丫3）,由題意得 C（xjx2, 丫1 + 丫2）,則CD的中點(diǎn)坐標(biāo)為Q+ X2 + X3 yi + y2 + y3 之設(shè)直線AB的方程為y- y1 二 x-（x - x1）, p由點(diǎn)Q在

15、直線AB上，并注意到點(diǎn)”也在直線AB上，代入得x0 y3 = xp若 D（x3, 丫3）在拋物線上，則 x2 = 2py3 = 2x0x3 ，因止匕 x3= 0或 x3 = 2x0 .即 D(0,0)或 D 1x0,逐 秒 p(1)當(dāng) x0 = 0 時，則 xi + x2 = 2 = 0 ,此時，點(diǎn)M（。,-2p）適合題意.(2)當(dāng) 1 0 ,對于D(0,0),此時C夕22x1 + x2 0， 三2p +2 ,2x1 + x2, 2PkCD = 2x5 022x1 + x24px。22x=-14p222x0x0 x1 + x 2又 kAB = ， AB A CD ,所以 kAB gCD = -

16、g-pp 4px。即 x2 + x： = - 4p2 ,矛盾.屏 2x2 -霹 x2 + x2 對于D猿0，王，因?yàn)镃務(wù)x0,三 此時直線CD平行于y軸,年 p;秒 2Pm又kAB = x0 ? 0 ,所以直線AB與直線CD不垂直，與題設(shè)矛 P盾，所以X0I 0時，不存在符合題意的M點(diǎn).綜上所述，僅存在一點(diǎn)M (。,- 2p)適合題意.例5 (2008江西卷，理21題)設(shè)點(diǎn)P(X0,y0)在直線x = m (y貢m,0 m 1)上，過點(diǎn)P作雙曲線x2 - y2 = 1的兩條切線PA、PB ,切點(diǎn)為A、B ,定點(diǎn)M ( , 0).m(1)過點(diǎn)A作直線x- y= 0的垂線，垂足為N ,試求 AMN

17、的重心G所在的曲 線方程；(2)求證：A、M、B三點(diǎn)共線.證明：(1)設(shè) AX.yB.y2),由已知得到丫也1 0,且x2-y；= 1 , x2 -y：= 1 ,設(shè)切線PA的方程為：y -y1= k(x -xj由?yy21k(xx1)得? x - y = 1(1 - k2)x2 - 2k(y1 - kx1)x - (y1 - kx1 )2 - 1 = 0從而 D = 4k2(y1- kx1)2 + 4(1- k2)(y1 - kx1)2 + 4(1- k2) = 0 ,解得k = x1 V1因此PA的方程為：yy = x2 - 1同理pb的方程為：y2y = x? - 1又 P(m,y。)在 PA、PB 上，所以 y/。=mx1 - 1 , 丫2丫。= mx2- 1即點(diǎn)AM.y) BDz)都在直線y0y = mx- 1