因式分解的9種方法

1、因式分解的多種方法 -知識(shí)延伸，向競賽過度1.提取公因式：這種方法比較常規(guī)、簡單，必須掌握。常用的公式：完全平方公式、平方差公式例一：2x2_3x=0解：x(2x-3)=0，x1=0,x2=3/2這是一類利用因式分解的方程?？偨Y(jié)：要發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律：當(dāng)一個(gè)方程有一個(gè)解x=a時(shí)，該式分解后必有一個(gè)(x-a)因式，這對我們后面的學(xué)習(xí)有幫助。2. 公式法常用的公式：完全平方公式、平方差公式。注意：使用公式法前，部分題目先提取公因式。2例二：x -4分解因式分析：此題較為簡單，可以看出4=2 2，適用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2解：原式=(x+2)(x-2)3.十字相乘法是做競賽

2、題的基本方法，做平時(shí)的題目掌握了這個(gè)也會(huì)很輕松。注意：它不難。這種方法的關(guān)鍵是把二次項(xiàng)系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)a1,a2的積a1?a2，把常數(shù)項(xiàng) c分解成兩個(gè)因數(shù)c1,c2的積c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次項(xiàng)b，那么可以直接寫成結(jié)果例三：把2x2 -7x 3分解因式分析：先分解二次項(xiàng)系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角，再分解常數(shù)項(xiàng)，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)系數(shù) 分解二次項(xiàng)系數(shù)(只取正因數(shù))：2 = 1X2 = 2X1 ；7.a=a1a2，常數(shù)項(xiàng)分解常數(shù)項(xiàng)： 3=1 X 3=3X 1=(-3) X(-1)=(-1) X-3).用畫

3、十字交叉線方法表示下列四種情況：1 11 31 -11 -3XXXX2 32 12 -32 J1x3+2x1 =51x1+2x3 =71x(-3)+2x(-1) =-51x(-1)+2x(-3) =-7經(jīng)過觀察，第四種情況是正確的，這是因?yàn)榻徊嫦喑撕?，兩?xiàng)代數(shù)和恰等于一次項(xiàng)系數(shù)-解原式=(x-3)(2x-1).總結(jié)：對于二次三項(xiàng)式axA2+bx+c(a工0)，如果二次項(xiàng)系數(shù)a可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即c可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即c=c1c2，把a(bǔ)1 , a2 , c1 , c2，排列如下：a1 c1Xa2 c2a1c2+a2c1按斜線交叉相乘，再相加，得到 a1c2+a2c1 ，若它正好等于二

4、次三項(xiàng)式ax2+bx+c的一次項(xiàng)系數(shù)b,即a1c2+a2c仁b，那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式a1x+c1與a2x+c2 之積，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).這種方法要多實(shí)驗(yàn)，多做，多練。它可以包括前兩者方法。4. 分組分解法也是比較常規(guī)的方法。一般是把式子里的各個(gè)部分分開分解，再合起來，需要可持續(xù)性! 例四：x2 4x 4 _ y2可以看出，前面三項(xiàng)可以組成平方，結(jié)合后面的負(fù)平方，可以用平方差公式解：原式 =(x+2)A2-yA2=(x+2+y)(x+2-y)總結(jié)：分組分解法需要前面的方法作基礎(chǔ)，可見前面方法的重要性。5. 換元法整體代入，免去繁瑣的麻煩，亦是建立

5、的之前的基礎(chǔ)上例五：(x y)2 -2(x y) 1分解因式考慮到x+y是以整體出現(xiàn)，展開是十分繁瑣的，用a代替x+y那么原式=aA2-2a+1 =-1)人2，回代原式=(x+y-1)卜26. 主元法這種方法要難一些，多練即可。即把一個(gè)字母作為主要的未知數(shù)，另一個(gè)作為常數(shù)22242例六：因式分解 16y 2x (y -1) 8x y x (y -1)分析：本題尚且屬于簡單例用，只是稍加難度，以y為主元會(huì)使原式極其煩瑣，而以式的難度就大大降低了。x為主元的話，原原式=x4(y -1)2 2x2(y -1)2 8x2y 16y主元法=(xA2yA2-2xA2y+xA2+8y)(xA2+2)可見，十

6、字相乘十分重要。2 2x (y-1)2x8y28x2y 2x2(y-1)2【十字相乘法】7.雙十字相乘法難度較之前的方法要提升許多。是用來分解形如ax2 bxy cy2 dx e f的二次六項(xiàng)式在草稿紙上，a=mn,c = pq, f = jk如果mq + np = b, pk + qj = e , mk + nj = d，即第1,2列和第2,3列都滿足十字相乘規(guī)則。則原式=(mx + py + j)(nx + qy + k)2例七：ab + b + a b 2分解因式解：原式= oxi XaA2 + ab + bA2 + a b 2=(0 Xa + b + 1 )( a + b 2)=(b

7、+ 1 )( a + b 2 )8.待定系數(shù)法將式子看成方程，將方程的解代入，這時(shí)就要用到“1 ”中提到的知識(shí)點(diǎn)了當(dāng)一個(gè)方程有一個(gè)解x=a時(shí)，該式分解后必有一個(gè)（x-a）因式例八：x2 x _2該題可以用十字相乘來做，這里介紹一種待定系數(shù)法我們可以把它當(dāng)方程做，xA2+x-2=0一眼看出，該方程有一根為x=1，那么必有一因式為（x-1）結(jié)合多項(xiàng)式展開原理，另一因式的常數(shù)必為2 （因?yàn)槌?1要為-2）一次項(xiàng)系數(shù)必為1 （因?yàn)榕c1相乘要為1），所以另一因式為（x+2 ），分解為（x-1）（x+2）9. 列豎式讓人拍案叫絕的方法。原理和小學(xué)的除法差不多。要建立在待定系數(shù)法的方程法上，不足的項(xiàng)要用 除

8、的時(shí)候，一定要讓第一項(xiàng)抵消例九：3x3 - 5x2 -2分解因式提示：x=-1可以使該式=0，有因式（x+1）3xA2+2x-2Tt+1、3/3+5/2-2/ 3xA3+3x2/2-2-2x-2-2x2O' 那么該式分解為（x+1） （3xA2+2x-2）因式分解有9種方法，這么多？其實(shí)是不止的，還有很多很多。不過了解這些，初中的因式分解是不會(huì)有問題了?？紤]到每種方法只有一個(gè)例題，下面提供一些題目，供大家練習(xí)。(ab b)2 - (a b)2(a2 _x2)2 _4ax(x - a)2(ab b)2 - (a b)2(a2 _x2)2 _4ax(x - a)23 22 222 33a b c -6a b c 9ab cxy + 6 2x 3y2 2(3a -b) -4(3a-b)(a 3b) 4(a 3b)(x + 2)(x 3) + (x+ 2)(x + 4)212x 29x + 152 2x(y + 2) x y 14x 4xy y -4x-2y-34322x 13x20x11x 22 22x -7xy-