北大附中高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)與微分知識(shí)拓展(一)

1、學(xué)科：數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)與微分知識(shí)拓展（一）【知識(shí)拓展】1若函數(shù)yf（x）是由參數(shù)方程所確定的，該怎樣求它的導(dǎo)數(shù)？前面我們討論了顯函數(shù)和隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，但在某些情況下，因變量y與自變量x的關(guān)系是通過另一參變量t由參數(shù)方程和來給出的，對(duì)于這類函數(shù)，有時(shí)可以把它很簡(jiǎn)單地表示成顯函數(shù)的形式，但有時(shí)就比較麻煩甚至不可能因此，我們有必要找出這類函數(shù)的求導(dǎo)方法設(shè)的反函數(shù)，并設(shè)它滿足反函數(shù)求導(dǎo)的條件，于是可把y看作復(fù)合函數(shù)由復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的求導(dǎo)法則，得思路啟迪根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)的定義因此要求只要把y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)求出來，再將與xt1聯(lián)系，重復(fù)利用參數(shù)方程求導(dǎo)公式，求出對(duì)x的導(dǎo)數(shù)，即也即是我們要求y對(duì)x的二階導(dǎo)數(shù)如果函

2、數(shù)yf（x）是由極坐標(biāo)方程（）給出來的，則可把極坐標(biāo)方程先化成參數(shù)方程，再求導(dǎo)數(shù)即x（）cos,y（）sin,從而2什么是羅爾定理？我們先考察一個(gè)函數(shù)，容易驗(yàn)證這個(gè)函數(shù)滿足：（）在閉區(qū)間1，1上連續(xù)（）在開區(qū)間（1，1）內(nèi)可導(dǎo)（）f（1）f（1）1這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得x0（1，1）即在開區(qū)間（1，1）內(nèi)存在點(diǎn)x使得（如圖314）一般地，我們有（即羅爾定理）若函數(shù)f（x）滿足條件（）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（）在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)；（）在區(qū)間a,b的兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即f（a）f（b），則至少存在一點(diǎn)使得羅爾定理的幾何意義是：兩個(gè)端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等的處處存在切線（端點(diǎn)除外）的連續(xù)曲線yf（x）上

3、，至少有一點(diǎn)的切線是水平的如圖315顯然f（x）滿足羅爾定理的三個(gè)條件，其中a1,b3存在點(diǎn)1（1，3），使即符合羅爾定理的結(jié)論3什么是拉格朗日中值定理？在羅爾定理的幾何意義中，可以看出在羅爾定理的條件下，曲線上至少有一條切線是水平的，這時(shí)曲線的兩個(gè)端點(diǎn)的連線也是水平的（f（a）f（b），因此也可以說成是至少有一點(diǎn)處的切線平行于兩個(gè)端的連線這個(gè)結(jié)論可以推廣到更一般的情況，即有下面更一般的結(jié)論（即拉格朗日中值定理）若函數(shù)f（x）滿足：（）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；則至少存在一點(diǎn)（a，b），使容易驗(yàn)證，F(xiàn)（x）在a，b上滿足羅爾定理的條件，從而至少存在一點(diǎn)（a，b），使拉

4、格朗日中值定理的幾何意義是：處處存在切線(兩個(gè)端點(diǎn)除外)的連續(xù)曲線yf(x)上，至少有一條切線平行于兩個(gè)端點(diǎn)的連線(如圖316)在拉格朗日定理的證明中，采用的方法是先作出一個(gè)輔助函數(shù)，故這種方法也稱輔助函數(shù)法輔助函數(shù)法也稱為構(gòu)造法它是數(shù)學(xué)分析中一種重要的證題方法，這種方法的基本思想是先構(gòu)造一個(gè)與欲證結(jié)果有關(guān)的輔助函數(shù)，然后再由已知條件、概念和定理，推斷所要證明的結(jié)論的正確性拉格朗日定理是應(yīng)用最廣泛的微分中值定理，也是微分學(xué)中最重要的定理之一，它的結(jié)論常稱為拉格朗日中值公式為運(yùn)用方便，可把這個(gè)公式寫成下列幾種形式對(duì)于這些公式要靈活運(yùn)用，比如：不必局限于a<b；若某函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，

5、b）（有限或無限）內(nèi)處處有導(dǎo)數(shù)，則對(duì)可以斷言，在與之間存在使拉格朗日定理建立了函數(shù)f（x）在a，b上的平均變化率（整體性質(zhì)）與該函數(shù)在（a，b）內(nèi)某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)（局部性質(zhì)）之間聯(lián)系，從而為利用導(dǎo)數(shù)解決整體性問題提供了可能性需要說明的是：在拉格朗日定理中，只指出“中間值”（或）的存在性，而沒有提供確定（或）的方法例1證明：若f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)是一個(gè)常數(shù)思路啟迪要證明f（x）在（a，b）內(nèi)是一個(gè)常數(shù)，只要能證明：對(duì)于（a，b）內(nèi)的任意不相同的兩點(diǎn)都有即可規(guī)范證法任取，不妨設(shè)，因?yàn)閒（x）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，從而f（x）在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由微分中值定

6、理，至少存在一點(diǎn)，使得即函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)是一個(gè)常數(shù)利用拉格朗日定理可以證明不等式，常用的步驟為：（1）選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)f（x）及相應(yīng)區(qū)間a，b（2）驗(yàn)證條件，應(yīng)用拉格朗日定理得例2 設(shè)f（x）在0，c上定義，存在且單調(diào)遞減，f（0）0證明：對(duì)于0ababc，恒有f（ab）f（a）f（b）思路啟迪對(duì)函數(shù)f（x）在區(qū)間0，a與b,ab上分別應(yīng)用拉格朗日中值定理，再結(jié)合的單調(diào)遞減性即可證得規(guī)范證法（1）若a0時(shí)顯然成立（2）若a>0時(shí)，再由f（x）在b,ab上應(yīng)用拉格朗日定理得因單調(diào)遞減，故對(duì)<ab<y，有注意到a0，故有，于是從上面可以看出，拉格朗日中值定理是羅爾定理的推

7、廣，而羅爾定理是拉格朗日的一種特殊情況（只要令f（a）f（b）即得羅爾定理）4怎樣利用導(dǎo)數(shù)求不定式的極限？我們先看幾個(gè)例子：從上面幾個(gè)例子可以看出，有兩個(gè)函數(shù)f（x）和g（x），當(dāng)xa（或x）時(shí)都趨于零，或都趨于窮大，但這時(shí)的極限可能存在，也可能不存在，通常把這種類型的極限稱為不定式的極限若xa時(shí)，f（x）與g（x）都趨于0，則稱極限為型不定式；若當(dāng)xa時(shí)，f（x）與g（x）都趨于無窮大，則稱極限為型不定式關(guān)于不定式的極限，我們有下面的結(jié)論注：上面等式的右端分式是左端分式的分子和分母分別求導(dǎo)的結(jié)果，即是，而不是，這一點(diǎn)在利用上面的公式時(shí)一定要注意若仍是一個(gè)不定式，并且它仍滿足上面的三個(gè)條件，則

8、此時(shí)對(duì)再用一次洛必達(dá)法則，即此時(shí)有，即洛必達(dá)法則可以重復(fù)應(yīng)用上面的x的變化趨勢(shì)xa可換成，結(jié)論仍成立思路啟迪由于當(dāng)x0時(shí)，xxcosx0,xsinx0，所以這是一個(gè)不定式，考慮利用洛必達(dá)法則規(guī)范解法易知這是型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則得：點(diǎn)評(píng)本題在應(yīng)用一次洛必達(dá)法則以后得極限：由極限公式：當(dāng)x0時(shí)，1cosxxsinx0,1cosx0,故仍是一個(gè)不定式，且它的分子分母分別求導(dǎo)之后的極限存在，因此再應(yīng)用一次洛必達(dá)法則思路啟迪由于故考慮利用洛必達(dá)法則思路啟迪按照導(dǎo)數(shù)的定義，我們有由已知存在可知g（x）在點(diǎn)x0連續(xù)，故顯然，故極限為型不定式又存在，從而存在由洛必達(dá)法則得點(diǎn)評(píng)雖然存在，此時(shí)有即仍為不定式，

9、但我們不能再次利用洛必達(dá)法則而用以解法：因?yàn)橐阎獥l件中只給出當(dāng)x0時(shí)g（x）的兩階導(dǎo)數(shù)即存在，而當(dāng)x0時(shí)，g（x）的兩階導(dǎo)數(shù)即不一定存在，即使存在，極限也不一定存在，故兩次利用洛必達(dá)法則是錯(cuò)誤的思路啟迪由于，故這是個(gè)不定式極限，考慮利用洛必達(dá)法則思路啟迪當(dāng)x時(shí)，故這是個(gè)型不定式的極限，考慮利用洛必達(dá)法則，故有相繼應(yīng)用洛必達(dá)法則n次得點(diǎn)評(píng)對(duì)該不定式利用n1次洛必達(dá)法則的每一結(jié)果仍是不定式，第n次應(yīng)用洛必達(dá)法則極限存在，故該極限需相繼使用n次洛必達(dá)法則才能求出極限除上述討論的型與型不定式之外，在實(shí)際問題中，我們還常遇到一些象、0·、型的不定式，對(duì)于這些不定式，我們都可以通過一些變化把它變

10、成型或型的不定式，從而可以得到解決下面我們通過一些例題加以說明思路啟迪由于當(dāng)故這是一個(gè)0·型不定式，考慮首先將其變成或型，再利用洛必達(dá)法則點(diǎn)評(píng)上述解題過程是將0·型變成型，再應(yīng)用洛必達(dá)法則，我們看會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)果可以看出，當(dāng)變成型再利用洛必達(dá)法則，不但求不出極限，而且結(jié)果比不用洛達(dá)法則以前更復(fù)雜，因此該極限不能變成型求它的極限由該例我們得到啟示：當(dāng)將0·型變成型用洛必達(dá)法則求不出它的極限時(shí)，應(yīng)考慮將它變成型，再利用洛必達(dá)法則求之思路啟迪對(duì)于型不定式，首先利用恒等式將其變成0·型，再利用上述方法求之思路啟迪首先利用三角關(guān)系，將secxtanx變成再利用洛必達(dá)

11、法則思路啟迪因?yàn)閤0時(shí)，cosx1故這是型不定式，首先利用恒等式，并將其變成型或型，再利用洛必達(dá)法則思路啟迪因?yàn)楫?dāng)x時(shí)，故這是一個(gè)型不定式，首先利用恒等式即可從以上解題的過程可以看出，利用洛必達(dá)法則求不定式的極限是非常方便的，可以說，洛必達(dá)法則是解決不定式的極限的非常有用的方法因此希望讀者能夠熟練掌握此種方法凡遇到不定式的極限能夠想到利用洛必達(dá)法則應(yīng)用洛必達(dá)法則應(yīng)注意以下幾個(gè)問題：（1）審查所求的極限是否為不定式，不是不定式不能應(yīng)用洛必達(dá)法則，因?yàn)樗粷M足洛必法則的條件，如：是錯(cuò)誤的因?yàn)闃O限不是型不定式事實(shí)上（2）除計(jì)算兩種不定式外，計(jì)算其他五種不定式、0·、型要用對(duì)數(shù)或代數(shù)運(yùn)算將它轉(zhuǎn)化為不定式，然后再應(yīng)用洛必達(dá)法則（3）洛必達(dá)法則中有一個(gè)條件是極限存在，如果極限不存在，計(jì)算極限就不能應(yīng)用洛必達(dá)法則雖然不存在，但是極限也有可能存在，這時(shí)計(jì)算它的極限要用其他的計(jì)算極限的方法例如，計(jì)算極限