奧運會獎牌榜預(yù)測問題

1、2016年中國礦業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)建模模擬競賽參賽基本信息專用頁承 諾 書我們仔細閱讀了大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。 參賽學(xué)生基本信息題目里約奧運會獎牌榜預(yù)測評閱編號（由組委會 統(tǒng)一填寫）姓名（打

2、?。┌嗉夒娫挶救撕灻?日期： 年 月 日里約奧運會獎牌榜預(yù)測摘要本文主要探討了奧運會獎牌榜的預(yù)測問題，通過建立模型對2016年里約奧運會獎牌榜進行預(yù)測。本文主要通過建立比較時間序列模型、多遠線性模型喝灰色預(yù)測模型，使用MATLAB和SPSS軟件對歷屆奧運會獎牌榜進行分析并最終得到最優(yōu)預(yù)測模型。在模型一的建立中，我們假設(shè)奧運會獎牌榜之語往屆奧運會獎牌榜有關(guān)，使用時間序列法來進行預(yù)測，通過對數(shù)據(jù)擬合建立回歸模型。由于模型一得預(yù)測結(jié)果與實際獎牌榜出入較大，在模型二的建立中，我們綜合考慮了國家GDP、人口數(shù)量、經(jīng)濟發(fā)展水平、人口結(jié)構(gòu)和東道主效應(yīng)等因素建立多元回歸模型。 關(guān)鍵詞：一、 問題的重述奧運會是

3、競技體育頂級盛會，其所獲獎牌數(shù)及國家排名在一定程度上是衡量一個國家體育水平的尺度，也是一個國家的經(jīng)濟、政治和綜合實力的具體體現(xiàn)之一。2016年8月6日早上7:00在巴西的里約熱內(nèi)盧隆重開幕(以下簡稱里約奧運會)，對于正在舉行的里約奧運會，大家普遍關(guān)心的問題就是獎牌榜的排名，奧運會獎牌榜成了大家關(guān)心的熱點問題?，F(xiàn)請查閱資料，并根據(jù)以往各國獎牌榜排名情況，以及各國經(jīng)濟發(fā)展、人口體質(zhì)、政府政策等各種能影響到獎牌榜的因素，建立數(shù)學(xué)模型，預(yù)測2016里約奧運會的獎牌榜前十名。并據(jù)此對各國體育水平進行分類。二、 問題的分析 三、 模型假設(shè)俄羅斯隊因為禁賽原因結(jié)果取預(yù)測值的2/3世界銀行和奧委會提供的資料真

4、實可靠 今年奧運會共頒發(fā)302塊金牌，960塊獎牌四、 符號說明國家編號奧運會屆數(shù)每個國家的金牌總數(shù)每個國家獎牌總數(shù)國家的人口總數(shù)國民生產(chǎn)總值奧運會主辦國社會制度青少年在總?cè)丝诳偹急壤濉?建立模型及求解5.1、模型一得建立與求解5.1.1、模型一的建立：最簡單的增長模型就是馬爾薩斯的指數(shù)增長模型，設(shè)某年的獎牌數(shù)為 ,年后的獎牌數(shù)為 ，屆增長率為常數(shù)，則有：（1）雖然該模型可以較好的預(yù)當參賽國家較少時的奧運獎牌榜，但在實際中增長率并不是常數(shù)且由于各種原因增長率差別較大，所以此模型無法有效的預(yù)測本屆奧運會獎牌榜。時間序列模型是描述時間序列統(tǒng)一性的一種常用方法，在預(yù)測未來事件時，通過該事件的歷史

5、數(shù)據(jù)揭示事假未來的發(fā)展規(guī)律，從而對該事件的未來做出預(yù)測。時間序列模型強調(diào)時間因素在預(yù)測中的主體作用，暫不考慮外界因素的影響。所以在模型的建立中我們假設(shè)奧運會獎牌榜只與歷屆奧運會成績相關(guān)，暫不考慮其他因素的影響。因為每一屆奧運會比賽項目都在發(fā)生變化，獎牌總數(shù)也隨之變化，為了使任意兩屆奧運會獎牌數(shù)目具有可比性，本文采取獎牌數(shù)目的相對值來進行計算，從而消除獎牌數(shù)目變化帶來影響，即使用來計算。在模型的建立當中，我們使用線性回歸模型來預(yù)測2016年奧運會獎牌榜。奧運獎牌總數(shù)和時間之間的一元線性回歸模型為： （2）其中為時間，為待定參數(shù)，為隨機變量，用MATLAB擬合后得到總獎牌數(shù)目擬合曲線。5.1.2、

6、模型一的求解以德國為例進行2016年奧運會獎牌榜排名：表一： 1992-2012年德國奧運會獎牌數(shù)年份金牌數(shù)金牌占比獎牌總數(shù)獎牌總數(shù)占比19884819.92%14217.91%19923312.69%8210.06%1996207.94%658.82%2000134.36%566.07%2004144.64%485.16%2008165.30%414.28%2012113.64%444.57%由于1988年德國分為聯(lián)邦德國和民主德國進行參賽，數(shù)據(jù)不具有參考價值，擬合時不予考慮。德國歷屆奧運會獎牌總數(shù)擬合結(jié)果：圖一：德國歷屆獎牌總數(shù)線性回歸擬合曲線表二：獎牌總數(shù)線性回歸結(jié)果：回歸系數(shù)回歸系數(shù)值

7、估計0.394-0.012=0.877=28.649=0.006德國獎牌總數(shù)線性回歸結(jié)果為：使用SPSS軟件預(yù)測德國隊在今年奧運會中拿到的總獎牌占比為0.0649。使用同樣方法對其他國家進行線性擬合結(jié)果如表三所示：、表三：各國獎牌總數(shù)占比擬合結(jié)果：國家擬合方程美國中國俄羅斯英國澳大利亞法國日本德國意大利韓國荷蘭匈牙利通過對各個國家歷屆獎牌數(shù)目占比進行線性擬合，我們得到了每個國家金牌占比和總獎牌占比與奧運會舉辦屆數(shù)的線性關(guān)系，并由此得到第26界奧運會的獎牌榜排名。表四：第31屆奧運會獎牌榜預(yù)測國家獎牌總數(shù)獎牌總數(shù)排名金牌數(shù)金牌數(shù)排名美國991421中國972312英國503124澳大利亞4641

8、15俄羅斯425183法國376117日本377711德國378106意大利349108韓國25101095.2、模型二的建立與求解5.2.1、模型二的建立：由于在模型一中僅考慮時間因素，線性擬合結(jié)果不理想?？紤]到是否為東道主對比賽結(jié)果特別是金牌數(shù)量，具有顯著影響，因此在模型二中，采用了灰色GM(1，1)模型與東道主因素相互結(jié)合的方法進行預(yù)測，假設(shè)獎牌榜上各成員成績只與是否為東道主和在往屆的表現(xiàn)有關(guān)?？陀^世界中既有大量已知信息又有大量未知信息，相互交織。如果將已知信息稱為白色信息，未知或非確知信息稱為黑色信息，既含有已知信息又含有未知或非確知信息的系統(tǒng)稱為灰色系統(tǒng)。這些系統(tǒng)僅具有以時間為序列的

9、數(shù)據(jù)，因此在研究時可將時間序列轉(zhuǎn)化為微分方程，建立抽象系統(tǒng)發(fā)展變化的動態(tài)模型，這就是灰色DM或GM模型。在模型二中，為排除東道主所產(chǎn)生的顯著影響，首先對原始數(shù)據(jù)進行了處理，將東道主當年獎牌與金牌占有量修正為上下兩屆的平均數(shù)。同時考慮到各國的體育水平更多地由金牌（或獎牌）占有量體現(xiàn)，而不是由純粹的數(shù)量決定，因此為了使任意兩屆奧運會獎牌數(shù)目具有可比性，本文采取獎牌數(shù)目的相對值來進行計算，從而消除獎牌數(shù)目變化帶來影響，即使用來計算。特別的，為簡化運算假設(shè)本屆將有金牌量為302個，獎牌量為960個，因此，。GM(n，h)模型是指n序列h階線性動態(tài)模型，在模型二中我們采取單序列一階線性動態(tài)模型，即GM(

10、1,1)模型。假設(shè)按照時間排列的處理后的金牌榜數(shù)據(jù)為，利用累加生成法得到新數(shù)列，其中： （3）生成的數(shù)列為一階一個參數(shù)的灰色微分方程，記為GM（1,1），即 （4）其中，為待定常數(shù)，t為時間變量。該微分方程的解為： （5） 該式的參數(shù)列為 用最小二乘法求出 由灰色GM(1，1)模型，有 根據(jù)線性代數(shù)的相關(guān)知識可以求解、化簡得到： （6） （7） （8）由微分方程的解的表達式可求得因此第n項的估測值為: （9）通過以上計算得到的擬合值、預(yù)測值，與給定數(shù)列存在一定誤差，稱為殘差。構(gòu)造殘差數(shù)列 （10）殘差數(shù)列可以揭示數(shù)據(jù)擬合值與實際值的差額，也可利用此序列再次應(yīng)用GM(1，1)模型進行同樣的計算，

11、得到預(yù)測值的修正值。將金牌榜獎牌榜數(shù)據(jù)代入，可得到預(yù)測的金牌榜獎牌榜數(shù)據(jù)及排名。獎牌預(yù)測同理。5.2.2、模型二的求解以韓國的金牌數(shù)預(yù)測為例，對模型二進行求解。首先，對韓國歷屆獲得金牌數(shù)量排除東道主因素的影響，并利用韓國每一屆的金牌占比得到經(jīng)過修正的金牌數(shù)，如下表所示：表五 韓國歷屆奧運會金牌獲得情況年份金牌數(shù)金牌占比修正金牌數(shù)1988120.04979253113.938461992120.04615384613.93846199670.0277777788.388889200080.0268456388.107383200490.02980132592008130.043046358132

12、012130.04304635813利用式（3）得到待處理數(shù)據(jù)：數(shù)列、，如下表所示表六 灰色模型待處理數(shù)據(jù)年份1988199219962000200420082012序號123456713.9384613.938468.3888898.1073839131313.9384627.8769236.2658144.3731953.3731966.3731979.37319為求出a、u，由兩個式子可計算出矩陣B、H中各元素，即h(i)與b(i)的值，具體數(shù)值如下表所示表七 灰色模型計算過程量123456Sum13.948.398.119.0013.0013.0065.43-20.91-32.07-4

13、0.32-48.87-59.87-72.87-274.92437.131028.571625.662388.593584.805310.5014375.26-291.42-269.04-326.89-439.86-778.35-947.35-3052.91由上表數(shù)據(jù)，以及式（6）、（7）、（8）可以求出a、u的值，由式（5）可知所構(gòu)造的一階微分方程的解為將k依次代入,得到韓國各屆奧運金牌的預(yù)測值，并根據(jù)式（10）求出殘差。所求數(shù)據(jù)如下表所示：表八 韓國各屆奧運金牌預(yù)測值及殘差年份19881992199620002004200820122016序號1234567813.9410.0810.391

14、0.7211.0511.4011.7612.1213.9424.0234.4145.1356.1867.5879.3491.46殘差E(k）0.00-3.862.012.612.05-1.60-1.24擬合值與原值曲線如下圖二 韓國各屆奧運金牌數(shù)與預(yù)測金牌數(shù)曲線其他國家以及獎牌榜同理，整理數(shù)據(jù)可得：表九 2016年奧運會預(yù)測排名及各國金牌獎牌數(shù)量預(yù)測值國家金牌金牌名次獎牌獎牌名次中國4611011美國402982英國283593澳大利亞124445韓國1252710日本126406俄羅斯117444德國108377法國99358意大利9102995.3、模型三的建立與求解：5.2.1、模型三的

15、建立：在實際問題中，不同國家性質(zhì)與經(jīng)濟發(fā)展水平都極大的影響奧運會獎牌榜排名，在模型二的建立中我們引入一國國民經(jīng)濟總收入（）、人口總數(shù)（）、青少年在總?cè)丝谥兴急壤ǎ┲鬓k國（）和政治體系（）等因素進行綜合分析預(yù)測。基于歷屆奧運會獎牌榜，以各個國家獎牌榜占比作為因變量，各影響因素作為自變量，其中國家體制和東道主效應(yīng)是虛擬變量，建立線性模型如下： （3） 其中、均取奧運會舉辦前一年的數(shù)據(jù)，奧運會東道主國家取1，非東道主國家取0；社會主義國家取1，非社會主義國家取0。5.2.2、模型三的求解：5.2.2.1、變量的統(tǒng)計描述和標準化：由于世界發(fā)展的不斷變化，影響奧運會獎牌榜的各個因素在不同的時期差異頗

16、大，為使各個因素在不同時期具有可比性，首先對影響奧運會各個參賽國獎牌榜排名的的因素進行標準化處理，計算了每個國家各個指標的份額，即，表示影響變量，表示每一項指標。5.2.2.1、模型三的求解：以美國為例求解模型三：表五：1988-2015年每屆奧運會美國各項指標年份屆數(shù)金牌占比獎牌占比GDP 占比人口占比青年占比GDP增長率東道主19882414.94%12.72%37.82%4.65%21.61%3.46%019922514.23%13.25%31.84%4.72%21.69%-0.07%019962617.46%13.70%29.38%4.69%21.75%2.72%120002712.42%9.98%35.75%4.65%21.39%4.69%020042811.59%11.08%36.21%4.60%20.82%2.81%020082911.92%11.48%31.58%4.56%20.24%1.78%020123015.23%10.81%30.52%4.47%19.56%1.60%0美國為資本主義國家，社會質(zhì)素均取0在數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，我們使用MATLAB對變量進行多元線性擬合，得到回歸模型： 5.35.4六、結(jié)