數(shù)學(xué)競(jìng)賽數(shù)列不等式函數(shù)應(yīng)用

1、課題 數(shù)列、不等式、函數(shù)應(yīng)用典型例題二基礎(chǔ)知識(shí)1、 對(duì)于一元二次方程ax2bx c 0 （ a 0 ）xR2、 一元二次方程根的分布問題解決的方法；（ 1） 代數(shù)法（ 2） 利用函數(shù) f x圖象與 x 軸交點(diǎn)情況例 1： m 為何值時(shí)， 方程x2根都大于 2。解法1設(shè)方程的兩根為00x12（x12）x2x22（x12）x2m2160m205m50解法 2 設(shè) f x x2 max2 bx c （ a 0 ）的m 2 x 5 m 0 的兩x1,x2 ，則2020m42x 5 m0m2 16 0f 20m 2 0 5m 4m 2 c m 5 02 2的根滿足1 x1解：設(shè) f x =3x2例2:已

2、知關(guān)于x的方程3x2 xlog21 a 210g 1 a 220 x21求實(shí)數(shù)a的取值范圍?2xlog 1 a 21og 1 a 22,2f 10由題意 f 00f 10log 1 a 21og 1 a 3 02221og1 a 02,2log 1 a 21og 1 a 3 022log121log 1a 32例3、已知二次方程:log 1a 02ax2 bx方程f x x 設(shè)有兩根為x1, x22 x24 ,設(shè)對(duì)稱軸方程如果0 x12,并且x x的兩實(shí)根相差為2,xx01(a(1求證0,b R)如果x01求實(shí)數(shù)b的取值范圍?解:(1) g x2 axbx2x axX12 x24a 2b16a

3、 4b2ax014a b2ab2a3438a4a2a,(2)x®14a0,x1，x20 x1 2 x2 4 x2 x1 2（X2 X1）2X22X12b 144x1gX2 =2 4a a4a4a22ag 20,4a2b2b例4.已知求證: r 證明：a4a,b,c*1 3a2 '1 3b21 a2,、1 b2,1r uu r3c2rbJ61,1,1|agb| |a| |b|1 3a2 1 3b2Ji 3c23 a2 b因?yàn)? a2 b2所以3 a2223 a2 b2c22g 3例5、已知0, 2，并且 sn cossintan 的最大值及tan取最大值時(shí)tan的值。解:sin

4、 sincossincos cossin sin2.1 sin sinsin cos cos衛(wèi)tantan21 2tan21122工 tan 2、2 T tan，一，1當(dāng)且僅當(dāng)2tantan例6、二次方程tan<22axJ2bx角形的三邊，并且b為最長(zhǎng)邊。、2tan 取一20,其中a,b,c是鈍角三（1）證明方程有兩個(gè)(3)若a c,試不等的根 （2）證明兩個(gè)根都是正數(shù);求|的取值范圍。解：（1）因?yàn)閎最長(zhǎng)1 cosB 02b4ac 2b24ac2 a22accosB 4ac2=2 a c(2)省略4accosB(3) a c, 2b2b22 a2 a22accosB 4a24a2=-4

5、 cosB0 4cosB 4, 0 |例7、已知數(shù)列an中,(1)若a3 0求1 一a,a為正數(shù) an 1 an n N ana,使得a的取值范圍 （2）是否存在正實(shí)數(shù)an an 1 0對(duì)任意n N恒成立。1a2 1a2解：（1）aa1a2 1a3a2a2aaa2 1a4 3a2 1 八gr 0525 12由a1 a20,a 1,發(fā)現(xiàn)n越大,a的值越大猜想a不存在證明：由anan 10,得 anan工0 ana2n 1, an 1或 1anQ a 1an 1 貝！1an 1anananan 1ananan 1?an1an 1a2a1一a1n個(gè)等式相加an 1al11一?一 <a由ana1

6、a2ana對(duì)于na恒成立1也成立,例6、設(shè)實(shí)數(shù)a,b滿足ab x1x2 x2x3 x3x1ax1x2x3其中 x1, x2 , x3xx2x3,0。求2aP 2a解：a x1又 3(x1x2x2x333 x1x2x333 a3b a, p11 313x2x3x3X)x1x2x3a 333ab a2,6b 12 a aa2 2a 12a aT當(dāng)且僅當(dāng)XiX2X3V3, a3瓜 b V3取等號(hào)練習(xí)1。xxyylog2 3log5 3log2 3 log5 3證明x y 0x 2 x m2.解關(guān)于x的不等式0x 5例7、下表給出一個(gè)“三角形數(shù)陣”工41 12,43 3旦4,8,16已知每一列的數(shù)成等

7、差數(shù)列； 從第三行起， 每一行的數(shù)成等比數(shù)列，每一行的公比都相 等，第i行第j列的數(shù)為aj (i j,i,j N )(I )求%3 (口)aj用i,j表示(田)記第 n 行的和為人，求數(shù)列 入的前m項(xiàng)和Bm的表 達(dá)式解 1、而 氏iq2aii 7d q2217 11144222、aij3、an1an2 ?annnan1 1 q1 qBn1 -n2n2nA2ggg Am122223 +ggg1 -m2m2m 111一(一2 2例8、2223Hi已知函數(shù)m2m fm尸一x定義在區(qū)間2m 11,1 上,1a12，an(1)且當(dāng)x,y 1,1 時(shí),恒有1 xy2an .2，bn1 anangggf a1f a21f an證明f x是奇函數(shù)(2)求f為的表達(dá)式(3)是非存在 m N ,使得對(duì)于任意n N,都有 T成立,若不存在說明 理由，若存在求出 m的最小值。例9、已知數(shù)列an滿足a.細(xì)一，首項(xiàng) an 1為a。(1)若數(shù)列an是一個(gè)無窮常數(shù)列,265求a。(2)若a。4,求滿足不等式an 的n的集合。例1。、已知函