2009年河南省專升本高等數(shù)學(xué)真題(帶答案詳解)

1、2009年河南省普通高等學(xué)校選拔優(yōu)秀?？飘厴I(yè)生進入本科階段學(xué)習(xí)考試高等數(shù)學(xué)題號一二三四五總分分值603040146150注意事項：答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、座位號、考生號涂寫在答題卡上。本試卷的試題答案在答題卡上，答試卷上無效。一、選擇題（每小題2分，共計60分）在每小題的四個備選答案中選出一個正確答案，有鉛筆把答題卡上對應(yīng)的題目的標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再涂其他答案標號.1.下列函數(shù)相等的是 （ ） A.， B. ， C.， D. ，【答案】D.解：注意函數(shù)的定義范圍、解析式，應(yīng)選D.2.下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C.解: ，選C.3極限

2、的值是 ( )A. B. C.0 D.不存在 【答案】D.解：，應(yīng)選D.4.當時，下列無窮小量中與等價是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C.解: 由等價無窮小量公式，應(yīng)選C.5.設(shè)，則是的 （ ） A.連續(xù)點 B.可去間斷點 C.跳躍間斷點 D.無窮間斷點【答案】B.解: 是的可去間斷點,應(yīng)選B.6. 已知函數(shù)可導(dǎo)，且，則 （ ）A. 2 B. -1 C.1 D. -2【答案】D.解：，應(yīng)選D.7.設(shè)具有四階導(dǎo)數(shù)且，則 （ ）A B C1 D 【答案】D.解：，應(yīng)選D.8.曲線在對應(yīng)點處的法線方程 （ ）A. B. C. D. 【答案】A.解：，應(yīng)選A.9.已知，且，則 （ ）A B

3、. C. D. 【答案】B.解:由得，把代入得,所以,應(yīng)選B.10.函數(shù)在某點處連續(xù)是其在該點處可導(dǎo)的 （ ）A. 必要條件 B. 充分條件 C. 充分必要條件 D. 無關(guān)條件【答案】A.解:根據(jù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系知，應(yīng)選A.11.曲線的凸區(qū)間為 （ ） A. B. C. D. 【答案】A.解: ，應(yīng)選A.12. 設(shè) （ ）A.僅有水平漸近線 B.既有水平又有垂直漸近線C.僅有垂直漸近線 D.既無水平又無垂直漸近線 【答案】B.解: ，應(yīng)選B.13.下列說法正確的是 （ ）A. 函數(shù)的極值點一定是函數(shù)的駐點B. 函數(shù)的駐點一定是函數(shù)的極值點 C. 二階導(dǎo)數(shù)非零的駐點一定是極值點 D. 以上說法都

4、不對【 答案】D.解: 根據(jù)極值點與駐點的關(guān)系和第二充分條件，應(yīng)選D.14. 設(shè)函數(shù)在連續(xù)，且不是常數(shù)函數(shù),若，則在內(nèi) （ ）A. 必有最大值或最小值 B.既有最大值又有最小值C. 既有極大值又有極小值 D. 至少存在一點，使【答案】A.解:根據(jù)連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)及的條件,在對應(yīng)的開區(qū)間內(nèi)至少有一個最值,應(yīng)選A.15.若的一個原函數(shù)為 ，則 （ ）A. B. C. D. 【答案】B.解: ,應(yīng)選B.16.若，則 （ ） A. B. C. D. 【答案】C.解: =,應(yīng)選C.17.下列不等式不成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D.解: 根據(jù)定積分的保序性定理，應(yīng)有，應(yīng)選D.18

5、.= （ ）A. B. C. D. 【答案】C.解:因,考察積分的可加性有，應(yīng)選C.19下列廣義積分收斂的是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C.解:由廣義積分性質(zhì)和結(jié)論可知:是的積分,收斂的,應(yīng)選C.20.方程在空間直角坐標系中表示的曲面是 （ ） A.球面 B.圓錐面 C. 旋轉(zhuǎn)拋物面 D.圓柱面 【答案】C. 解:根據(jù)方程的特點是拋物面,又因兩個平方項的系數(shù)相等,從而方程在空間直角坐標系中表示的曲面是旋轉(zhuǎn)拋物面,應(yīng)選C.21. 設(shè)，則與的夾角為 （ ）A B C D【答案】D.解:,應(yīng)選D.22.直線與平面的位置關(guān)系是 ( )A. 平行但直線不在平面內(nèi) B. 直線在平面內(nèi)C. 垂直

6、 D. 相交但不垂直 【答案】A.解:因,直線在平面內(nèi)或平行但直線不在平面內(nèi).又直線上點不在平面內(nèi).故直線與平面的位置關(guān)系是平行但直線不在平面內(nèi),應(yīng)選A.23.設(shè)在點處有偏導(dǎo)數(shù)，則（ )A. B. C. D. 【答案】B.解:原式應(yīng)選B.24函數(shù)的全微 （ ） A B C D 【答案】D解：，應(yīng)選D25化為極坐標形式為 （ ） A BC D【答案】D.解:積分區(qū)域有,應(yīng)選D.26.設(shè)L是以A(-1,0),B(-3,2),C(3,0)為頂點的三角形區(qū)域的邊界，方向為ABCA,則A.-8 B.0 C 8 D.20【答案】A.解: 由格林公式知, ，應(yīng)選A.27.下列微分方程中，可分離變量的是 （

7、）A B C D 【答案】C.解: 根據(jù)可分離變量微分的特點,可化為知,應(yīng)選C.28.若級數(shù)收斂，則下列級數(shù)收斂的是 （ ）A B C D 【答案】A.解: 由級數(shù)收斂的性質(zhì)知,收斂,其他三個一定發(fā)散,應(yīng)選A.29.函數(shù)的冪級數(shù)展開為 （ ）A B C D 【答案】C.解: 根據(jù)可知, ,應(yīng)選C.30.級數(shù)在處收斂，則此級數(shù)在處 （ ）A條件收斂 B絕對收斂 C發(fā)散 D無法確定【答案】B.解: 令,級數(shù)化為,問題轉(zhuǎn)化為:處收斂,確定處是否收斂.由阿貝爾定理知是絕對收斂的,故應(yīng)選B. 二、填空題（每小題2分，共30分） 31.已知，則.解：.32.當時，與等價，則.解：.33.若，則.解：因，所

8、以有 .34.設(shè)函數(shù)在內(nèi)處處連續(xù)，則. 解：函數(shù)在內(nèi)處處連續(xù)，當然在處一定連續(xù)，又因為，所以.35.曲線在（2，2）點處的切線方程為_.解：因.36.函數(shù)在區(qū)間0，2上使用拉格朗日中值定理結(jié)論中.解：.37.函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間是 _.解：,應(yīng)填或或或.38.已知則.解：.39.設(shè)向量與共線，且,則_.解：因向量與共線,可設(shè)為，,所以.40.設(shè)，則_.解：.41函數(shù)的駐點為_.解：.42區(qū)域為，則.解：利用對稱性知其值為0或.43.交換積分次序后,.解：積分區(qū)域,則有.44.是的特解，則該方程的通解為_.解：的通解為，根據(jù)方程解的結(jié)構(gòu),原方程的通解為.45.已知級數(shù)的部分和，則當時，. 解：當時

9、,.三、計算題（每小題5分，共40分）46求. 解： .47.設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求.解：方程兩邊對求導(dǎo)得 即 所以 . 48.已知，求. 解：方程兩邊對求導(dǎo)得 ，即，所以 . 故 .49.求定積分. 解： . 50.已知 求全微分.解：因, ,且它們在定義域都連續(xù)，從而函數(shù)可微，并有.251.求，其中區(qū)域由直線圍成.解：積分區(qū)域如圖所示：把看作Y型區(qū)域，且有故有.52.求微分方程的通解.解：這是一階線性非齊次微分方程，它對應(yīng)的齊次微分方程的通解為，設(shè)原方程的解為代入方程得, 即有 ，所以 , 故原方程的通解為.53.求冪級數(shù)的收斂區(qū)間（考慮區(qū)間端點）.解：這是標準缺項的冪級數(shù)，考察正項級數(shù)， 因, 當，即時，級數(shù)是絕對收斂的； 當，即時，級數(shù)是發(fā)散的； 當，即時，級數(shù)化為，顯然是發(fā)散的。 故原級數(shù)的收斂區(qū)間為.四、應(yīng)用題（每小題7分，共14分）54.靠一楮充分長的墻邊，增加三面墻圍成一個矩形場地,在限定場地面積為64的條件下.問增加的三面墻的各為多少時，其總長最小.解：場地如圖所示：設(shè)增加的三面墻的長度分別為；總長為，則有，從而，問題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最小值問題.令得唯一駐點，且有，所以是極小值點，即為最小值點,此時.故，另增的三面墻的長度分別為，時，增加三面圍墻的總長最小.55.設(shè)由曲線與直線圍成的，其中3，求繞軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.解：平面圖形如圖所示:把