小學(xué)數(shù)學(xué)小升初講稿(最新)

1、目 錄第一講：定義新運算第二講：巧算（一）（二）第三講：列方程解應(yīng)用題第四講：幾何圖形的計算（一）（二）第五講：行程問題第六講：列車過橋問題第七講：流水行船問題第八講：觀察與歸納（一）（二）一、定義新運算 知識體系：定義新運算是指用一個符號和已知運算表達式表示一種新的運算。 解答定義新運算的關(guān)鍵是正確理解新定義的算式含義，然后嚴格按新定義的計算程序，將數(shù)值代入，轉(zhuǎn)化稱化為常規(guī)的四則運算式進行計算。 新定義的算式中有括號的，要先算括號里面的，但它在沒轉(zhuǎn)化之前，是不適合于各種運算定律的。典型例題：例題一 規(guī)定b= ，則（64）3等于多少？分析：這道題的新運算被定義為：b等于 與 b的和除以兩數(shù)之差

2、。這里的就代表一種新運算。在定義新運算中，規(guī)定了要先算小括號里面的。因此，在（64）3中，就要先算小括號里的64。習(xí)題： 規(guī)定一種新運算：ab=（b+a）×b，求（32）4= 設(shè)ab=（a+b）（ab），求279 設(shè)ab=a²+2b，求5（28） 規(guī)定ab=a+2b，如57=5+2×7=19那么6（49）是多少？例二： 有一種關(guān)于和的運算： 規(guī)定ab=a×ba， ab=a÷b+a求（65）4分析：根據(jù)規(guī)定先算65，這里的和都是新的運算符號。習(xí)題：定義ab=a×ba， ab=a÷b+b 求（65）4設(shè)P、Q是兩個數(shù)，規(guī)定：PQ

3、=P²+（PQ）×2 求30（53）設(shè)M、N是兩個數(shù)，規(guī)定MN= + .求1020 。例三：如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44。那么，7*4=； 210*2=分析：經(jīng)過觀察，可以發(fā)現(xiàn)本題的新運算“*”被定義為a*b=a+ + + + b個a習(xí)題：如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222=2222，3*3=3+33+333，那么4*4= 。規(guī)定ab=a+ + + + ，那么85= 。 （b1）個a如果2*1= ，3*2= ，4*3= ，那么（6*

4、3）÷（2*6）= 。規(guī)定12=1+2，23=2+3+4，56=5+6+7+8+9+10，那么，在X3=54中，X= 。例四：設(shè)ab=4a2b+ab÷2，求X（41）=34中的未知數(shù)X。分析：先求出小括號中的41=4×4-2×1+4×1÷2=16.再根據(jù)X16=4X-2×16+X×16÷2=12X-32，然后解方程12X-32=34，求出X的值。習(xí)題： 設(shè)ab=3a2b，已知X·（41）=7，求X。對兩個整數(shù)a和b定義新運算“”。 ab= ，求64+98對任意兩個整數(shù)x和y定義新運算“*”：X*

5、Y= （其中m是一個確定的整數(shù)）。如果1*2=1，那么3*12= 。巧算（一）知識體系：根據(jù)算式的結(jié)構(gòu)和數(shù)的特征，靈活地運用運算法則、定律、性質(zhì)和公式，把一些較復(fù)雜的四則混算化繁為簡，化難為易。巧算的基本方法有：湊整、分拆、約分、化簡和替換法，典型例題：例一：199999+19999+1999+199+19 =200000+20000+2000+200+20-5 =222220-5 =222215習(xí)題：8+98+998+9998+99998 9+99+999+0.6 98.3-3.32-5.68+10.7 3-1+2-1.625例二：1994×79+790×+244.9分析

6、：三個相加的算式通過變形，都可以得到共同的因數(shù)79，再利用乘法的分配率進行簡算。1994×79+790×+244.9=1994.5×79+79×2.4+79×3.1=（1994.5+2.4+3.1）×79=2000×79=158000習(xí)題：200.2×20.01-200.1×19.99 2001×7+1.375×2001+667÷ 7.5×2.3+3.1×2.5 43×+136×+70× 9999×17+3333&#

7、215;49 28.67×67+3.2×286.7+573.4×0.05 例三：2012×201320132013-2013×201220122012分析：201320132013和201220122012這樣以循環(huán)形式出現(xiàn)的數(shù)，都可以提出重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字， 201320132013=2013×100010001；201220122012=2012×100010001。2012×201320132013×201220122012=2012×2013×100010001-2013×

8、;2012×100010001=0習(xí)題：959595×96-969696×951999×1998 1998-1998×19991999例四：（1+）×（+）-（1+）×（+）分析：仔細觀察，可以發(fā)現(xiàn)題中有些分數(shù)是多次出現(xiàn)的，因此我們可以用代數(shù)法解這道題。所謂的代數(shù)法解計算題，就是將某個復(fù)雜的算式換成含有字母的式子，再進行計算。一般情況下，前后兩部分各選出較簡單的部分用不同的字母表示出來，這樣計算起來比較簡單。（1+）×（+）-（1+）×（+）設(shè)：前半部分的1+為A ，設(shè)后半部分的 +為B原式： A

9、5;（B+）-（A+）×B =AB+A-AB-B =（A-B） =×1 =習(xí)題：（1+0.23+0.34）×（0.23+0.34+0.78）-（1+0.23+0.34+0.78）×（0.23+0.34）(+）×（+）-（+）× （+）（1+）×（+）-（1+）×（+）巧算（二）例五：99-98+97-96+95+1-分析：通過觀察發(fā)現(xiàn)，每兩個算式為一組，計算結(jié)果相同。如99-98=1；97-96=1；，1=1；99-98+97-96+95+1- =（99-98）×100÷2 =1×50

10、 =習(xí)題：2000+1999-1998-1997+1996+1995-1994-1994+4+3-2-1（1+）+（1+×2）+（1+×3）+（1+×20）（11-）+（9-×5）+（1-×3）+（3-×7）+（5-×9）+（7-×11）1001-1000+999-998+997-996+3-2+11+2-3-4+5+6-7-8+9+10-+2009+2010-2011-2012+2013例六： 分析：仔細觀察中分子、分母中的特點，就會發(fā)現(xiàn)分母中2008×2009可變形為（2007+1）×200

11、9=2007×2009+2009，同時發(fā)現(xiàn)2009-1=2008，這樣，就可以把原式轉(zhuǎn)化成為分子和分母相同的分數(shù)，從而化簡。 中的分子12345654321可以轉(zhuǎn)化為111111 ×111111，分母777777 ×999999都可以提出因數(shù)111111。這樣分子和分母可以約分化簡。 = = =1123+122×124123×124-1習(xí)題： 1-（）2×（）2×（）2×()2 例七： 分析：經(jīng)過仔細觀察發(fā)現(xiàn)，分子中的各部分分別是公因式（2×3×5）的1、4、5倍數(shù)；分母中的各部分正好是公因式（

12、3×5×7）的1、4、5倍。提出公因式后就可以約分化簡了。=習(xí)題：+例八：（9+7）÷（+）分析：通過觀察發(fā)現(xiàn)，式子前后兩部分所含有的分子和分母都分別是7和9，通過變形都可以找到公因式+，約去相同的部分再計算就比較簡便了。（9+7）÷（+）=（+）÷（+）=【65×（+）】÷【5×（+）】=65÷5=13習(xí)題：（+1+）÷（+）(3+1)÷(+)(96+36)÷(32+12)列方程解應(yīng)用題知識體系：基本方法1、審題：（找等量關(guān)系）找主題中涉用及到各個量的關(guān)鍵量。2、設(shè)：設(shè)這個

13、量為X，用含有X的式子來表示題中的其他量。3、找：找準等量關(guān)系。4、列：根據(jù)等量關(guān)系式，列出方程。5、解：解方程，通過求到的關(guān)鍵量求出答案典型例題： 例一： 用一隊卡車運一批貨物，若每輛卡車裝7噸貨物，則尚余10噸貨物裝不完；若每輛卡車裝8噸貨物，則最后一輛卡車只裝3噸貨物就運完了這批貨物，那么這批貨物共有多少噸？分析：已知條件告訴了每輛卡車裝的重量，根據(jù)每輛卡車裝的重量×輛數(shù)=總重量，可以設(shè)卡車數(shù)為X輛，根據(jù)“貨物的總重量不變”列出等量關(guān)系。 卡車數(shù)×每輛裝7噸+余10噸=卡車數(shù)-1×每車裝8噸 + 3噸解：設(shè)一共有X輛卡車 答：這批貨物共有（ ）噸。習(xí)題： 為

14、準備“金鷹節(jié)”的演出，長沙市某服裝公司制一批演出服裝，若平均公司每人一天做5件，公司一天可超額30件；若平均每人一天只做4件，則公司一天比定額少完成20件，求該公司的人數(shù)和公司每天的定額。 某校五年收學(xué)生舉行春游，若租用45座客車，則有15人沒有座位，若租同樣數(shù)目的60座客車，則剛好有一輛客車空座。 已知45座客車租金220元，60座客車租金300元。 問：1這個學(xué)校五年級一共有學(xué)生多少人？ 2怎樣租車，最經(jīng)濟合算？ 一群學(xué)生搬磚，如果有12人每人各搬7塊，其余的每人搬5塊，那么最后余下148塊；如果有30人每人各搬8塊，其余的每人搬7塊，那么最后余下20塊，問學(xué)生共有多少人？磚有多少塊？ 為

15、了美化班級環(huán)境，五年級2）班第一小組的同學(xué)們?nèi)ブ参飯@購買一些花，若每人出10元，就多了4元；若每人出9元，則少了2元，那么這個小組有多少人？買這些花需要多少錢？例二： 一個中學(xué)生一頓飯可吃3個饅頭，三個幼兒一頓飯吃1個饅頭，現(xiàn)在中學(xué)生和幼兒共100人，一頓飯正好吃了100饅頭，問有幼兒多少人？分析：一個中學(xué)生一頓飯吃3個饅頭，又由“三個幼兒吃1個饅頭”可知一個幼兒吃個饅頭。只要知道了中學(xué)生和幼兒的人數(shù)，根據(jù)等量關(guān)系式：中學(xué)生一共吃的饅頭+幼兒一共吃的饅頭=100就能列出方程。 解：設(shè)幼兒有X人，中學(xué)生則有（100-X）個人。中學(xué)生共吃饅頭數(shù)+幼兒共吃饅頭數(shù)=100 答：幼兒有（ ）人。 習(xí)題：

16、 一個集郵愛好者買了2元和5元的郵票共34張，正好用了98元，這兩種郵票各多少張?媽媽從單位領(lǐng)回獎金480元，其中有2元、5元和10元人民幣共86張，且5元和10元的張數(shù)相等，這三種人民幣各有多少張？小芳家離學(xué)校有4500米，早上六點半小芳步行去學(xué)校，開始每分鐘走70米，走一段時間后，改為每分鐘走80米，結(jié)果早上7點半準時到校。小芳是在離家多少米的地方開始改變速度的？例三：有個兩層書架，上層放的書比下層放的3倍還多18本，如果把上層的書拿出101本放到下層，那么兩層所放的書本數(shù)相等。原來上、下層各有書幾本？ 分析：根據(jù)“上層放的書比下層放的3倍還多18本”設(shè)未知數(shù)：（少數(shù)）上層放的書有X本，（

17、多數(shù)）下層為3X+18本。再根據(jù)“如果把上層的書拿出101本放到下層，那么兩層所放的書本數(shù)相等?！绷谐龅攘筷P(guān)系式：原來上層書數(shù)+101=原來下層書數(shù)-101 解：設(shè)原來下層的書有X本，則上層放了（ ）本。 原來上層書數(shù)+101=原來下層書數(shù)-101 答：原來上層放了（ ）本，下層放了（ ）本。 習(xí)題： 幼兒園小朋友在草坪上圍成一圈，女孩都戴紅色帽子，男孩都戴白色帽子。其中一個男孩說：“我看到紅、白帽子數(shù)一樣多?！币粋€女孩說：“我看到白帽子數(shù)是紅帽子數(shù)的2倍?！蹦隳芮蟪瞿?、女孩的人數(shù)嗎？ 10年前甲年齡是乙年齡的7倍，15年后甲年齡是乙年齡的2倍，問：甲、乙兩人現(xiàn)在分別是多少歲？ 小明一家四口人

18、的年齡之和是147歲，爺爺比爸爸大38歲，媽媽比小明大27歲，爺爺?shù)哪挲g是小明與媽媽年齡之和的2倍，問小明一家四口人的年齡各是多少？ 學(xué)校舉行兩次數(shù)學(xué)競賽，第一次及格人數(shù)是不及格人數(shù)的3倍還多4人，第二次及格人數(shù)增加5人，正好是不及格人數(shù)的5倍。問參加競賽的有多少人？ 例四：學(xué)校舉行數(shù)學(xué)競賽。比賽共15道題，規(guī)定：答對一題得8分，答錯一題倒扣4分。林林最后得了84分，林林答錯了幾道題？分析：倒扣4分實際上是從答對題的得分中減去4分。數(shù)量關(guān)系式是：答對題的總分-答錯題的總分=最后得分。 解：設(shè)答錯了X道題，則答對了（ ）道題。 答對題的總分-答錯題的總分=最后得分答：林林答錯了3道題。 習(xí)題：

19、一次數(shù)學(xué)競賽，有10道題。按評分規(guī)定，答對一題得10分，答錯一題扣3分，張新做了所有的題，但只得了61分。他做錯了幾道題？ 在某校舉辦的足球比賽中規(guī)定，勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，某班足球隊參加了12場比賽，共得了22分。已知這個隊只輸了2場，那么此隊勝了幾場？平了幾場？ 某班的一次數(shù)學(xué)小測驗，共出了20道題，每題5分，總分100分。從中抽取了5份試卷進行分析，如下表：試卷 正確個數(shù) 錯誤個數(shù)得分 A 19 1 94 B 18 2 88 C 17 3 82D 14 6 64 E 10 10 401 某同學(xué)得了70分，問他答對了多少道題？2 有一同學(xué)H說他得了86分，另一同學(xué)G說他

20、得了72分，誰說得對，為什么？例五： 一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字是十位數(shù)字的2倍，如果把十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字對調(diào)，那么，所得的兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)大36。求原兩位數(shù)。分析：設(shè)十位數(shù)字為X，個位上的數(shù)字則為2X，原數(shù)表示為 =10X+2X，對調(diào)后表示為 =20X+X。根據(jù)“對調(diào)后所得的兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)大36”列出等量關(guān)系式。 解：設(shè)原來十位上的數(shù)字為X，個位上的數(shù)字為（ ）。 答：原兩位數(shù)為（ ）。 習(xí)題： 一個兩位數(shù)，十位數(shù)字是個位數(shù)字的2倍。如果把十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字對調(diào)，那么，所得的兩位數(shù)比原兩位數(shù)小27。求原兩位數(shù)？ 一個兩位數(shù)，十位數(shù)字比個位數(shù)字小1，十位上的數(shù)字與個位上

21、的數(shù)字和是這個兩位數(shù)的0.2倍。求這個兩位數(shù)。設(shè)有個六位數(shù)為1abcd ,乘3以后，變?yōu)閍bcde1 ,求這個六位數(shù)。幾何圖形的計算（一）知識體系：采用割、補、平移、分解、代換及加輔助線的方法，將復(fù)雜問題變得簡單。（一） 長方形 正方形典型例題例1：求圖形的周長（單位：厘米）分析：線段+線段+線段=8, 線段+線段=8，所以整個圖形的周長包括2個8，2個2。 練習(xí)：如圖，要求計算下圖形的周長，至少要量（ ）條線段的長度。 左圖是一座樓房的平面圖，求這個圖的周長。 （單位：厘米） 一個長5厘米，寬2.4厘米的長方形，沿對角線對折后，得到如下圖形。求陰影部分的面積。例二：如下圖所示，已知大正方形比

22、小正方形邊長2厘米，大正方形比小正方形大40平方厘米，求大小正方形的面積各是多少平方厘米。 分析：從圖中可以看出，大正方形的面積比小正方形的面積大出40平方厘米可以分成三部分，其中A和B的面積相等。因此，用40平方厘米減去陰影部分的面積，再除以2就能得到長方形A或B的面積，再用A或B的面積除以2就是小正方形的邊長了，求到了小正方形的邊長，計算大、小正方形的面積就非常簡單了。 先求出A和B的面積： 再求出A或B的面積：再求出A或B的邊長：最后求出大、小正方形的面積：答：大小正方形的面積分別是（ ）平方厘米和（ ）平方厘米。練習(xí)把一個長方形長增加5分米，寬增加3分米，得到一個面積比原來多181平方

23、米的正方形，求這個正方形的邊長是多少？一塊正方形地，一邊劃出15米，一邊劃出10米搞綠化，剩下的面積比原來減少了1350平方米，這塊地原來的面積是多少平方米？一個正方形，如果它的邊長增加5厘米，那么面積就比原來增加95平方厘米。原來正方形的面積是多少？有一批正方形瓷磚，拼成一個大正方形，余下62塊，如果將它們改拼成一個每邊與原來多一塊的正方形就要少49塊，這批瓷磚共有多少塊？例三：一個大長方形被兩條平行于它兩邊的線分成四個較小的長方形，其中三個長方形面積如下圖所示，求第4個長方形的面積。 分析：因為AE×CE=6，DE×EB=35，把兩個式子相乘AE×CE

24、5;DE×EB=35×6, ，而CE×EB=14，所以AE×DE=35×6÷14=15. 答：這第4個長方形的面積是15平方厘米。 練習(xí)： 一塊長方形地，被兩條平行于它邊的兩條 直線分成四個長方形 （如圖所示），其中 中三個的面積分別是 50平方米、40平方米和60平方米，求 陰影部分面積。一個長方形被分成六個小長方形，其中四個長方形的面積如圖所示，（單位：平方厘米）求M，N的面積。 N251524M18 如圖，有4個正方形，它們的邊長分別是1米、2米、3米、4米，問白色部分的面積與陰影部分面積的幾分之幾？例四：每個小正方形的邊長都是

25、1厘米，那么下圖中陰影部分的面積是多少？ 分析：陰影部分是個不規(guī)則圖形，很難直接求出。通過觀察，可以發(fā)現(xiàn)空白部分的面積和總面積容易求出。所以，可以用總面積空白部分面積=陰影部分面積。 先求出總面積：再求出空白部分面積：最后求出陰影部分面積：練習(xí)：下圖中每個長方形小格的面積都是1平方厘米，求陰影部分面積。每個小長方形的面積都是1平方厘米。求陰影部分的面積。如圖是兩個正方形，邊長AB=5厘米，邊長是3厘米，求陰影部分的面積。例五： 把三角形ABC分成四個三角形，使這三個三角形面積相等，可以怎樣分？（請畫出不同的畫法） 分析：把三角形分成面積相等的四份，并沒有要求形狀相同，因而只要分成的三角形等底等

26、高就可以了，因此畫法很多。（畫法一）如下圖，將底邊四等分，由于這四個三角形等底等高，虛線是它們的高，所以這四個三角形面積相等。（畫法二）C為AB的四等分點，E、F為CD的三等分點。（畫法三）A、B分別是四等分點，C是二等分點。（畫法四）D、E、F分別為AB、AC、BC上的中點。例六：正方形ABCD的邊長是12厘米，E、F是BC邊上的三等分點，M、N是對角線BD上的三等分點。求三角形FMN的面積 。 分析：因為E、F是BC邊上的三等分點，所以三角形ABE、三角形AEF、三角形AFC等底等高，面積相等，都是12×12÷2÷3=24cm2,又因為M、N是對角線BD的三等

27、分點，所以三角形AFM、三角形FMN、三角形FNC也是等底等高，面積相等，都是24÷3=8 m2。利用“E、F是BC邊上的三等分點“先求出三角形AFC的面積：再利用“M、N是對角線BD上的三等分點“求出三角形FMN的面積：例七：在三角形ABC中，BE=EF=FC，ED=2DA 三角形面積是36cm2，那么陰影部分面積是多少？ 分析：當(dāng)已知等分E時，應(yīng)利用等分點，創(chuàng)設(shè)等底等高的三角形。因為ED=2DA，連接AF及F與ED的中點，可以得知三角形AEF的面積平均分成了三份，假設(shè)三角形ADF的面積為1份，那么三角形AEF的面積為三份，又因為BE=EF=FC，可知三角形AEF與三角形ADE、三

28、角形AFC等底等高，整個三角形ABC的面積為9份，陰影部分面積ADFC占去了其中的4份。 練習(xí)： 三角形的底邊BC四等分，比較甲、乙的面積 甲的面積乙的面積甲的面積三角形ABC面積的陰影部分面積占整個圖形面積的幾分之幾？在三角形ABC中（如圖），DC=2BD,CE=3AE，陰影部分面積=20cm2，求三角形ABC的面積。兩條直線把梯形ABCD分割成四個三角形，已知兩個三角形的面積，求ABCD的面積。已知三角形ABC的面積是1，AE=ED，BD=BC，陰影部分的面積是多少？長方形ABCD的面積是120平方厘米，E、F分別是長、寬的中點，求陰影部分的面積。幾何圖形的計算（二）例一：如圖，平行四邊形

29、BCEF中，BC=8cm，直角三角形中，AC=10cm，陰影部分面積比三角形ADH的面積大8平方厘米，求AH長多少厘米。分析：陰影部分和三角形ADH都能與四邊形DBCH 組合成新的圖形。陰影部分+四邊形DBCH=平行四邊形FBCE三角形ADH+四邊形DBCH=三角形ABC陰影部分面積比三角形ADH的面積大8平方厘米，實際上就是（ ）比（ ）大8平方厘米。只要求出了三角形ABC的面積就能求出平行四邊形FBCE的面積，從而求出平行四邊形FBCE的高CH，用AH的長減去CH就能得到AH了。練習(xí)：如圖：兩個完全一樣的直角三角形重疊在一起，求陰影部分的面積。（單位：厘米）如圖，ABCD是邊長為8厘米的正

30、方形，三角形ADF的面積比三角形CEF的面積大10平方厘米，則陰影部分面積為多少？如圖，將平行四邊形ABCD的邊DC延長一倍至E。已知三角形BCE的面積是10平方厘米，求陰影部分面積。4、如圖，長方形ABCD，圖中所標(biāo)數(shù)原為所在部分圖形的面積，求陰影部分的面積。例二：有兩種自然的放法將正方形內(nèi)接于等腰直角三角形。已知，等腰直角三角形的面積是36平方厘米，兩個正方形的面積分別是多少？分析：只已知整個圖形的面積要求其中部分的面積，可以通過做輔助線的方法，將整個圖形平均分成若干份，看要求部分占整個圖形的幾分之幾。練習(xí)已知大正方形的邊長是12厘米，求中間最小正方形的面積？如圖，正六邊形面積是24平方厘

31、米，求陰影部分的面積。 下圖中所有三角形都是等腰三角形已知AB=10.8厘米，求陰影部分的面積。 立體圖形有關(guān)計算知識體系：解答有關(guān)例題圖形的表面積是，要注意以下幾點：（1）不規(guī)則立體圖形的表面積只需先數(shù)出容易觀察部分的面積，再充分利用上、下面積，左、右面積，前后面積分別相等的規(guī)律來進行計算。（2）、把一個正方體切成兩部分，新增加的面積等于切面的面積的兩倍。反之，把兩個立體圖形粘合到一起，減少的面積等于粘合面積的兩倍。（3）若把幾個長方體拼成一個表面積最大的長方體，應(yīng)把它們最小的面拼合起來。若把幾個長方體拼成一個表面積最小的長方體，應(yīng)該把它們最大的面拼合起來。典型例題例三、把19個棱長為3cm

32、的正方體重疊起來，如下圖所示，拼成一個立體圖形，求這個立體圖形的表面積。 分析：要求復(fù)雜形體的表面積，必須從整體的入手 ，先有序地數(shù)出容易觀察到的朝上，朝前和朝左各有多少個面。再利用向?qū)γ婷娣e相等的規(guī)律，求出整個圖形的表面積。 朝上有（ ）個邊長是3cm的小正方形； 朝前有（ ）個邊長是3cm的小正方形； 朝上有（ ）個邊長是3cm的小正方形；整個圖形的表面積是：練習(xí)1. 用棱長是2厘米的正方體拼成左圖所示的立體圖形，求這個立體圖形的表面積。練習(xí)二：一堆積木，是由16個棱長1厘米的小正方形堆成的，它的表面積是多少平方厘米。例二 把一個棱長10厘米的正方形木塊上挖去一個長10厘米，寬2厘米，高2

33、厘米的小長方形，剩下部分的表面積是多少。 分析：這是一道開放題，挖的位置不同，所剩部分的表面積就不同。 關(guān)鍵是看所剩部分與原來正方體相比，哪些的部分面積湊合起來正好與原來相等，哪些部分的面積是減少或增加的。 沿著一條棱挖，剩下部分的面積為： 在某個面上去挖，剩下部分的面積為：挖通某兩個面，剩下部分的面積為：練習(xí)：1、從一個長10厘米，寬6厘米，高5厘米的長方體木塊上挖去一個棱長2厘米的小正方體，剩下部分的表面積是多少？2、在一個棱長是4cn的立方體上挖一個棱長是1cm小正方體后表面積發(fā)生了怎樣的變化。例三：把兩個長、寬、高分別是9cm，7cm，4cm的相同長方體，拼成一個大長方體，這個大長方體

34、的表面積最少是多少平方厘米？分析：把兩個相同長方體拼成一個大長方體，需要把兩個相同的面拼合起來，所得大長方體的表面積就減少了兩個拼合面的面積。要使大長方體的表面積最小，就必須使兩個拼合的面的面積最大，就是要減少兩個（ × ）的面。 先求兩個長方體的表面積： 再求出減少的兩個最大面的面積： 拼成的大長方體的表面積是：（想想：還有不同的解答方法嗎？畫圖試一試）答：這個大長方體的表面積最少是（ ）平方厘米。練習(xí)1：把兩個長、寬、高分別是8cm，6cm，5cm的相同長方體，拼成一個大長方體，這個大長方體的表面積最大是多少平方厘米？把底面積為20cm的兩個相等的正方體拼成一個長方體，長方體的表

35、面積是多少？、用6塊（如下圖）長方體木塊拼成一個大長方體，有許多種拼法，其中表面積最小的是多少平方米？ 例四：一個長方體，如果長增加2cm，則體積增加40cm³；如果寬增加3cm，則體積增加90cm；如果高增加4cm，則體積增加96cm³。求原長方體的表面積。練習(xí)一個長方體，如果長減少2厘米，則體積減少48立方厘米；如果寬增加5厘米，則體積增加65立方厘米；如果高增加4厘米，則體積增加96立方厘米。原來長方體的表面積是多少立方厘米？ 一個長方體木塊，從下部和上部分別截去高為3厘米和2厘米的長方體后，便成為一個正方體，其表面積減少了120平方厘米，原來長方體的體積是多少立方厘

36、米？有一個長方體，（如下圖）它的正面和上面的面積之和是209，如果實驗它的長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，這個長方體的體積是多少？例五：有大、中、小三個正方體水池，它們的內(nèi)邊長分別為6m、3m、2m，把兩堆碎石分別沉在中、小水池里，兩個水池水面分別升高了6cm和4cm，如果將這兩堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面升高多少厘米？知識體系：物體完全沉入水中，水面上升的體積就等于物體的體積；把物體從水中取出，水面下降的體積就等于物體的體積。如果物體不完全浸入水中，那么排開水的體積就等于浸入水中那部分的體積。分析：中、小水池升高部分是一個長方體，它的體積就等同于碎石的體積。兩個水池水面分別升高6和4，兩隊碎石的體

37、積就是3×3×0.06+2×2×0.04=0.7 cm³。如果把它沉入大水池，水面升高部分的體積也就是0.7 cm³，再除以它的底面積就能得到升高了多少厘米。先求出兩堆碎石的體積：再求出大水池水面升高多少：答：大水池的水面升高了（ ）厘米。練習(xí) 有大、中、小三個正方體水池，它們的內(nèi)邊長分別是4米、3米、2米。把兩堆碎石分別沉入中、小兩個水池中，兩個水池的水面分別上升了4厘米和11厘米。如果把這兩堆碎石都沉沒在大水池中，那么大水池的水面會上升多少厘米？有一個正方體容器，棱長25cm，里面水高23厘米，有一根長20cm，橫截面是500cm

38、²的長方體鐵棒，現(xiàn)將鐵棒垂直插入水中，會溢出多少立方厘米的水？將表面積為54cm²，96cm²，150cm²的三個正方體鋼錠熔鑄成一個大正方體，（不計損耗），求這個大正方體的體積。 行程問題知識體系：運用速度、路程和時間三者之間的關(guān)系解決有關(guān)問題。往返的平均速度=往返的總路程÷往返的總時間在行程問題中，與環(huán)形有關(guān)的行程問題和一般行程問題的方法類似。但有兩點值得注意：一是兩人同時同地背向運動，從第一次到下一次相遇，共行了一個全程；二是兩人同時同地同向運動，甲追上乙時，甲比乙多行了一個全程。典型例題例一、小王從甲地到乙地每小時行15千米，從乙地返回

39、甲地每小時10千米，他往返一次的平均速度是多少？ 分析：求往返的平均速度=往返的總路程÷往返的總時間。這里只分別告訴了往返的速度?？梢栽O(shè)從甲地到乙地的路程為30千米（15和10的最小公倍數(shù)），再分別求出總路程和總時間，就能求出往返平均速度了。練習(xí)：小明以每小時行20千米的速度行了60千米，回來時每小時行30千米，他往返全程的平均速度是多少？一艘輪船從甲地到乙地每小時航行30千米，然后按原路返回，如果想往返的平均速度為40千米，則返回的速度每小時應(yīng)航行多少千米？練習(xí)：小明以每小時行20千米的速度行了60千米，回來時每小時行30千米，他往返全程的平均速度是多少？一艘輪船從甲地到乙地每小時

40、航行30千米，然后按原路返回，如果想往返的平均速度為40千米，則返回的速度每小時應(yīng)航行多少千米？例二：哥哥和弟弟在400米的環(huán)行跑道上跑步，如果兩人同時同地反向出發(fā)，則4分鐘相遇，如果同時同地同向出發(fā)，40分鐘哥哥追上弟弟，哥哥每分鐘跑多少米？分析：哥哥和弟弟兩人同時同地反向出發(fā)，4分鐘共行了400米，那么他們每分鐘共行的路程（速度和）是400÷4=100米；兄弟兩人同時同地同向出發(fā)，40分鐘哥哥追上弟弟的路程是400米，每分鐘追上的路程（速度差）是400÷40=10米。根據(jù)兩人的速度和與差，可算出哥哥的速度。先算兩人的速度和：再算兩人的速度差：哥哥的速度是習(xí)題：A、B兩地

41、相距960米，甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發(fā)，若相向而行，6分鐘相遇，若同向而行，80分鐘甲可以追上乙，甲從A地走向B地要用多少分鐘？張華和王明在長600米的環(huán)形跑道上跑步，他倆同時從同一地點出發(fā)。如果背向而行，6分鐘相遇；如果同向而行，25分鐘后相遇。兩人跑一圈各要多少分鐘？李亮和張兵在同一環(huán)形跑道上跑步，兩人都按順時針方向跑，每隔12分鐘相遇一次，如果兩人速度不變，其中一人設(shè)為逆時針方向跑，每隔4分鐘相遇一次，兩人各跑一圈，分別要多少分鐘？例三：甲、乙兩輛汽車同時從兩地相向而行，甲每小時行45千米，乙車每小時行42千米，兩車在距離中點12千米的地方相遇，兩地相距多少千米？分析:兩車在距

42、中點12千米處相遇，說明了相遇時，甲車行了全程的一半多12千米，乙車行了全程的一半少12千米，也就是甲車比乙車一共多行了（ ）千米。兩車同時出發(fā)又相遇，兩車所行的時間一樣。為什么甲車比乙車多行24千米呢？這是因為甲車每小時比乙車多行（ ）千米。所以，兩車各行了（ ）小時。兩地共相距（ ）千米。 先求出相遇時甲車比乙車一共多行的：再求每小時甲車比乙車多行的：求出相遇的的時間：求出兩地的距離：習(xí)題： 小李從A城到B城，速度是5千米/小時，小蘭從B城到A城，速度是4千米/小時，兩人同時出發(fā)，結(jié)果在離A、B兩城中點1千米的地方相遇。兩人同時出發(fā)后經(jīng)過多少小時相距。哥哥和弟弟分別從家和學(xué)校同時出發(fā)相向而

43、行，哥哥每分鐘走80米，弟弟每分鐘走60米。兩人在距離中點100米處相遇。問：從家到學(xué)校有多遠？小轎車每小時行60千米，比客車每小時多行5千米，兩車同時從A、B兩地相向而行，在距中點20米處相遇。求A、B兩地的路程。例四：哥哥和妹妹同時由家去上學(xué)，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米，哥哥到校門時，發(fā)現(xiàn)忘帶課本，立即沿原路返回家去取，行至離校180米處和妹妹相遇，問他們家離校多少米？分析：兩人相遇時，哥哥比妹妹多行了180×2=360（米），哥哥每分鐘比妹妹多行90-60=30米，說明兩人已經(jīng)行了360÷30=12（分鐘）。所以離家的路程是90×12-180=9

44、00（米）或者60×12+180=900（米）。 先求兩人相遇時哥哥比弟弟一共多行的：再求出每分鐘哥哥比弟弟多行的：求出相遇的時間：求出家到學(xué)校的路程：習(xí)題： 甲乙兩人同時從A地到B地，甲每分鐘走250米，乙每分鐘走90米，甲到達B地后立即返回A地。在離B地3.2千米的地方相遇。求A、B兩地間的距離。甲乙兩人上午7時同時從A地到B地去，甲每小時比乙快8千米。上午11時到達B地后立即返回。在B地24千米處與乙相遇。求A、B兩地相距多少千米？例五： 甲、乙兩車同時從A、B兩地相對開去，第一次在離A地75米處相遇，相遇后兩車繼續(xù)前進，到達目的地后返回，第二次相遇離B地55千米處， A、B相

45、距多少千米？分析：第一次相遇時，甲和乙一共走了一個全程，這時甲走了75千米；第二次相遇時，甲和乙兩車前后一起合走了3個全程，甲應(yīng)該走了75×3=225千米。這時甲離B地55千米，也就是甲走了一個全程多55千米。所以，一個全程就是225-55=150千米。 先求“第二次相遇時，甲乙合走了三個全程，甲獨走了”：再求出一個全程的路程：練習(xí)題：1、小汽車從甲地開往乙地，大客車從乙地開往甲地。兩車同時開出，到達對方出發(fā)地后立即返回。第一次相遇距乙地80千米，第二次相遇距甲地90千米。甲乙兩地相距多少千米？2、甲乙兩車同時從A、B兩地相向而行，在距A地80千米出相遇。各自到達對方出發(fā)地后立即返回

46、。途中又距A地60千米出相遇，A、B兩地相距多少千米？3、甲、乙兩輛汽車分別以不同的速度，同時從A、B兩地相對開出，第一次在離A地80千米處相遇；各自到達對方處后立即返回，第二次在離A地50千米處相遇。兩地相距多少千米？列車過橋問題知識體系：列車過橋是一類特殊的行程問題，它需要考慮列車的長度，分為三類情況。一、列車過電桿：列車通過電桿所行的路程=列車長二、列車過橋：外車通過橋所行的路程=橋長+車長三、列車行進中的人行人與列車相向而行：列車通過人所行路程=列車長一所行路程行人與列車同向而行：列車通過人所行路程=列車長十人所行路程一般數(shù)量關(guān)系：（1）路程=橋長+車長（2）車速=（橋長+車長）

47、47;通過時間（3）通過時間=（橋長+車長）÷速度（4）橋長=車速×通過時間車長（5）車長=車速×通過時間橋長典型例題：例1、 一列火車全長300米，每秒行17米，通過一座長550米的橋，需要多長時間。分析：列車通過大橋，就是從火車頭上橋算起到車尾離開橋為止，即“火車所行的路程=橋長+車長”。題目中列車通過長550米的大橋，共走了550+300=850米。已知平均速度，可以求出過橋花的時間。先求出列車過橋的路程：在求出過橋所需的時間： 習(xí)題：一列長280米的火車以15米/秒的速度通過一座橋梁花去一分半鐘，問這座橋有多長。一列長225米的火車以40千米/時的速度通過

48、一條長2.975千米的隧道，共需要多長時間？一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋至車尾離開橋共需要3分鐘，這列火車長多少米？ 例二：一列火車通過鐵路旁一根電桿花去15秒，用同樣的速度通過一座大橋花去70秒。已知這列火車每小時行64.8千米，求大橋的長度。 分析：火車通過大橋花去70秒，也就是火車行了橋長加車長的距離花去70秒；火車通過電線桿花去15秒，也就是火車行了自身長花去15秒。所以，火車行完橋長只花去（ ）秒。又知道火車的行進速度，從而可求出橋長。 先求出火車每秒的速度： 在求出火車通過大橋的時間：求出大橋的長度：答：橋長（ ）米。習(xí)題一列火車通過一座長1000米的大橋需65秒，如果用同樣的速度通過一座長730的睡到則要50秒。求這列火車前進的速度和火車的長度。有一座鐵路橋長1000米，一列火車從橋上通過，測的火車從開始上橋到完全下橋共用120秒，已知整列火車完全在橋上的時間是80秒，這列火車的速度和長度分別是多少？一列火車通過