(完整版)第8章空間解析幾何與向量代數(shù)近年試題濟(jì)南大學(xué)

1、0809 B一、填空題（每小題3分，共18分）221、曲線z %x y在xOy面上的投影曲線為 z2 2x消去z,再與z=0聯(lián)立.y2 2x z 05、曲線(z a) y 0繞z軸旋轉(zhuǎn)得到曲面方程為繞z軸，母線中的變量z不變,x換成qx2 y2/22(z a) x、選擇題（每小題3分,共15分）2、在曲線Xt, yt2,z t3所有切線中，與平面x 3y 3z4平行的切線（A）只有條;（B）只有兩條;(C)切線的方向向量與平面的法向量垂直,(1,至少有3條;2 r2t,3t ) , n(D)不存在(1,3,3),r r sgnA:、解答題每小題分10,共20分)x2、求直線x0 一一與平面0y

2、 z 1 0的夾角.解：設(shè)夾角為，直線的方向向量（0, 2, 2）,平面的法向量rn (1,1,1)sinr n|4|123.2 arcsin . 30910B一、填空題（每小題2分，共10分）1、過點(diǎn)（3,0, 1）且與平面3x 7y 5z 12 0 垂直的直線方程為.與平面垂直的直線和該平面的法向量平行，x 3 y z 1375、選擇題(每小題2分，共10分)y2 z2 2x 02、曲線 y z 3( )y2 2x(A)y ；z 0(C) y2 2x 9；在xOy面上的投影曲線的方程是(B)(D)2xy2 2x在xOy面上的投影曲線，消去曲線中的變量z,然后聯(lián)立z=0.B4、設(shè)a, b為兩

3、個(gè)向量，則正確的是()(A) a b a b =0；(B) a b a ?b =0；(C) a?b表示以a, b為鄰邊的平行四邊形的面積； a.*(D) a b a b = 0 .r urrurrir.利用數(shù)量積和向量積的性質(zhì)：ab0ab,ab0 a b,ax b表示以a, b為鄰邊的平行四邊形的面積D四、計(jì)算題(每小題10分，共40分)3、設(shè)已知兩點(diǎn)M 1(4, 72,1)和M 2 (3,0,2).計(jì)算向量M1M2的模、方向余弦及與其 平行的單位向量.UUUJUr(1) M1M2 1, V2,1,向量uuuuur .UUUULLrM1M 2 的模為：P1P2<1 2 1 2,1cos

4、一 .2, 12 1、(,一)，22 2cos )(-,-)2 221 '2向量M1M 2的方向余弦為：cos一 ,cos ,2 2uuuuur與向量M1M 2同向的單位向量：a°(cos ,cos ,cos )UULULir與向量M1M 2反向的單位向量：a°(cos ,cos從而其平行的單位向量(1, ,-)ft (-, , 1)22 22 22解答題每小題分12,共24分)1、試求曲線2x繞z軸旋轉(zhuǎn)所得曲面與平面01所圍成的立體的體積.f (x,y)dD解：曲線zyf (r cos ,r sin )rdrdD2x繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)拋物面0y2 ，z=1所圍成的

5、立體在xoy面上的投影為2x,y :x極坐標(biāo)表示D:01,0V (1 x2 y2)dD(12) dD10(12)2、已知xoy平面上兩定點(diǎn)A(1,3,0)、B(4,2,0)及橢圓柱面、2y- 1 (x 0,y 0)4上一點(diǎn)C(x,y,0),記 ABC的面積為S .、計(jì)算SACAB ; (2)、試確定C(x,y,0)點(diǎn)坐標(biāo)使S解:uuuAB(3,1,0),uurAC(x 1,y 3,0),uurACuuurAB(10 x 3y)i ,1 uur-AC 2uuuAB1-|1021-3y | -(10 x 3y). (Q 0 x 3,02y 2)(2)設(shè)拉格朗日函數(shù)F (x, y,1 2(10x 3

6、y)x2 y2(T 7 1),Fx令Fy12322x92x9y22 y4解方程組，得唯一駐點(diǎn)x34. .y 下，且 ABC面積最大值一定存在，所以當(dāng),5. 5ABC面積最大,，一 ,3點(diǎn)C坐標(biāo)為（二,.51011B、填空題（每小題3分，共15分）（2）旋轉(zhuǎn)拋物面1在點(diǎn)（2,1,4）處的法線方程是解，設(shè)Fx2Fx 2x, Fy2y,Fz1.曲面在點(diǎn)（2,1,4）處的法向量(4,2, 1).過已知點(diǎn)的法線方程為:方程3x22 o 2y 2z1所表示的曲面方程名稱是雙葉雙曲面（5） 求過點(diǎn)M1(1,2, 1),M2（2,3,1）,且和平面x y z 1 0垂直的平面方程為 UUUUULTM1M2(2

7、 1,32,1 (1)(1,1,2),(1, 1,1)所求平面白法向量nu所求平面方程為：3（xr i11u k21r3ir2k.1)(y2)2(z1)3x y 2z 7 01112B、填空題（每小題2分,共10分）則它們的數(shù)量積5.若a , b為同向的單位向量,答案：1共10分）二、選擇題（每小題2分,1.設(shè)平面方程為By Cz D0,且 B,C,經(jīng)過y軸 （D）經(jīng)過x軸（A）平行于x軸 （B） 平行于y軸 （C）答案：Axyz4.兩平面一一一234（A）平行但不重合1,2x 3y 4z 1的位置關(guān)系是(B)重合 （C）相交但不垂直（D） 垂直由* 111因?yàn)橐?3( 4)2341,所以兩平

8、面不垂直,兩平面的法向量對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)不成比例，所以所以兩平面不平行答案：C四、解答題（每小題11分，共33分）1.求過點(diǎn)（-3, 2, 5）且與平面x 4z 3 0和2x y 5z 1 0的交線平行的直線方程解：所求直線與已知的兩個(gè)平面的法向量都垂直，所以所求直線的一個(gè)方向向量rrrijkr n104215r4ir r 一 , , _ x 33j k.所求直線方程為 上4解法2:兩方程聯(lián)立，求出交線方程。由 x-4z=3 得（x-3）/4=z ,代入（2）得（y-5）/3=z ,因此交線方程為（x-3）/4=（y-5）/3=z ,方向向量（4, 3, 1）,所以所求直線方程為（x+3）/4=（y

9、-2）/3=（z-5）/1 .解法3在交線上取兩點(diǎn)。如取 z=0 , x=3 , y=5 得 A （3, 5, 0）,再取 z=1 , x=7 , y=8 得 B （7, 8, 1）,因此交線的 方向向量 為AB= （4, 3, 1）,所求直線方程為（x+3）/4=（y-2）/3=（z-5）/17 x23.求曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與平面y 0z1所圍成立體的體積V.z x2解：曲線z x繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)拋物面z x2 y 0y2 ,與z=1所圍成的立體在xoy面上的投影為D22x,y : x y 1 .極坐標(biāo)表示D ,:01,0222V (1 x2 y2)dD2(12) d dD210

10、d 0(12) d1213B一、填空題（每小題2分，共10分） 過點(diǎn)（1,2,1）且與平面x 2y 3z 0平行的平面方程x 1 2(y 2) 3(z 1) 0或 x 2y 3z 8 0四、應(yīng)用題(每小題10分，共20分)(1)求旋轉(zhuǎn)拋物面zx2y2上垂直于直線x y z 1x 2y 5z 3的切平面方程.r r r.r i j k 解：已知直線的萬向向量s 1 1 11 2 5r r3i 4jr k.設(shè)拋物面上在點(diǎn)M (x0, y°,。)處的法向量(2%,2y0, 1)與已知直線的方向向量2x02y013 c 25干仃，于 ae .行 x0 , y0 2,z0 .34124325.

11、25所求得切平面萬程為3(x 3)4(y 2) (z 25)0或3x4y 2工0.0809代數(shù)幾何B、填空題(每小題4分，共32分)2、經(jīng)過y x3、曲線22x VO z軸和點(diǎn)(1,1,1)的平面方程的為 . 22z x y一 一一, ，、一/ x y 在xOy平面上的投影柱面的方程為x2 y2 z2 21二、選擇題(每小題4分，共20分)4、下列方程中表示的曲面為圓錐面的是B 2222(A)z 2x2 2y2; (B)(z 2)2 xy-; (C) y 4x2; (D)z2 1 -y-.44A為旋轉(zhuǎn)拋物面，B為圓錐面，C拋物柱面 D旋轉(zhuǎn)橢球面1011代數(shù)幾何B二、選擇題(每小題3分，共18分

12、)22_25.二次萬程X 2x2 3x3 4x62 1所表布的曲面為C (A)橢球面； (B )二次錐面；(C )單葉雙曲面；(D )雙葉雙曲面.(需要用到線性代數(shù)中線性變換及二次型知識(shí) )1112代數(shù)幾何A一、填空題(每小題3分，共18分)4.母線平行于z軸且過曲線2x22x2y2y2z2z16,、的柱面方程為02_2 一x 2y 166.過點(diǎn)(1,0,1)且垂直于直線x 2y z 12x y z 10的平面方程為0(x 1) 3y 5(z 1) 0 或 x 3y 5z 4、選擇題(每小題3分，共18分)1.方程2x2 2y2 z2 1表示旋轉(zhuǎn)曲面，則旋轉(zhuǎn)軸為().(A) x 軸;(B) y

13、軸;(C) z軸;(D)任一直線.分析曲線f(x,y) 0繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為f(x jyL/)0.因?yàn)榍€ z 0上的點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)過程中有兩個(gè)不變：一是橫坐標(biāo)x不變；二是所求曲面上的點(diǎn)到 x軸的距離不變，所以只需將y換成 Jy2 z2 . 一般地，求由某一坐標(biāo)面上的曲線繞該坐標(biāo)面上的某一個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)而得旋轉(zhuǎn)曲面方程的方法是：繞哪個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，則原曲線方程中相應(yīng)的那個(gè)變量不變，而將曲線方程中另一個(gè)變量改寫成該變量與第三個(gè)變量平方和的正負(fù)平方 根.1213代數(shù)幾何A一、選擇題(每小題3分，共18分)16,、16的柱面方程是().0, 小 2x26.母線平行于y軸且通過曲線2x(A)3x2 2

14、z2 16 (B)x2 2y2 16 (C)3y2 z2 16 (D)3y2 z2 16.A消去變量y1011代數(shù)幾何A一、填空題(每小題3分，共21分)3 、過點(diǎn)(1,0,1)且垂直于直線 x 2yzi 0的平面方程 2x y z 1 0(x 1) 3y 5(z1) 0或x 3y 5z 4 07、曲線z 1 y2繞z軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面方程為x 022x y z 1、選擇題(每小題3分，共21分)4、曲面z x2 2y2與z 6 2x2 y2所圍成的封閉曲面在xoy面上的投影區(qū)域?yàn)?A)圓 x2 y2 2;(B)圓面 x2 y2 2 ;(C)橢圓 2x2 y2 6 ;(D)橢圓面 2x2 y2

15、6 .B消去z,交線在xoy面上的投影所圍區(qū)域 四、綜合題(每小題10分，共20分)正3 : 3x y az 6交于一條直線1、已知三平面m : x z 1,色：y 2z 3, l,求a的值，并求此直線l的方程.注：需要用到線性代數(shù)中線性方程組解結(jié)構(gòu)的理論 解：三平面交于一條直線r(A) r(AMb)1 0 12此時(shí) |A| 0 1 23 1 a0.即a5,10 11A b 0 12 33 15 610 110 12 30 12 310 110 12 30 0 0 0所求直線方程為x z 1y 2z 30910代數(shù)幾何A一、填空題(每小題3分，共15分)3、過點(diǎn)A(4,0,-2)和點(diǎn)B(5,1

16、,7)且平行于z軸的平面方程為 七、(滿分12分)已知三個(gè)平面的方程分別為:1 : x y z 1, 2 : x- z b, 3 : 3x 2y az 1.討論a, b為何值時(shí)：(1)三平面交于一點(diǎn)；(2)三平面兩兩交于一條直線；(3)三平面交于一條直線 并寫出此直線的標(biāo)準(zhǔn)方程.注：需要用到線性代數(shù)中線性方程組解結(jié)構(gòu)的理論解：110.即 aa1,b為任意實(shí)數(shù)時(shí)，方程組有唯一解,1 1(2)方程組的系數(shù)行列式|A| 1 03 2平面交于一點(diǎn).1 11三平面兩兩交可0.即 a 1,條直線；r(A) 2,r(ANb) 3。此時(shí) |A| 1 0，3 2a1111Ab 1 01 b3 2111111012 b 101221111012 b 10 00 (b 1)Qr(A) 2,r(AMb) 3, b 1.所以a 1,b1時(shí)，三平面兩兩交41 11(4)三平面交于一條直線r(A) r(AMb) 2此時(shí)|A| 1 013 2a0.即a1,1111A b 1 01 b3 2111111012 b 101221111012 b 10 00 (b 1)x y z 1 y 2z 2(A) f(x2 z2,y)Q (B)f( .x2 z2,y) 0; (C)f(x, . y2 z2) 0;(D)f(、x2 z2,y) 0;z 0.所以b1時(shí)，r(A) r(AMb) 2.直線的標(biāo)