2021-2022學年上海市奉賢區(qū)高三（上）期末數(shù)學試卷及答案解析

1、2021-2022學年上海市奉賢區(qū)高三（上）期末數(shù)學試卷一、單選題（本大題共4小題，共20.0分）1. 下列函數(shù)中為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)的是()A. y=2xB. y=|x|C. y=sinxD. y=x32. 已知(x+124x)n的二項展開式中，前三項系數(shù)成等差數(shù)列，則n的值為()A. 7B. 8C. 9D. 103. 對于下列命題：若a>b>0，c>d>0，則a+cd>b+dc；若a>b>0，c>d>0，則ac>bd.關于上述命題描述正確的是()A. 和均為真命題B. 和均為假命題C. 為真命題，為假命題D. 為假命題，為真命

2、題4. 復數(shù)(cos2+isin3)(cos+isin)的模為1，其中i為虛數(shù)單位，0,2，則這樣的一共有()個A. 9B. 10C. 11D. 無數(shù)二、單空題（本大題共12小題，共54.0分）5. 已知集合A=1,2，B=2,a，若AB=1,2,3，則a=_6. 計算nlim7n+453n=_7. 已知圓的參數(shù)方程為x=2cosy=2sin(為參數(shù))，則此圓的半徑是_8. 函數(shù)y=3sinxcosx的最小正周期是_9. 函數(shù)y=x3+acosx是奇函數(shù)，則實數(shù)a=_10. 若圓錐的底面面積為，母線長為2，則該圓錐的體積為_11. 函數(shù)y=lg32x3+2x的定義域是_12. 等差數(shù)列an滿足

3、a3+a2=8，a4+a3=12，則數(shù)列an前n項的和為_13. 如圖，汽車前燈反射鏡與軸截面的交線是拋物線的一部分，燈口所在的圓面與反射鏡的軸垂直，燈泡位于拋物線的焦點處已知燈口直徑是24厘米，燈深10厘米，則燈泡與反射鏡頂點的距離是_厘米14. 已知曲線x2a+y216=1的焦距是10，曲線上的點P到一個焦點距離是2，則點P到另一個焦點的距離為_15. 從集合0,1,2,3,4,5,6,7,8、9中任取3個不同元素分別作為直線方程Ax+By+C=0中的A、B、C，則經(jīng)過坐標原點的不同直線有_條(用數(shù)值表示)16. 設平面上的向量a、b、x、y滿足關系a=yx，b=mxy(m2)，又設a與b

4、的模均為1且互相垂直，則x與y的夾角取值范圍為_三、解答題（本大題共5小題，共76.0分）17. 在ABC中，A、B、C所對邊a、b、c滿足(a+bc)(ab+c)=bc(1)求A的值；(2)若a=3，cosB=45，求ABC的周長18. 第一象限內的點P在雙曲線x2a2y2b2=1(a>0,b>0)上，雙曲線的左、右焦點分別記為F1、F2，已知PF1PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標原點(1)求證：b=2a；(2)若OF2P的面積為2，求點P的坐標19. 圖1是某會展中心航拍平面圖，由展覽場館、通道等組成，可以假設抽象成圖2，圖2中的大正方形AA1A2A3是由四個相等的小

5、正方形(如ABCD)和寬度相等的矩形通道組成展覽館可以根據(jù)實際需要進行重新布局成展覽區(qū)域和休閑區(qū)域，展覽區(qū)域由四部分組成，每部分是八邊形，且它們互相全等圖2中的八邊形EFTSHQMG是小正方形ABCD中的展覽區(qū)域，小正方形ABCD中的四個全等的直角三角形是休閑區(qū)域，四個八邊形是整個的展覽區(qū)域，16個全等的直角三角形是整個的休閑區(qū)域設ABCD的邊長為300米，AEF的周長為180米(1)設AE=x，求AEF的面積y關于x的函數(shù)關系式；(2)問AE取多少時，使得整個的休閑區(qū)域面積最大(長度精確到1米，面積精確到1平方米)20. 如圖，在正四棱錐PABCD中，PA=AB=22，E、F分別為PB、PD

6、的中點，平面AEF與棱PC的交點為G(1)求異面直線AE與PF所成角的大??；(2)求平面AEGF與平面ABCD所成銳二面角的大小；(3)求點G的位置21. 已知數(shù)列an滿足an=2(n=1)qan1+tan1(q0,t0,q2+t20,n2,nN)(1)當q>1時，求證：數(shù)列an不可能是常數(shù)列；(2)若qt=0，求數(shù)列an的前n項的和；(3)當q=12，t=1時，令bn=2an22(n2,nN)，判斷對任意n2，nN，bn是否為正整數(shù)，請說明理由答案和解析1.【答案】D【解析】解：y=2x不是奇函數(shù)，A不符合題意；y=|x|為偶函數(shù)，不符合題意；y=sinx在R上不單調，不符合題意；根據(jù)

7、冪函數(shù)性質可知，y=x3為奇函數(shù)且在R上單調遞增，符合題意故選：D結合基本初等函數(shù)的單調性及奇偶性分別檢驗各選項即可判斷本題主要考查了基本初等函數(shù)的單調性及奇偶性的判斷，屬于基礎題2.【答案】B【解析】解：(x+124x)n的展開式的通項公式為：Tr+1=Cnr(12)r(x)nr(14x)r，展開式中前三項的系數(shù)分別為1，n2，n(n1)8，由題意得2×n2=1+n(n1)8，n=8，(n=1舍)故選：B展開式中前三項的系數(shù)分別為1，n2，n(n1)8，根據(jù)其成等差數(shù)列可得n的值本題考查二項式定理的運用，考查學生的計算能力，比較基礎3.【答案】C【解析】解：對于，c>d>

8、;0，1cd>0，c×1cd>d×1cd>0，即1d>1c>0，a>b>0，c>d>0，a+c>b+d>0，a+cd>b+dc，故為真命題，對于，令a=c=12，b=d=14，滿足a>b>0，c>d>0，但ac=bd，故為假命題故選：C對于，結合不等式的性質，即可求解，對于，結合特殊值法，即可求解本題主要考查不等式的性質，以及特殊值法的應用，屬于基礎題4.【答案】C【解析】解：|(cos2+isin3)(cos+isin)|=|cos2+isin3|cos+isin|，其中|co

9、s+isin|=1，所以|cos2+isin3|=1，即cos22+sin23=1，cos22=1sin23，當cos2=cos3時，2=3+2k1，k1Z，所以=2k1，k1Z，因為0,2所以=0或2；2=3+2k2，k2Z，所以=2k25,k2Z，因為0,2，所以=0，25,45,65,85，65,85或2；當cos2=cos3時，2=3+(2k3+1)，k3Z，即=(2k3+1)，k3Z，因為0,2，所以=，2=3+(2k4+1)，k4Z，即=(2k4+1)5,k4Z，因為0,2，所以=5，35,75,95，75，95，綜上：=m5，m=0，1，10一共有11個故選：C先根據(jù)復數(shù)(cos

10、2+isin3)(cos+isin)的模為1及復數(shù)模的運算公式，求得cos22+sin23=1，即cos22=cos23，接下來分cos2=cos3與cos2=cos3兩種情況進行求解，結合00,2，求出的個數(shù)本題考查復數(shù)的運算，考查學生的運算能力，屬于難題5.【答案】3【解析】解：因為集合A=1,2，B=2,a，AB=1,2,3，則a=3故答案為：3利用集合并集的定義求解即可本題考查了集合的運算，主要考查了集合并集定義的理解與應用，屬于基礎題6.【答案】73【解析】解：nlim7n+453n=nlim7+4n5n3=7003=73故答案為：73直接利用數(shù)列的極限的運算法則，化簡求解即可本題考

11、查數(shù)列極限的運算法則的應用，是基礎題7.【答案】2【解析】解：圓的參數(shù)方程為x=2cosy=2sin(為參數(shù))，cos=x2，sin=y2，sin2+cos2=1，y24+x24=1，即x2+y2=4，此圓的半徑為2故答案為：2根據(jù)已知條件，結合三角函數(shù)的同角公式，即可求解本題主要考查圓的參數(shù)方程，掌握三角函數(shù)的同角公式是解本題的關鍵，屬于基礎題8.【答案】2【解析】解：函數(shù)y=3sinxcosx=2sin(x6)，所以函數(shù)的周期為：21=2故答案為：2利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的解析式，然后求解函數(shù)的周期本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，函數(shù)的周期的求法，是基礎題9.【答案】0【解析】解：

12、由奇函數(shù)性質得，f(0)=a=0，此時f(x)=x3為奇函數(shù)故答案為：0由已知結合奇函數(shù)性質f(0)=0代入可求本題主要考查了奇函數(shù)的定義及性質的應用，屬于基礎題10.【答案】33【解析】解：圓錐的底面面積為，所以，底面半徑為r=1，母線長為l=2，所以圓錐的高為=41=3；所以圓錐的體積為V=13r2=33故答案為：33求出圓錐的底面半徑，根據(jù)勾股定理求出圓錐的高，再利用公式計算圓錐的體積本題考查了圓錐的體積計算問題，是基礎題11.【答案】(,log23)【解析】解：由題意可知32x>0，2x<3，x<log23，函數(shù)的定義域為(,log23)，故答案為：(,log23)，

13、根據(jù)函數(shù)的解析式，列出使函數(shù)解析式有意義的不等式組，求出解集即可本題考查了求函數(shù)的定義域，解題的關鍵是列出使函數(shù)解析式有意義的不等式組，是基礎題目12.【答案】n2【解析】解：因為等差數(shù)列an中，a3+a2=8，a4+a3=a3+d+a2+d=12，所以d=2，所以a1+2d+a1+d=8，所以a1=1，則數(shù)列an前n項的和Sn=na1+n(n1)2×d=n+n(n1)=n2故答案為：n2由已知結合等差數(shù)列的性質先求出公差d，進而可求首項a1，然后結合等差數(shù)列的求和公式可求本題主要考查了等差數(shù)列的性質，通項公式及求和公式的應用，屬于基礎題13.【答案】3.6【解析】解：建立平面直角坐

14、標系，以O為坐標原點，水平方向為x軸，豎直方向為y軸，如圖所示： 則：設拋物線方程為y2=2px(p>0)，點(10,12)在拋物線y2=2px上，144=2p×10p2=3.6燈泡與反射鏡的頂點O的距離3.6cm故答案為：3.6先設出拋物線的標準方程y2=2px(p>0)，點(10,12)代入拋物線方程求得p，進而求得p2，即燈泡與反光鏡的頂點的距離本題主要考查了拋物線的應用和拋物線的標準方程考查了對拋物線基礎知識的掌握，屬于基礎題14.【答案】2412或10【解析】解：當曲線是橢圓時，因為焦距為10，所以a16=25，所以a=41，由橢圓的定義，可得點P到另一個焦點的

15、距離為：2412；當曲線是雙曲線時，a<0，所以16a=25，解得a=9，此時點P到另一個焦點的距離為：2×4+2=10故答案為：2412或10利用曲線是橢圓或雙曲線，結合已知條件求解a，通過圓錐曲線的定義，轉化求解即可本題考查圓錐曲線的簡單性質的應用，雙曲線的性質以及橢圓的性質的應用，是中檔題15.【答案】54【解析】解：若直線方程Ax+By+C=0經(jīng)過坐標原點，則C=0，那么A，B任意取兩個即可，有A92=72，其中，1，2；2，4；3，6；4，8；重復；1，3；2，6；3，9；重復；1，4；2，8；重復；2，3；4，6；6，9；重復；3，4；6，8；重復；所以滿足條件的直

16、線有7218=54故答案為：54先根據(jù)條件知道C=0，再根據(jù)計算原理計算即可本題考查了直線過原點的條件和計數(shù)原理的應用，是中檔題，也是易錯題16.【答案】arccos31010,arccos31010【解析】解：平面上的向量a、b、x、y滿足關系a=yx，b=mxy(m2)，x=a+bm1y=ma+bm1，a與b的模均為1且互相垂直，m2，|x|=1m1a2+b2+2ab=2m1，|y|=1m1m2a2+b2+2mab=m2+1m1，xy=1(m1)2(ma2+mab+ab+b2)=m+1(m1)2，x與y的夾角余弦值為：cos<x,y>=xy|x|y|=m+1(m1)22m1m2

17、+1m1=m+12m2+1，m2，cos<x,y>=m+12m2+131010，<x,y>0,，x與y的夾角取值范圍為arccos31010,arccos31010. 故答案為：arccos31010,arccos31010.求出x=a+bm1y=ma+bm1，由a與b的模均為1且互相垂直，m2，求出|x|，|y|，由向量數(shù)量積公式求出xy，進而求出x與y的夾角余弦值，由此能求出x與y的夾角取值范圍本題考查向量夾角的取值范圍的求法，考查考查向量垂直、向量數(shù)量積公式等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題17.【答案】解：(1)(a+bc)(ab+c)=bc，a2(bc)

18、2=bc，化簡可得a2b2c2=bc，由余弦定理可得cosA=b2+c2a22ab=12，故A=3(2)cosB=45，B(0,)，sinB=35，由正弦定理可得asinA=bsinB，即332=b35，求得b=65，由余弦定理得：cosA=b2+c2a22bc，即3625+c23125c=12，解得c=3±435，其中c>0，故c=3+435，故ABC的周長為3+435+3+65=93+95【解析】(1)根據(jù)已知條件和余弦定理求出A；(2)先求出sinB，再利用正弦定理求出b，再利用余弦定理求出c，即可得出結果本題考查正余弦定理的應用，考查計算能力，屬于基礎題18.【答案】解

19、：(1)證明：|PF1|=2|PF2|，|PF1|PF2|=2a， |PF1|=4a，|PF2|=2a，PF1PF2，(2c)2=(4a)2+(2a)2，化為：c2=5a2，又c2=a2+b2，b2=4a2，a>0，b>0，b=2a(2)由題意可得：12×2a×4a=2×2，12c|yP|=2，又b=2a，c2=a2+b2，解得a=1，b=2，yP=±455，把yP=±455代入雙曲線方程：xP21654=1，xP>0，解得xP=355P(355,±455).【解析】(1)由|PF1|=2|PF2|，|PF1|PF2

20、|=2a，解得|PF1|，|PF2|，根據(jù)PF1PF2，利用勾股定理及其c2=a2+b2，即可證明結論(2)由題意可得：12×2a×4a=2×2，12c|yP|=2，b=2a，c2=a2+b2，解出yP，并且代入雙曲線方程解得xP本題考查了雙曲線的定義及標準方程、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題19.【答案】解：(1)依題意，在RtAEF中，EF=x2+AF2，則有x+AF+x2+AF2=180，解得AF=180(90x)180x(0<x<90)，則AEF的面積y=12AEAF=90(90x)x180x，所以AEF的面積y于x函

21、數(shù)關系式是：y=90(90x)x180x(0<x<90)；(2)由(1)知，y=90(90x)x180x(0<x<90)，令180x=t(90,180)，y=90(180t)(t90)t=90270(t+16200t)90(2702t16200t)=8100(322)，當且僅當t=16200t，即t=902時取“=”，整個休閑區(qū)域是16個與RtAEF全等的三角形組成，因此整個休閑區(qū)域面積最大，當且僅當AEF的面積y最大，當t=902，即x=18090253米，整個休閑區(qū)域面積最大為y=90×(9053)×5318053×1622235平方米

22、，所以當AE取53米時，整個休閑區(qū)域面積最大為22235平方米【解析】(1)根據(jù)給定條件結合勾股定理用x表示出AF長即可求出函數(shù)關系式(2)利用(1)的函數(shù)關系借助換元法求出y的最大值及對應的x值即可計算作答本題考查了函數(shù)的實際應用，在第(2)問中運用了基本不等式求函數(shù)的最值，將y=90(90x)x180x(0<x<90)變形為y=90270(t+16200t)是解決此問題的關鍵，屬于難題20.【答案】解：(1)連接AC，BD，相交于點O，因為四邊形ABCD是正方形，所以O是正方形的中心，連接PO，因為四棱錐PABCD是正四棱錐，則PO底面ABCD，連接OE，因為E為PB的中點，所

23、以EO是PBD的中位線，所以EO/PD，OEA(或補角)即為異面直線AE與PF所成角的大小，因為正四棱錐PABCD中，PA=AB=22，所以PAB是等邊三角形，所以AE=ABsin3=6，由勾股定理得：AC=8+8=4，所以AO=2，因為POBD，E為PB的中點，所以OE=12PB=2，在AOE中，由余弦定理得：cosOEA=OE2+AE2AO22OEAE=2+6422×6=33，所以異面直線AE與PF所成角的大小為arccos33 (2)連接EF，與OP相交于點Q，則Q為OP，EF的中點，因為EF分別為PBPD的中點，所以EF是三角形PBD的中位線，所以EF/BD，因為BD平面AB

24、CD，EF平面ABCD，所以EF/平面ABCD，設平面AEGF與平面ABCD相交于直線l，故EF/l/DB，連接QA，則因為AE=AF，所以AQEF，又因為OABD，故QAO即為平面AEGF與平面ABCD所成銳二面角，其中OQ=12OP=1，AO=2，所以tanOAQ=OQAO=12，故OAQ=arctan12，即平面AEGF與平面ABCD所成銳二面角的大小為arctan12 (3)延長AQ，則由兩平面相交的性質可得AQ一定過點G，過點G作GM/PO交AC于點M，因為PO底面ABCD，所以GM底面ABCD，設GM=CM=x，則AM=4x，由第二問知：tanOAQ=12，所以GMAM=12，即x

25、4x=12，解得：x=43，故CGPC=GMOP=432=23，所以點G的位置為線段PC靠近P的三等分點【解析】(1)作出輔助線，找到異面直線AE與PF所成的角是OEA(或補角)，利用余弦定理求出OEA=arccos33；(2)作出輔助線，找到平面AEGF與平面ABCD所成銳二面角為OAQ，經(jīng)過計算得到OAQ=arctan12；(3)證明出A、Q、G三點共線，利用第二問的求出的tanOAQ=12，和題干中的條件確定點G的位置本題主要考查異面直線所成的角的計算，面面角的計算等知識，屬于中等題21.【答案】解：(1)證明：a2=qa1+ta1=2q+t2，因為q>1，t0，所以a2=2q+t2>2，故當q>1時，數(shù)列an不可能是常數(shù)列；(2)因為qt=0，q2+t20，所以當q=0時，t0，n2時，an=tan1，即當n為奇數(shù)時，an=2；當n為偶數(shù)時，an=t2，設數(shù)列an的前n項的和為Sn，當n為奇數(shù)時，Sn=