參數(shù)法求軌跡方程

1、參數(shù)法求軌跡方程一、教學目標（一）知識教學點深入理解曲線的參數(shù)方程與普通方程的區(qū)別與聯(lián)系，進一步掌握參數(shù)方程與普通方程 的互化方法（二）能力訓練點掌握運用參數(shù)求軌跡方程的方法，了解設(shè)參的基本原則和選參的一般依據(jù)，能順利消 參并討論軌跡的純粹性和完備性，培養(yǎng)多向思維的流暢性（三）學科滲透點通過學習選參方法，學會透過現(xiàn)象挖掘本質(zhì)的哲學思想方法二、教材分析1重點：運用參數(shù)求軌跡方程的方法2難點：選擇參數(shù)應(yīng)遵循的一般依據(jù)，消參的技術(shù)與軌跡的純粹性完備性 討論3疑點：設(shè)參的基本原則三、活動設(shè)計1活動：問答、思考2教具：投影儀四、教學過程（一）回憶、點題和明確任務(wù)求動點的軌跡方程，如果動點坐標 x、y 之

2、間的關(guān)系比較明顯，那么可以用直接 法，也就是建系、列式、化簡如果動點坐標 x、 y 之間的關(guān)系比較隱蔽，但動 點在運動過程中符合某種二次曲線的定義，那么可以用定義法，也就是定型 （ 曲 線類型） 、定位（曲線位置） 、定量（曲線幾何量 ） ，然后直接運用二次曲線的方程 寫出動點的軌跡方程如果動點坐標 x、 y 之間的關(guān)系很隱蔽并且很難判斷動點 符合某種二次曲線的定義，那么就可以引進一些參數(shù)，用這些參數(shù)把x、y 之間的那種隱蔽關(guān)系間接地連起來， 然后消掉參數(shù)，這就是所謂的參數(shù)法求軌跡方程同學們常用的交軌法、 換標法，實際上也是消去一些元， 留下動點坐標x、y的方法， 都可以叫參數(shù)法.在實踐中大家

3、已經(jīng)知道，參數(shù)法求軌跡方程的步驟是：首先根 據(jù)運動系統(tǒng)的運動規(guī)律設(shè)參，然后運用這些參數(shù)列式，再從這些式子中消參，最 后討論軌跡的純粹性和完備性，我們稱之為議參其中，最關(guān)鍵的一步是設(shè)參， 參設(shè)得不同，整個思維和運算過程不同，參設(shè)得不好，運算量增大，甚至根本就 算不出來；最畏難一步是消參，經(jīng)常遇到參消不了而越消越復(fù)雜的情況； 最易錯 的一步就是軌跡的純粹性完備性討論.如何做到設(shè)參合理、列式簡易、消參順利、 議參嚴密，大家可以從下面的例子中來思考和總結(jié).（二）講例1,設(shè)參基本原則請看屏幕（投影，讀題）.例1 矩形ABC沖，AB=2a BC=b a>b，E、F分別是AB CD的中點，平 行于EC

4、的直線I分別交線段EF、FC于M N兩點，求直線AM與 BN交點P的軌 跡（圖3-9）.首先需要建立坐標系，請考慮，建立直角坐標系一般應(yīng)選擇什么位置?學生1 答:選擇邊界、中心等特殊位置.那么，這一題如何建立坐標系？運動系統(tǒng)中，I主動, 有幾種設(shè)參方法？解：以E為原點，EB為x軸建立直角坐標系.各點坐標如圖（投影換片，加 上坐標系與相關(guān)點坐標）.y1BLFQ, b)N%)A(-4* CO 0Ea C* J 0 ) s區(qū)1 3-9M N從動，P隨之 運動，請思考，在這一運動系統(tǒng)中學生2 答:（1）1的縱截距c，|OM|=t，|FM|=t .為什么可以這樣設(shè)參?一參對一點P, P對一參，參變化P運

5、動，參固定P靜止，一句話：一切可 以控制運動系統(tǒng)的量都可以設(shè)參.這就是設(shè)參的基本原則.設(shè)|FM|=t , t 0 , b , P(x, y).下面解答，請考慮，需要建立監(jiān)y與泛間的是參數(shù)方程嗎？學生3 答:不必要，只要找x、y、t間的最簡單式子，從中能消參即可，這是列式的基本 要求.t IFNIatMN/OG 二 r = J,|FN|=-.babM(0, b-t),N(=, b)by _ b -tx + a akBP = kBNy _ b3!x -a a(t -b)即PR丄衛(wèi)上面的消參方法，可以視 x、y為常數(shù)代入消參，也可以是兩式作用消參.參數(shù) t 0，b范圍明顯，但由于沒有顯參數(shù)方程，所以

6、不便通過議參來確定x、y的范圍，此時可根據(jù)運動系統(tǒng)的運動全過程，由幾何直觀討論軌跡的純粹性和完 備性.I 過 F 時，P合于 F, I 0C時，P B故 x>0，y >0.軌跡為橢圓琴時在第一象限I;含左端點）的一段弧II換投 a b影片，顯示軌跡）.（三）講例2,選參的一般依據(jù)上面例1,設(shè)一個參數(shù)就可以了，并且消參也容易，下面的例2就不是這種情況，請看屏幕（投影，讀題）.例2 點A（1 , 1）、B C是拋物線y2=x上的動點，滿足AB丄AC，作矩形ABPC 求P點的軌跡方程（圖3-10）.運動系統(tǒng)中，表面上看有 B C兩個動點，實際上由于 AB丄AC所以若B主動， 則C從動，P

7、隨之運動，故實際上只有一個自由變量就可以控制整個運動系統(tǒng). 請 思考，這題有幾種設(shè)參方法？各種設(shè)參通過什么途徑把參數(shù)與動點坐標連系起 來？yLa圖 3-10學生4答:（1）設(shè)AB斜率為k, k期f* P.設(shè)點B坐標（t 2，t） TkAB kA尸CP.上述兩種設(shè)參方法中，參數(shù)與動點P的關(guān)連都比較遠，課后大家可以計算一下,實現(xiàn)這一關(guān)連，計算很是復(fù)雜.那么再考慮，能否再找一種設(shè)參方法，這種設(shè)參 方法不局限于一個參數(shù)，但確使參數(shù)與動點P間的關(guān)連比較近？學生5 答:解：設(shè) B（t 12，11），C（t 22，t2） P（x，y）.參數(shù)與P的關(guān)連很近，但參數(shù)多了一個，大家向來怕參數(shù)多，實際上，t1、t

8、2之間本身有一個關(guān)系，F(xiàn)(t 1, t 2)=0，而這一關(guān)系在消參的運用上或許無需顯解成t仁f(t 2)，只需要將F(t 1，t2)=0用一下就可以達到消參目的.而前面的兩種設(shè)參方法在消參過程中，實際上就是把 t1、t2的關(guān)系F(ti，t2)=0顯解成t1=f(t 2)，然后消參時又恢復(fù)成F(t1, t2)=0的重復(fù)計算過程.這種重復(fù)計算就是一開始所說的有時很復(fù)雜，有時根本就算不出來.是否真的如此，算算看：x+1 tf +tjy+1_ t +t22x + 1 = t/ +122G * kAC =-1=> + 1 = tl + t2tLt2 +1 +ta +2 = 0(t 1+t 2)2=

9、t12+t 22+2t1t2,(y+1) 2=x+1+2-(y+1)-2即: (y+2) 2=x-2 .想一想看，如果顯解出t仁f(t 2)再兩式消t 2,將會出現(xiàn)兩個關(guān)于t2的二次方 程，這就是消參計算復(fù)雜性的原因，因此在根據(jù)設(shè)參基本原則確定的所有可設(shè)的 參數(shù)中，選擇與動點坐標關(guān)連密切的為參數(shù).這就是選參的一般依據(jù)，并且選參不要求唯一，多個參之間不一定獨立例1中一個參數(shù)需二個式，例2中二個參數(shù)需三個式，所以一般來說，n個參數(shù)需列n+1個 式，而消參時更要充分運用恒等式進行整體消參.最后來討論純粹性和完備性.同例 1不一樣，顯然x、y是參數(shù)的顯示數(shù)，但是 兩個參數(shù)的函數(shù)，且兩個參數(shù)有關(guān)連，并非

10、獨立，所以 x、y范圍難求.而用幾 何直觀也比較困難，把兩者結(jié)合起來：時，片-叫代入得1廠3A亠、:、即y區(qū)與（y + 2）補2的交點除掉（換投影片，顯示軌跡）.由此可知，討論軌跡的純粹性和完備性，可以把幾何直觀與參數(shù)函數(shù)相結(jié)合.（四）小結(jié)（已在教學過程中逐條總結(jié)并板書）參數(shù)法求軌跡方程的步驟：設(shè)參：一切可以控制運動系統(tǒng)的量都可以設(shè)參（基本原則），從中選擇與動點關(guān)連密切的為參數(shù)（一般依據(jù)）.設(shè)參數(shù)不要求唯一，多個參數(shù)之間不一定獨立.用參：列式要棄繁就簡， n個參數(shù)需列n+1個式.消參：視x、y為常數(shù)，代人消參，兩式作用消參，整體元消參.假含參式（即 雖有x、y，但并非動點坐標）不能參與消參.議

11、參：幾何直觀與參數(shù)函數(shù)相結(jié)合.五、布置作業(yè)1. E、F是邊長為2的正方形ABCD勺邊AD BC中點，長為耀的線段直細C上運動陋在N下方），求直線EM與F1咬點P的軌跡（圖3-11）.的 3-11解：以EF為x軸，EF中點為原點建立直角坐標系，則 E（-1，0），F(xiàn)（li 0）v iftMftp tj, N（tr t2）,則凋t廠t】|二返 ta>tP A ta -tj二 1.EMFNy _ hx + 1 打 +1y ta 1 + 訂得宀xa -1=kx -1 T tj即x 2-y 2=1.據(jù)M點從A到OA中點及角到O的運動過程，畫圖可知，軌跡為雙v >0 盤W 0曲線左上和右下兩個部分，即?-y2=l貳0或總02. 點A(1 , 1), B、C是圓x2+y2=4上的動點，且AB丄AC,求BC中點P的軌 跡方程(圖3-12).解：設(shè) B(2cos a , 2sin a )、C(cos B , 2sin B )、P(x, y).貝+ cos P ly = sm。+ sin f2x 2+y2=2+2(cos a cos B +sin a sin