天津市濱海新區(qū)七校聯(lián)考2020-2021學(xué)年上學(xué)期期末高三數(shù)學(xué)試卷(解析版)

1、2020-2021學(xué)年天津市濱海新區(qū)七校聯(lián)考高三（上）期末數(shù)學(xué)試一、選擇題（共9小題）.1 .已知全集=1, 2, 3, 4, 5）,集合 A = 3, 5, B=, 2, 5,則 Bn （CuA）=（）A. 2B. 1, 2C. （2, 4）D. 1, 2, 4）2 .設(shè)成R,則 “Lr- ll>2” 是“爐>1” 的（）A,充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3 .我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”函數(shù)£田= '尸的部分圖象大致為（）2+cosx4 .中國女排，曾經(jīng)十度

2、成為世界冠軍，鑄就了響徹中華的女排精神、看過電影“奪冠”后, 某大學(xué)掀起“學(xué)習(xí)女排精神，塑造健康體魄”的年度主題活動，一段時間后，學(xué)生的身 體素質(zhì)明顯提高，現(xiàn)隨機(jī)抽取800個學(xué)生進(jìn)行體能測試，成績的頻率分布直方圖如圖， 數(shù)據(jù)分成六組40, 50） , 50, 60）90, 100,則成績落在70, 80）上的人數(shù)為（）A. 12B. 120C. 24D. 2405 .在正方體ABCO-4&G5中，三棱錐A-SC"的表而積為城，則正方體外接球的體積為（）A. 4v&兀B.近兀C. 32隗兀D.附生兀6 .已知函數(shù)/*） =e叫 好£（1明 春），b=f（log

3、."）, c=f（log1-1）t則下述關(guān)系 e 3° ep式正確的是（）A. b>a>cB. h>c>aC. c>a>bD. a>b>c7 .已知拋物線爐=2/» （>0）上一點M （1,?。┑狡浣裹c的距離為5,雙曲線223-91G>0s b>0）的左頂點為A且離心率為華，若雙曲線的一條漸近線與直線 J bz2AM垂直，則雙曲線的方程為（）8.設(shè)函數(shù)f （x） i/cos2x+2sinj£cci$ji,給出卜.列結(jié)論：（X）的最小正周期為n；jr.v=f （x）的圖象關(guān)于直線算對稱：JL

4、乙JT0 K/（X）在=六單調(diào)遞減； o S把函數(shù)y=2cos2v的圖象上所有點向右平畔個單位長度，可得到函數(shù)y=f （x）的-L乙圖象.其中所有正確結(jié)論的編號是（）A.B.C. D.（l+lo g （x+2）,9 .已知函數(shù)f （x） = c（</>0,且“W1）在區(qū)間（-8, +8）上+1）2+4a, X<-1為單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)g（X）=!f （x） l-lx-21有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）二.填空題（共6小題）.10 .若復(fù)數(shù)2=畢4,則lzl =.1-111 .在二項式G+亢)9的展開式中，含/的項的系數(shù)為12 .已知直線/： 被圓Gr+y-以-2)，

5、-1=0截得的弦長等于該圓的半徑，則實 數(shù) ?=.13 .為了抗擊新冠肺炎疫情，現(xiàn)從A醫(yī)院150人和8醫(yī)院100人中，按分層抽樣的方法， 選出5人加入“援鄂醫(yī)療隊”，現(xiàn)擬再從此5人中選出兩人作為聯(lián)絡(luò)人，則這兩名聯(lián)絡(luò) 人中B醫(yī)院至少有一人的概率是,設(shè)兩名聯(lián)絡(luò)人中B醫(yī)院的人數(shù)為X,則X的期望為14.已知正實數(shù)“，b則V二卡"的最小值為15 .已知平行四邊形A8CO的兩條對角線相交于點M, |靛|二2，|蕊|二1，NOA8=60。， 一一 彌_1k其中點尸在線段M。上且滿足AP，CP二嗤，|DP|=，若點N是線段AB上的 動點，則而.而的最小值為.三.解答題(本大題5小題，共75分。解答應(yīng)

6、寫出文字說明，證明過程或演算步驟。)16 . ZkABC 中，角 A, B,。所對邊分別為 “，b, c,且-c=l, cosA-|，SAABC(I )求邊a及sinB的值；IT(II)求。0式2，一7一)的值.617 .如圖，在四棱錐P - ABCD中，底而A8CD為直角梯形，AD/BC, BC=4D=1且CD=a，E為A。的中點，F(xiàn)是棱州的中點，PA = 2, PEL底面ABC。，AD1CD.(I )證明：BF平面PCD；(II )求二而角PBD - F的正弦值：(IH)在線段尸。(不含端點)上是否存在一點M,使得直線8時和平而8DF所成角的 正弦值為曙？若存在，求出此時PM的長：若不存在

7、，說明理由.22F)18 .已知橢圓E；受丹=lQbO)的離心率為¥，R、B分別為橢圓E的左、右焦 / bz2點，M為E上任意一點，SAFMF2的最大值為1，橢圓右頂點為A.(I)求橢圓上的方程：(II)若過A的直線I交橢圓于另一點用過8作a-軸的垂線交橢圓于C (。異于8點)，連接AC交)，軸于點尸.如果瓦而斗時，求直線,的方程. 乙19 .設(shè)“)是等比數(shù)列，公比大于0, 加是等差數(shù)列，(neN-).已知=1, 3=6+2,“4 =仇+岳，45 =。4+勸6.(I )求"”和瓦的通項公式：1, 3k<n<3k+1(II)設(shè)數(shù)列Cn滿足C1=C2=1，Cn =

8、1v，其中依N*.外, n=3(i )求數(shù)列為,：,(c3n-1)的通項公式；na3n(近)若SFrXnC M*)的前項和八 求八“+£ bcJnEN*)-kn+lj ln+2Ji=l20 . (16 分)已知函數(shù)/(x) =x - 2 - brx - alnx. (t/GR).(I )令# (x) =xf (x),討論g (x)的單調(diào)性并求極值；(II )令 h (x) =/ (x) +2+/n2x,若 h (x)有兩個零點：(i)求”的取值范圍；(ii)若方程 xK - a (bix+x) =0 有兩個實根小，x2,且 證明：eX1+Xz .>.參考答案一、選擇題（共9小題

9、）.1 .已知全集：/=1, 2, 3, 4, 5),集合 A = 3, 5, 8=1, 2, 5,則 8。(Clv4)=()A. 2B. 1， 2C. 2, 4D. 1， 2, 4)解：U=1, 2, 3, 4, 5), A = 3, 5, B=1, 2, 5),.,.CuA = l, 2, 4, 8n (CliA) =1, 2.故選：B.2 .設(shè)成R,則 “l(fā)x- ll>2” 是“爐>1” 的()A,充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解：由lx- 12 得;vV - 1 或£>3,由犬>1得xV - 1或x>l,而x

10、lxV - 1 或x>3法“kV - 1 或x>l,所以“l(fā)x - 1>2”是“9>1”的充分不必要條件.故選：A.3 .我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休.”函數(shù)fix）二存上©的部分圖象大致為（ 2+cosx)排除A, B,當(dāng) x>0 時，/(x) >0,排除 Q,故選：C.4 .中國女排，曾經(jīng)十度成為世界冠軍，鑄就了響徹中華的女排精神、看過電影“奪冠”后, 某大學(xué)掀起“學(xué)習(xí)女排精神，塑造健康體魄”的年度主題活動，一段時間后，學(xué)生的身 體素質(zhì)明顯提高，現(xiàn)隨機(jī)抽取800個學(xué)生進(jìn)行體能測試，成

11、績的頻率分布直方圖如圖， 數(shù)據(jù)分成六組40, 50) , 50, 60) -90, 100,則成績落在70, 80)上的人數(shù)為()'.頜一鋁生0 025 0 015 oo-foL-0C05 ° ho M CO 70 80 90 100A. 12B. 120C. 24D. 240解：由頻率分布直方圖得：成績落在70, 80)上的頻率為：1 - (0.010+0.015+0.015+0.025+0.005) X 10=0.3,，成績落在70, 80)上的人數(shù)為800X0.3=240.故選：D.5 .在正方體ABCQ-A&GS中，三棱錐A-&C"的表面積為

12、村經(jīng)，則正方體外接球的體積為()A. 443 B.泥兀C. 32時兀解：設(shè)正方體的棱長為小則由于三棱錐A - BiCDi的表面積為幺門，貝IJ4X苧X(V2u> 2=43.解得工，所以球的半徑R為1,又2/?=寸)=證，即夫=噂，2所以正方體的外接球的體積為言郵=等乂半=倔. d d 4故選：B.6.已知函數(shù)/(x)=晨叫 a=f(logAv)» b=f(log.-), c=f(log1-1)t 則下述關(guān)系 esJe7式正確的是()A. h>a>cB. b>c>aC. c>a>bD. a>b>c解：函數(shù)/(X)=e w,函數(shù)/&q

13、uot;)是偶函數(shù)，且當(dāng)GO時，.f (x)單調(diào)遞減， a=f(log ( - 10ge3) =/ (10gr3), 6 sb=f ( log)=/ ( - log3e) =/ (log3e), J eC=f ( logj_-) =y (log) f (21ogf3), eVl<logr3<2, 0<log3e<L 21ogr3>2,：.f (21ogr3) <f (log,3) </(log3e) , BP c<a<b9故選：A.7.已知拋物線爐=2度(，>0)上一點M (1, /)到其焦點的距離為5,雙曲線22后3-彳=1(4&g

14、t;0, b>0)的左頂點為A且離心率為華，若雙曲線的一條漸近線與直線J bz2AM垂直，則雙曲線的方程為()A. x2 _JL_= Y B. -_y2= _ C.9-2)2=1 D. X2 - 4y2= 1解：設(shè)拋物線的焦點為F，由拋物線的定義知，時”=1歲=5,解得=8,二拋物線的方程為v2=16a»不妨取M在第一象限，則其坐標(biāo)為(1, 4),由題意知，A ( - “，0),雙曲線的漸近線方程為)，=±2», a:雙曲線的離心率為感"，雙曲線的一條漸近線與直線AM垂直,=- 1 ，由,解得"=1,2 V_，雙曲線的方程為x -1=1，

15、即/-4）2=1.故選：D.8.設(shè)函數(shù)f（工）=Jcos2x+2sinxcos工，給出下列結(jié)論：®/（x）的最小正周期為n；JT尸/（X）的圖象關(guān)于直線芯卡對稱：JL乙JT 97Tf（X）在彳-3三單調(diào)遞減； O 3把函數(shù)y=2cos2v的圖象上所有點向右平畔個單位長度，可得到函數(shù)y=f （x）的 -L乙圖象.其中所有正確結(jié)論的編號是（）A.B.C D.解:/(x) = V5：os2.v+2sin.vcos.¥=/3cos2.v+sin2x=2(-<os2v+-sin2.r) = 2cos(2x - -y-), 226對于，/（X）最小正周期為，7=與-=n,所以對:

16、乙7T兀7T對于，/=2cos (2X - -) =2cos (0) -2,所以對: 1/1207TTT7 JT對于，求,f（X）的遞減區(qū)間：0+27TkW2T-二一Wir+2TrA=bEkWxZink，所以 1212錯；對于，把函數(shù)y=2cos2»的圖象上所有點向右平移，個單位長度，得到如下函數(shù)： L乙7r7ry=2cos2（X-） =2cos （2r-） t 所以對；，乙xJ故選：C.(l+lo g (x+2), x?T9.已知函數(shù)f (x) =(a>0,且“Hl )在區(qū)間(-8, 4.00)上a+1)2- X<-1為單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)g （x） =!f （x） I-l

17、x-21有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是A- ib. * 1ic ©得山嚕d.u借(l+lo g (x+2), x>-1解：因為函數(shù)f (x)=:(加>0,且“KI)(.1)2+4貧，X<-1當(dāng) xV - 1 時，f (x) = (x+1) 2+4t/,所以/(X)再(-8, -1)上單調(diào)遞減，又因為/ 在區(qū)間(-8, +8)上為單調(diào)函數(shù)，所以 0<<1 且(-1+1) 2+加21+10耿(-1+2),解得！<a<l, 4令 g (x) =!f (x) I-lx-21=0,即!f G) l=lx-2b令 yi=!f (x) I, y2=L

18、v-2l,則函數(shù)g (x)=/(x) I-lx-21有三個不同的零點，等價于y = f (x) I和”=k - 21有三個不同的交點，分別畫出#=!/ (x) I和v=k-2l的圖象如圖所示，由圖可知,當(dāng)?shù)?-1時，yi=f (x) I和竺=-21有2個不同的交點， 故只需滿足：當(dāng)xV-1時，.、仔始I和)，2=k-21有1個不同的交點, 即當(dāng) xV-l 時，(x+1) 2+4“=-x+2,化簡+3x+4l 1=0,即 1 - 4a=)+3x (x< - 1),令 (x)=+3x (x< - 1),即 y=/j (x)與 y=l -4a 有一個交點， 畫出函數(shù)y=/? (x)的圖象

19、如下圖所示，7. | = " x ； < -11易知京凡事也（-字）=（-手），3X （等+力（-1） = （ - 1） 2+3X （ - 1） = -2,Q所以 1-4史二-7或 1 -4«2 . 2, 4解得意與"或 164又因為Ma<l,4所以“的取值范圍為儀,當(dāng)U噂. 4410故選：。.二.填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分.） 。若復(fù)數(shù)普則國=無.解：zH3i -1+2/，/. lzl=V l+4=V5t故答案為：決.11 .在二項式G）9的展開式中，含f的項的系數(shù)為112. VX解：二項式）9的展開式的通項公式為7小=嶼2% g技

20、,n x令9-爭=6,求得r=2,可得展開式中含V的項的系數(shù)為C；X22=112, 乙故答案為：112.12 .已知直線/： y=x+，被圓C+產(chǎn)-41-2丁- 1=0截得的弦長等于該圓的半徑，則實數(shù)?= 2或-4.解：由/+產(chǎn)-以-%-1=0,得（x-2） 2+ （y- 1） 2=6, 則圓心C （2, 1）,半徑為黃，C到直線 >=,*的距離，仁I2-1+irI |m+l |.直線產(chǎn)x+/被圓C截得的寫出為246心要二加，整理得（，"1） 2=9,解得，=2或-4.故答案為：2或-4.13 .為了抗擊新冠肺炎疫情，現(xiàn)從A醫(yī)院150人和B醫(yī)院100人中，按分層抽樣的方法，選出

21、5人加入“援鄂醫(yī)療隊”，現(xiàn)擬再從此5人中選出兩人作為聯(lián)絡(luò)人，則這兩名聯(lián)絡(luò)人中8醫(yī)院至少有一人的概率是 工 .設(shè)兩名聯(lián)絡(luò)人中8醫(yī)院的人數(shù)為X,則X的期 -10望為4.一5-解：按分層抽樣的方法，這5人中，月醫(yī)院有5乂元嗣=3人5醫(yī)院有5X元熱萬=2人ck1 cl 7故從這5人中選2人，B醫(yī)院至少有1人的概率為：_二/=士，統(tǒng)W 10由題意知X取0, 1, 2,r2Co Q當(dāng) x=o 時，乙 1U11ck 3 當(dāng) x=l 時，P= J 2=-±,C2 5/ 1 當(dāng) x=2 時，P=. 10故X的數(shù)學(xué)期望石（X） =X0+1xi*X2=，,解：因為1式a心口磬+1砧=1g號喙）*2,則有a

22、+b=2.（a+b）4a 4b12所以擊令中b 5aIa+bz2當(dāng)且僅當(dāng)b _5&， I 4a 4b即&工|二，b-5y 時取等號,乙乙所以擊擊哈的最小值為岑1故答案為：上義.15.已知平行四邊形A8CD的兩條對角線相交于點M, |疝1 = 2，|圣| = 1，NDA8=60。，其中點尸在線段時。上且滿足Q 用=罩，|EP 1= 4 ，若點N是線段AB上的 16 11 - 4 -動點，則而.而的最小值為_a茨_.Z50 解：在A3。中，|靛|二2，|AD | = b ND48=60。，所以 BD2=AD2+AB2 - 24OA8cosNOA8= l+4-2XiX2X$3, 乙所

23、以8。=正，貝IJ有從。2+»=從中,所以 NAOB=90° ,則 NABC=120° ,在 AABC 中，AC2=AB2+BC2 - 2ABBCcosZABC=4十 1-2X2X1X （多=7，乙因為點屈=PAPC = （PM +而）（而+記）=（而而）（祈-a）二面2一癥,*2 1 2 . * . 0 125=PH qCA =|pm|2-7X7.&410解得pnA?， 4所以 DP=DM - PM=-1bD-PM= X 抵岑=亨取P。的中點為R, * 1 * 2 1 一 2故同理可得NDNP=NR PD ,又 5R=5Z） - RQ=BdApdS 乎Z

24、o o設(shè)點R到AB的距離為4,則有 NR2"=8R”in30° =-5- x 82 16所以而而=話2得而5喑/一乂呼了二糕,所以ND NP以最小值為. 2!>0故答案為:率>三.解答題（本大題5小題，共75分,解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。）16 . AA8C 中，角 A, B, C 所對邊分別為 “，b, c,且-c=l, cosA= $AABC "機(jī)（I ）求邊a及sinB的值：IT（II）求cos（2C-7"）的值.解：（I ）因為cosaJ，Ag（0, it），可得sinA二空，由 S如C .bcsinAub。）/，可得兒

25、=6,乙NJ由 b-c=l,得 =3, c=2, 222由余弦定理G°sA=b二c與 可得行會，Zbc 3由正弦定理T丁二Jp二.°，可得sinB=l. sinA sinB sinCJT（II ）在ABC 中，Be （0, it）,由（【）可知：乙2,后Fh于sinC=cosA/，cosC=sinA=-sin2C-2sinCucosC-2> cc«s2C-2co s2C- J J 力p所以 cos ( 2C-?) =co s2c，c o g-+si n2c' s i n-.6661817 .如圖，在四棱錐P - ABCD中，ABCD為直角梯形，AD/

26、BC, BC=AD=且 乙CD=M，E為A。的中點，尸是棱PA的中點，PA = 2, PEJ_底而ABC。，ADA.CD.（I ）證明：BF平面PCD；（II）求二面角P-BD-F的正弦值：（IH）在線段PC （不含端點）上是否存在一點M,使得直線和平面8。廠所成角的 正弦值為磐？若存在，求出此時PM的長：若不存在，說明理由.解：（【）法一：取PD的中點為H,連接產(chǎn)，hc.因為尸為胡的中點，所以fh_Gad,z又因為加望房曲，所以BC&ra,所以四邊形8CHF為平行四邊形,所以 BE/C,又因為Cu平而PC。，BFC平面PCD,所以8F平而PCD（I ）法二：由題意得：NAQC=90。

27、，所以四邊形3CDE為矩形， 又 PEJ_nHA8CO,如圖建立空間直角坐標(biāo)系E - xyz,則 E （0, 0, 0） , A （1, 0, 0） , B（0,時，0）,。（ - 1, 0, 0） , P（0, 0, 73）C（-L a，0）,嗎，0,喙）設(shè)平而尸。的法向量為全（如y, z）,而二（0,右，Q）, DP=（1, Q, V3）DC *m=V3y=0則，、DP m=x+V3z=0則y=0,不妨設(shè)X-Jl，則z=l,可得 法=（-«，Os 1）又三二皮，一如，苧），可得而益二0，又因為直線8FU平而3CQ,所以8尸平而BCD.（II ）設(shè)平面PBD的法向量為人二（町，yr

28、 勺），DB=（1, M，0），BP=g -心正），DB F=0 一一，即BP !=0xj-h/svo一,不妨設(shè)片的，可得叫二（近,-VsviWszrO設(shè)平而曲的法向量為司二（9，y2，叼），DF = （y, 0,零）DB ”=0,即， DF pn2=072川5y2二°一373，不妨設(shè)弘2=返，可得E二（飛回，因此有cosni，一_ "司 _7屈“2,向|,布|一飛7 -1),1, 3),yx2z2=0（注：結(jié)果正負(fù)取決于法向量方向）于是sin（n, 口2叱一期2T，石”4!'所以二面角P-BD-F的正弦值為2磐.65（注：前面設(shè)角后面不寫答話不扣分）（HI）設(shè)百二

29、人云二入（-1,巡，-正）=（一），正入，-«入），Ae （0, 1）BM = BP+PM=(-k , -氏電 X,技正入)，由（I【）可知平而 BDF的法向量為三二（751，3）,I L 一 I I BMm2 | |cos<BM, n2/l-=rIVs工+V3工-禽與北-3北入II陰Mn2 | Vis Y12四（的工一向2有3入2-4入+1=0,解得人=1 （舍）或人,可得印二（=33，冬所以|P兒22rz18 .已知橢圓E；受Wy-lQbO）的離心率為¥，F(xiàn)l、B分別為橢圓E的左、右焦 /i2點，M為E上任意一點，5人1%的最大值為1，橢圓右頂點為A.（I）求橢圓

30、E的方程：（II ）若過A的直線I交橢圓于另一點B,過8作X軸的垂線交橢圓于C （。異于8點）， 連接AC交y軸于點尸.如果瓦,而卷H寸，求直線,的方程.解：（I）.當(dāng)M為橢圓的短軸端點時，SafJAF?取得最大值，即 S=yX2cXb=l，又因為g/，/ = /+c2, a 2解得：a=亞，b=l, c=l,2 n所以橢圓方程為/y2=.2（ID A6歷，0）,根據(jù)題意，直線/斜率存在且不為0,設(shè)直線 1： y=k（x-A/2）, B （xo,和），Vk（x-V2）聯(lián)立/ .八 乙一、T+y T W（1-1-2k2） x2-4/2k2x+4k2-2=OV2'|_xo=7. V2xQ

31、= p1 十 2d1 十 2k，即B空泮濠（II） （i）由（I ）,可知%（。31）二 b3n （T） = 3（2-1） =3X67 - 3”,（/）由題意，可得nan nX 211-1 2n 2n-1（n十Din+2）二n+l）（n+2） =n+2 - n十：L 'inil T _ 212° , 22 21 . . 2n 2n-L _ 2n 1則 hi+*+- -*32 43n 十2 n十 1 n 十2 22 1_ 8n _13” - 3 n十2 一2 3n十22'3n3U丁£ bj%=E bjlcj-D + bj1=1i=l3n3a=£ L

32、（CjT） : £ bji=li=ln3n=£ b i （c1）十£ bj1=1 33 i=ln3n=£ii=ii=i=£ 3X 6工一1-£ 3，£ i i=li=l i=l_3義（1-6”） 3X（l：gn） （1+3”）義 3”re - q 2 3X（6n-1） 3X （域-1） （1+3”）義 3”522 6n+1 +9 3如2X/ 102.T u _ 8n _工尸+9產(chǎn)2X/ Jn?3n+2 210 "2_ gn 6n+1+4 9n-2X 3n一如十2 "IO-"220. (16 分)

33、已知函數(shù)/(X)=x - 2 - brx - alnx. (f/GR).(I )令g (x) =xf (x),討論# (x)的單調(diào)性并求極值；(II )令 h (x) =/ (x) +2+/rrx,若 h (x)有兩個零點：(i)求”的取值范圍:(ii)若方程xK - a (lnx+x) =0有兩個實根x2,且打工也，證明："乂 J> xlx2解：(【)因為1 &) = 1且皿的， x xy-O所以 g (x) =xf (x) =x - 21 nx a, xE (0, +°° ) » g，二廠：XX, g' (x) , g (x)的變化如下：(0, 2)(2, +8)g' (x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以g (x)單調(diào)遞減區(qū)間為(0, 2),單調(diào)遞增區(qū)間為(2, +8), 極小值為g(2) =2-2/2-a,無極大值：