二次函數(shù)知識點總結(jié)及相關(guān)典型題目2008128

1、二次函數(shù)知識點總結(jié)及相關(guān)典型題目一基礎(chǔ)知識1.定義：一般地，如果是常數(shù)，那么叫做的二次函數(shù).2.二次函數(shù)的性質(zhì)（1）拋物線的頂點是坐標(biāo)原點，對稱軸是軸.（2）函數(shù)的圖像與的符號關(guān)系. 當(dāng)時拋物線開口向上頂點為其最低點；當(dāng)時拋物線開口向下頂點為其最高點.（3）頂點是坐標(biāo)原點，對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為.3.二次函數(shù) 的圖像是對稱軸平行于（包括重合）軸的拋物線.4.二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中.5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：；.6.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點. 的符號決定拋物線的開口方向：當(dāng)時，開口向上；當(dāng)時，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

2、平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.7.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.8.求拋物線的頂點、對稱軸的方法 （1）公式法：，頂點是，對稱軸是直線. （2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線. （3）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.9.拋物線中，的作用 （1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣. （2）和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的

3、對稱軸是直線，故：時，對稱軸為軸；（即、同號）時，對稱軸在軸左側(cè)；（即、異號）時，對稱軸在軸右側(cè). （3）的大小決定拋物線與軸交點的位置. 當(dāng)時，拋物線與軸有且只有一個交點（0，）： ，拋物線經(jīng)過原點; ,與軸交于正半軸；,與軸交于負半軸. 以上三點中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，則 .10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)當(dāng)時開口向上當(dāng)時開口向下（軸）（0,0）（軸）(0, )(,0)(,)()11a,b,c, b2-4ac,a+b+c,a-b+c等符號的確定12二次函數(shù)值恒正或恒負的條件：恒正的條件：a0且；恒負的條件：a0且。1

4、3拋物線的平移規(guī)律：在頂點式的基礎(chǔ)上-“左加右減，上加下減”。在一般式的基礎(chǔ)上-14兩拋物線關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的條件：拋物線關(guān)于x軸對稱的解析式：拋物線關(guān)于x軸對稱的解析式：15.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 （1）一般式：.已知圖像上三點或三對、的值，通常選擇一般式. （2）頂點式：.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式. （3）交點式：已知圖像與軸的交點坐標(biāo)、，通常選用交點式：.16二次函數(shù)的最值問題(1)公式法:y=ax2+bx+c中,當(dāng)a>0時,x=_,y最小=_;當(dāng)a<0時,x=_,y最大=_.(2)配方法:y=a(x-h)2+k,若a>0,當(dāng)x=_,y最小=_;若

5、a<0,當(dāng)x=_,y最大=_.17.直線與拋物線的交點 （1）軸與拋物線得交點為(0, ). （2）與軸平行的直線與拋物線有且只有一個交點(,). （3）拋物線與軸的交點 二次函數(shù)的圖像與軸的兩個交點的橫坐標(biāo)、，是對應(yīng)一元二次方程的兩個實數(shù)根.拋物線與軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定： 有兩個交點拋物線與軸相交； 有一個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切； 沒有交點拋物線與軸相離. （4）平行于軸的直線與拋物線的交點 同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當(dāng)有2個交點時，兩交點的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個實數(shù)根. （5）一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的

6、圖像的交點，由方程組 的解的數(shù)目來確定：方程組有兩組不同的解時與有兩個交點; 方程組只有一組解時與只有一個交點；方程組無解時與沒有交點.（6）拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，由于、是方程的兩個根，故二典型題目一、選擇題1拋物線y=x2+2x-3與x軸的交點的個數(shù)有( )A.0個 B.1個 C.2個 D.3個2二次函數(shù)y=(x-1)2+2的最小值是( )A.-2 B.2 C.-1 D.13用配方法將二次函數(shù)y=3x2-4x-2寫成形如y=a(x+m)2+n的形式,則m,n的值分別是( )A.m=,n= B.m=-,n=- C.m=2,n=6 D.m=2,n=-24關(guān)于x的一元二

7、次方程x2-x-n=0沒有實數(shù)根,則拋物線y=x2-x-n的頂點在( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5拋物線可由拋物線（ ）而得到。A先向左平移2個單位，再向下平移1個單位；B先向左平移2個單位，再向上平移1個單位；C先向右平移2個單位，再向下平移1個單位；D先向右平移2個單位，再向上平移1個單位。6已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象如右上圖所示，給出以下結(jié)論： a+b+c<0；a-b+c<0；b+2a<0；abc>0；其中所有正確結(jié)論的序號是（ ）A B C D 7 yx1O1O3其中，函數(shù)y的值隨著x值得增大而減少的是（ ）A

8、B、 C、 D、 8已知拋物線的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（ ）A；B若y0，則與x軸的交點是（1，0），（3，0）；Cy隨x的增大而減小的自變量x的范圍是：x1；D若y0，則x的取值范圍是：x1或 x39小明、小亮、小梅、小花四人共同探討代數(shù)式x24x+5的值的情況他們作了如下分工：小明負責(zé)找其值為1時的x的值，小亮負責(zé)找其值為0時的x的值，小梅負責(zé)找最小值，小花負責(zé)找最大值，幾分鐘后，各自通報探究的結(jié)論，其中錯誤的是（ ）A小明認為只有當(dāng)x=2時，x24x+5的值為1B小亮認為找不到實數(shù)x，使x24x+5的值為0C小梅發(fā)現(xiàn)x24x+5的值隨x的變化而變化，因此認為沒有最小值D小花發(fā)

9、現(xiàn)當(dāng)x取大于2的實數(shù)時，x24x+5的值隨x的增大而增大，因此認為沒有最大值10.拋物線的頂點坐標(biāo)在第三象限，則的值為（ ）A B C D 11已知二次函數(shù)y=3(x-1)2+k的圖象上有A(,y1)、B(2,y2)、C(-,y3)三個點,則y1、y2、y3的大小關(guān)系為( )A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y112由于被墨水污染,一道數(shù)學(xué)題僅能見到如下文字:“已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象過點(1,0)求證:這個二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對稱.”根據(jù)現(xiàn)有信息,題中的二次函數(shù)圖象不具有的性質(zhì)

10、是( )A.過點(3,0) B.頂點為(2,-2)C.在x軸上截得的線段長是2 D.與y軸的交點是(0,3)13如圖函數(shù)y=ax2-bx+c的圖象過點(-1,0),則的值是 ( )A.-3 B.3 C.-1 D.114已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,下面結(jié)論:(1)a+b+c<0; (2)a-b+c>0;(3)abc>0; (4)b=2a.其中正確的結(jié)論有( )A.4個 B.3個 C.2個 D.1個15二次函數(shù)y=ax2bxc的圖象在x軸的上方的條件是（ ）Aa0，b24ac0Ba0，b24ac0Ca0，b24ac0Da0，b24ac016如圖，如果函數(shù)y=k

11、xb的圖象在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)y=kx2bx1的大致圖象是（ ）17已知拋物線y=ax2bxc，如圖所示，則x的方程ax2bxc3=0的根的情況是（ ）A有兩個不相等的正實根B有兩個異號實數(shù)根C有兩個相等實數(shù)根D沒有實數(shù)根18下列四個函數(shù)：y=x1；y=；y=x2；y=2x（1x2）其中圖象是中心對稱圖形，且對稱中心是原點的共有（ ）A1個B2個C3個D4個19已知函數(shù)y=ax2bxc的圖象如圖所示，關(guān)于系數(shù)a、b、c有下列不等式：a0；b0；c0；2ab0；abc0其中正確個數(shù)為（ ）A1個B2個C3個D4個20已知二次函數(shù)y=ax2bxc的圖象如圖所示，那么下列判斷正確的是（ ）

12、（多選）Aabc0Bb24ac0C2ab0D4a2bc021如圖，二次函數(shù)y=x24x3的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，則ABC的面積為（ ）A6B4C3D122函數(shù)y=ax2與y=axa（a0在同一直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（ ）23一臺機器原價為60萬元，如果每年的折舊率為x，兩年后這臺機器的價位為y萬元，則y與x之間的函數(shù)表達式為（ ）Ay=60（1x）2By=60（1x）Cy=60x2Dy=60（1x）224拋物線y=x2axb向左平移2個單位再向上平移3個單位得到拋物線y=x22x1，則（ ）Aa=2，b=2Ba=6，b=6 Ca=8，b=14Da=8，b=18二、填空題1拋物

13、線y=3(x+4)(x-2)與x軸的兩交點坐標(biāo)為_,與y軸的交點坐標(biāo)為_.2已知拋物線y=x2（m1）x的頂點的橫坐標(biāo)是2，則m的值是3二次函數(shù)y=x22x3的最小值是4拋物線y=x22xa2的頂點在直線x=2上，則a的值是5二次函數(shù)y=x26x5，當(dāng) 時， ，且隨的增大而減小。6已知二次函數(shù)y=x2（ab）xa的圖象如圖所示，那么化簡的結(jié)果是 7若一拋物線y=ax2與四條直線x=1，x=2，y=1，y=2圍成的正方形有公共點，則a的取值范圍是8把拋物線y=2x24x5向左又向上分別移動4個單位，再繞頂點旋轉(zhuǎn)180°，則所得新的圖象的表達式是9請你寫出函數(shù)y=3（x1）2與y=x21

14、具有的一個共同性質(zhì)10拋物線y=x2（2m1）x2m與x軸的兩個交點坐標(biāo)分別為A（x1，0），B（x2，0），且=1，則m的值為11拋物線與直線在同一直角坐標(biāo)系中，如圖所示點P1（x1，y1），P2（x2，y2）均在拋物線上，點P3（x3，y3）在直線上，其中2x1x2，x32，則y1、y2、y3的大小關(guān)系為 12如圖，已知一次函數(shù)y=2x3的圖象與x軸交于A點，則y軸交于C點，二次函數(shù)y=x2bxc的圖象過點C，且與一次函數(shù)在第二象限交于另一點B若AC：CB=1：2，那么這個拋物線的頂點坐標(biāo)是三、解答題1已知拋物線y=x2（a2）x12的頂點在x=3上，求a的值及頂點的坐標(biāo)2已知二次函數(shù)y=

15、x2x6（1）求二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)及頂點坐標(biāo)；（2）畫出函數(shù)圖象；（3）觀察圖象，指出方程x2x6=0的解及使不等式x2x60成立的x的取值范圍；（4）求二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點所構(gòu)成的三角形面積3如圖所示，一單杠高22m，兩立柱之間的距離為16m，將一根繩子的兩端栓于立柱與鐵杠結(jié)合處，繩子自然下垂呈拋物線狀（1）一身高07m的小孩站在離立柱04m處，其頭部剛好碰到繩子，求繩子最低點到地面的距離；（2）為供孩子們打秋千，把繩子剪斷后，中間系一塊長為04m的木板，除掉系木板用去的繩子后，兩邊的繩子長正好各為2m，木板與地面平行，求這時木板到地面的距離（供選用數(shù)據(jù)：=18，19，21）

16、4已知拋物線y=x22mxm2的頂點在坐標(biāo)軸上，直線y=3xb經(jīng)過拋物線的頂點，求直線與兩條坐標(biāo)軸圍成的面積5已知二次函數(shù)y=2x2-mx-m2.(1)求證:對于任意實數(shù)m,該二次函數(shù)圖象與x軸總有公共點;(2)若該二次函數(shù)圖象與x軸有兩個公共點A、B,且A點坐標(biāo)為(1,0),求B點坐標(biāo).6如圖1是泰州某河上一座古拱橋的截面圖,拱橋橋洞上沿是拋物線形狀,拋物線兩端點與水面的距離都是1 m,拱橋的跨度為10 m,橋洞與水面的最大距離是5 m,橋洞兩側(cè)壁上各有一盞距離水面4 m的景觀燈.若把拱橋的截面圖放在平面直角坐標(biāo)系中.(如圖2) (1)求拋物線的解析式;(2)求兩盞景觀燈之間的水平距離.7如

17、圖,直線y=2x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點,將AOB繞點O順時針轉(zhuǎn)90°得到A1OB1. (1)在圖中畫出A1OB1;(2)求經(jīng)過A、A1、B1三點的拋物線的解析式. 8 已知拋物線L：y=ax²+bx+c（其中a、b、c都不等于0）它的頂點P的坐標(biāo)是（-b/2a，4ac-b²/4a），與y軸的交點是M（0、c）。我們稱以M為頂點，對稱軸是y軸且過點P的拋物線為拋物線L的伴隨拋物線，直線PM為L的伴隨直線。（1）請直接寫出拋物線y=2x2-4x+1的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式： 伴隨拋物線的解析式： 。 伴隨直線的解析式： 。（2）若一條拋物線的伴隨拋物線和伴隨直線分別是y= -x2-3和y= -x-3。則這條拋物線的解析式是： （3）求拋物線L：y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不為0）的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式。（4）利用（3）的結(jié)論直接寫出y= -x2+4x+2的伴隨拋物線和伴隨直線。 9.如圖直線y=x3與軸、軸分別交于B、C兩點，拋物線y=x2bxc經(jīng)過點B和點C，點A是拋物線與軸的另一個交點； （1）求此拋物線的解析式；（2）若點P在直線BC上，且SPAC=SPAB，求P點的坐標(biāo).10.已知直線y2xb(b0)與x軸交于點A，與y軸交于點B；一拋物線的解析式為yx2(b10)xc.若該拋物線過點B