證題技巧之三——證明線段或角的和差倍分(共12頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上證題技巧之三證明線段或角的和差倍分一、證明線段或角的倍分1、方法：長（或大）折半 短（或?。┘颖?、判斷：兩種方法有時對同一個題都能使用，但存在易繁的問題，因此，究竟是折半還是加倍要以有利于利用已知條件為準(zhǔn)。3、添線：為折半或加倍而添；為折半或加倍后創(chuàng)造條件或利于利用已知條件而添。4、傳遞：在加倍或折半后，還不易或不能證明結(jié)論，則要找與被證二量有等量關(guān)系的量來傳遞，或者添加這個量來傳遞。此時，添線從兩方面考慮：造等量為證等量與被證二量相等而添。參考例4、例5、例6。例1 AD是ABC的中線，ABEF和ACGH是分別以AB和AC為邊向形外作的正方形。求證：FH=2AD證

2、明：延長AD至N使AD=DN則ABNC是平行四邊形CN=AB=FA AC=AH又FAH+BAC=180°BAC+ACN=180°FAHNCA FH=AN FH=2AD例2、ABC中，B=2C，AD是高，M是BC邊上的中點。求證：DM=AB證明：取AB的中點N，連接MN、DN 則 MNAC 1=C2=B 2=21 1=DNM DM=DN又 AN=DN=ND DM=AB 例3 ABC 中，AB=AC，E是AB的中點，D在AB的延長線上，且DB=AC。求證：CD=2CE證明：過B作CD的中線BF則 BFAC A=DBFAB=AC，E是AB的中點BF=AE又DB=AC AECBFD

3、 DF=CE CD=2CE作業(yè)：1、在ABC中，D為BC的中點，E為AD的中點，BE的延長線交AC于F，求證：AF=FC2、AB和AC分別切O于B和C，BD是直徑。求證BAC=2CBD3、圓內(nèi)接ABC的AB=AC，過C作切線交AB的延長線于D，DE垂直于AC的延長線于E。求證：BD=2CE例4 從平行四邊形的鈍角頂點A向BC邊作垂線，垂足為E，BD交AE于F且FD=2AB。求證：ABD=2DBC證明：取FD的中點M，連接AM，則AB=FM=MD=AM1=2 3=43=1+2=222=53=254=25 即ABD=2DBC例5 若圓內(nèi)接四邊形的對角線互相垂直，則圓心到四邊形一邊的距離等于這邊的對

4、邊的一半。分析：從圖上看，OE與AD之間沒有任何關(guān)系，這時我們就要想法找一個量與他們倆都有關(guān)系的量。借助這個量進(jìn)行等量傳遞。但這個量也找不到。于是我們就想法造這個量。證明：過B作直徑BF，連接CF。則OE=CF 在DHC和FCB中 DHC=FCB BDC=F 1=2 AD=CF AD=2OE例6 E是正方形ABCD的CD邊的中點。F是EC的中點。求證：DAE=FAB證明：作FAD的平分線交BC于H，交DC的延長線于G 則1=2=G FA=FG設(shè)正方形的邊長為a 則AF2=AD2+DF2 AF=a=FG CG=FG-FC=aABHGCHADE3=2DAE=FAB作業(yè)：4、ABCD是正方形，P是C

5、D上一點，AP=PC+BC。M是CD的中點。求證：BAP=2MAD5、ABC中，AB=AC。D是AC的中點，DE平分ADB，交AB于E。圓ADE交BD于F。求證：BF=2EFBF=2AE6、求證：三角形任一頂點到垂心的距離等于外心到對邊距離的2倍。二、證明三倍以外的倍分問題1、方法：當(dāng)是偶數(shù)倍時，采取折半再折半或折半傳遞。當(dāng)是奇數(shù)倍時采用傳遞或減一傳遞。例1 ABC中，E是AB的中點。D是AC上一點，且CD=DA。BD交CE于F。求證：FD=BE證明：作EGAD EG=CD BG=GDGEFDCF FD=BE例2 ABC中，C是鈍角，EC垂直于BC交AB于E且BE=2AC。求證：外角ACD=3

6、B證明：作CFAB 則1=B 2=A取BE中點G,連接CG則B=4 A=33=24=2ACD=2+1=3B例3 E是平行四邊形ABCD的邊AB的中點，F(xiàn)在AD上，且AF=AD，F(xiàn)E交AC于G。求證：AG=AC證明：延長FE交CB的延長線于H則AFEBHE AF=BH AD=3AF CH=4AF AFGCHG CG=4AG AG=AC例4 AB是O的直徑。弦CD交AB于P，且PC=PO。求證：=證明：連接OC、OD 則1=C=D 3=1+C=21 BOD=3+D=31 =作業(yè)：7、ABC中，AC垂直BC，ADBC交BD于D，BD交AC于E且ED=2AB。求證：ABE=ABC 8、延長O的半徑OA

7、到B，使AB=OA，CD切O于D，且CD不經(jīng)過AB之間。BCCD于C。求證：ABC=CAD 9、AB弧=120°，PA、PB切O于A、B。O，分別切AB弧、PA、PB于C、D、F。求證：O，的周長=O的周長。三、證線段或角的和差方法1、在長者上截一短者，證明余者等于另一短者。方法2、延長一短者，使其等于二短者之和。證明延長后與長者相等。例1 ABC是圓內(nèi)接正三角形，P是BC弧上任一點。求證：PA=PB+PC。證明：在AP上截AE=PC，連接BE 1=2 AB=AC PC=AE ABECBP BE=BP 3=4=60°BP=BE=EP PA=PB+PE證法2：在AP上截AE=

8、PB連接CE則ACEBCP根據(jù)APC=60°可證PEC是正三角形，從而命題得證。證法3、延長BP交AC的延長線于E，則BPA+APC+CPE=180° ACB+BCP+PCE=180°，可證PCE是正三角形。繼而可證BECAPC，從而命題得證。 證法4、延長BP至E，使PE=PC。連接CE。從而可證PCE是正三角形。繼而可證BECAPC，從而命題得證。（右圖可用于證法3和證法4）例2 ABC中，AB=AC，A=100°,BD是角平分線。求證：BD+AD=BC證明：在BC上截BE=BD。則3=4A=100° AB=AC ABC=C=40°

9、;1=2=20°3=4=80°5=180°-ADB-3=40°=CDE=EC 又 A、B、E、D四點共圓AD=ED BD+AD=BC證法2 延長BD至E，使DE=AD。在BC上截BF=BA，則ABDFBD AD=FD=DE ADB=BDF=60°FDC=60°=EDCCEDCFD DEC=DFC=80°=FCEBC=BE=BD+DE=BD+AD作業(yè)10、在ABC中，B=2C，AD是角平分線。求證：AB+BD=AC。11、ABC中，CE是高，AB=AC，D是BC延長線上一點，DFAB于F，DMAC交AC延長線于M。求證：DM=

10、DF-CE。12、E、F分別是正方形ABCD邊 BC和CD上的點且EAF=45°。求證：EF=BE+DF方法3、利用三角形的面積。判斷：當(dāng)結(jié)論中的三條線段分別是底邊相等的三個三角形的高時，考慮利用三角形的面積進(jìn)行證明。例3 求證：等腰三角形底邊上任一點到兩腰距離的和等于腰上的高。已知：如圖AB=AC PEAB PDAC CFAB求證：CF=PE+PD證明：SAPB=AB·PE SAPC=AC·PD SABC=SAPB+SAPC AB·CF=AB·PE+AB·PDCF=PE+PD 方法4：利用等量傳遞例4 如圖 RtABC中，A=90&

11、#176;AB=AC，MN過A，BDMN于D，CEMN于E。求證：DE=BD+CE證明：1+2=90°2+3=90° 1=3 AB=AC ADBCEA DA=CE BD=AE DE=DA+AE=BD+CE例5 如圖G是ABC的重心，直線MN過G。ADMN于D，BEMN于E，CFMN于F。求證：AD=BE+CF 證明：連接AG并延長交BC于H，作HIMN于I，則HI=(BE+CF)ADGHIG AD=2HI AD=BE+CF例6 定理：直角三角形內(nèi)切圓的直徑等于兩條直角邊的和減斜邊的差。已知：如圖RtABC中C=90°O分別切BC、CA、AB于D、E、F，設(shè)O的直徑

12、是d求證：d=AC+BC-AB證明：連接OE、OD則CD+CE=d DC=BC-BD=BC-BF CE=AC-AE=AC-AF DC+CE=BC+AC-(BF+AF)=BC+AC-AB d=AC+BC-AB作業(yè)：13、求證：正三角形內(nèi)任一點到三邊的距離之和等于高。14、在ABC中，角平分線BD、CE相交于O。過O作MNBC，分別交AB、AC于M、N。求證：MN=BM+CN。15、MN是平行四邊形ABCD形外任一條直線。求證：一對角線上兩頂點到MN的距離之和等于另一條對角線上兩頂點到MN的距離之和。16、CD 是RtABC斜邊上的高。求證：內(nèi)切于ABC、CAD、CBD的三個圓的半徑的和等于CD。

13、四、證線段或角的和差倍分 方法：1、先作出和差，再證明倍分。方法：2、先證明倍分，再計算和差。（此法多用于證線段）方法：3、用計算的方法純代數(shù)法證明和差倍分。（此法多用于證角，便于計算。）注意：在證明角的和差倍分時，涉及到的量比較多，往往用單一字母表示角進(jìn)行計算。例1 ABC中，ABAC，AD是角平分線，M是BC的中點，EMAD交AB于E，求證：BE=（AB-AC）證明：在AB上截AF=AC 則FCAD EMFC BF=AB-ACBM=MC BE=EFBE=BF=(AB-AC) 例2 梯形ABCD的腰CDBA。E、F是AD、BC的中點。求證：EF=（BC-AD）證明：作EMAB交BC于M，ENCD交BC于N，則 AE=BM，ED= FN MN=BC-ADCDBA NEEMEF=MF=FN EF=（BC-AD）證法二：延長BA、CD相交于O，連接OF交AD于E， 則BF:FC=A E，: E，D BF=FC A E，= E，D E和E，都是AD的中點，E和E，重合。OE=AD OF=BCEF=OF-OE=BC-AD EF=（BC-AD）例3 四邊形ABCD中，DAB和ABC的角平分線相交于點O。求證：O=（C+D）證明：設(shè)DAB=ABC= C=D= O=180°(+)+=360° +=360°(+) (+)=180&#