與圓的切線有關(guān)的計(jì)算與證明

1、與圓的切線有關(guān)的計(jì)算與證實(shí)1類型之一與切線的性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算或證實(shí)【經(jīng)典母題】如圖Z12 1,.的切線PC交直徑AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P, C為切點(diǎn),假設(shè)/ P=30 ,.的半徑為1,那么PB的長(zhǎng)為 1 .經(jīng)典母題答圖圖 Z12- 1【解析】如答圖,連結(jié)OC.PC為.的切線,PCO= 900在 RtOCM, v OC= 1, /P= 30 .OP= 2O生 2, .PB= OP- OB= 21 = 1.【思想方法】1圓的切線,可得切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；2圓的切線,常作過切點(diǎn)的半徑,得到切線與半徑垂直.【中考變形】2021天津AB是.的直徑,AT是.的切線,/ABJ 50 , BT交.O 于點(diǎn)C, E

2、是AB上一點(diǎn),延長(zhǎng)CE交.O于點(diǎn)D1如圖Z12-2,求/ T和/ CDB勺大小;2如圖,當(dāng)B已BC時(shí),求/ CDO勺大小.圖 Z12 2解：(1)如答圖,連結(jié)AC .AT是.的切線,AB是.的直徑,.ATXAB,即/TA回90 ,v Z ABT= 500 , . ./T= 900 / AB40 ,由AB是.的直徑,得/ AC氏90 , /CA氏 900 /AB生 400 , ./CD氏 / CA氏 40 ;T.4TA中考變形答圖中考變形答圖(2)如答圖,連結(jié)AD在4BCE中,BBC, /EBC= 50 , /BCE /BEC= 650 , . / BA氏 / BC氏 65 ,. OA= OD

3、；/OD每 /OA已 65 ,. /ADC= /ABC50 ,. /CD* /ODA /ADC65 50 = 15 .【中考預(yù)測(cè)】2021宿遷如圖Z12-3, AB與.相切于點(diǎn)B, BC為.O的弦,OCL OA OA 與BC相交于點(diǎn)P.(1)求證：A之AB；(2)假設(shè)OB= 4, AB= 3,求線段BP的長(zhǎng).A H用 B圖Z12 3中考預(yù)測(cè)答圖解：(1)證實(shí)： OG OB . ./OCD /OBCAB是.的切線,OBLAB, /OB庫(kù) 900 , ./AB巴 /OBC= 90 ,vOCLAO/AO*900 ,/OCBk ZCPO= 900 , . /APB= / CPQ. /AP& /ABP；

4、.AD AB;(2)如答圖,作 OK BC于 H 在 RtOAB中,/OB= 4, AB= 3,.OA 32 + 42 = 5, .AP= AB= 3,POO= 2.在 RtzXPOC, P最.OC+ OP = 21-八 1PC- O+ -OC- OP22OP- OC 4 5O+ k=T,C+ yoC- o爛嚕,. OHL BC . .C+ BH,BC= 2C+ *5,.BP= BC- PCU咦2乘邛. 55類型之二與切線的判定有關(guān)的計(jì)算或證實(shí)【經(jīng)典母題】：如圖Z12-4, A是.外一點(diǎn),AO的延長(zhǎng)線交.O于點(diǎn)C,點(diǎn)B在圓上,且A五BC, /A=30 ,求證：直線AB是.的切線.AA證實(shí)：如答

5、圖,連結(jié)ob. OB= OC AB= BQ /A= 30 ,. /OB* /C= /A= 300 ,. /AO& /C+ /OB康 60 ./ABO= 180 -( ZAOBb /A) = 180 (60 + 30 )=90 ,AB,OB又OB為.O半徑,AB是.O的切線.【思想方法】證實(shí)圓的切線常用兩種方法“作半徑,證垂直或者“作垂直,證半徑.【中考變形】1. 2021黃石如圖Z12- 5,.的直徑為AB,點(diǎn)C在圓周上(異于A,切,AD LCD(1)假設(shè)B最3, AB= 5,求AC的值；(2)假設(shè)AC是/DAB的平分線,求證：直線 CD.的切線.三圖 Z12- 5解：1;AB是.O直徑,C在

6、.O上, /AC氏900 ,又二 B堤3, AB= 5, 由勾股定理,得A提4;證實(shí)：如答圖,連結(jié)OC.AC是/ DAB勺平分線,. / DAC= / BAC又ADLDC ./ADC= /AC氏90 , .ADC zACB/DC / CBA 又.OA= oc ./oag /OCA /OAG /OB康 90 ,./OCA/ 直線CD.的切線.三中考義形1答圖AC氏 /OCR 90 ,2. 2021 南充如圖 Z12-6,在 RtzXACB中,/ AC&900 ,以 AC為直徑作.O交AB于點(diǎn)D, E為BC的中點(diǎn),連結(jié)DE并延長(zhǎng)交AC的延長(zhǎng)線點(diǎn)F.(1)求證：DE是.的切線；假設(shè)C曰2, DF=

7、4,求.O直徑的長(zhǎng).圖Z12 6中考變形2答圖【解析】(1)連2OD欲證DE是.的切線,需證ODL DE即需證/ OD匿 90 ,而/ AC氏90 ,連結(jié) CD根據(jù)等邊對(duì)等角可知/ OD匿/OC匿 90 ,從而得證；(2)在RtODF中,利用勾股定理建立關(guān)于半徑的方程求解.解：(1)證實(shí)：如答圖,連結(jié) OD CD.AC是.的直徑,ADC= 90 . /BDC 900 .又: E為BC的中點(diǎn),1八八八八.-.DE= 2BC= CE, ./EDC= /ECD OA OC . OD* / OCD /EDO /OD* /ECDb /OCR / AC氏 90 ./ODA900 , DE是.的切線；(2)

8、設(shè).的半徑為 x.在 RtzXOD叩,OD+ Dt= OF,即 x2 + 42=(x + 2)2,解得 x=3.二.的直徑為 6.【中考預(yù)測(cè)】如圖Z12-7, AB是.O的直徑,點(diǎn) C, D在.O上,/ A= 2/BCD點(diǎn)E在AB 的延長(zhǎng)線上,/ AE比/ABC(1)求證：DE與.O相切；假設(shè)BF= 2, DF= /,求.的半徑.解：1證實(shí)：如答圖,連結(jié)OD AB是.的直徑, /AC氏90 ,. /A+ /ABC= 900 ,. /BO在2/BCD /A= 2/BCD / BO也 /A, /AE比 /ABC /BODk /AE比 90 , /ODE900 ,即 ODLDE,DE與.O相切;如答

9、圖,連結(jié)BD,過點(diǎn)D作DHL BF于點(diǎn)H. DE與.O相切,丁. / ACDb / BC& / OD印 / BD1 90 / AC& / OBD / OB也 / ODB / BDE= / BCD /AE比 /ABC / AFG= /DBF= / AFG= / DFB ACF與 FDBffi是等腰三角形, .FH= B+ ；BF= 1, . . H* dFFH = 3,在 RtODW, OH + DH= OD,即OD- 12+ 32 = OD, O* 5.即.的半徑是5.與圓的切線有關(guān)的計(jì)算與證實(shí)(2)1 .如圖8, C此.0的切線,切點(diǎn)為A,AB是.0的直徑.E,F.0上的點(diǎn),求證：/ DAE

10、W FDE/A B.(2)假設(shè)EF/CD,求證：AAEF等腰三角形CFAOBE2 .如圖7 .的半徑為1 ,過點(diǎn)A(2, 0)的直線切 .0于點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)C.(1) 求線段AB的長(zhǎng)；(2) 求以直線AC為圖象的一次函數(shù)的解析式.3、在 ABC中,AB=AC內(nèi)切圓 O與邊BC AG AB分別切于 DX E、F.假設(shè)/ C=30 , CE =2百,求 AC.(1)求證：BF=CE4.如圖 10,在.O中,/ ACB4 BDC=60, AC=23cm ,(1)求/ BAC的度數(shù)；(2)求.O的周長(zhǎng)5：如圖,AB是.O的直徑,AD是弦,05直AD于F交.O于E,連結(jié)DE BE且/C=Z BED(1

11、)求證：AC是0O的切線；(2)假設(shè) O盒10, AD=16,求 AC的長(zhǎng).6 .如圖,MP切.O于點(diǎn)M,直線PO交.O于點(diǎn)A、B,弦AC/MP, 求證：MO / BC.(2補(bǔ)充)連結(jié)CM,當(dāng)四邊形BCMO；菱形時(shí),求/ P的度數(shù) 或反過來問：當(dāng)/ P =30時(shí),判斷四邊形7 .如圖,在 ABC中,AB =AC ,以AB為直徑的.交BC于點(diǎn)M , MNLAC于點(diǎn)N .OA、NM(1)求證MN是.O的切線；(2)假設(shè)/BAC=120, AB =2,求圖中陰影局部的面積.8如圖, ABCrt接于半圓,AB是直徑,過 A作直線 MN假設(shè)/ MAC = ABC .(1)求證：渥半圓的切線；(2)設(shè)D是弧AC的中點(diǎn),連結(jié) BD交AC于G 過D作DEL AB于E,交AC于F.求證：FD= FG(2)假設(shè)P為AB的中點(diǎn),PE,AB交AC于點(diǎn)E,求PE的長(zhǎng).9 .如圖,半圓的直徑 AB=10,點(diǎn)C在半圓上,BC=6. (1)求弦AC的長(zhǎng)；10 .：如圖, AB為.的直徑,AB = AC, BC交.O于點(diǎn)D , AC交.O于點(diǎn)BDEE,2BAC=45.(1)求/EBC的度數(shù)；(2)求證：BD =CD .1