高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破1-5

1、難點(diǎn)1 集合思想及應(yīng)用集合是高中數(shù)學(xué)的基本知識(shí)，為歷年必考內(nèi)容之一，主要考查對(duì)集合基本概念的認(rèn)識(shí)和理解，以及作為工具，考查集合語言和集合思想的運(yùn)用.本節(jié)主要是幫助考生運(yùn)用集合的觀點(diǎn)，不斷加深對(duì)集合概念、集合語言、集合思想的理解與應(yīng)用.難點(diǎn)磁場()已知集合A=(x,y)|x2+mxy+2=0,B=(x,y)|xy+1=0,且0x2,如果AB,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.案例探究例1設(shè)A=(x,y)|y2x1=0,B=(x,y)|4x2+2x2y+5=0,C=(x,y)|y=kx+b,是否存在k、bN,使得(AB)C=，證明此結(jié)論.命題意圖：本題主要考查考生對(duì)集合及其符號(hào)的分析轉(zhuǎn)化能力，即能從集合符號(hào)上分

2、辨出所考查的知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)而解決問題.屬級(jí)題目.知識(shí)依托：解決此題的閃光點(diǎn)是將條件(AB)C=轉(zhuǎn)化為AC=且BC=，這樣難度就降低了.錯(cuò)解分析：此題難點(diǎn)在于考生對(duì)符號(hào)的不理解，對(duì)題目所給出的條件不能認(rèn)清其實(shí)質(zhì)內(nèi)涵，因而可能感覺無從下手.技巧與方法：由集合A與集合B中的方程聯(lián)立構(gòu)成方程組，用判別式對(duì)根的情況進(jìn)行限制，可得到b、k的范圍，又因b、kN,進(jìn)而可得值.解：(AB)C=，AC=且BC= k2x2+(2bk1)x+b21=0AC=1=(2bk1)24k2(b21)<04k24bk+1<0,此不等式有解，其充要條件是16b216>0,即b2>14x2+(22k)x+(5+

3、2b)=0BC=,2=(1k)24(52b)<0k22k+8b19<0,從而8b<20,即b<2.5 由及bN,得b=2代入由1<0和2<0組成的不等式組，得k=1,故存在自然數(shù)k=1,b=2,使得(AB)C=.例2向50名學(xué)生調(diào)查對(duì)A、B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果：贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對(duì)A、B都不贊成的學(xué)生數(shù)比對(duì)A、B都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人.問對(duì)A、B都贊成的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生各有多少人？命題意圖：在集合問題中，有一些常用的方法如數(shù)軸法取交并集，韋恩圖法等，需要考生切實(shí)掌握.本題

4、主要強(qiáng)化學(xué)生的這種能力.屬級(jí)題目.知識(shí)依托：解答本題的閃光點(diǎn)是考生能由題目中的條件，想到用韋恩圖直觀地表示出來.錯(cuò)解分析：本題難點(diǎn)在于所給的數(shù)量關(guān)系比較錯(cuò)綜復(fù)雜，一時(shí)理不清頭緒，不好找線索.技巧與方法：畫出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系.解：贊成A的人數(shù)為50×=30，贊成B的人數(shù)為30+3=33，如上圖，記50名學(xué)生組成的集合為U，贊成事件A的學(xué)生全體為集合A；贊成事件B的學(xué)生全體為集合B.設(shè)對(duì)事件A、B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x,則對(duì)A、B都不贊成的學(xué)生人數(shù)為+1,贊成A而不贊成B的人數(shù)為30x，贊成B而不贊成A的人數(shù)為33x.依題意(30x)+(33x)+x+(+1)=50,

5、解得x=21.所以對(duì)A、B都贊成的同學(xué)有21人，都不贊成的有8人.錦囊妙計(jì)1.解答集合問題，首先要正確理解集合有關(guān)概念，特別是集合中元素的三要素；對(duì)于用描述法給出的集合x|xP,要緊緊抓住豎線前面的代表元素x以及它所具有的性質(zhì)P；要重視發(fā)揮圖示法的作用，通過數(shù)形結(jié)合直觀地解決問題.2.注意空集的特殊性，在解題中，若未能指明集合非空時(shí)，要考慮到空集的可能性，如AB,則有A=或A兩種可能，此時(shí)應(yīng)分類討論.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.()集合M=x|x=,kZ,N=x|x=,kZ,則( )A.M=NB.MNC.MND.MN=2.()已知集合A=x|2x7,B=x|m+1<x<2m1且B,若

6、AB=A，則( )A.3m4B.3<m<4C.2<m<4D.2<m4二、填空題3.()已知集合A=xR|ax23x+2=0,aR,若A中元素至多有1個(gè)，則a的取值范圍是_.4.()x、yR,A=(x,y)|x2+y2=1,B=(x,y)| =1,a>0,b>0,當(dāng)AB只有一個(gè)元素時(shí)，a,b的關(guān)系式是_.三、解答題5.()集合A=x|x2ax+a219=0,B=x|log2(x25x+8)=1，C=x|x2+2x8=0,求當(dāng)a取什么實(shí)數(shù)時(shí)，AB 和AC=同時(shí)成立.6.()已知an是等差數(shù)列，d為公差且不為0，a1和d均為實(shí)數(shù)，它的前n項(xiàng)和記作Sn,設(shè)集合

7、A=(an,)|nN*,B=(x,y)| x2y2=1,x,yR.試問下列結(jié)論是否正確，如果正確，請(qǐng)給予證明；如果不正確，請(qǐng)舉例說明.(1)若以集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則這些點(diǎn)都在同一條直線上；(2)AB至多有一個(gè)元素；(3)當(dāng)a10時(shí)，一定有AB.7.()已知集合A=z|z2|2,zC,集合B=w|w=zi+b,bR,當(dāng)AB=B時(shí)，求b的值.8.()設(shè)f(x)=x2+px+q,A=x|x=f(x),B=x|ff(x)=x.(1)求證：AB;(2)如果A=1，3，求B.參考答案難點(diǎn)磁場解：由得x2+(m1)x+1=0AB方程在區(qū)間0，2上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解.首先，由=(m1)240,得m3或

8、m1,當(dāng)m3時(shí)，由x1+x2=(m1)0及x1x2=1>0知，方程只有負(fù)根，不符合要求.當(dāng)m1時(shí)，由x1+x2=(m1)>0及x1x2=1>0知，方程只有正根，且必有一根在區(qū)間(0，1內(nèi)，從而方程至少有一個(gè)根在區(qū)間0，2內(nèi).故所求m的取值范圍是m1.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、1.解析：對(duì)M將k分成兩類：k=2n或k=2n+1(nZ),M=x|x=n+,nZx|x=n+,nZ,對(duì)N將k分成四類，k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(nZ),N=x|x=n+,nZx|x=n+,nZx|x=n+,nZx|x=n+,nZ.答案：C2.解析：AB=A，BA,又B,即2m4.答案：D

9、二、3.a=0或a4.解析：由AB只有1個(gè)交點(diǎn)知，圓x2+y2=1與直線=1相切，則1=,即ab=.答案：ab=三、5.解：log2(x25x+8)=1,由此得x25x+8=2，B=2,3.由x2+2x8=0，C=2,4,又AC=，2和4都不是關(guān)于x的方程x2ax+a219=0的解，而AB ,即AB,3是關(guān)于x的方程x2ax+a219=0的解，可得a=5或a=2.當(dāng)a=5時(shí)，得A=2，3，AC=2，這與AC=不符合，所以a=5(舍去)；當(dāng)a=2時(shí)，可以求得A=3，5，符合AC=，AB ，a=2.6.解：(1)正確.在等差數(shù)列an中，Sn=,則(a1+an),這表明點(diǎn)(an,）的坐標(biāo)適合方程y(

10、x+a1),于是點(diǎn)(an, )均在直線y=x+a1上.(2)正確.設(shè)(x,y)AB,則(x,y)中的坐標(biāo)x,y應(yīng)是方程組的解，由方程組消去y得：2a1x+a12=4(*)，當(dāng)a1=0時(shí)，方程(*)無解，此時(shí)AB=；當(dāng)a10時(shí)，方程(*)只有一個(gè)解x=,此時(shí)，方程組也只有一解,故上述方程組至多有一解.AB至多有一個(gè)元素.(3）不正確.取a1=1,d=1,對(duì)一切的xN*,有an=a1+(n1)d=n>0, >0,這時(shí)集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，其橫、縱坐標(biāo)均為正，另外，由于a1=10.如果AB,那么據(jù)(2）的結(jié)論，AB中至多有一個(gè)元素(x0,y0）,而x0=0,y0=0,這樣的(x0,

11、y0）A,產(chǎn)生矛盾，故a1=1,d=1時(shí)AB=，所以a10時(shí)，一定有AB是不正確的.7.解：由w=zi+b得z=,zA,|z2|2,代入得|2|2,化簡得|w(b+i)|1.集合A、B在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合是兩個(gè)圓面，集合A表示以點(diǎn)(2，0）為圓心，半徑為2的圓面，集合B表示以點(diǎn)(b,1)為圓心，半徑為1的圓面.又AB=B，即BA，兩圓內(nèi)含.因此21,即(b2)20，b=2.8.(1)證明：設(shè)x0是集合A中的任一元素，即有x0A.A=x|x=f(x),x0=f(x0).即有ff(x0)=f(x0)=x0,x0B,故AB.(2)證明：A=1,3=x|x2+px+q=x,方程x2+(p1)x+q

12、=0有兩根1和3，應(yīng)用韋達(dá)定理，得f(x)=x2x3.于是集合B的元素是方程ff(x)=x,也即(x2x3)2(x2x3)3=x(*)的根.將方程(*)變形，得(x2x3）2x2=0解得x=1,3,.故B=，1，3.難點(diǎn)2 充要條件的判定充分條件、必要條件和充要條件是重要的數(shù)學(xué)概念，主要用來區(qū)分命題的條件p和結(jié)論q之間的關(guān)系.本節(jié)主要是通過不同的知識(shí)點(diǎn)來剖析充分必要條件的意義，讓考生能準(zhǔn)確判定給定的兩個(gè)命題的充要關(guān)系.難點(diǎn)磁場()已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程x2+ax+b=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根、，證明：|<2且|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要條件.案例探究例1已知p：

13、|1|2,q:x22x+1m20(m>0),若p是q的必要而不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.命題意圖：本題以含絕對(duì)值的不等式及一元二次不等式的解法為考查對(duì)象，同時(shí)考查了充分必要條件及四種命題中等價(jià)命題的應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)了知識(shí)點(diǎn)的靈活性.知識(shí)依托：本題解題的閃光點(diǎn)是利用等價(jià)命題對(duì)題目的文字表述方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使考生對(duì)充要條件的難理解變得簡單明了.錯(cuò)解分析：對(duì)四種命題以及充要條件的定義實(shí)質(zhì)理解不清晰是解此題的難點(diǎn)，對(duì)否命題，學(xué)生本身存在著語言理解上的困難.技巧與方法：利用等價(jià)命題先進(jìn)行命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，搞清晰命題中條件與結(jié)論的關(guān)系，再去解不等式，找解集間的包含關(guān)系，進(jìn)而使問題解決.解：由題意知：命題：

14、若p是q的必要而不充分條件的等價(jià)命題即逆否命題為：p是q的充分不必要條件.p:|1|2212132x10q:x22x+1m20x(1m)x(1+m)0 *p是q的充分不必要條件，不等式|1|2的解集是x22x+1m20(m>0)解集的子集.又m>0不等式*的解集為1mx1+m，m9，實(shí)數(shù)m的取值范圍是9，+.例2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)Sn=pn+q(p0,p1),求數(shù)列an是等比數(shù)列的充要條件.命題意圖：本題重點(diǎn)考查充要條件的概念及考生解答充要條件命題時(shí)的思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.知識(shí)依托：以等比數(shù)列的判定為主線，使本題的閃光點(diǎn)在于抓住數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的遞推關(guān)系，嚴(yán)格利用定義去判定.錯(cuò)解分

15、析：因?yàn)轭}目是求的充要條件，即有充分性和必要性兩層含義，考生很容易忽視充分性的證明.技巧與方法：由an=關(guān)系式去尋找an與an+1的比值，但同時(shí)要注意充分性的證明.解：a1=S1=p+q.當(dāng)n2時(shí)，an=SnSn1=pn1(p1)p0,p1,=p若an為等比數(shù)列，則=p=p,p0，p1=p+q，q=1這是an為等比數(shù)列的必要條件.下面證明q=1是an為等比數(shù)列的充分條件.當(dāng)q=1時(shí)，Sn=pn1(p0,p1)，a1=S1=p1當(dāng)n2時(shí)，an=SnSn1=pnpn1=pn1(p1)an=(p1)pn1 (p0,p1)=p為常數(shù)q=1時(shí)，數(shù)列an為等比數(shù)列.即數(shù)列an是等比數(shù)列的充要條件為q=1.

16、錦囊妙計(jì)本難點(diǎn)所涉及的問題及解決方法主要有：(1)要理解“充分條件”“必要條件”的概念：當(dāng)“若p則q”形式的命題為真時(shí)，就記作pq，稱p是q的充分條件，同時(shí)稱q是p的必要條件，因此判斷充分條件或必要條件就歸結(jié)為判斷命題的真假.(2)要理解“充要條件”的概念，對(duì)于符號(hào)“”要熟悉它的各種同義詞語：“等價(jià)于”，“當(dāng)且僅當(dāng)”，“必須并且只需”，“，反之也真”等.(3)數(shù)學(xué)概念的定義具有相稱性，即數(shù)學(xué)概念的定義都可以看成是充要條件，既是概念的判斷依據(jù)，又是概念所具有的性質(zhì).(4)從集合觀點(diǎn)看，若AB，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；若A=B，則A、B互為充要條件.(5)證明命題條件的充要性時(shí)，既要

17、證明原命題成立(即條件的充分性)，又要證明它的逆命題成立(即條件的必要性).殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.()函數(shù)f(x)=x|x+a|+b是奇函數(shù)的充要條件是( )A.ab=0B.a+b=0C.a=bD.a2+b2=02.()“a=1”是函數(shù)y=cos2axsin2ax的最小正周期為“”的( )A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既非充分條件也不是必要條件二、填空題3.()a=3是直線ax+2y+3a=0和直線3x+(a1)y=a7平行且不重合的_.4.()命題A：兩曲線F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于點(diǎn)P(x0,y0),命題B：曲線F(x,y)+G(x,y)=0(為常數(shù)

18、)過點(diǎn)P(x0,y0),則A是B的_條件.三、解答題5.()設(shè)，是方程x2ax+b=0的兩個(gè)實(shí)根，試分析a>2且b>1是兩根、均大于1的什么條件？6.()已知數(shù)列an、bn滿足：bn=,求證：數(shù)列an成等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列bn也是等差數(shù)列.7.()已知拋物線C：y=x2+mx1和點(diǎn)A(3，0)，B(0，3)，求拋物線C與線段AB有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件.8.()p:2<m<0,0<n<1;q:關(guān)于x的方程x2+mx+n=0有2個(gè)小于1的正根，試分析p是q的什么條件.(充要條件)參考答案難點(diǎn)磁場證明：(1）充分性：由韋達(dá)定理，得|b|=|·|=|

19、·|2×2=4.設(shè)f(x)=x2+ax+b,則f(x)的圖象是開口向上的拋物線.又|2,|2,f(±2)>0.即有4+b>2a>(4+b)又|b|44+b>02|a|4+b(2)必要性：由2|a|4+bf(±2)>0且f(x)的圖象是開口向上的拋物線.方程f(x)=0的兩根，同在(2，2）內(nèi)或無實(shí)根.，是方程f(x)=0的實(shí)根，同在(2，2）內(nèi)，即|2且|2.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、1.解析：若a2+b2=0,即a=b=0,此時(shí)f(x)=(x)|x+0|+0=x·|x|=(x|x+0|+b)=(x|x+a|+b)=f(x)

20、.a2+b2=0是f(x)為奇函數(shù)的充分條件，又若f(x)=x|x+a|+b是奇函數(shù)，即f(x)=(x)|(x)+a|+b=f(x),則必有a=b=0,即a2+b2=0.a2+b2=0是f(x)為奇函數(shù)的必要條件.答案：D2.解析：若a=1,則y=cos2xsin2x=cos2x,此時(shí)y的最小正周期為.故a=1是充分條件，反過來，由y=cos2axsin2ax=cos2ax.故函數(shù)y的最小正周期為,則a=±1,故a=1不是必要條件.答案：A二、3.解析：當(dāng)a=3時(shí)，直線l1:3x+2y+9=0;直線l2:3x+2y+4=0.l1與l2的A1A2=B1B2=11，而C1C2=941,即

21、C1C2,a=3l1l2.答案：充要條件4.解析：若P(x0,y0)是F(x,y)=0和G(x,y)=0的交點(diǎn)，則F(x0,y0)+G(x0,y0)=0，即F(x,y)+G(x,y)=0，過P(x0,y0);反之不成立.答案：充分不必要三、5.解：根據(jù)韋達(dá)定理得a=+,b=.判定的條件是p:結(jié)論是q:(注意p中a、b滿足的前提是=a24b0)(1)由，得a=+>2,b=>1,qp(2)為證明pq,可以舉出反例：取=4,=,它滿足a=+=4+>2,b=4×=2>1,但q不成立.綜上討論可知a>2,b>1是>1,>1的必要但不充分條件.6.

22、證明：必要性：設(shè)an成等差數(shù)列，公差為d,an成等差數(shù)列. 從而bn+1bn=a1+n·da1(n1) d=d為常數(shù). 故bn是等差數(shù)列，公差為d.充分性:設(shè)bn是等差數(shù)列，公差為d,則bn=(n1)dbn(1+2+n)=a1+2a2+nanbn1(1+2+n1)=a1+2a2+(n1)an得：nan=bn1an=,從而得an+1an=d為常數(shù)，故an是等差數(shù)列.綜上所述，數(shù)列an成等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列bn也是等差數(shù)列.7.解：必要性：由已知得，線段AB的方程為y=x+3(0x3)由于拋物線C和線段AB有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以方程組*有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.消元得：x2(m+1)x+4

23、=0(0x3)設(shè)f(x)=x2(m+1)x+4,則有充分性：當(dāng)3x時(shí)，x1=>0方程x2(m+1)x+4=0有兩個(gè)不等的實(shí)根x1,x2,且0x1x23,方程組*有兩組不同的實(shí)數(shù)解.因此，拋物線y=x2+mx1和線段AB有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件3m.8.解：若關(guān)于x的方程x2+mx+n=0有2個(gè)小于1的正根，設(shè)為x1,x2.則0x11,0x21,有0x1+x22且0x1x21,根據(jù)韋達(dá)定理：有2m0;0n1即有qp.反之，取m=0方程x2+mx+n=0無實(shí)根，所以pq綜上所述，p是q的必要不充分條件.難點(diǎn)3 運(yùn)用向量法解題平面向量是新教材改革增加的內(nèi)容之一，近幾年的全國使用新教材的高考試題

24、逐漸加大了對(duì)這部分內(nèi)容的考查力度，本節(jié)內(nèi)容主要是幫助考生運(yùn)用向量法來分析，解決一些相關(guān)問題.難點(diǎn)磁場()三角形ABC中，A(5，1)、B(1，7)、C(1，2)，求：(1)BC邊上的中線AM的長；(2)CAB的平分線AD的長；(3)cosABC的值.案例探究例1如圖，已知平行六面體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CB=C1CD=BCD.(1)求證：C1CBD.(2)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，能使A1C平面C1BD？請(qǐng)給出證明.命題意圖：本題主要考查考生應(yīng)用向量法解決向量垂直，夾角等問題以及對(duì)立體幾何圖形的解讀能力.知識(shí)依托：解答本題的閃光點(diǎn)是以向量來論證立體幾何中的垂直問題，這就使幾

25、何問題代數(shù)化，使繁瑣的論證變得簡單.錯(cuò)解分析：本題難點(diǎn)是考生理不清題目中的線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，再就是要清楚已知條件中提供的角與向量夾角的區(qū)別與聯(lián)系.技巧與方法：利用aba·b=0來證明兩直線垂直，只要證明兩直線對(duì)應(yīng)的向量的數(shù)量積為零即可.(1)證明：設(shè)=a, =b,=c,依題意，|a|=|b|，、中兩兩所成夾角為，于是=ab，=c(ab)=c·ac·b=|c|·|a|cos|c|·|b|cos=0,C1CBD.(2)解：若使A1C平面C1BD，只須證A1CBD，A1CDC1，由=(a+b+c)·(ac)=|a|2+a&#

26、183;bb·c|c|2=|a|2|c|2+|b|·|a|cos|b|·|c|·cos=0,得當(dāng)|a|=|c|時(shí)，A1CDC1，同理可證當(dāng)|a|=|c|時(shí)，A1CBD，=1時(shí)，A1C平面C1BD.例2如圖，直三棱柱ABCA1B1C1，底面ABC中，CA=CB=1，BCA=90°，AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn).(1)求的長；(2)求cos<>的值；(3)求證：A1BC1M.命題意圖：本題主要考查考生運(yùn)用向量法中的坐標(biāo)運(yùn)算的方法來解決立體幾何問題.屬級(jí)題目.知識(shí)依托：解答本題的閃光點(diǎn)是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系Oxyz,

27、進(jìn)而找到點(diǎn)的坐標(biāo)和求出向量的坐標(biāo).錯(cuò)解分析：本題的難點(diǎn)是建系后，考生不能正確找到點(diǎn)的坐標(biāo).技巧與方法：可以先找到底面坐標(biāo)面xOy內(nèi)的A、B、C點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用向量的模及方向來找出其他的點(diǎn)的坐標(biāo).(1)解：如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.依題意得：B(0，1，0)，N(1，0，1)|=.(2)解：依題意得：A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2).=(0，1，2)=1×0+(1)×1+2×2=3|=(3)證明：依題意得：C1(0，0，2)，M()A1BC1M.錦囊妙計(jì)1.解決關(guān)于向量問題時(shí)，一要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，

28、正確地進(jìn)行向量的各種運(yùn)算，加深對(duì)向量的本質(zhì)的認(rèn)識(shí).二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想.2.向量的數(shù)量積常用于有關(guān)向量相等，兩向量垂直、射影、夾角等問題中.常用向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算來證明向量的垂直和平行問題；利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點(diǎn)間距離的問題.3.用空間向量解決立體幾何問題一般可按以下過程進(jìn)行思考：(1)要解決的問題可用什么向量知識(shí)來解決？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量表示，則它們分別最易用哪個(gè)未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉(zhuǎn)

29、化的向量有何關(guān)系？(4)怎樣對(duì)已經(jīng)表示出來的所需向量進(jìn)行運(yùn)算，才能得到需要的結(jié)論？殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.()設(shè)A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)依次是(1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，則四邊形ABCD為( )A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四邊形2.()已知ABC中，=a，=b，a·b<0，SABC=,|a|=3,|b|=5,則a與b的夾角是( )A.30°B.150°C.150°D.30°或150°二、填空題3.()將二次函數(shù)y=x2的圖象按向量a平移后得到的圖象與一次函數(shù)y=2x5的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)(3，1)，則向

30、量a=_.4.()等腰ABC和等腰RtABD有公共的底邊AB，它們所在的平面成60°角，若AB=16 cm,AC=17 cm,則CD=_.三、解答題5.()如圖，在ABC中，設(shè)=a， =b， =c, =a,(0<<1), =b(0<<1),試用向量a，b表示c.6.()正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為a,側(cè)棱長為a.(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出A、B、A1、C1的坐標(biāo)；(2)求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角.7.()已知兩點(diǎn)M(1，0)，N(1，0)，且點(diǎn)P使成公差小于零的等差數(shù)列.(1)點(diǎn)P的軌跡是什么曲線？(2)若點(diǎn)P坐標(biāo)為(x0,y0),Q為與

31、的夾角，求tan.8.()已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).(1)用向量法證明E、F、G、H四點(diǎn)共面；(2)用向量法證明：BD平面EFGH；(3)設(shè)M是EG和FH的交點(diǎn)，求證：對(duì)空間任一點(diǎn)O，有.參考答案難點(diǎn)磁場解：(1)點(diǎn)M的坐標(biāo)為xM=D點(diǎn)分的比為2.xD=(3)ABC是與的夾角，而=(6，8），=(2，5）.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、1.解析： =(1，2）， =(1，2），=，又線段AB與線段DC無公共點(diǎn)，ABDC且|AB|=|DC|，ABCD是平行四邊形，又|=， =(5，3），|=，|,ABCD不是菱形，更不是正方形；又=(4，1），1·4

32、+2·1=60,不垂直于，ABCD也不是矩形，故選D.答案：D2.解析：·3·5sin得sin=,則=30°或=150°.又a·b0,=150°.答案：C二、3.(2,0) 4.13 cm三、5.解：與共線，=m=m()=m(ba),=+=a+m(ba)=(1m)a+mb又與共線，=n=n()=n(ab),=+=b+n(ab)=na+(1n)b由，得(1m）a+mb=na+(1n)b.a與b不共線，解方程組得：m=代入式得c=(1m)a+mb=(1)a+(1)b.6.解：(1)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)O，以AB所在直線為Oy軸，以A

33、A1所在直線為Oz軸，以經(jīng)過原點(diǎn)且與平面ABB1A1垂直的直線為Ox軸，建立空間直角坐標(biāo)系.由已知，得A(0，0，0），B(0，a,0）,A1(0,0,a),C1(a).(2)取A1B1的中點(diǎn)M，于是有M(0，a），連AM，MC1，有=(a,0,0）,且=(0，a,0）,=(0,0a)由于·=0，·=0，所以MC1面ABB1A1，AC1與AM所成的角就是AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角.=所以所成的角，即AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30°.7.解：(1)設(shè)P(x,y）,由M(1，0），N(1，0）得， =(1x,y）, =(1x,y), =(2,0),

34、83;=2(1+x), ·=x2+y21, =2(1x).于是，是公差小于零的等差數(shù)列，等價(jià)于所以，點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的右半圓.(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0)8.證明：(1）連結(jié)BG，則由共面向量定理的推論知：E、F、G、H四點(diǎn)共面，(其中=）(2）因?yàn)?所以EHBD，又EH面EFGH，BD面EFGH所以BD平面EFGH.(3）連OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG由(2）知，同理，所以，EHFG,所以EG、FH交于一點(diǎn)M且被M平分，所以.難點(diǎn)4 三個(gè)“二次”及關(guān)系三個(gè)“二次”即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，具有豐富的內(nèi)涵和密切的

35、聯(lián)系，同時(shí)也是研究包含二次曲線在內(nèi)的許多內(nèi)容的工具.高考試題中近一半的試題與這三個(gè)“二次”問題有關(guān).本節(jié)主要是幫助考生理解三者之間的區(qū)別及聯(lián)系，掌握函數(shù)、方程及不等式的思想和方法.難點(diǎn)磁場已知對(duì)于x的所有實(shí)數(shù)值，二次函數(shù)f(x)=x24ax+2a+12(aR)的值都是非負(fù)的，求關(guān)于x的方程=|a1|+2的根的取值范圍.案例探究例1已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c和一次函數(shù)g(x)=bx，其中a、b、c滿足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,cR).(1)求證：兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)A、B；(2)求線段AB在x軸上的射影A1B1的長的取值范圍.命題意圖：本題主要考查考生對(duì)

36、函數(shù)中函數(shù)與方程思想的運(yùn)用能力.屬于題目.知識(shí)依托：解答本題的閃光點(diǎn)是熟練應(yīng)用方程的知識(shí)來解決問題及數(shù)與形的完美結(jié)合.錯(cuò)解分析：由于此題表面上重在“形”，因而本題難點(diǎn)就是一些考生可能走入誤區(qū)，老是想在“形”上找解問題的突破口，而忽略了“數(shù)”.技巧與方法：利用方程思想巧妙轉(zhuǎn)化.(1)證明：由消去y得ax2+2bx+c=0=4b24ac=4(ac)24ac=4(a2+ac+c2)=4(a+c2a+b+c=0,a>b>c,a>0,c<0c2>0,>0,即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn).(2)解：設(shè)方程ax2+bx+c=0的兩根為x1和x2,則x1+x2=,x1x2=.

37、|A1B1|2=(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0a>ac>c,解得(2,)的對(duì)稱軸方程是.(2,)時(shí)，為減函數(shù)|A1B1|2(3,12),故|A1B1|().例2已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求m的范圍.(2)若方程兩根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，求m的范圍.命題意圖：本題重點(diǎn)考查方程的根的分布問題，屬級(jí)題目.知識(shí)依托：解答本題的閃光點(diǎn)是熟知方程的根對(duì)于二次函數(shù)性質(zhì)所具有的意義.錯(cuò)解分析：用二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)方程的根進(jìn)行限制

38、時(shí)，條件不嚴(yán)謹(jǐn)是解答本題的難點(diǎn).技巧與方法：設(shè)出二次方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)，可畫出相應(yīng)的示意圖，然后用函數(shù)性質(zhì)加以限制.解：(1)條件說明拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(1，0)和(1，2)內(nèi)，畫出示意圖，得.(2)據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)落在區(qū)間(0，1)內(nèi)，列不等式組(這里0<m<1是因?yàn)閷?duì)稱軸x=m應(yīng)在區(qū)間(0，1)內(nèi)通過)錦囊妙計(jì)1.二次函數(shù)的基本性質(zhì)(1)二次函數(shù)的三種表示法：y=ax2+bx+c;y=a(xx1)(xx2);y=a(xx0)2+n.(2)當(dāng)a>0,f(x)在區(qū)間p,q上的最大值M，最小值m,令x0= (p+q).若<p,則f(

39、p)=m,f(q)=M;若p<x0,則f()=m,f(q)=M;若x0<q,則f(p)=M,f()=m;若q,則f(p)=M,f(q)=m.2.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的實(shí)根分布及條件.(1)方程f(x)=0的兩根中一根比r大，另一根比r小a·f(r)<0;(2)二次方程f(x)=0的兩根都大于r (3)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)有兩根(4)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)只有一根f(p)·f(q)<0,或f(p)=0(檢驗(yàn))或f(q)=0(檢驗(yàn))檢驗(yàn)另一根若在(p,q)內(nèi)成立.(5)方程f(x)=0兩根的一根大于p,

40、另一根小于q(p<q).3.二次不等式轉(zhuǎn)化策略(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c0的解集是：(,),+a<0且f()=f()=0;(2)當(dāng)a>0時(shí)，f()<f() |+|<|+|,當(dāng)a<0時(shí)，f()<f()|+|>|+|;(3)當(dāng)a>0時(shí)，二次不等式f(x)>0在p,q恒成立或(4)f(x)>0恒成立殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.()若不等式(a2)x2+2(a2)x4<0對(duì)一切xR恒成立，則a的取值范圍是( )A.(,2B.2,2C.(2,2D.(,2)2.()設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2x+a(a>0),若f(m

41、)<0,則f(m1)的值為( )A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.非負(fù)數(shù)D.正數(shù)、負(fù)數(shù)和零都有可能二、填空題3.()已知二次函數(shù)f(x)=4x22(p2)x2p2p+1,若在區(qū)間1，1內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c,使f(c)>0,則實(shí)數(shù)p的取值范圍是_.4.()二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為正，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒有f(2+x)=f(2x),若f(12x2)<f(1+2xx2),則x的取值范圍是_.三、解答題5.()已知實(shí)數(shù)t滿足關(guān)系式 (a>0且a1)(1)令t=ax,求y=f(x)的表達(dá)式；(2)若x(0,2時(shí)，y有最小值8，求a和x的值.6.()如果二次函數(shù)y=mx2+(m3)x+1的圖象

42、與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，試求m的取值范圍.7.()二次函數(shù)f(x)=px2+qx+r中實(shí)數(shù)p、q、r滿足=0,其中m>0,求證：(1)pf()<0;(2)方程f(x)=0在(0，1)內(nèi)恒有解.8.()一個(gè)小服裝廠生產(chǎn)某種風(fēng)衣，月銷售量x(件)與售價(jià)P(元/件)之間的關(guān)系為P=1602x,生產(chǎn)x件的成本R=500+30x元.(1)該廠的月產(chǎn)量多大時(shí)，月獲得的利潤不少于1300元？(2)當(dāng)月產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤？最大利潤是多少元？參考答案難點(diǎn)磁場解：由條件知0,即(4a）24(2a+12)0,a2(1)當(dāng)a1時(shí)，原方程化為：x=a2+a+6,a2+a+6=(a)2+

43、.a=時(shí)，xmin=,a=時(shí)，xmax=.x.(2)當(dāng)1a2時(shí)，x=a2+3a+2=(a+)2當(dāng)a=1時(shí)，xmin=6,當(dāng)a=2時(shí)，xmax=12,6x12.綜上所述,x12.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、1.解析：當(dāng)a2=0即a=2時(shí),不等式為40,恒成立.a=2,當(dāng)a20時(shí)，則a滿足,解得2a2,所以a的范圍是2a2.答案：C2.解析：f(x)=x2x+a的對(duì)稱軸為x=,且f(1)>0,則f(0)>0,而f(m)0,m(0,1),m10,f(m1)>0.答案：A二、3.解析：只需f(1)=2p23p+9>0或f(1)=2p2+p+1>0即3p或p1.p(3, ).答案：(3

44、，）4.解析：由f(2+x)=f(2x)知x=2為對(duì)稱軸，由于距對(duì)稱軸較近的點(diǎn)的縱坐標(biāo)較小，|12x22|1+2xx22|,2x0.答案：2x0三、5.解：(1）由loga得logat3=logty3logta由t=ax知x=logat，代入上式得x3=,logay=x23x+3，即y=a (x0).(2)令u=x23x+3=(x)2+ (x0),則y=au若0a1,要使y=au有最小值8，則u=(x)2+在(0，2上應(yīng)有最大值，但u在(0，2上不存在最大值.若a>1,要使y=au有最小值8，則u=(x)2+,x(0,2應(yīng)有最小值當(dāng)x=時(shí)，umin=,ymin=由=8得a=16.所求a=

45、16,x=.6.解：f(0)=1>0(1)當(dāng)m0時(shí)，二次函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)且分別在y軸兩側(cè)，符合題意.(2）當(dāng)m>0時(shí)，則解得0m1綜上所述，m的取值范圍是m|m1且m0.7.證明：(1),由于f(x)是二次函數(shù)，故p0,又m>0,所以，pf()0.(2)由題意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r當(dāng)p0時(shí)，由(1）知f()0若r>0,則f(0)>0,又f()0,所以f(x)=0在(0，)內(nèi)有解;若r0,則f(1)=p+q+r=p+(m+1)=()+r=>0,又f()0,所以f(x)=0在(,1)內(nèi)有解.當(dāng)p0時(shí)同理可證.8.解：(1）設(shè)該廠的月獲利為

46、y,依題意得y=(1602x)x(500+30x)=2x2+130x500由y1300知2x2+130x5001300x265x+9000，(x20)(x45)0，解得20x45當(dāng)月產(chǎn)量在2045件之間時(shí)，月獲利不少于1300元.(2）由(1）知y=2x2+130x500=2(x)2+1612.5x為正整數(shù)，x=32或33時(shí)，y取得最大值為1612元，當(dāng)月產(chǎn)量為32件或33件時(shí)，可獲得最大利潤1612元.難點(diǎn)5 求解函數(shù)解析式求解函數(shù)解析式是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容之一，需引起重視.本節(jié)主要幫助考生在深刻理解函數(shù)定義的基礎(chǔ)上，掌握求函數(shù)解析式的幾種方法，并形成能力，并培養(yǎng)考生的創(chuàng)新能力和解決實(shí)際問題的

47、能力.難點(diǎn)磁場()已知f(2cosx)=cos2x+cosx,求f(x1).案例探究例1(1)已知函數(shù)f(x)滿足f(logax)= (其中a>0,a1,x>0),求f(x)的表達(dá)式.(2)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c滿足|f(1)|=|f(1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表達(dá)式.命題意圖：本題主要考查函數(shù)概念中的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則，以及計(jì)算能力和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.屬題目.知識(shí)依托：利用函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)，特別是對(duì)“f”的理解，用好等價(jià)轉(zhuǎn)化，注意定義域.錯(cuò)解分析：本題對(duì)思維能力要求較高，對(duì)定義域的考查、等價(jià)轉(zhuǎn)化易出錯(cuò).技巧與方法：(1)用換元法；(2)用待定

48、系數(shù)法.解：(1)令t=logax(a>1,t>0;0<a<1,t<0),則x=at.因此f(t)= (atat)f(x)= (axax)(a>1,x>0;0<a<1,x<0)(2)由f(1)=a+b+c,f(1)=ab+c,f(0)=c得并且f(1)、f(1)、f(0)不能同時(shí)等于1或1，所以所求函數(shù)為：f(x)=2x21或f(x)=2x2+1或f(x)=x2x+1或f(x)=x2x1或f(x)=x2+x+1或f(x)=x2+x1.例2設(shè)f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x1時(shí)，y=f(x)的圖象是經(jīng)過點(diǎn)(2，0)，斜率為1的射線，又

49、在y=f(x)的圖象中有一部分是頂點(diǎn)在(0，2)，且過點(diǎn)(1，1)的一段拋物線，試寫出函數(shù)f(x)的表達(dá)式，并在圖中作出其圖象.命題意圖：本題主要考查函數(shù)基本知識(shí)、拋物線、射線的基本概念及其圖象的作法，對(duì)分段函數(shù)的分析需要較強(qiáng)的思維能力.因此，分段函數(shù)是今后高考的熱點(diǎn)題型.屬題目.知識(shí)依托：函數(shù)的奇偶性是橋梁，分類討論是關(guān)鍵，待定系數(shù)求出曲線方程是主線.錯(cuò)解分析：本題對(duì)思維能力要求很高，分類討論、綜合運(yùn)用知識(shí)易發(fā)生混亂.技巧與方法：合理進(jìn)行分類，并運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式.解：(1)當(dāng)x1時(shí)，設(shè)f(x)=x+b射線過點(diǎn)(2，0).0=2+b即b=2，f(x)=x+2.(2)當(dāng)1<x&l

50、t;1時(shí)，設(shè)f(x)=ax2+2.拋物線過點(diǎn)(1，1)，1=a·(1)2+2,即a=1f(x)=x2+2.(3)當(dāng)x1時(shí)，f(x)=x+2綜上可知：f(x)=作圖由讀者來完成.錦囊妙計(jì)本難點(diǎn)所涉及的問題及解決方法主要有：1.待定系數(shù)法，如果已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時(shí)，用待定系數(shù)法；2.換元法或配湊法，已知復(fù)合函數(shù)fg(x)的表達(dá)式可用換元法，當(dāng)表達(dá)式較簡單時(shí)也可用配湊法；3.消參法，若已知抽象的函數(shù)表達(dá)式，則用解方程組消參的方法求解f(x);另外，在解題過程中經(jīng)常用到分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.()若函數(shù)f(x)=(x)在定義域內(nèi)恒有ff(x)=x,則m等

51、于( )A.3B.C.D.32.()設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，在x1時(shí)，f(x)=(x+1)21,則x>1時(shí)f(x)等于( )A.f(x)=(x+3)21B.f(x)=(x3)21C.f(x)=(x3)2+1D.f(x)=(x1)21二、填空題3.()已知f(x)+2f()=3x,求f(x)的解析式為_.4.()已知f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1,則f(x)=_.三、解答題5.()設(shè)二次函數(shù)f(x)滿足f(x2)=f(x2),且其圖象在y軸上的截距為1，在x軸上截得的線段長為，求f(x)的解析式.6.()設(shè)f(x)是在(,+)上以4為周期的函數(shù)，且f(x)是偶函數(shù)，在區(qū)間2，3上時(shí)，f(x)=2(x3)2+4，求當(dāng)x1,2時(shí)f(x)的解析式.若矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B在x軸上，C、D在y=f(x)(0x2)的圖象上，求這個(gè)矩形面積的最大值.7.()動(dòng)點(diǎn)P從邊長為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A出發(fā)順次經(jīng)過B、C、D再回到A，設(shè)x表示P點(diǎn)的行程，f(x)表示PA的長，g(x)表示ABP的面積，求f(x)和g(x),并作出g(x)的簡圖.8.()已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的周期函數(shù)，