第1章 機(jī)電能量轉(zhuǎn)換的基本原理

1、第一章 機(jī)電能量轉(zhuǎn)換的基本原理現(xiàn)代人類的生產(chǎn)和生活中，最主要的動(dòng)力能源是電能。實(shí)現(xiàn)機(jī)械能與電能轉(zhuǎn)換的裝置統(tǒng)稱為機(jī)電能量轉(zhuǎn)換裝置，以下簡(jiǎn)稱機(jī)電裝置。它們大小不一，品種繁多，按其功能的不同可分為三大類：(1)機(jī)電信號(hào)變換器。它們是實(shí)現(xiàn)機(jī)電信號(hào)變換的裝置，是在功率較小的信號(hào)下工作的傳感器，通常應(yīng)用于測(cè)量和控制裝置中。例如拾音器、揚(yáng)聲器、旋轉(zhuǎn)變壓器等；(2)動(dòng)鐵換能器。它們是通電流激磁產(chǎn)生力，使動(dòng)鐵有限位移的裝置。例如繼電器、電磁鐵等。常用繼電器的原理圖如圖1-1()； () ()圖11把繼電器作為兩端口裝置(3)機(jī)電能量持續(xù)轉(zhuǎn)換裝置。例如電動(dòng)機(jī)發(fā)電機(jī)等。直流電動(dòng)機(jī)的原理圖加圖1-2()。 4 ()

2、()圖1-2把直流電動(dòng)機(jī)作為三端口裝置機(jī)電裝置實(shí)現(xiàn)機(jī)電能量轉(zhuǎn)換的形式，大體有四種：電致伸縮與壓電效應(yīng)：磁致伸縮；電場(chǎng)力；電磁力。前兩種功率很小，又是不可逆的。應(yīng)用第三種形式電場(chǎng)力來(lái)實(shí)現(xiàn)機(jī)電能量轉(zhuǎn)換的裝置稱為靜電式機(jī)電裝置，只能得到不大的力和功率。實(shí)用上絕大多數(shù)的機(jī)電裝置是應(yīng)用第四種形式電磁力來(lái)實(shí)現(xiàn)機(jī)電能量轉(zhuǎn)換的，稱為電磁式機(jī)電裝置。本書以電磁式機(jī)電裝置作為主要研究對(duì)象。下面不加說(shuō)明的機(jī)電裝置僅指電磁式機(jī)電裝置，或是電磁式與靜電式兩種機(jī)電裝置。它們都是由載流的電系統(tǒng)，可動(dòng)的機(jī)械系統(tǒng)和作為耦合媒介與儲(chǔ)存能量的電磁場(chǎng)三部分組成；隊(duì)總體看，它們每個(gè)又都有固定的和可動(dòng)的兩大部件。嚴(yán)格說(shuō)，耦合電磁場(chǎng)應(yīng)該是

3、電場(chǎng)和磁場(chǎng)的綜合體。但在機(jī)電裝置中，電頻率較低，可動(dòng)部件的運(yùn)動(dòng)速度大大低于光速，這樣不僅可以忽略不計(jì)電磁輻射，認(rèn)為機(jī)電裝置是質(zhì)量守恒的物理系統(tǒng)；而且可以把電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別考慮，認(rèn)為它們是彼此獨(dú)立的。因此在電磁式機(jī)電裝置中耦合電磁場(chǎng)僅是磁場(chǎng)，但在靜電式機(jī)電裝置中耦合場(chǎng)僅是電場(chǎng)。在分析研究時(shí)，機(jī)電裝置總可以歸納成具有若干個(gè)電端 5口和機(jī)械端口的裝置。在示意圖上常用一個(gè)圓來(lái)表示機(jī)電裝置的杜本，從圓周上向圓外作若干對(duì)線段表示裝置的輸入和輸出端口。例如繼電器、電磁鐵那樣的動(dòng)鐵換能器可作為一對(duì)電端口和一對(duì)機(jī)械端口的兩端口裝置來(lái)對(duì)待，如圖1-1()所示；大多數(shù)旋轉(zhuǎn)電機(jī)可作為有兩對(duì)電端口和一對(duì)機(jī)械端口的三端口裝

4、置，如圖1-2()所示。本章將敘述機(jī)電裝置的能量轉(zhuǎn)換過(guò)程。著重討淪耦合磁場(chǎng)的作用，要求學(xué)會(huì)用機(jī)電能量轉(zhuǎn)換關(guān)系求出電磁轉(zhuǎn)矩的普遍公式。對(duì)極少見(jiàn)的靜電式機(jī)電裝置僅在章末作簡(jiǎn)略介紹。1-1 機(jī)電裝置中的能量平衡在質(zhì)量守恒的物理系統(tǒng)中，能量守恒原理是一個(gè)必須遵守的普遍規(guī)律。它也是分析研究機(jī)電裝置的一個(gè)基本出發(fā)點(diǎn)。在機(jī)電裝置中電能與機(jī)械能的轉(zhuǎn)換是依賴于耦合場(chǎng)的作用來(lái)實(shí)現(xiàn)的。耦合場(chǎng)一方面從輸入系統(tǒng)吸收電能(或機(jī)械能)，對(duì)它的儲(chǔ)能進(jìn)行補(bǔ)充；另一方面又釋放儲(chǔ)能給輸出系統(tǒng)，使后者輸出機(jī)械能(或電能)。所以耦合場(chǎng)及其儲(chǔ)能的存在時(shí)機(jī)電能量轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵。此外，在能量轉(zhuǎn)換過(guò)程中，總會(huì)產(chǎn)生一些損耗，并以熱能的形式散發(fā)出來(lái)。

5、于是在機(jī)電裝置中略去電磁輻射能量，存在著電能、機(jī)械能、電磁場(chǎng)儲(chǔ)能和熱能這四種形式的能量。根據(jù)能量守恒原理，按電動(dòng)機(jī)慣例寫出機(jī)電裝置酌能量方程式為： （1-1）式中最右邊一項(xiàng)能量損耗，按其起因的不同可分為三類：(1)電系統(tǒng)(如繞組)通電流時(shí)產(chǎn)生的電阻損耗；(2)機(jī)械系統(tǒng)由于通風(fēng)和摩擦使一部分機(jī)械能轉(zhuǎn)換成熱能的損耗，稱為機(jī)械損耗；(3)耦合電磁場(chǎng)在介質(zhì)中產(chǎn)生的損耗，即磁場(chǎng)耦合時(shí)鐵心磁滯和渦流損耗，或電場(chǎng)耦合時(shí)在絕緣材料內(nèi)產(chǎn)生的介質(zhì)損耗。如果把損耗按上述三項(xiàng)分類，并分別歸并到相應(yīng)的能量項(xiàng)目中去，式(1-1)可以化力如下形式： (1-2)與上式對(duì)應(yīng)的能量平衡圖如圖1-3，其中電阻損耗和機(jī)械損耗已從機(jī)電

6、耦合系統(tǒng)中移出；而介質(zhì)損耗歸并為耦合場(chǎng)吸收的能量，因此在圖中用虛線表示，仍與機(jī)電耦合系統(tǒng)相連。在分析機(jī)電能量轉(zhuǎn)換的機(jī)理時(shí)，還可進(jìn)一步忽略不計(jì)耦合場(chǎng)的介質(zhì)損耗。圖13 機(jī)電裝置中的能量干衡把式(1-2)各項(xiàng)能量寫成時(shí)間內(nèi)的微分形式，則得機(jī)電裝置能量微分平衡式為： （1-3）式中，表示扣除電阻損耗后在時(shí)間內(nèi)輸入耦合場(chǎng)的 7凈電能；表示時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)換為機(jī)械能的總能量；表示時(shí)間內(nèi)耦合場(chǎng)吸收的總能量。忽略不計(jì)耦合場(chǎng)的介質(zhì)，在電磁式機(jī)電裝置中就是耦合磁場(chǎng)儲(chǔ)能的增量，即；在靜電式機(jī)電裝置中就是耦合電場(chǎng)儲(chǔ)能的增量，即。式(1-3)是本章的分析出發(fā)點(diǎn)。這里應(yīng)當(dāng)指出，式(1-1)是機(jī)電裝置中能量關(guān)系的客觀描述，它表明

7、了在機(jī)電能量轉(zhuǎn)換過(guò)程中，機(jī)電裝置實(shí)際是一個(gè)有損耗系統(tǒng)。但如直接用式(1-1)去分析研究問(wèn)題，主次不分，往往難于求解。由于機(jī)電能量轉(zhuǎn)換過(guò)程是通過(guò)耦合場(chǎng)的變化給電系統(tǒng)和機(jī)械系統(tǒng)帶來(lái)的反應(yīng)與作用來(lái)實(shí)現(xiàn)的，而能量損耗對(duì)機(jī)電能量轉(zhuǎn)換過(guò)程并無(wú)實(shí)質(zhì)性的影響，所以我們把損耗分類并進(jìn)行歸并和扣除，使式(1-1)化為式(1-3)。這體現(xiàn)了把握主要矛盾的科學(xué)分析方法，表明對(duì)待一個(gè)實(shí)際機(jī)電裝置，可先將該裝置抽象成無(wú)損耗的機(jī)電系統(tǒng)，只著眼于依賴耦合場(chǎng)儲(chǔ)作中間媒介來(lái)實(shí)現(xiàn)機(jī)電能量轉(zhuǎn)換的過(guò)程，突出問(wèn)題的核心耦合場(chǎng)對(duì)電系統(tǒng)和機(jī)械系統(tǒng)的反應(yīng)和作用，來(lái)明確機(jī)電能量轉(zhuǎn)換的基本機(jī)理，以便進(jìn)行深入的分析。核心問(wèn)題清楚了，只要再加上能量損

8、耗，就能很方便地求得實(shí)際機(jī)電裝置的全部工作情況。1-2 保守系統(tǒng)和磁場(chǎng)儲(chǔ)能一、保守系統(tǒng)和狀態(tài)函數(shù)在理想的物理系統(tǒng)中，有許多無(wú)損耗、可儲(chǔ)能的元件，-（1）某些機(jī)電裝置，其鐵耗不允許忽略不計(jì)時(shí)，可以根據(jù)鐵耗的作用，把它作為等效機(jī)械損耗或作為等效電阻損耗，歸并到真實(shí)的機(jī)械損耗或電阻損耗中去，并移出機(jī)電耦合系統(tǒng)，使。 8如表1-1所示。在電系統(tǒng)中：線圈通過(guò)電流時(shí)，會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)來(lái)儲(chǔ)存一定的磁能；電容器充電時(shí)，會(huì)產(chǎn)生電場(chǎng)來(lái)儲(chǔ)存一定的電場(chǎng)能。在機(jī)械系統(tǒng)中：旋轉(zhuǎn)體或平移運(yùn)動(dòng)的物體會(huì)儲(chǔ)存一定的動(dòng)能；彈簧被外力壓縮長(zhǎng)度時(shí)，所加的能量會(huì)以位能形式諸存起來(lái)；被升高的靜物儲(chǔ)存著位能；。這些元件在一定條件下可以儲(chǔ)存能量，當(dāng)

9、條件變化時(shí)又可以部分或全部釋放所儲(chǔ)能量，它自身并不消耗能量，故稱為儲(chǔ)能元。全部由儲(chǔ)能元件所組成的，與周圍系統(tǒng)沒(méi)有能量交換的自守物理系統(tǒng)稱為保守系統(tǒng)。當(dāng)我們把決定儲(chǔ)能元件儲(chǔ)能大小的變量全部用或來(lái)表示時(shí)，如表1-1中的磁能改寫成，電場(chǎng)能改寫成等等，則整個(gè)保守系統(tǒng)的能量 可表示為W=W(，) （1-4）由式可見(jiàn)，保守系統(tǒng)的全部?jī)?chǔ)能是和（i=1，2，)的函數(shù)，它僅與，的即時(shí)狀態(tài)有關(guān)，而與達(dá)到狀態(tài)的經(jīng)過(guò)無(wú)關(guān)。對(duì)于這些值，即描述系統(tǒng)即時(shí)狀態(tài)的一組獨(dú)立變量，稱為狀態(tài)變量。由一組狀態(tài)變量所確定的、描述系統(tǒng)即時(shí)狀態(tài)的單值函數(shù)，例如儲(chǔ)能，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)。正如磁場(chǎng)對(duì)鐵磁物質(zhì)或載流導(dǎo)體有力的作用，使其運(yùn)動(dòng)做功以顯

10、示磁場(chǎng)具有儲(chǔ)能那樣，儲(chǔ)能元件處于儲(chǔ)能狀態(tài)時(shí)，對(duì)外會(huì)表現(xiàn)出力或電壓(廣義力)的作用。例如彈簧力；電容器上的電壓。 9表1-1 儲(chǔ)能原件及其儲(chǔ)能電系統(tǒng)機(jī)械系統(tǒng)空心線圈電容器旋轉(zhuǎn)體平移運(yùn)動(dòng)體彈簧靜物：電感：電流：電容：電壓：電荷:轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：旋轉(zhuǎn)角速度：質(zhì)量：速度K：剛性常數(shù)：伸縮長(zhǎng)：高度：重力加速度 10凡是與儲(chǔ)能有關(guān)，并能以儲(chǔ)能的函數(shù)表達(dá)的力或電壓，都可稱為保守力。則按式（1-4），保守力可表示為 ; ) (1-5)它也是是狀態(tài)函數(shù)。保守系統(tǒng)的一個(gè)重要特點(diǎn)就是，系統(tǒng)的儲(chǔ)能以及與儲(chǔ)能相聯(lián)系的保守力都是狀態(tài)函數(shù)，即兩者都僅與系統(tǒng)即時(shí)狀態(tài)有關(guān)，而與系統(tǒng)的歷史以及達(dá)到即時(shí)狀態(tài)的路徑無(wú)關(guān)。這是下面分析磁場(chǎng)儲(chǔ)

11、能和電磁力的依據(jù)之一。上節(jié)的無(wú)損耗機(jī)電系統(tǒng)，若割斷它與周圍的聯(lián)系就是一個(gè)保守系統(tǒng)。若考慮系統(tǒng)的損耗，及其與周圍的能量交換，則實(shí)際機(jī)電系統(tǒng)都是非保守系統(tǒng)，并且除保守力以外，還有與狀態(tài)變量無(wú)關(guān)的力，后者稱為非保守力，如摩擦力、電源電壓等。二、磁能和磁共能前面提過(guò)，耦合場(chǎng)及其儲(chǔ)能的存在是機(jī)電能量轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵，因此有必要深入了解磁場(chǎng)能(以下簡(jiǎn)稱磁能)的晴況。1. 單繞組機(jī)電裝置的磁能表達(dá)式圖1-4 電磁鐵 11如前所述，磁能是個(gè)狀態(tài)函數(shù)，它僅與系統(tǒng)在研究的即時(shí)狀態(tài)有關(guān)。以圖1-4所示電磁鐵為例。它以固定鐵心、可動(dòng)銜鐵以及兩者間的氣隙組成一個(gè)閉合磁路。設(shè)鐵心各段的截面積都為A；鐵心的平均長(zhǎng)度為，氣隙長(zhǎng)為，

12、磁路的計(jì)算長(zhǎng)度為；銜鐵與固定鐵心之間的接觸面假設(shè)為無(wú)隙理想滑動(dòng)面；實(shí)際的激磁繞組等效為無(wú)電阻的理想線圈外串一個(gè)電阻。在不同氣隙下電磁鐵的一族磁化曲線(指曲線，下同)如圖1-5所示。顯然，系統(tǒng)的磁鏈既與線圈電流有關(guān)，又與銜鐵的位移有關(guān)，即。三個(gè)變量中只有兩個(gè)是獨(dú)立變量?，F(xiàn)將電磁鐵的銜鐵保持在某一固定位置如上，激磁線圈外施電壓，各量的正方向如圖1-4所示，電磁量從零開始增大，經(jīng)過(guò)時(shí)間，線圈的電流為，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為，全磁鏈為，與線圈匝數(shù)全部交鏈的等效磁通為。則電路任意瞬時(shí)電壓平衡方程式為 (1-6)上式兩邊同乘，再取積分，便得從零到時(shí)間內(nèi)的能量平衡式： (1-7)上式左邊是從零到時(shí)間內(nèi)電源輸入電磁鐵耦

13、合磁場(chǎng)的凈電能，由于銜鐵沒(méi)有機(jī)械運(yùn)動(dòng)，即沒(méi)有變成機(jī)械能，所以 - （1）位移是一個(gè)矢量，取銜鐵初位置為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，位移就是銜鐵位置的坐標(biāo)。 12這些凈電能將全部轉(zhuǎn)換成磁能，即 （1-8）用圖解來(lái)表示，當(dāng)電磁鐵的銜鐵位置保持在上，其磁鏈就是圖1-5中的那條磁化曲線。把它重畫在圖1-6上，則隨從零開始增大中，式(1-8)的就是圖I-6小矩形的面積。因此對(duì)時(shí)，電磁鐵的磁能就等于圖1-6中水平陰影線部分的面積。圖l5電磁鐵不同氣隙的磁化曲線族 圖16磁場(chǎng)儲(chǔ)能注意，式(1-8)雖然是在銜鐵不動(dòng)的情況下導(dǎo)出的，但在銜鐵運(yùn)動(dòng)時(shí)仍然成立。這是因?yàn)榇拍苁莻€(gè)狀態(tài)函數(shù)，它僅與研究瞬時(shí)的即時(shí)狀態(tài)有關(guān)，也就是磁能僅是與

14、，(或與，或與)的單值函數(shù)。若銜鐵在運(yùn)動(dòng)中某一即時(shí)狀態(tài)的與銜鐵靜止時(shí)某一即時(shí)狀態(tài)的完全相同，則兩者必有相同的磁能。所以，無(wú)論機(jī)電裝置的可動(dòng)部分是運(yùn)動(dòng)還是靜止，計(jì)算即時(shí)磁能時(shí)，總是把它等效成可動(dòng)部分靜止在即時(shí)狀態(tài)的位置上，使電流從零開始增大到即時(shí)狀態(tài)的電流為止磁場(chǎng)所獲得的全部磁能，即應(yīng)用式(1-8)來(lái)求得。式(1-8)是單繞組機(jī)電裝置磁能的普遍表達(dá)式，應(yīng)用時(shí)需要注意的足裝置的即時(shí)狀態(tài)。若上述電磁鐵在另一瞬時(shí)，則它的磁能就等于圖1-6中畫積0EF，它與時(shí)狀態(tài)具有不同的磁化曲線。磁能還有另一種表達(dá)式，應(yīng)用磁通密度B和磁場(chǎng)強(qiáng)度H來(lái)計(jì)算磁能。例如，上述電磁鐵的銜鐵與固定鐵心吸合在一起(氣隙為零)時(shí)，磁路

15、為單一的導(dǎo)磁介質(zhì)，磁導(dǎo)率為磁路的體積。單位體積內(nèi)的磁能稱為磁能密度。由式(1-8)可得為 (1-9)而 (1-10)特殊情況，如磁路為線性(裝置的工作點(diǎn)在磁化曲線的線性部分上)，上述關(guān)系可進(jìn)一步簡(jiǎn)化。因?yàn)檫@時(shí)磁路的磁導(dǎo)，線圈的電感L和磁導(dǎo)率都是常量， 帶入(1-8)或式(1-9)中，可得 (1-11)一般情況，磁路具有鐵心與氣隙兩種介質(zhì)，或者是由若干串聯(lián)和并聯(lián)支路組成。此時(shí)，式(1-10)可用來(lái)計(jì)算磁路結(jié)構(gòu)中每個(gè)均勻截面部分的磁能，而總磁能等于各部分磁能之和，即 (1-12)式中 是磁路不同截面的分段數(shù)。2. 具有不同介質(zhì)時(shí)，磁能的分布情況實(shí)際機(jī)電裝置的磁場(chǎng)所在的整個(gè)空間，是由鐵磁材料和氣隙等

16、不同介質(zhì)組成的。這時(shí)磁能的分布情況用一個(gè)例題來(lái)說(shuō)明如下。例1-1 圖l4所示電磁鐵，忽略氣隙部分的邊緣效應(yīng)，假定鐵心和氣隙的截面積相同，均為A,B=1T，磁路是線性的，鐵心的磁導(dǎo)率。試求氣隙和鐵心內(nèi)磁能之比。解 參照式(111)和式(1-12)，氣隙內(nèi)磁能和鐵心內(nèi)磁能分別為所以氣隙和鐵心內(nèi)磁能之比為或由上可見(jiàn)，在相同的磁通密度下，磁能密度的大小反比于介質(zhì)的磁導(dǎo)率。由于鐵磁材料的磁導(dǎo)率是孿氣的上千倍，所以通常機(jī)電裝置的總磁能的大部分是集中在氣隙中。即磁通增長(zhǎng)時(shí)，裝置的大部分磁能是儲(chǔ)存在磁路的氣隙中；當(dāng)磁通減少時(shí)，大部分磁能早從氣隙中釋放出來(lái)。鐵心內(nèi)磁能占的比重很小，有時(shí)可以忽略不計(jì)這就是我們?cè)谟?/p>

17、論耦合場(chǎng) 15時(shí)往往只注意氣隙磁場(chǎng)的緣故。此外，這也是在實(shí)用上要增大電抗器容量(增大裝置的磁能)的最佳辦法，是設(shè)置氣隙的理由。3 磁能與磁共能的一般表達(dá)式式(1-8)在數(shù)學(xué)運(yùn)算中，有時(shí)需要用分部積分法化簡(jiǎn)，即 (1-13)上式右邊第二項(xiàng)，定義為磁共能。圖1-7 磁能和磁共能用圖解表示時(shí)，磁共能為圖1-7中垂直陰影線部分的面積。它與磁能的關(guān)系是磁共能也是一個(gè)狀態(tài)函數(shù)。它沒(méi)有特定的物理意義，只是在某些情況下引用磁共能可以簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)運(yùn)算。當(dāng)磁路是線性時(shí)，圖1-7中磁化曲線為直線，此時(shí)系統(tǒng)的磁能與磁共能正好相等，即將式(1-13)推廣到具有個(gè)繞組的機(jī)電裝置，其磁能和磁共能的一般表達(dá)式為 16 （1-14

18、）上式積分計(jì)算時(shí)，因?yàn)榇拍埽ɑ虼殴材埽┦菭顟B(tài)函數(shù)，為了便于計(jì)算，可以令裝置的可動(dòng)部分靜止在即時(shí)位置，各繞組磁鏈（或電流）在其余繞組磁鏈（或電流）都不變的情況下逐個(gè)從零增大到終值，并且各個(gè)磁鏈（或電流）到達(dá)終值的次序可以任意選定。 當(dāng)磁路為線性時(shí)， （1-15） 寫成矩陣式為 （1-16） 式中為電流矩陣，L為電感矩陣，為電流的轉(zhuǎn)置矩陣，分別如下： 171-3 單邊激勵(lì)的機(jī)電裝置在這一節(jié)里將討論單邊激勵(lì)的機(jī)電裝置的機(jī)電能量轉(zhuǎn)換過(guò)程，以及由磁場(chǎng)產(chǎn)生電磁力的情況。仍以圖14所示電磁鐵為例，當(dāng)激磁線圈無(wú)電流時(shí)，由于彈簧力的作用，銜鐵與固定鐵心之間的氣隙具有最大值。，銜鐵的位移；當(dāng)線圈通入的電流足夠大時(shí)

19、，銜鐵所受的電磁力克服彈簧力和其它阻力，將使銜鐵運(yùn)動(dòng)到吸合位置，此時(shí)。在這個(gè)過(guò)程中，我們可從任一瞬時(shí)的狀態(tài)開始，經(jīng)過(guò)時(shí)間，電流變化了，銜鐵位移了，到達(dá)的狀態(tài)進(jìn)行研究。其間產(chǎn)生的平均電磁力使銜鐵位移所作的機(jī)械功，顯然是來(lái)源于電源通過(guò)耦合磁場(chǎng)傳遞來(lái)的能量，詳情分析如下：一、 磁能產(chǎn)生電磁力的物理概念上述電磁鐵通電使銜鐵運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，考慮線圈電路的電壓平衡方程，在時(shí)間內(nèi)由電源供給耦合磁場(chǎng)的凈電能為 (1-17)此式與磁能表達(dá)式（1-8）在形式上相似，但是兩者的積分路徑是不同的。式（1-8）是認(rèn)為銜鐵不動(dòng)，為常量，積分是沿著單一磁化曲線進(jìn)行的；而式（1-17）是銜鐵在運(yùn)動(dòng)中，不同瞬間的不僅電流在變化，

20、而且銜鐵位移也在不斷 18變化，積分是沿著動(dòng)態(tài)的軌跡進(jìn)行的。在圖1-8中，設(shè)點(diǎn)和點(diǎn)分別為銜鐵位移是和的瞬時(shí)工作點(diǎn)，顯然從點(diǎn)到點(diǎn)的變化軌跡已非非單一的磁化曲線了。下面分別對(duì)三種情況進(jìn)行討論。() 為常量； () 為常景； ()一般情況圖1-8銜鐵移動(dòng)刀刀的能量關(guān)系() 為常量；() 為常景；()一般情況第一種理想情況：時(shí)間內(nèi)線圈電流為常量。如圖1-8()所示，電磁鐵工作點(diǎn)由點(diǎn)到點(diǎn)的過(guò)渡軌跡可用的直線段表示。點(diǎn)磁能面積；點(diǎn)磁能=面積;時(shí)間內(nèi)磁能增量面積(-)；時(shí)間內(nèi)輸入的凈電能面積；時(shí)間內(nèi)電磁力所做的機(jī)械功面積(+-)面積。 19在圖1-8()中用陰影線表示等于刀的面積。值得注意的是，在=常量的條

21、件下，這部分面積就是耦合磁場(chǎng)時(shí)間內(nèi)的磁共能增量。則得銜鐵在位移內(nèi)受到的平均電磁力為 （1-18）第二種理想情況：時(shí)間內(nèi)線圈磁鏈為常量。如圖1-8()所示，電磁鐵工作點(diǎn)由點(diǎn)到點(diǎn)的過(guò)渡軌跡是一條的直線段，并且時(shí)間內(nèi)輸入的凈電能。于是，時(shí)間內(nèi)總機(jī)械能為=面積(-)面積這表明：在常量的條件下，機(jī)電裝置的總機(jī)械能，也就是電磁力所做的機(jī)械功是耦合磁場(chǎng)釋放部分磁能轉(zhuǎn)換而來(lái)的，它等于耦合場(chǎng)磁能的負(fù)增量。所以平均電磁力為 (1-19)第三種情況：時(shí)間內(nèi)線圈電流和磁鏈均為變量。這是一般情況。如圖1-8()所示，電磁鐵工作點(diǎn)由點(diǎn)到點(diǎn)的過(guò)渡軌跡既不是與橫坐標(biāo)垂直的直線段，也不是水平直線段，而是取決于電磁鐵實(shí)際動(dòng)態(tài)情況

22、的由點(diǎn)到點(diǎn)的某一條曲線。應(yīng)用上述同樣的方法可求得圖1-8()中陰影線部分面積即為電磁力所做的機(jī)械功。綜合上述三種情況，電磁力所做的機(jī)械功總是由兩條磁化曲線與過(guò)渡軌跡所包圍的面積來(lái)確定。如果取極限使趨近于零，那么三種情況下等于機(jī)械功的陰影面積就趨近于相等，由式(1-18)或式(1-19)算得的平均電磁力 20都趨近為銜鐵在位置位置上所受電磁力的真值。所以把這兩式改寫成微分形式，就得電磁力的表達(dá)式為 （1-20）或 （1-21）上兩式表明電磁力既可用磁共能對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)來(lái)計(jì)算，也可用磁能對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)來(lái)計(jì)算。由于銜鐵位移趨近于零的極限只是個(gè)虛位移，所以可不管銜鐵運(yùn)動(dòng)的速度、和是如何變化的，應(yīng)用式(1-20

23、)或式(1-21)計(jì)算都將得到同樣正確的結(jié)果。關(guān)于兩種表達(dá)式的符號(hào)相反問(wèn)題，解釋如下：為正時(shí)意味著氣隙減小，對(duì)應(yīng)的磁共能增量為正(恒定)，磁能增量為負(fù)(恒定)。式(1-20)正乘正得正，式(1-21)負(fù)乘負(fù)也得正，兩者結(jié)果相同，得到的皆為正值，表示與同號(hào)，都是指向氣隙縮小的方向。二、磁能產(chǎn)生電磁力的數(shù)學(xué)推導(dǎo)下面對(duì)電磁鐵銜鐵位移期間，機(jī)電能量轉(zhuǎn)換情況和產(chǎn)生電磁力的結(jié)果進(jìn)行普遍性的數(shù)學(xué)推導(dǎo)。1 用電流和位移作為獨(dú)立變量時(shí)在機(jī)電裝置機(jī)電能量轉(zhuǎn)換過(guò)程中，磁能及磁鏈都是線圈電流和銜鐵位移兩個(gè)變量的函數(shù)，即，。這期間，輸入的凈電能、磁能增量和電磁力所做的機(jī)械功分別為 （1-22）代入能量微分平衡式(1-3

24、)得 （1-23）由于和是獨(dú)立變量，和沒(méi)有函數(shù)關(guān)系，等式兩邊di項(xiàng)和dx項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)分別相等。由此可推得與式（1-20)一致的電磁力表達(dá)式如下： （1-24）當(dāng)磁路為線性時(shí)，裝置的電感僅是銜鐵位移的函數(shù)，與電流無(wú)關(guān)。，則式(124)可改寫為 （1-25）2 用磁鏈和位移作為獨(dú)立變量時(shí)此時(shí) ，式（1-3）的各項(xiàng)為 （1-26）代入能量微分平衡式（1-3）得等式兩邊和項(xiàng)的系數(shù)分別相等。由此可推得與式（1-21）一致的電磁力表達(dá)式如下： （1-27）對(duì)于上述推導(dǎo)強(qiáng)調(diào)說(shuō)明三點(diǎn)：的表達(dá)式表明，由于線圈的磁鏈變化從而在線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，是耦合磁場(chǎng)從電源輸入（或向電源輸出）電能的必要條件。磁鏈可表達(dá)為，則

25、感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 （1-28）在線性系統(tǒng)中，上式可簡(jiǎn)寫為 （1-29）在上兩式中，右邊第一項(xiàng)是由電流變化引起的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，稱為變壓器電動(dòng)勢(shì)；右邊第二項(xiàng)是由可動(dòng)部件運(yùn)動(dòng)和電感隨位移變化所引起的電動(dòng)勢(shì)，稱為運(yùn)動(dòng)電動(dòng)勢(shì)(它不完全是切割電動(dòng)勢(shì))。運(yùn)動(dòng)電動(dòng)勢(shì)的存在與否是動(dòng)態(tài)電路與靜止電路的主要差別之一。由機(jī)械運(yùn)動(dòng)引起的運(yùn)動(dòng)電動(dòng)勢(shì)是機(jī)電裝置中的一個(gè)機(jī)電耦合項(xiàng)。機(jī)電裝置中的另一個(gè)機(jī)電耦合項(xiàng)是電磁力。電磁力與運(yùn)動(dòng)電動(dòng)勢(shì)是機(jī)電能量轉(zhuǎn)換的一對(duì)機(jī)電耦合項(xiàng)。與運(yùn)動(dòng)電動(dòng)勢(shì)在機(jī)電系統(tǒng)中的作用相對(duì)應(yīng)，產(chǎn)生電磁力是耦合磁場(chǎng)向機(jī)械系統(tǒng)輸出(或從機(jī)械系統(tǒng)輸入)機(jī)械能的必要條件。電磁力表達(dá)式有式(1-24)、式(1-25)和式(1-2

26、7)，它們被稱為虛位移原理表達(dá)式。這些式表明，當(dāng)機(jī)電裝置的某一部分發(fā)生微小位移時(shí)(既可以是真位移，也可以是虛位移)，如在恒電流或恒磁鏈的條件下，整個(gè)系統(tǒng)的磁能會(huì)隨之變化，則該部分上就會(huì)受到電磁力的作用。電磁力的大小等于單位微增位移時(shí)磁共能的增量(電流約束為常量)或單位微增位移時(shí)磁能的增量(磁鏈約束為常量)；力的方向傾向使線圈自感增大的方向，在恒電流下，則傾向使整個(gè)系統(tǒng)的磁能增大的方向，并且只有到=0，亦即整個(gè)系統(tǒng)的磁能達(dá)到最大值的位置時(shí)，電磁力才等于零。應(yīng)用關(guān)于電磁力的這一物理概念，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)常可迅速地得出正確的判斷和許多有用的結(jié)論。小結(jié)電磁式機(jī)電裝置的機(jī)電能量轉(zhuǎn)換過(guò)程，大體如下：當(dāng)裝置

27、的可動(dòng)部件發(fā)生位移時(shí)，氣隙磁場(chǎng)將發(fā)生變化，包括線圈磁鏈的變化和氣隙磁能的變化。磁鏈的變化引起線圈內(nèi)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，通過(guò)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的作用耦合磁場(chǎng)將從電源補(bǔ)充能量；同時(shí)，磁能的變化產(chǎn)生電磁力，通過(guò)電磁力對(duì)外做功使部分磁能釋放出來(lái)變?yōu)闄C(jī)械能。這樣，耦合磁場(chǎng)依靠感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和電磁力分別作用于電和機(jī)械系統(tǒng)，使電能轉(zhuǎn)換成機(jī)械能或反之。還應(yīng)指出，上述這些機(jī)電能量轉(zhuǎn)換的基本原理，雖是從單邊激勵(lì)機(jī)電裝置得出的，它也適用于多邊激勵(lì)機(jī)電裝置。例12一個(gè)電磁鐵如圖1-9所示，銜鐵和中心鐵柱的截面積都為，氣隙長(zhǎng)為，激磁線圈匝數(shù)為。若接在直流電源上電流為；若接在交流電源上則線圈的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。假設(shè)鐵心磁導(dǎo)率為，不計(jì)氣隙的邊緣效應(yīng)

28、和漏磁，忽略銜鐵與固定鐵心滑動(dòng)面的間隙。試對(duì)直流和交流兩種情況，分別求作用在銜鐵上的電磁力。解磁路是線性的，磁導(dǎo)，=4Hm。接在直流電源上，已知電流I。磁勢(shì)F=IN磁能電磁力公式在數(shù)學(xué)推導(dǎo)中沒(méi)有限定位移x的正方向，因此選用式(1-25)，并把x替換成，則得電磁力為式中的負(fù)號(hào)表示銜鐵所受的電磁力是傾向使氣隙縮小的吸引力。改寫上式可得或 （1-30）即銜鐵截面上單位面積所受的電磁力大小等于氣隙磁能密度。接在交流電源上，已知線圈的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。氣隙磁通 磁能 電磁力 這式與式(1-30)一致，說(shuō)明式(1-30)是交、直流電磁鐵汁算電磁力的普遍公式。忽略不計(jì)線圈電阻，則可見(jiàn)，交流電磁鐵的電磁力約與無(wú)關(guān)，

29、在時(shí)間上以兩倍電源頻率脈動(dòng)，引起銜鐵的振動(dòng)，如圖1-10所示。平均電磁力為式中的負(fù)號(hào)與(1)同，表示吸引力。例1-3一臺(tái)單相磁阻電動(dòng)機(jī)如圖1-11所示。凸極轉(zhuǎn)子上沒(méi)有線圈，它的機(jī)械角速度為，在時(shí)初相角為，任意瞬時(shí)的角位移。假設(shè)磁路是線性的，定子繞組的自感隨變化為=，定子電流。試求該機(jī)的瞬時(shí)電磁轉(zhuǎn)矩和平均轉(zhuǎn)矩。解平移的電磁力公式應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，只要用替代x，瞬時(shí)電磁轉(zhuǎn)矩替代即可。本題磁路是線性的，選用式(1-25)，改寫為，代入已知條件，得瞬時(shí)電磁轉(zhuǎn)矩為不難看出，若，則每個(gè)周期的平均電磁轉(zhuǎn)矩；只在時(shí)，才有平均電磁轉(zhuǎn)矩為可見(jiàn)單相磁阻電動(dòng)機(jī)是一種同步電動(dòng)機(jī)，它僅在和同步轉(zhuǎn)速下才有平均電磁轉(zhuǎn)矩(磁阻轉(zhuǎn)

30、矩)，其大小與角2的正弦成正比，最大值等于。14 多邊激勵(lì)機(jī)電裝置的電磁轉(zhuǎn)矩普遍公式各種機(jī)電裝置的機(jī)電能量轉(zhuǎn)換機(jī)理是共通的。推廣應(yīng)用上節(jié)單邊激勵(lì)機(jī)電裝置的知識(shí)，可以解決多邊激勵(lì)機(jī)電裝置的許多問(wèn)題。本節(jié)以一般的具有邊激勵(lì)的旋轉(zhuǎn)型機(jī)電裝置為模型，只對(duì)電磁轉(zhuǎn)矩表達(dá)式給予必要的擴(kuò)充。選用電流，和角位移為獨(dú)立變量時(shí)，則，等等，能量微分平衡式中各項(xiàng)可寫成故 考慮到等式兩邊同一獨(dú)立變量微分項(xiàng)的系數(shù)相等，即得電磁轉(zhuǎn)矩普遍公式為 (1-31)或 選用磁鏈和角位移為獨(dú)立變量時(shí)，仿照式（1-27）推導(dǎo)可得電磁轉(zhuǎn)矩普遍公式的另一形式為 （1-32）或 若磁路為線性時(shí)，取用式(1-15)可得 （1-33）將上式寫成矩陣

31、形式為 （1-34）式中矩陣、和都與式(1-16)同。至此，將有關(guān)機(jī)電裝置電磁轉(zhuǎn)矩的普遍公式歸納于下表1-2備查。表1-2 有關(guān)機(jī)電裝置磁場(chǎng)和電磁轉(zhuǎn)矩的普遍公式此外還需要說(shuō)明的是：(1)式(1-31)和式(1-32)都是機(jī)電裝置的電磁轉(zhuǎn)矩普遍公式，可得相同的計(jì)算結(jié)果。當(dāng)獨(dú)立變量選用和時(shí)，應(yīng)用式(1-31)計(jì)算比較方便；若選用和作為獨(dú)立變量時(shí)，則用式(1-32)計(jì)算比較方便。(2)平移的機(jī)電裝置與旋轉(zhuǎn)的機(jī)電裝置具有相似性(詳見(jiàn)第三章)。因此，用平移的和替換旋轉(zhuǎn)的和，可以將電磁轉(zhuǎn)矩普遍公式改成電磁力普遍公式，或反之。(3)在電磁轉(zhuǎn)矩普遍公式中，磁能或磁共能對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，視或?yàn)槌Ａ?，這僅是獨(dú)立變量選

32、擇所帶來(lái)的數(shù)學(xué)制約，并不涉及實(shí)際端口的電的制約(例如電源電壓的變化規(guī)律等)，因此這不影響公式的普遍性。例-4一個(gè)雙邊激勵(lì)的機(jī)電裝置示意圖如圖1-12，兩個(gè)電端口的伏安特性已知為其中和是正的實(shí)常數(shù)，是的單值函數(shù)。試求：(1)裝置的磁共能和磁能；(2)用和作為獨(dú)立變量表達(dá)的電磁力。解 (1)兩個(gè)伏安特性可改寫為由此得裝置中兩個(gè)繞組的關(guān)系為應(yīng)用式(1-14)計(jì)算磁共能。先令=0，使從零增到終值，然后保持不變，使從零增到終值。即則可見(jiàn)本裝置由于關(guān)系非線性，從而，是非線性裝置。(2)應(yīng)用式(1-31)可得電磁力為1-5用電場(chǎng)作為耦合場(chǎng)的機(jī)電裝置用電場(chǎng)作為耦合場(chǎng)的旋轉(zhuǎn)電機(jī)稱為靜電式電機(jī)，其原理圖如圖1-1

33、3。電機(jī)由兩組極板組成，一組固定稱為定片，另一組可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)稱為動(dòng)片。定片和動(dòng)片相互絕緣形成電容器，兩者之間加上足夠大的交流電壓，動(dòng)片就能轉(zhuǎn)起來(lái)。一、 電場(chǎng)力所產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩圖1-13所示電機(jī)的動(dòng)片每轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)，兩組極板間的電容量將在最大值與最小值之間交變兩周假定這一脈動(dòng)按正弦變化如圖1-14()所示，即 電場(chǎng)的儲(chǔ)能為 （1-35）仿照電磁式機(jī)電裝置電磁轉(zhuǎn)矩的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，利用能量微分平衡式可以推導(dǎo)出電場(chǎng)力所產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩為或應(yīng)用電場(chǎng)與磁場(chǎng)的相似性，空氣電容器電場(chǎng)儲(chǔ)能及、分別對(duì)應(yīng)于磁路是線性的磁能及，參照式(1-25)可直接得出上式。式中，為電共能；的方向是傾向使電容增加。設(shè)角位移，電源電壓。參照例1-3的結(jié)果，可對(duì)應(yīng)寫出電場(chǎng)轉(zhuǎn)矩為由式可知，當(dāng)動(dòng)片的角速度時(shí)，平均電場(chǎng)轉(zhuǎn)矩0；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)平均值。例如、時(shí)，隨時(shí)間的變化曲線如圖1-14()所示?？梢?jiàn)靜電式電機(jī)也是一種同步電機(jī)。二、 靜電式電機(jī)的實(shí)用性目前作為機(jī)電能量轉(zhuǎn)換用的電機(jī)為什么極少見(jiàn)靜電式電機(jī)呢?下面用具體數(shù)字來(lái)說(shuō)明。在電磁式機(jī)電裝置內(nèi)，氣隙磁場(chǎng)的磁通密度通常在1.5以下，按照例1-2，銜鐵截面上單位面積所受的電磁力的大小等于氣隙磁能密度的大小，即。故 靜電式機(jī)電裝置內(nèi)，在正常大氣