初中培優(yōu)競賽第4講因式分解

1、真誠為您提供優(yōu)質(zhì)參考資料，若有不當(dāng)之處，請指正。1. (1、2) （數(shù)學(xué)、初中數(shù)學(xué)競賽、因式分解、選擇題）若m=20062+20062×20072+20072，則m ( ) A.是完全平方數(shù)，還是奇數(shù) B.是完全平方數(shù)，還是偶數(shù). C.不是完全平方數(shù)，但是奇數(shù) D.不是完全平方數(shù)，但是偶數(shù)分析：因?yàn)?0062的個(gè)位數(shù)字為偶數(shù)，20072的個(gè)位數(shù)字為奇數(shù)，所以m為奇數(shù)，原式=20062-2×2006×2007+20072+20062×20072+2×2006×2007+1-1 =(2006-2007)2+2006×2007+1

2、2-1 =(2006×2007+1)2，則m也是完全平方數(shù). 答案：A技巧：觀察題意，用添項(xiàng)法組成完全平方公式解題.2. (1、2) （數(shù)學(xué)、初中數(shù)學(xué)競賽、因式分解、選擇題）若 M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13(x,y是實(shí)數(shù)），M的值一定是 ( ) A.正數(shù) B.負(fù)數(shù) C.零 D.整數(shù)分析：因?yàn)镸=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13 =2(x-2y)2+(x-2)2+(y+3)20,因?yàn)閤-2y,x-2,y+3這三個(gè)數(shù)不能同時(shí)為0，所以M>0.答案：A技巧：用裂項(xiàng)法，把原式拆為3個(gè)完全平方式即可解題。3. (2、3) （數(shù)學(xué)、初中數(shù)學(xué)競賽、因式分解、選擇題）滿

3、足等式xy+yx-2003x-2003y+2003xy=2003的正整數(shù)對(x，y)的個(gè)數(shù)是 ( ) A. 1 B.2 C.3 D.4證明：原等式通過移項(xiàng)可化為(xy-2003)(x+y+2003)=0，又因?yàn)閤+y+2003>0，故xy-2003=0,所以xy=2003.又因?yàn)?003為質(zhì)數(shù)，所以必有x=1y=2003或x=2003y=1答案：B技巧：此題我們可以先移項(xiàng)，再通過合并同類項(xiàng)從而因式分解，然后根據(jù)題意分析.易錯(cuò)點(diǎn)：得到結(jié)果后，x、y的結(jié)果可以互換，所以答案不能為A.4. (3、4) （數(shù)學(xué)、初中數(shù)學(xué)競賽、因式分解、填空題）把(a+b+c+d)(b+c-a-d)(c+a-b-

4、d)(a+b-c-d)+16abcd 因式分為 . 原式=（a+b）5. (1) （數(shù)學(xué)、初中數(shù)學(xué)競賽、因式分解、填空題） 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x4+x3-3x2-4x-4= .詳解：原式=x2x2+x+1-4x2+x+1 =x2-4x2+x+1 =x+2x-2x2+x+1技巧：根據(jù)各項(xiàng)的系數(shù)，增補(bǔ)分組進(jìn)行因式分解。6. (2、3) （數(shù)學(xué)、初中數(shù)學(xué)競賽、因式分解、填空題）分解因式： 2x2-xy-6y2+7x+7y+3= .分析：因?yàn)?x2-xy-6y2=(x-2y)(2x+3y)，所以可設(shè)2x2-xy-6y2+7x+7y+3=(x-2y+a)(2x+3y+b),a,b為待定系數(shù)，因此有2

5、a+b=7,3a-2b=7,ab=3.解得a=3,b=1，所以原式=(x-2y+3)(2x+3y+1).答案：2x2-xy-6y2+7x+7y+3 =(x-2y+3)(2x+3y+1) 技巧：因式的連乘積與原式恒等，然后根據(jù)恒等原理，建立待定系數(shù)的方程組，最后解方程組即可求出待定系數(shù)的值.7. (2、3) （數(shù)學(xué)、初中數(shù)學(xué)競賽、因式分解、解答題）若x3+3x2-3x+k有一個(gè)因式是x+1,求k的值分析：因?yàn)閤3+3x2-3x+k有一個(gè)因式是x+1，那么我們分組分解，保證每一個(gè)組里都含有因式x+1.詳解： x3+3x2-3x+k =x3+x2+2x2+2x-5x-5+5+k =x2x+1+2xx

6、+ 1 =(x+1)(x2+2x-5)+(k+5). 所以k=-5.技巧：原式有一個(gè)因式，那么我們保證含有未知數(shù)的幾組中都含有這個(gè)因式，得解.8. (2、3) （數(shù)學(xué)、初中數(shù)學(xué)競賽、因式分解、解答題）證明n3+32n2+12n對于：(1) 任何自然數(shù)n都是整數(shù)；(2) 任何自然數(shù)n都是3的倍數(shù).分析：為了證明結(jié)論，我們先對原式進(jìn)行因數(shù)分解，再觀察即可解題.證明：(1) 設(shè)N=n3+32n2+n2 =n22n2+3n+1 =n(n+1)(2n+1)2.因因?yàn)閚，n+l是連續(xù)自然數(shù)，必有一個(gè)是偶數(shù)，所以N一定是整數(shù). (2) 當(dāng)n=3k（k是自然數(shù)）時(shí)，N是3的倍數(shù)；當(dāng)n=3k+1（k是自然數(shù)）時(shí)， 2n+1=3(2k+1)，N是3的倍數(shù)；當(dāng)n=3k+2（k是自然數(shù)）時(shí)， n+1=3(k+1)，N是3倍數(shù). 綜上所述，對任何自然數(shù)n，N都是3的倍數(shù). 技巧：我們把原式因式分解，再分情況討論，能很簡便解題.9. (2、3) （數(shù)學(xué)、初中數(shù)學(xué)競賽、因式分解、解答題）如果x3+x2+bx+8有兩個(gè)因式x+1 和x+2，求a+b的值分析：因?yàn)閤+1,x+2是x3+ax2+hx+8的因式，所以當(dāng)x=-1和-2時(shí)， x3+ax2+bx+8的值為0.代入解方程即可得解.詳解：因?yàn)樵胶衳+1 和x+2兩個(gè)因式，所以x=-1和x=-2，是x3+x2+bx+8=0的兩個(gè)解，即： -