翻轉(zhuǎn)課堂討論題

1、第一組討論題1. 兩型線積分及兩型面積分的定義域計(jì)算有何異同點(diǎn)？兩者之間有有怎樣的聯(lián)系？解答內(nèi)容：第一型曲面積分f(x, y,z)dS也稱為對面積的曲面積分，其中dS稱為曲面(s)面積元素，這種曲面積分對積分曲面(S)沒有有向性的要求第二型曲面積分也稱為對坐標(biāo)的曲面積分.設(shè)(S)為一有向曲面,A (P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x,y,z)為一向量值函數(shù)，(S)正側(cè)上的單位法向量en(cos ,cos , cos )，則由A在(S)上的第二型曲面積分的表達(dá)式I A ends,(1)s或 I P(x, y, z)cos Q(x, y,z) cos R(x, y, z)cos

2、dS (2)(s)就給出了兩類曲面積分的聯(lián)系.(1)式及(2)式的右端都是以第一型曲面積分的形式 出現(xiàn)的，那么，積分曲面(S)的有向性體現(xiàn)在哪里呢？我們說，(S)的有向性體 現(xiàn)在en上，因?yàn)檫@里的en是指有向曲面(S)正側(cè)的單位法向量，是(S)正 側(cè)法向量的方向角.在(2)式中，記 cos dS dy dz， cos dS dz dx，cos dS dx dy，它們分別是小塊有向曲面 dS在Oyz、Ozx、Oxy面的投影，由此可將第二型曲面積分寫成一種常見形式I P(x, y, z)dy dz Q(x, y, z)dz dx R(x, y, z)dx dy.(3)(s)有時(shí)候，利用上述兩類面積

3、分的聯(lián)系，將第二型曲面積分轉(zhuǎn)化為第一型曲面積分來計(jì)算也是方便的.例如：例 計(jì)算 I ydy dz xdz dx z2dx dy，其中（S）是錐面 z x2 y2（s）的下側(cè)在0x1，0 y 1的部分.解 本例雖然利用第二型曲面積分的計(jì)算法可計(jì)算I，但化為第一型曲面積分來計(jì)算則較簡便由于（S）的法向量為單位法向量為二,1,x y ；x y這里究竟應(yīng)取“ +”號還是取“一”號呢？由于（S）的正側(cè)是下側(cè)，從而有cos 0，因此，（4）式前面的符號應(yīng)取正號，于是得（S）正側(cè)的單位法向量是en丄 xy 1 .2 x2 y2x2y2 '于是由（2）式得(s) -.2 Ty2 H z2dS ；嚴(yán)這就

4、將I化成了第一型曲面積分.現(xiàn)在利用第一型曲面積分來計(jì)算I : 將（S）向Oxy面投影，投影域Dxy為矩形域:曲面面積元素為dSz2 zydxdy V 2dxdy .于是得1r-2I (x2 y2)、2dxdy - V2 d3xy2. 設(shè)（S）為柱面x2 y2 R2介于z 0與z 1之間的部分，在計(jì)算曲面積分IdS時(shí)，有人說：由于（S）在Oxy面的投影域的面積為零，故I 0. x2 y2 z2這個(gè)說法對嗎？正確的解法是什么？解答內(nèi)容：不對.（S）在Oxy面的投影是一條曲線:2 2x yz 0,k2所以不能將I化為dS . 1 x2xfdydz/ R 2dydz,.R2 y2于是有(Si)R2 d

5、ydzDyz(R2 z2h. R2y22R R dyR1 dzn2)R2 z22 .Oxy面上投影域上的二重積分，正確的解法是應(yīng)將積分化為Oyz（或Oyx ）面投影域上的二重積分.（S）在Oyz面上的投影域是yzx R2 y2 (0 z 1)上均有在曲面(s,) : x R2 y2 (0 z 1),及(S2):第二組討論題3. 怎樣理解第二型曲面積分I R（x, y, z）dx dy中的dx dy ?怎樣計(jì)算(S)積分I?通過具體例加以子說明解答內(nèi)容:按對坐標(biāo)x,y的第二型曲面積分的定義，有dx dy cos dS其中cos是曲面(S)正側(cè)單位法向量en (cos ,cos ,cos )的第3

6、個(gè)分量(其中,是(S)正側(cè)法向量的3個(gè)方向角)，dS是曲面面積元素設(shè)曲面(S)的方程是zz(x, y)，則曲面面積元素為dS 卞_z2_ dxdy ,(S)的法向量為(z，Zy, 1),從而知(S)的單位法向量為n71 zz2 J Z?于是得zyzy1<'i z2 zycos1<i z zy0( 0),所以，式右由于當(dāng)(S)的正側(cè)為上(下)側(cè)時(shí)，角 為銳(鈍)角，有cos 端括號前符號的取法是：當(dāng)(S)的正側(cè)為上(下)側(cè)時(shí),取負(fù)(正)號將、(4)式代入式，便得dxdy , 若(S)的正側(cè)為上側(cè),dx dy dxdy, 若(S)的正側(cè)為下側(cè),(5)0,若在(S)上恒有cos

7、0.注意dxdy是小塊曲面dS在Oxy面上投影區(qū)域的面積，而從 (5)式的前二式知 dx dy的絕對值就等于這個(gè)面積，因此我們稱dx dy為小塊有向曲面dS在Oxy 面上的投影，其含意應(yīng)按(5)式來理解.弄清楚了 dx dy的含意，也就不難理解第二型曲面積分I R(x, y, z)dx dy的計(jì)算法了 .這個(gè)計(jì)算法是將I化為(S)在Oxy面上投影域(s)Dxy上的二重積分，即R(x, y,z(x, y)dxdy,若(S)的正側(cè)為上側(cè)，D xyIR(x, y,z(x, y)dxdy,若(S)的正側(cè)為下側(cè)，D xy0,若在(S)上恒有cos 0.以上討論實(shí)際上是在(S)上cos不變號的條件下討論的

8、.如果在(S)上cos 是變號的，則在計(jì)算積分I時(shí)，應(yīng)將(S)分片，使在每一片上cos不變號，然后 分片求積分.4. 設(shè)(S)是圓柱面x2 y21的外側(cè)在0 z 1的部分，(S)是(S)在x 0的部分，有人利用對稱性得到下列結(jié)果:(1) xdy dz 0 ；(s)(2) x2dy dz 2 x2dy dz ；(s)(Si)(3) ydy dz 2 ydy dz.(s)(S1)其中(S)是(S)在x 0的部分.試判斷上述運(yùn)算是否正確?解答內(nèi)容：都不正確.事實(shí)上，記(S)在x 0的部分和在x 0的部分分別為(S)和(S2),則在(3)上有x .1 y2，且 為銳角，從而有 dy dz dydz ;

9、在(S?)上有x：1 y2，且 為鈍角，從而有dy dz dydz .顯然，(S1)和(S2)在Oyz面的投影域?yàn)橥粎^(qū)域Dyz:1 y 1, 0 z 1.于是由第二型曲面積分的計(jì)算法可得(1) xdydzxdy dzxdly dz(S)(S1)1 y2dydz(1 y2)( dydz)DyzDyz2D、1 y2dydzyz0.(2) x2dydzx2dy dzx2dydz(S)(S1)(S2)=(1 y2)dydz(1y2)( dydz)DyzDyz(3) ydy dz ydy dz ydy dz(s)(Si )(S2 )ydydz y( dydz) 0.D yzDyz所以，問題中給出的三個(gè)

10、結(jié)果都是錯(cuò)誤的.產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因主要在于沒有理解第 二型面積分中的dy dz是什么.我們知道，dy dz并非二重積分中的面積元素， 而是小塊有向曲面dS在Oyz面的投影，即cosdS.故當(dāng)cos 0時(shí)，dy dz等于 dS在Oyz面上投影域的面積，即dydz ;當(dāng)cos 0時(shí)，dy dz等于dS在Oyz面 上投影域的面積的負(fù)值，即dydz.所以，在關(guān)于坐標(biāo)y,z的第二型面積分P(x, y,z)dy dz中，雖然積分曲面(S)關(guān)于Oyz面對稱，被積函數(shù)P(x,y,z)關(guān)(s)于X具有奇偶性，我們也不能將重積分中利用對稱性簡化計(jì)算的有關(guān)結(jié)果照搬到 這里來，否則就可能導(dǎo)致錯(cuò)誤.5. 舉例說明在第二型曲

11、線、曲面積分中怎樣利用“字母輪換性”簡化計(jì)算?解答內(nèi)容:我們用下面的兩個(gè)例子來說明何謂“字母輪換性”以及怎樣利用這種性質(zhì)簡化某些計(jì)算.例1 計(jì)算曲線積分2 2 2 2 2 2I (y z )dx (z x )dy (x y )dz,(c)其中(c)為球面x2 y2 z2 R2在第一卦限部分的邊界曲線，其方向與球面在第 一卦限的外法線方向構(gòu)成右手系解 直接計(jì)算I，就要分別計(jì)算三個(gè)積分：Ii (y2 z2)dx，I2(z2 x2)dy，I3(x2 y2)dz.(c)(c)(c)如果注意到字母x, y,z在積分曲線(c)中處于對稱地位，以及三個(gè)積分中字母x,y,z的關(guān)系，則可作如下字母輪換：將y換成

12、z，將z換成x，將x換成y .顯然, 在此變換下，積分曲線(c)沒有改變，而表達(dá)式(y2 z2)dx變成了 (z2 x2)dy， 因此，在此變換下就將I1變成了 I2.即有Il=l2，同理有丨2*，丨3 Ii.于是，可將積分I簡化為3I 3I3 3 (x2 y2)dz4R .(c)例2計(jì)算曲面積分I xydy dz yzdz dx zxdx dy,(S)其中(S)為由平面x 0, y 0,z0,x y z 1所圍四面體的表面的外側(cè)解 直接計(jì)算I，則要分別計(jì)算下列三個(gè)積分：11- xydy dz， 12 yzdz dx， 13 zxdx dy.(s)(s)(s)注意(S)中的x,y,z處于對稱地

13、位，因此作字母輪換：將x換成y,將y換成z，將z換成x，則(S)沒有改變，而表達(dá)式xydy dz變成了 yzdz dx，于是在此 變換下，有Il=l2.同理有丨2丨3，丨3 Il.因此I的計(jì)算可簡化為3133 zxdx(S)dy在以上兩例中，我們都作了變換:x y, y z, z x，由于是字母位置的一種“輪換”，而積分變量用什么字母并不是本質(zhì)問題，因此稱這種性質(zhì)為“字母輪 換性” 注意，使用這種方法簡化積分計(jì)算的條件是字母 x,y,z在積分曲線(曲面)中處于對稱地位.第三組討論題6. 教材P274頁(B) 1格林公式的兩種形式有什么關(guān)聯(lián)？7. 設(shè)(c)是橢圓 y21的正向，有人求曲線積分I

14、- ydx xdy如下:4(c) x2 y2因?yàn)閺S上r，所以由格林公式得I J d 0，y x y x x yd x y其中D為(c)所圍閉區(qū)域.上述解法是否正確？如果錯(cuò)誤，錯(cuò)在何處？正確的解法是什么？此解法錯(cuò)誤由于(c)內(nèi)包含函數(shù)P 2 y 2及Q 2 X 2的不連續(xù)點(diǎn)x yx yO(0,0)，所以，格林公式的條件不滿足，因而不能應(yīng)用格林公式正確的解法是利用復(fù)連通域上的格林公式：在(c)內(nèi)作一圓周(cj : x2 y22 (為足夠小的正常數(shù))，其方向?yàn)?順時(shí)針方向記由(C)與(G)所圍閉區(qū)域?yàn)?Di，則函數(shù)p,Q,上，2均在Di上連續(xù)，于是由復(fù)連通域上的格林公式可得 y xo(C)ydx x

15、dy x2 y20 (C1)ydx xdyx2y2DiQxp dy0從而得1ydx xdyQydxxdy17(C)x2y2(Ci)x2y211i22ydx xdy22d2 22n.(Ci )D2其中(Ci)指正向圓周x2 y22，D2為(G)所圍閉區(qū)域8設(shè)(c)是不通過原點(diǎn)0(0,0)的任一簡單平面閉曲線的正向，怎樣如下計(jì)算曲線積分IydxO (C)4x2xdy ？y2 '解答內(nèi)容:計(jì)算積分曲線不確定的平面第二型曲線積分， 一般需要格林公式，或利用與路徑無關(guān)的曲線積分的計(jì)算法。在本題中，當(dāng)(c)包圍原點(diǎn)0(0,0)時(shí)，函數(shù)P(x,y) y 2、Q(x,y) 2X 2 及 P， Q 在&

16、#169; 內(nèi)存在不連續(xù)點(diǎn)0(0,0)，4xy4xy y x因而不能直接應(yīng)用格林公式所以應(yīng)當(dāng)是對(c)是否包圍原點(diǎn)作出討論，分別求P.且由于一解：(1)如果(c)不包圍原點(diǎn)O ,貝U格林公式的條件是滿足的2.2y 4x/ A 22x 2(4x y )在(c)所圍成的域D上恒成立，于是由格林公式得Q PIdxdy 0.d x y 如果(c)包圍原點(diǎn)O,則在(c)內(nèi)作一包圍原點(diǎn)的閉曲線(Ci): 4x2 y22，其中 是一正常數(shù)，(G)的正向?yàn)轫槙r(shí)針方向，并記由(c)與(Ci)所圍成的(在(c)之內(nèi)，在(G)之外)閉區(qū)域?yàn)镈，則函數(shù)P,Q , P, Q均在y xD上連續(xù)，于是由復(fù)連域上的格林公式，

17、得Pdx QdyQ -P dxdy 0,(C) (Ci)Dxy由此得Pdx QdyPdxQdy0 ,(C)(Ci)所以，IPdxQdyPdxQdy(C)(Ci)Pdx(Ci )Qdy -(Ci )ydxQdy21o2ydx xdy(應(yīng).用格林公式)(Ci )(1 1)dxdyDi其是(Ci)是指逆時(shí)針方向的橢圓4x2 y2Di為(Ci)所圍的平面閉區(qū)域第四組討論題9積分與路徑無關(guān)的等價(jià)命題是什么？怎樣判別平面曲線積分Pdx Qdy(C)是否與路徑無關(guān)？怎樣判定空間曲線積分Pdx Qdy Rdz是否與路徑無關(guān)？(C)解答內(nèi)容：這里有兩個(gè)定理：定理i設(shè)(G)為一平面區(qū)域(可以不是單連通區(qū)域)，函數(shù)

18、P,Q在(G)內(nèi)連續(xù), 則下列三個(gè)命題等價(jià)：(i)沿(G)內(nèi)任一分段光滑的簡單閉曲線(c)，都有“;Pdx Qdy 0;(c)(2)在(G)內(nèi)，曲線積分Pdx Qdy與積分路徑無關(guān)；(L)被積式Pdx Qdy在(G)內(nèi)是某個(gè)二元函數(shù)u(x, y)的全微分，即du Pdx Qdy.定理2設(shè)(G)為一平面單連通區(qū)域，函數(shù)P,Q,上,-Q均在(G)內(nèi)連續(xù)，則y x定理1中的三個(gè)條件與下述條件等價(jià):P Q在(G)內(nèi)恒成立一y x上面兩個(gè)定理中的條件(1)、(3)、(4)都可用于判別平面曲線積分：Pdx Qdy是(c)否與路徑無關(guān).其中，較常用的是條件(3)和(4)特別是條件(4)應(yīng)用最為方便，因而 也

19、最為常用，但必須注意應(yīng)用條件(4)的條件，它不僅要求區(qū)域(G)為單連通域, 還要求函數(shù)P,Q,丄，衛(wèi) 在(G)內(nèi)連續(xù).在利用條件(4)判別平面曲線積分是否與y x路徑無關(guān)時(shí)，我們必(2)這里有一個(gè)定理：設(shè)(G)為一空間一維單連域(如果對于空間區(qū)域G內(nèi)的任何簡單閉曲線(c)，都可以作出一張以(c)為邊界而完全屬于(G)的曲面，則稱域(G)為空間一維單連域)，函數(shù)P(x,y,z)，Q(x, y,z)，R(x, y, z)都在(G)內(nèi)具有B一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則下列三個(gè)條件都是在(G)內(nèi)曲線積分APdx Qdy Rdz與路 徑無關(guān)的充要條件：(1) A(PQR)是一無旋場，即在(G)內(nèi)恒有rotARQ

20、P RQP0 ；yz zxxy；沿(G)內(nèi)任一簡單閉曲線(C)，均有 A dr:=:Pdx Qdy Rdz0 ； 存在三元函數(shù)u（x,y,z），使在（G）內(nèi)恒有du Pdx Qdy Rdz.由此定理知，定理中的三個(gè)條件都可用于判定空間曲線積分是否與路徑 無關(guān)，但通常最方便最常用的是利用條件（1）進(jìn)行判定10設(shè)（c）為擺線X a（t Sint） na,從t 0到t 2n的一段，有人計(jì)算曲 y a（1 cost）作法2:由于d(arctan-)x,于是由原函數(shù)法得,x2 y2., y （na,0）cI arctan 丄（訶。）0x作法3:可驗(yàn)證這是一個(gè)與路徑無關(guān)的線積分,因此取積分路徑為下半圓周x

21、na cost(G):（t從 n變到0）,得ynas int122n a (ci)ydxxdy2 2 IX n a dt線積分1ydx xdy 如下：(c) x2 y2作法1：可驗(yàn)證PQ，故這是一個(gè)與路徑無關(guān)的線積分， 于是可取積分y x路徑為y0（x從 na變到na），因?yàn)樵趛 0有 ydx xdy 0，故得10問以上作法是否正確？如不正確，錯(cuò)在何處？正確的解法是什么?11.計(jì)算曲線積分1ydx xy，其中L分別為：（1）沿逆時(shí)針方向的分段l xy光滑閉曲線，原點(diǎn)不在曲線所圍成的區(qū)域中；（2）沿逆時(shí)針方向的分段光滑閉曲 線，原點(diǎn)在曲線所圍成的區(qū)域中；（3）沿逆時(shí)針方向的過原點(diǎn)（但是不包括原點(diǎn)

22、） 的分段光滑閉曲線。第五組討論題12. 三大公式各自的條件與結(jié)論分別是什么？有何重要意義？有何共性？13. 設(shè)（S）是不經(jīng)過原點(diǎn)的任意閉合曲面的外側(cè)，r . x2 y2 z2，有人計(jì)xyz面積分 Idy dz dz dx dx dy 如下：由于333(s)2 2 2 2 2 2yz r 3x r 3y r 3z-爲(wèi)35550,于是由咼斯公yr z rrrr式得IOdv 0.這個(gè)解法是否正確？如果錯(cuò)誤，錯(cuò)在何處？正確的解法是什(V)么？ 解答內(nèi)容:這個(gè)解答是錯(cuò)誤的，因?yàn)樗雎粤藨?yīng)用高斯公式的條件：函數(shù)P,Q,R在閉合曲面(S)所包圍的閉區(qū)域上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).而本題中的函數(shù)Px3 , Qy3，

23、rrRZ3在原點(diǎn)O(OQO)處不連續(xù)，因此當(dāng)(S)包圍原點(diǎn)時(shí)就不能應(yīng)用高斯公式r所以應(yīng)該對(S)是否包圍原點(diǎn)給以討論正確解答如下:(1)若(S)不包圍原點(diǎn)，則函數(shù)P,Q,R及其偏導(dǎo)數(shù)在(S)所包圍的閉區(qū)域(V)滿足高斯公式的條件，應(yīng)用高斯公式得IPQRdV(v) xyzOdV 0.(V)若(S)是包圍原點(diǎn)的球面:x2z2R2，則因?yàn)樵?S)上有r R，故可將被積式中的；=/提出來，得ydzdx zdx dy。1I xdy dzR3(s)對上式右端的曲面積分再應(yīng)用高斯公式,I 13 3dv33R3(V) R34后 4n.3 若（S）是包圍原點(diǎn)的任何閉合曲面,則不能直接應(yīng)用咼斯公式 .我們在（S）

24、內(nèi)作一個(gè)包圍原點(diǎn)的閉合曲面（S）:2（為足夠小的正常數(shù)），其方向指內(nèi)側(cè)，然后在由（S）和（Si）所包圍的閉區(qū)域（Vi）上應(yīng)用復(fù)連通域上的高斯公式，得Pdy dz Qdz dx Rdx dy 二 Pdy dz Qdz dx Rdx dy(S)(S1)PQRdv0dv 0，(V1)Xy z（M）由此得IPdydzQdzdx Rdx dy(S)PdydzQdzdx Rdx dy(S1 )其中（S1 ）指閉合曲面2 x2 yz22的外側(cè)，再對上式右端的積分利用 的結(jié)果，便得I 4n .從上述 的解法可見，若在空間中除一點(diǎn)（或一小區(qū)域）外處處有divA 0，則包圍這一點(diǎn)（或這一小區(qū)域）的任意同向閉合曲面

25、上的曲面積分A dS Pdy dz Qdz dx Rdx dy 都相等.（X）（S）第六組討論題14. 舉例說明對于給定的向量值函數(shù)A P（x, y, z）i Q（x, y, z） j R（x, y, z）k，怎樣判斷是否存在勢函數(shù)u，使得Au ?如果存在這樣的u，怎樣求勢函數(shù)u ?解答內(nèi)容:滿足A u的函數(shù)u稱為A的勢函數(shù).由于A為有勢場A為無旋場，所以判定A是否為有勢場的常用方法是檢驗(yàn)rotA是否為零.至于求有勢場A的勢函數(shù) u的求法，同平面情形一樣，也有三種方法，即：湊微分法：偏積分法；沿特殊 路徑求線積分法我們用下面的例子具體說明這種問題的求解方法 例 設(shè) A 2xe yi (cosz

26、 x2e y)jysin zk，判斷是否存在函數(shù)u，使得A u ;如果存在，求出u .解由于A的旋度rotAijxyC y2 y2xe cosz x ekzysin z(sinz sin z)i (00) j(2xe y 2xe y)k0,即A是無旋場，所以A是有勢場.以下用幾種方法求A的勢函數(shù)：方法1用湊微分法，由于2xe xdx (cosz x2e y)dy ( ysin z)dze ydx2 cos zdy x2de y yd coszd(x2e y y cos z),所以A有勢函數(shù)u x2e y ycosz.方法2用偏積分法，設(shè)A u，即2xe y由(1)式知u2 ycosz x e

27、；yu.ysin z .zu x2e y (y,z)由式對y求導(dǎo)并與(2)式對比得x2 e y 一 cosz x2e y，y由此得cos z，y于是得(y, Z) ycosz g(z)，(5)由式對z求導(dǎo)并與(3)式對比得ysin z g (z)ysin z，由此得g (z)0,所以g(z)c(c為任意常數(shù))，從而由(5)式得(y,z) ycosz c，代入，得A的勢函數(shù) u x2e y ycosz c.解法3利用特殊路徑求線積分的方法.A的勢函數(shù)可取為u(x, y, z)(x,y,z)(0,0,0)A dr(x,y,z)(0,0,0)2xe ydx(cosz x2e y)dyy sin zd

28、z,上式右端是與路徑無關(guān)的線積分，取積分路徑為如圖所示的與坐標(biāo)軸平行的有向折線,u(x,y,z)x2xdx0(1x2ey)dyzo(ysin z)dzy coszy cos z15. 設(shè)(S)是錐面z 2. x2 y2在z 0的部分的外表面，A (x乙x3 yz, 3xy2).計(jì)算曲面積分I ( A) dS主要有哪些方法？解答內(nèi)容:第二型曲面積分是多元積分學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，計(jì)算時(shí)不僅要考慮怎樣化為重積 分，還要特別注意積分曲面的方向.本例是一個(gè)利用各種積分的聯(lián)系和對稱性計(jì) 算第二型曲面積分的例子，希望讀者仔細(xì)體會(huì)這些方法，進(jìn)而掌握這些方法并加 深對各種積分聯(lián)系的理解解法1注意A是一個(gè)旋度場，因而是

29、一個(gè)無源場，所以可考慮用高斯公式來解本題由于（S）不是閉合曲面，我們補(bǔ)一個(gè)面（SJ : z 0（x2 y24）的(1)下側(cè)，則在由（S）和（SJ所圍閉區(qū)域（v）上利用高斯公式（可驗(yàn)證應(yīng)用高斯公式的(S) (§)由此得A) dS(v)I(S)A)由于Aixx z(6xy條件滿足），得( A)dv 0dv 0，(v)dS ( A) dS ，(Si)j ky zx3 yz3xy2y)i ( 1 3y2)j 3x2k，故由(1)式得I ( 6xy y)dy dz ( 1 3y2)dz dx 3x2dx dy(S1)(x2 y2)dxdyy2 43x2dx dy3x2dxdy(Si)x2 y2

30、 43 2n2 33 d d 12n.2 o o解法2由斯托克斯公式，有I (S)A)dSA dr(c)其中(c)為曲面(S)的邊界曲線0 ,2cost,的正向(t從0變到2n).將(c)的參數(shù)方2sint程代入(3)式右端，得2n4I 0 ( 4sint cost 16cos t)dt 12 n.解法3化為第一型曲面積分來求I 由(S)的方程得(S)上的法向量為xyn(zx , zy , 1):2 '22 ' 1 ，時(shí) x2y2 斗 x2y2(S)的正側(cè)為下側(cè)，故得(S)正側(cè)的單位法向量為1en 2xx2y2-11 J 1? x2 y2于是得I (S)A)en dS6xyy,

31、 13y2,3x2)子71 dS1- 2 (s)6x2yxy y 3y3x2 y23x2 dS ,(S)在Oxy面上的投影域Dxy為圓域：x2 y24 ,(S)上的曲面面積元素dSz2 z：dxdy <2dxdy，于是由式得Dxy6x2y xy y 3y3 3x2 dxdy.x2 y2注意平面區(qū)域Dxy關(guān)于x軸對稱，而(5)式被積函數(shù)的第一項(xiàng)關(guān)于y是奇函數(shù)，從而得2I 3x dxdy 12 n.Dxy解法4用第二型曲面積分的直接計(jì)算法來計(jì)算I .將(2)式代入I，得I ( 6xy y)dy dz ( 1 3y2)dz dx 3x2dx dy(s)1 11 21 3 ,其中11( 6xy y)dy dz, 12( 1 3y2 )dz dx, 133x2dx dy.(s)(s)(s)現(xiàn)在分別來計(jì)算I1, I2,I3.為計(jì)算丨1，若將曲面(S)分為兩片：(s前):x (2 z)2 y2，其正法線與x