論文數(shù)學(xué)分析中證明不等式的若干方法(2)

1、數(shù)學(xué)分析中證明不等式的若干方法摘 要：本文主要應(yīng)用數(shù)學(xué)分析中的函數(shù)的單調(diào)性，微分中值定理，Taylor公式，凸（或凹）函數(shù)的定義，函數(shù)的極值，單調(diào)極限以及被積函數(shù)不等式，在不等式兩端取變限積分等的相關(guān)知識(shí)來證明不等式，同時(shí)也通過應(yīng)用一些著名的不等式證明其他不等式。通過以上方法的應(yīng)用使我們能對(duì)不等式的一些證明方法有一定的了解，并通過這些方法的應(yīng)用來加深對(duì)這些證明方法中所包含的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行梳理和加深理解，同時(shí)也對(duì)不等式證明的相關(guān)知識(shí)有更加深刻系統(tǒng)的理解。不等式在其他數(shù)學(xué)分支中有著廣泛應(yīng)用，因此了解不等式相關(guān)證明方法從而也為數(shù)學(xué)中許多其他內(nèi)容的學(xué)習(xí)提供了一個(gè)重要工具。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析 不等式證明 若

2、干方法The mathematical analysis of several methods to testify inequalityAbstract: In this paper, Monotonicity, differential mid-value theorem, Taylor formula, convex function is defined, extremum, limit and integral related knowledge to testify inequality,also through the application of some famous ine

3、quation inequality.Through the above application of this method enables us to some of the proof of inequation method have certain knowledge,and through these methods applied to deepen our understanding of these proofs contain knowledge review and deepen our understanding of inequation, simultaneousl

4、y to the relevant knowledge more profound understanding of the system.Inequality in other branches of mathematics has been widely used, so understanding inequalities related proof method and also for the math in many other content of study provides an important tool. Key words：Mathematical analysis

5、Inequality proof Several methods 1引言證明不等式是數(shù)學(xué)分析的基本內(nèi)容之一，它是研究許多數(shù)學(xué)分支的重要工具。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中占有重要的地位，不僅是高中，大學(xué)階段數(shù)學(xué)教材的重要內(nèi)容，而且也是各個(gè)時(shí)期的數(shù)學(xué)教材的重要組成部分，在各種考試，競(jìng)賽以及其它的領(lǐng)域中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強(qiáng)，方法也較多。通過不等式的證明，不僅可以檢驗(yàn)我們對(duì)基本的數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握程度，而且也是衡量一個(gè)人數(shù)學(xué)水平的一個(gè)重要標(biāo)志。因此，掌握一些基本的證明不等式的方法是十分重要也是十分必要的。它不僅能反映一個(gè)人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，還能幫助我們解決生活中其他領(lǐng)域的相關(guān)難題。下面將數(shù)學(xué)分析中對(duì)

6、不等式的證明方法進(jìn)行簡(jiǎn)要總結(jié)。2利用單調(diào)性證明不等式利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式是一種較為重要的方法，同時(shí)又是一種行之有效的方法，也是一種十分常見的方法，該種方法被廣泛應(yīng)用。利用函數(shù)的單調(diào)性來證明不等式其中最關(guān)鍵的是要從所要證明的不等式出發(fā)，通過相關(guān)的知識(shí)的應(yīng)用來構(gòu)造出相關(guān)的輔助函數(shù)，并通過所構(gòu)造的輔助函數(shù)的單調(diào)性在已知的相關(guān)條件下來得到不等式，最終來證明所要證明的不等式成立。要點(diǎn):若（或），則當(dāng)時(shí)，有（或）。反之，若（或），則當(dāng)時(shí)，有（或）。由此便可獲得不等式。例2.1 證明： 證明：記，則，所以在定義域內(nèi)單調(diào)遞增函數(shù)。又由于可知。即 故原不等式得證。例2.2 設(shè)，證明：分析：要證，只需證,也

7、即證證明：記，則，所以當(dāng)時(shí)，；即在時(shí)是單調(diào)減函數(shù)。又由于，所以，即證，所以原不等式得證。3利用微分中值定理證明不等式用微分中值定理所包含的內(nèi)容較多，即羅爾定理，拉格朗日定理，柯西中值定理等，用這些定理來證明不等式成立，其中最重要的就是要熟記各個(gè)中值定理的應(yīng)用條件，這一點(diǎn)十分重要，并將原不等式通過一系列的變形找到一個(gè)輔助函數(shù)，使這個(gè)輔助函數(shù)滿足某個(gè)中值定理的條件，并應(yīng)用中值定理的公式來證明相關(guān)的不等式。在微分中值定理證明不等式中證明的關(guān)鍵是處理好點(diǎn)，也就是要找到特殊的點(diǎn)，在該點(diǎn)處取值恰好能證明原不等式成立，在此過程中要利用分析函數(shù)或其導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)的性質(zhì)，通過相關(guān)的性質(zhì)來證明并得到所要證明的結(jié)論。要

8、點(diǎn)：如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得。由此可得(1)當(dāng)，在內(nèi)當(dāng)時(shí)，有 (2)在上述條件下，有。因此，若單調(diào)遞減，有。以上原理在證明不等式時(shí)經(jīng)常采用。例3.1 設(shè)，是正整數(shù)，證明：。證明：當(dāng)時(shí)，不等式兩邊都等于，因而等號(hào)成立。設(shè)，為確定起見，我們?cè)O(shè)，記，由于，故。同理可證 。將原不等式改寫為，即。令，則。 根據(jù)微分中值定理得： = ，因而我們有。所以原不等式得證。4利用Taylor公式證明不等式 應(yīng)用Taylor公式證明不等式我們要求函數(shù)的二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)存在并且有界，然后依據(jù)的情形，使其按照Taylor公式展開，然后根據(jù)已知條件來進(jìn)行證明不等式。 應(yīng)用Tay

9、lor公式證明不等式的證題思路主要是（1）寫出比最高階低一階的Taylor展開式；（2）恰當(dāng)?shù)倪x擇等式兩邊的；（3）根據(jù)最高階導(dǎo)數(shù)的大小或有界對(duì)展開式進(jìn)行相關(guān)的放縮。但是在利用Taylor公式證明不等式時(shí)有時(shí)需要將Taylor公式結(jié)合其它知識(shí)一起使用，例如當(dāng)所要證明的不等式中含有積分號(hào)時(shí)一般結(jié)合定積分的知識(shí)來進(jìn)行證明；當(dāng)所要證明的不等式含有多項(xiàng)式和初等函數(shù)的混合式時(shí)，可以作一個(gè)輔助函數(shù)并用Taylor公式展開，這樣往往證明比較簡(jiǎn)潔方便。Taylor公式巧妙，合理，靈活的應(yīng)用，可以解決一些其它方法較難解決的問題。 要點(diǎn)：若在上有連續(xù)n階導(dǎo)數(shù)，則 。利用此原理，可以對(duì)一些不等式進(jìn)行證明。例4.1

10、證明： 證明：原式等價(jià)于，因?yàn)?，所?。故。例4.2 設(shè)在上二次可微，試證明：有。證明：取以乘此式兩端，然后n個(gè)不等式相加，又由于，所以有。所以原不等式在時(shí)即得證。5利用凸（或凹）函數(shù)的定義來證明不等式函數(shù)的凸（凹性是函數(shù)在區(qū)間上變化的整體性態(tài)，把握區(qū)間上的整體性態(tài)，不僅可以科學(xué)，準(zhǔn)確的描繪函數(shù)的圖像，而且有助于對(duì)函數(shù)的定性分析。凸（凹）函數(shù)是一類重要的函數(shù)，凸（凹）函數(shù)在不等式證明的研究中尤為重要。利用函數(shù)的凸凹性來對(duì)不等式進(jìn)行證明也是一種十分常見且十分重要的方法，對(duì)一些復(fù)雜不等式的作用十分明顯。利用函數(shù)的凸凹性來對(duì)不等式進(jìn)行證明首要是找到輔助函數(shù)，利用輔助函數(shù)在區(qū)間上的二階導(dǎo)數(shù)來判定的凸凹

11、性，然后根據(jù)凸函數(shù)（或凹函數(shù)）的相關(guān)性質(zhì)來對(duì)一些不等式進(jìn)行證明。用凸（或凹）函數(shù)的定義來證明不等式此法雖具有一定的構(gòu)造性，但證明的過程卻相對(duì)簡(jiǎn)潔。 要點(diǎn)：若，則函數(shù)為凸函數(shù)即，有。 若，則函數(shù)為凹函數(shù)即，有。例5.1 證明：證明：令，所以是嚴(yán)格凸函數(shù)。于是也即故得證。類似的我們也可證明：例5.2 設(shè)， 證明：。證明：考慮函數(shù)可知。即函數(shù)為凹函數(shù)。由凹函數(shù)的性質(zhì)我們得。也即。得。即，所以即證。6用求極值的方法證明不等式用求極值的方法來證明不等式最重要的也很就是構(gòu)造相關(guān)函數(shù)，然后判斷該函數(shù)的極值，這是證明不等式的一個(gè)最基本的方法。用該法對(duì)不等式進(jìn)行證明時(shí)最重要的也就是構(gòu)造輔助函數(shù)，根據(jù)輔助函數(shù)在定

12、義域內(nèi)的極值來確定不等式，從而來得到與所要證明的不等式相關(guān)的不等式，然后進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)換最終得到所要證明的不等式。用求極值的方法來證明不等式也是一種十分常見的方法，被廣泛的應(yīng)用于不等式的證明中。 要點(diǎn)：要證明，只需求函數(shù)的極值，也就是證明 例6.1 設(shè)n為自然數(shù)，試證： 。 證明：原始可轉(zhuǎn)化為。所以只需證明，=。故我們用表示方程的根。則極值的穩(wěn)定點(diǎn)為。但=， 由此。所以問題即得證。例6.2 設(shè)都是正實(shí)數(shù)，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。證明：原不等式可轉(zhuǎn)化為 兩邊同時(shí)除以后，我們可得。所以我們令。這就證得。當(dāng)且僅當(dāng)所以原不等式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。7利用單調(diào)極限證明不等式 利用單調(diào)極限來證明不等式主要的是

13、求函數(shù)在某一點(diǎn)的極限值，然后根據(jù)單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)來進(jìn)行判斷。利用單調(diào)極限來證明不等式的方法應(yīng)用起來牽涉的內(nèi)容較多也比較復(fù)雜，但對(duì)一些不等式的證明來說利用該方法卻又十分方便簡(jiǎn)潔。要點(diǎn)：若時(shí)，在定義域上是單調(diào)增函數(shù)（或嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)），且（或）。反之，對(duì)于遞減或嚴(yán)格遞減的函數(shù)，也有類似的的結(jié)論。利用該原理可以來證明一些不等式，從而使證明過程簡(jiǎn)潔易懂。例7.1 證明：時(shí)，。證明：當(dāng)時(shí)不等式顯然成立。故只需證明的情況。為此，我們令，可知在時(shí)是單調(diào)遞增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，。事實(shí)上： （1） =（應(yīng)用Lagrange公式）= （ ） 即證在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，由于在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)我

14、們可知函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)。 . 所以當(dāng)時(shí)，。由（1）（2）可知在單調(diào)遞增且，所以，即。故原不等式即得證。例7.2 證明：集合有最小值，并求最小值。證明： （1）得上界。按確界的定義有。（2）。（3）=綜上可知：A有最小值，且。 8利用被積函數(shù)的不等式證明不等式利用定積分定義來證明一些不等式是一種十分有效的手段，可以將原來較為復(fù)雜的證明轉(zhuǎn)化為較為簡(jiǎn)潔易懂的證明。用該種方法對(duì)不等式進(jìn)行證明要求較高。下面將利用積分的相關(guān)性質(zhì)來對(duì)相關(guān)不等式進(jìn)行證明。要點(diǎn)：若，則有。例8.1 證明：證明：令，則 令，則 要證的不等式轉(zhuǎn)化為。所以我們只需證 ， (當(dāng)時(shí))。由已知上嚴(yán)格遞減。所以有。即證原不等式。

15、例8.2 函數(shù)上單調(diào)不增，證明：對(duì)于任何。證明： 亦即但上單調(diào)不增，所以即得證對(duì)于任何。9在不等式兩端取變限積分證明新的不等式 利用在不等式兩端取變限積分來證明不等式，此種方法要求較高，技巧性太強(qiáng)，難度較大。但對(duì)于一些不易證明的不等式應(yīng)用此種方法則較為簡(jiǎn)便。下面將利用該種方法對(duì)一些不等式進(jìn)行證明。要點(diǎn)：若， 則有。例9.1 證明：時(shí)， 。證明：已知 。在此式兩端同時(shí)取上的積分，即得 （）。再次取上的積分，即得 （）。再次取上的積分，即可得 （）。然后繼續(xù)取上的積分，即。然后繼續(xù)取上的積分，即即。移項(xiàng)即可得所要證明的不等式： 。10利用著名的不等式證明其他不等式利用著名的不等式證明其他不等式要求

16、我們應(yīng)熟悉掌握數(shù)學(xué)分析中的一些常用的不等式，掌握了這些不等式我們可以利用他們來直接對(duì)其他一些難度較大不等式進(jìn)行證明。此種方法對(duì)學(xué)生要求較高，難度也較大，技巧性更強(qiáng)，但是利用此種方法對(duì)不等式進(jìn)行證明時(shí)可以將一些著名的不等式直接進(jìn)行應(yīng)用，加快了解題思路，同時(shí)也是證明變得更加簡(jiǎn)潔，方便，其作用十分明顯。要點(diǎn)：Cauchy不等式：設(shè)為任意實(shí)數(shù)（）則，其中當(dāng)且僅當(dāng)成比例時(shí)等號(hào)才成立。 Schwarz不等式：若上可積，則。若上連續(xù)，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)使得時(shí)成立（不同時(shí)為零）。Holder不等式：設(shè)是兩個(gè)正整數(shù)序列，則當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，。其中當(dāng)且僅當(dāng)成比例時(shí)取等號(hào)。平均不等式：對(duì)任意n個(gè)實(shí)數(shù)恒有。其中當(dāng)

17、且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。 例10.1 已知，在上連續(xù)，為任意實(shí)數(shù)，求證：。證明：所要證明的式子的左端第一項(xiàng)應(yīng)用 Schwarz不等式 （1） 同理可得 （2）+（2）得：。即得證。例10.2 若在上連續(xù)可微，其中等號(hào)成立的條件當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。證明：（1）記，則。由知。因此，=即不等式得證。（2）當(dāng)時(shí)等號(hào)顯然成立。所以只需證明必要性即可。如上已證有。若中的等號(hào)成立則有。記。于是相當(dāng)于方程式。因而二次方程有唯一根：。由。最后，假若,即即得綜上所述，不論A是否為零，當(dāng)所要證明的不等式的等號(hào)成立時(shí)。必要性即得證。所以原不等式得證?？偨Y(jié)不等式是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)難點(diǎn)，也能為其他數(shù)學(xué)分支的學(xué)習(xí)提供一個(gè)

18、重要工具。不等式的證明是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重要內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，。不等式作為一個(gè)系統(tǒng)，其內(nèi)容較為復(fù)雜，其的證明方法也較多，以上只是簡(jiǎn)要介紹了不等式證明的幾種常用方法，也即并用例題作一講解，意在拋磚引玉。參考文獻(xiàn):1裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法M.北京：高等教育出版社.2006.2賀彰雄.不等式證明的幾種常見方法J.湖北教育學(xué)報(bào),2007，10(1)：10-20. 3王曉峰，李靜.證明不等式的若干方法J.數(shù)理醫(yī)藥學(xué)雜志.2008.12(1):12-20.4張錦來.微分法在不等中的應(yīng)用J.新鄉(xiāng)教育學(xué)報(bào).2008.10(2):12-20.5郭要紅，戴普慶.中學(xué)數(shù)學(xué)研究M.安徽：安徽教育出版社.6陳妙琴.泰勒公式在證明不等式中的應(yīng)用J.寧德師專學(xué)報(bào).2007.05:0154-03.7華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析(上、下)M.高等教育出版社.8Nancy Krieger. Embodying InequalityJ.International Journal of Health Services .Volume 29,