sx1209數學與當代科學技術

1、專題9 數學與當代科學技術在科學發(fā)展的進程中，數學的作用日漸凸顯，一方面，高新技術的基礎是應用科學，而應用科學的基礎是數學；另一方面，隨著計算機科學的迅猛發(fā)展，數學兼有了科學與技術的雙重身份，現代科學技術越來越表現為一種數學技術。當代科學技術的突出特點是定量化，而定量化的標志就是數學思想和方法的運用。精確定量思維是對當代科技人員的共同要求。所謂定量思維是指人們從實際中提煉數學問題，抽象為數學模型，用數學計算求出此模型的解或近似解，然后回到現實中進行檢驗，必要時修改模型使之更切合實際，最后編制解題的計算機軟件，以便得到更廣泛和方便的應用。高技術的高精度、高速度、高自動、高質量、高效率等特點，無不

2、是通過數學模型和數學方法并借助計算機的控制來實現的。傳統的觀點認為，理論與實驗是科學研究的兩個基本方法。由于20世紀前半期數學的巨大發(fā)展，使得它的研究領域空前擴大，因而使得眾多的實際問題可以轉化為數學問題。二次世界大戰(zhàn)以來，社會各方面的實際需要向數學提出了空前大量的問題。二次世界大戰(zhàn)后電子計算機及計算機技術（軟件、多媒體等）的發(fā)展，使得以往無法實現的繁雜計算和不敢設想的算法（如計算機模擬）都可以進行。如今，科學計算已經和理論、實驗共同構成當代科學研究的三大支柱。第一部分 數學與當代自然科學我們這里所說的自然科學，主要是指物理學、化學、天文學、地學、生物學這樣一些基礎學科。數學與自然科學在20世

3、紀越來越緊密地相互結合，越來越深刻地相互影響和滲透，產生出許多交叉學科，形成了一個規(guī)模龐大的數理科學系統。傳統的觀點認為，理論與實驗是科學研究的兩個基本方法。由于20世紀前半期數學的巨大發(fā)展，使得它的研究領域空前擴大，因而使得眾多的實際問題可以轉化為數學問題。二次世界大戰(zhàn)以來，社會各方面的實際需要向數學提出了空前大量的問題。二次世界大戰(zhàn)后電子計算機及計算機技術（軟件、多媒體等）的發(fā)展，使得以往無法實現的繁雜計算和不敢設想的算法（如計算機模擬）都可以進行。如今，科學計算已經和理論、實驗共同構成當代科學研究的三大支柱。一、數學與天文學天文學是最早運用數學的科學領域，這可以上溯到2000多年前的古希

4、臘時代。17世紀，牛頓完成了哥白尼所開創(chuàng)的天文學革命，為經典天文學奠定了基礎，而他的天文學（天體力學）本質上是數學的而不是物理學的。借助數學方法和和計算技術，天體力學在當代獲得了引人注目的成就，例如，應用牛頓定律和高速計算機，天文學家們已經預測了太陽系在未來億年內的運動情形。當代，數學在天文學中的應用更加廣泛和深入。一個著名的例子是天體物理中的數值模擬。天文學研究的許多問題，如宇宙、星系的演化，太陽系中行星、衛(wèi)星的形成，其尺度常常是以光年計算的（例如，離太陽系最近的恒星是半人馬座比鄰星，距離大約為 4.3光年；銀河系的范圍約為10萬光年；最近的河外星系的距離約為 100萬光年），其時間常常是以

5、億年計算的（例如，太陽系是在距今50 46億年前形成的），天體及宇宙空間中的超高溫、超低溫、超高壓、超高密度以及其他許多物理條件，都不是世界上任何實驗室所能達到的，研究有關的物理過程又涉及到極為復雜的多變量微分方程和積分方程。例如，太陽的表面溫度為 5770K，白矮星的密度為每立方厘米105107克，20世紀20年代，人們發(fā)現天狼星的一顆伴星，其質量約為太陽的 1.053倍，但半徑卻只有 0.0074 太陽半徑，平均密度高達每立方厘米 106克，溫度約107K。中子星的密度為每立方厘米1013 1016克等。因此，對這些問題的研究既需要進行大型的復雜計算，又需要進行大量的模擬試驗。隨著大型計算

6、機的出現與計算機科學的發(fā)展，數值模擬方法應運而生，成為天文學家手中的強有力工具?，F代宇宙學中的宇宙模型。二、數學與物理學一位物理學家寫道：“貫穿整個物理科學的曲折變化的歷史，有一個仍然不變的因素，就是數學想象力的絕對重要性。每個世紀都有它特有的科學預見和它特有的數學風格。每個世紀物理科學的主要進展是在經驗的觀察與純數學的直覺相結合的引導下取得的。對于一個物理學家來說，數學不僅是計算現象的工具，也是得以創(chuàng)造新理論的概念和原理的主要源泉?！毕鄬φ摵土孔恿W是現代物理學的核心領域，它們的建立與發(fā)展都與數學有密切關系。1愛因斯坦的廣義相對論。19051915年，愛因斯坦發(fā)展了他的廣義相對論，其核心是引

7、力理論，關鍵是認識到引力只是時空彎曲的一種表現。廣義相對論認為，引力場的分布將影響到光的傳播路徑，例如，愛因斯坦預言，來自恒星的光從太陽近旁掠過時將向太陽一方偏斜，于是，從地球上觀測到的恒星位置將背離太陽移動。由于光線在空間中總是沿著最短路徑傳播，光線路徑的彎曲實際上表明引力場的空間是彎曲的?？臻g彎曲的程度是由宇宙中物質的分布所決定，一個區(qū)域內的物質密度越大，空間的曲率也就越大。愛因斯坦并不需要重新發(fā)明關于彎曲空間的數學，他發(fā)現一切都已經準備好了：在此之前半個世紀，數學家黎曼就研究了彎曲的三維空間的問題；廣義相對論所需要的另一個數學工具張量分析也已經在19世紀末初步建立。2量子力學。量子力學的

8、兩種基本形式：矩陣力學與波動力學。1900年，德國物理學家普朗克發(fā)現，像物質一樣，能量也只能被分為有限的份數，而不是無窮多份。他的這個工作的中心是一個數學關系，它表明，量子的能量可以用輻射的頻率乘以一個新的基本自然常數來計算，現在這個常數就被稱為普朗克常數。1925年月，德國物理學家海森堡發(fā)表論文“關于運動學和動力學關系的重新解釋”，從丹麥物理學家玻爾的對應原理出發(fā)，由經典運動方程加量子條件，得到了一個僅以可觀察量為基礎的量子力學運動方程，并用這個方程求解一個較簡單的非諧振子量子力學系統，得到了與實驗相符的頻率和躍遷幾率。兩個月后，德國物理學家玻恩及其學生P.約旦發(fā)表論文“論量子力學”，用矩陣

9、代數的形式系統地表示海森堡理論，矩陣元對應于可觀察量，矩陣乘法規(guī)則與海森堡運算規(guī)則一致，得出的矩陣方程相當于海森堡量子條件。隨后，他們與海森堡合作發(fā)表了論文“論量子力學”，系統地發(fā)展起矩陣形式的量子力學體系，成功地處理了一系列問題，從而建立了量子力學的基本形式之一 矩陣力學。矩陣論是在19世紀中期由英國數學家凱萊在研究線性變換不變量問題時開創(chuàng)的，矩陣代數的運算與通常的代數運算有一個明顯的差異：矩陣乘法不滿足交換律。后來人們認識到，這個不對稱的數學特點聯系著這樣一個事實：僅僅是測量的前后次序不同，微觀世界就可能給出不同的結果。這是量子世界所顯示的許多奇特性質之一。從1926年 1月27日到 6月

10、23日，奧地利物理學家薛定諤接連發(fā)表篇關于量子力學的論文，致力于用一個全新的數學量 波函數描述微觀客體在時空中的定態(tài)和運動變化，并建立起相應的波動方程，以數學語言表達了在空間以特定形式傳播或振動的波的性質，給出了波函數隨空間坐標和時間變化的關系。求解這些偏微分方程得出的本征值就是量子化假設中的分立能級，對一系列實例得出了與實驗相符的理論解。論文還分析了微觀系統和宏觀的關系，證明了這種波動力學與矩陣力學在數學上的等價性。還有一件事情值得一提：1924年，希爾伯特出版了數學物理方法，它恰好為第二年出現的量子力學準備了工具。3群論與物理學。運用群論方法，研究系統的對稱性質，引出系統的各種定量和定性的

11、結論，有下面兩個重要特點：只要依據的對稱性質是嚴格的，則由它引出的結論是精確的、可靠的；對稱性質與系統的具體細節(jié)無關，特別當我們對所研究對象還知之甚少的情況下，分析系統的對稱性質，就可以得出一些帶普遍性的結論來，甚至可以以對稱性質作為依據，猜測和探索系統的基本運動規(guī)律。4規(guī)范場與纖維叢。楊振寧幾何和物理學：“回顧前面關于規(guī)范場的歷史淵源的畫面，我已經在其中列舉了物理學家認為在描述實驗定律時是必要的那些概念的發(fā)展。尋求這些概念的動機淵源于物理現象。因此十分令人驚訝的是人們發(fā)現規(guī)范場概念等同于叫做纖維叢的幾何概念，它是數學家完全獨立地發(fā)展起來的，與物理實在沒有任何關系?！?正電子的發(fā)現。1930年

12、，英國理論物理學家狄拉克 (Paul Ddrac) 發(fā)現了描述電子運動的正確方程，這一發(fā)現主要是基于對稱性的考慮。但是出人意料的事情發(fā)生了：狄拉克方程預示著存在一個除了負荷外，每個方面都與電子一樣的粒子。以前從未有人觀察到這個假設中的“反粒子”，于是實驗物理學家們開始去尋找它。1932年 8月2日，美國物理學家卡爾安德森 (Carl D.Anderson) 發(fā)現了正電子。人們稱這個用數學方法預言而作出的發(fā)現是一個“比現實還現實”的優(yōu)美例子。三、數學與地球科學在地球科學中運用數學方法，產生了計量地理學、數學地質學、數值天氣預報等一系列研究領域與方法，并在地震預報、地球物理學、海洋學等方面發(fā)揮了巨

13、大作用。此外，現代地球科學中還廣泛采用了高速計算、高速通訊、高速自動資料整理、數值模擬等高科技方法，許多實質性的進展依賴于有關的數學理論與方法的發(fā)展。數學在地球科學中不僅已經顯示出巨大的作用，而且必將產生更為廣泛和深刻的影響。航空攝影測量學。為了勘探地形和地下礦藏，一種簡便易行的方法是用飛機或人造地球衛(wèi)星在飛航途中每隔一定時間拍攝一張照片，再將許多照片上的圖象拼成一幅完整的大圖。由于地面時有起伏，機身也難免時有傾斜，種種因素影響，每張照片都可能存在誤差。攝影過程實際上是一個中心投影變換，將地面圖景投影到照相底片的平面上。這兩個平面如果不平行，底片上的圖象就會變形，因而必須再通過中心投影變換把誤

14、差糾正過來，偏差多大角度就要糾正多大角度，這時就要應用射影幾何知識進行精密的計算。1967年，美籍法國數學家曼德爾布羅特（Benoit Mandelbrot ，1924 ）發(fā)表了“不列顛的海岸線有多長，統計自相似性和分數維”一文，其中首先注意到更早的理查德森（Richardson）已經作出的研究：當用無窮小的尺度去測量海岸線時，會得出海岸線是無限長的令人困惑的結論。曼德爾布羅特把這一結果與周期為無限的曲線結構聯系起來。此后，他于1977年出版了分形：形狀、機遇和維數，標志著分形理論的正式誕生。這種探討最初主要是純粹數學意義上的，然而大量事實表明，分形在自然界中廣泛存在著。在地球科學方面，十分引

15、人注目的是分形地貌學的創(chuàng)立。分形地貌學是一門用現代非線性科學中的分形方法及原理研究地球表面起伏形態(tài)及其發(fā)生、發(fā)展和分布規(guī)律的新興科學。以直線為基礎的歐幾里得幾何無力描述大自然的真實面貌，而讓位于以描述客觀自然（如處處連續(xù)處處不可微的曲線）為己任的分形理論，分形地貌學也應運而生。19世紀末，挪威學者已將流體力學引入氣象學研究，1922年理查森提出數值解法，但只有馮諾伊曼等借助計算機與適當的數值方法才于1952年首次實現數值天氣預報。與氣象學一樣，當前一系列科學與工程領域的發(fā)展都依賴于計算機與計算方法，這導致了大規(guī)模科學計算的迅猛發(fā)展。1998年，當時的美國副總統戈爾提出了“數字地球”的構想，成為

16、近年來地球科學領域最引人注目的話題之一。通俗地說，所謂數字地球就是一個數字化的地球儀，它可以按照統一的地球空間坐標，將地球的自然地理信息、社會經濟數據、人文信息等組織起來，構成一個具有多分辨率、多類型、多時項的三維地球數據集。這種數字地球可以提供普通地球儀無法提供的許多重要信息，使人們可以任意選擇、逐級放大或縮小所感興趣的觀察對象，可以快速、形象地了解地球上各種宏觀、微觀情況。實現數字地球的基本前提是計算技術的支撐。氣象、海洋、地震、遙感、資源探測、環(huán)境、生態(tài)等各種數據，其數量都是大得難以想象的，必須借助電子計算機并運用強大的科學計算方法加以處理，以便從中得到有關地球的各種宏觀和微觀規(guī)律。四、

17、數學與化學1數量化的化學分支。20世紀以來，數學在化學中的作用日益廣泛和深入，不僅已經成為化學領域不可缺少的工具，而且由于數學與化學的結合，產生了許多交叉學科，例如數理化學、化學動力學、量子化學、分子拓撲學、計算機化學等。當今化學由定性研究迅速向定量化研究的方向發(fā)展，與之相適應的數學及其算法不斷出現。2幾個著名的例群論與化學。群論是數學家們?yōu)樘角笠话阄宕我陨细叽畏匠痰墓浇舛?9世紀創(chuàng)立的，如今它已在化學中獲得了極為廣泛的應用，例如對分子對稱性的研究，對分子振動的研究，對晶體結構的研究等，都使用了群論方法。此外，由于化學研究的需要也促進了群論中一系列相關的理論與方法的發(fā)展。正多面體與鈦化合物

18、。當代化學研究的結果表明，鈦化合物具有正多面體的結構，而對正多面體的研究是古希臘數學家在兩千多年前純粹為了數學自身的目的發(fā)展起來的，最初完全是“無用”的。20世紀80年代以前，人們認為碳只能以兩種主要形式出現：金剛石和石墨。但是，數學家受到十二面體的旋轉群啟發(fā)，推測自然界有可能存在60，因為在數學上它有十分穩(wěn)定的結構。1985年，化學家與物理學家合作，造出了由60個碳原子構成的形如足球的60分子，激起了科學界的極大震動。后來科學家又發(fā)現了50、70、84、120等各種各樣的多面體碳分子，化學家根據它們的對稱性對各種分子進行分類，群論在闡明它們的結構和性質方面特別有用。 分形理論。近年發(fā)展起來的

19、分形理論在化學中也有廣泛的應用，例如：固體和流體間的化學反應是化學、化工、冶金、材料制備加工、腐蝕等極重要的反應過程。固體表面一般是粗糙的，于是就需要用分形理論和方法加以描述和研究。多孔性物質在地球表面極為普遍，在海洋化學、地球化學、石油開采等許多方面都遇到這樣的表面，例如油田中貯油的砂巖的多孔結構等等。生物軀體和生物高分子集團的復雜結構，如肌肉中的微血管分布，是“三維”的“粗糙”結構，這一結構與許多醫(yī)藥化學（如藥物在人體中的擴散過程動力學）問題有密切關系。大量的化學圖譜（光譜、波譜、極譜）曲線實際上多是不平滑的，其粗糙度與信息量的關系值得探討。液態(tài)和非晶態(tài)固體中原子排列、空隙分布、不同種原子

20、及其集團的分布，牽涉到許多不規(guī)則的圖形。許多不可逆過程的曲線，如化學振蕩和化學混沌現象的曲線，也是歐幾里得幾何學難于描述的曲線。描述上述各種復雜的幾何圖象，把握其規(guī)律，從而研究上述化學體系的課題，在理論上和實際上都具有重大意義，分形理論的出現不僅為研究這些問題提供了理論基礎，而且提供了強有力的方法。拓撲學研究的是圖形經過連續(xù)變形之后仍能保持的性質。分子拓撲學的基本依據是：盡管分子的幾何參數如原子間的距離、化學鍵的鍵角能夠測定，但由于存在著各種分子內的運動，例如分子振動、內轉動等，原子在分子中的位置是不固定的。同時，分子的幾何性質也受到周圍環(huán)境不可忽視的影響，例如在溶液情況下溶劑的影響，在晶體情

21、況下壓力等的影響等。由分子內運動和由各種外部影響所引起的分子幾何性質的改變，只要沒有化學鍵的破壞與形成，就可以看作連續(xù)的形變，此時，分子中原子間相互關聯的性質保持不變。分子中原子相互連通的全部信息確定了分子的拓撲性質。20世紀60年代，拓撲學已經被廣泛地應用到化學領域，討論配位絡合物，平面不飽和碳體系的金屬復合物，金屬原子簇化合物和硼氫化合物等。人們越來越清楚地認識到拓撲性質是分子的重要性質。此后，關于分子結構的拓撲理論進一步發(fā)展起來，分子電荷分布的拓撲性質、分子、結構的穩(wěn)定性、分子結構變化的數學模式、化學鍵的拓撲理論、核勢能與能量之間的拓撲關系以及分子體系勢能面的拓撲性質等都逐漸建立，進而形

22、成了一門以研究分子的拓撲性質及其應用為主要內容的分子拓撲學，并已成為分子結構和分子動力學理論中的重要組成部分。五、數學與生命科學19世紀后期，恩格斯曾指出，數學在生物學中的應用等于零。20世紀以來，數學出人意料地與生命科學緊密地聯系在一起，其結果是：在數學中出現了一個十分活躍的應用數學領域 生物數學；在生物學中則出現了數學生物學的龐大體系。簡單地說，生物數學主要是指用于生物科學研究中的數學理論和方法，包括生物統計學，生物微分方程，生態(tài)系統分析，生物控制，運籌對策等；數學生物學主要是指生物學不同領域中應用數學工具后所產生的生物學分支，例如：數學生態(tài)學，數量生理學，數量遺傳學，數量分類學，數量生物

23、經濟學，傳染病動力學，數理醫(yī)藥學，分子動力學，細胞動力學，人口動力學，以及神經科學的數學模擬等。今天，數學幾乎觸及到生物學的每個領域。數學生物學是今天應用數學最振奮人心的前沿之一，它充分顯示了數學的威力和多方面的適用性。這些數學工具幫助人們把生物學研究推到了科學的前沿 了解生命和智力。DNA分子是生物傳宗接代的主要物質基礎，它是遺傳信息存儲的基本單位，許多有關生命起源的重大問題都依賴于對這種特殊分子的性質的深入了解。因此，關于 DNA分子的結構與功能問題，幾十年來一直吸引著許多生化學家和遺傳學家們的注意。最近十幾年來，科學家們越來越清楚地認識到，DNA分子的三維空間的拓撲構型對它在細胞里如何發(fā)

24、揮其功能有重要影響。借助數學模型方法，數學生物學家們解釋了為什么處于哺乳動物體積分布譜兩端的大象和老鼠身上的顏色比較均勻一致，而不太大也不太小的動物，例如斑馬、金錢豹等，它們身上的花紋就會很不尋常。數學模擬可以解釋為什么世界上有身上是斑點、尾巴是條紋的動物，卻沒有身上是條紋、尾巴是斑點的動物。例如：金錢豹的尾巴太細，使斑點都合并成了條紋。在當代，數學模型被廣泛應用于在生理學領域，例如心臟、腎、胰臟、耳朵和許多其他器官的計算模型。隨著近年在計算技術和數值算法方面迅猛的發(fā)展，人們已經能夠充分詳細地模擬人體流體動力學功能并運用于認識和治療疾病。數學模型還使高速計算機在藥物成分設計和染色體組織的分析方

25、面得以廣泛應用。X 射線計算機斷層掃描儀（簡稱CT）的問世是20世紀醫(yī)學中的奇跡，被認為是放射醫(yī)學領域的一次革命性突破。其原理是基于不同的物質有不同的X 射線衰減系數。如果能夠確定人體的衰減系數的分布，就能重建其斷層或三維圖象。但通過X 射線透射時，只能測量到人體的直線上的X 射線衰減系數的平均值（是一積分）。當直線變化時，此平均值（依賴于某參數）也隨之變化。能否通過這個平均值以求出整個衰減系數的分布呢？人們利用數學中的拉東變換解決了這個問題，如今拉東變換已經成為CT理論的核心。首創(chuàng)CT理論的A.M.科馬克及第一臺CT制作者C.N.洪斯菲爾德因而獲得了1979年諾貝爾醫(yī)學和生理學獎。另外，20

26、世紀80年代后期興起的磁共振顯像（MRI）的主要技術之一也是數學方面的，它以19世紀發(fā)展起來的傅立葉變換的快速精確的反演為主要特征。醫(yī)學中應用數學方法的另一個典型例子是計算機數值診斷，即利用數學的信息理論、數據處理技術以及電子計算機這個強有力的工具，對病患者的癥狀表現和各種化驗和檢驗指標進行數學加工分析，做出疾病的定量診斷結果。臨床診斷是醫(yī)生根據自己的經驗和理論知識的推理做出最有可能的判斷，診斷的準確性與醫(yī)生本人的經驗和知識水平有著直接的關系。而數值診斷則不然，它依賴于大量的歷史診斷記錄和對這些資料的數學處理方式。已診斷的病例越多，癥狀資料越詳細，處理方式越得當，就越能得到較確切的診斷結果。第

27、二部分 數學與高技術在當代高科技的發(fā)展中，數學的作用日漸凸顯，一方面，高新技術的基礎是應用科學，而應用科學的基礎是數學；另一方面，隨著計算機科學的迅猛發(fā)展，數學兼有了科學與技術的雙重身份，現代科學技術越來越表現為一種數學技術。當代科學技術的突出特點是定量化，而定量化的標志就是數學思想和方法的運用。精確定量思維是對當代科技人員的共同要求。所謂定量思維是指人們從實際中提煉數學問題，抽象為數學模型，用數學計算求出此模型的解或近似解，然后回到現實中進行檢驗，必要時修改模型使之更切合實際，最后編制解題的計算機軟件，以便得到更廣泛和方便的應用。高技術的高精度、高速度、高自動、高質量、高效率等特點，無不是通

28、過數學模型和數學方法并借助計算機的控制來實現的。數學在當代高技術中的應用極為廣泛，我們只能象征性地舉幾個實例。一、數學與電子計算機電子計算機的發(fā)明與使用是第二次大戰(zhàn)以來對人類文明影響最為深遠的科技成就之一。電子計算機是數學與工程技術結合的產物，而在其發(fā)展的每個歷史關頭，數學都起了關鍵的作用。通用計算機的概念最先是由數學家巴貝奇提出；圖靈從數學上證明了制造通用數字計算機的可能性；馮諾伊曼的程序存儲等思想至今仍是現代計算機的設計指南。毫無疑問，計算機的進一步發(fā)展，包括新型計算機（如大規(guī)模并行計算機、光計算機、量子計算機、生物計算機等）的研制，仍將借助于適當的數學理論與思想。電子計算機之所以有強大的

29、功能，除了它本身獨特的設計思想外，最主要的是因為有了軟件的支持。計算機是由硬件和軟件兩部分組成的，如果說硬件是它的軀體，軟件就是它的靈魂。軟件的核心是算法，所以它是一種數學。1997年，IBM公司制造的“深藍”計算機驚人地一舉擊敗了當今世界上國際象棋第一高手俄羅斯的卡斯帕羅夫，世界為之轟動?！吧钏{”之所以能有如此水平，主要是由于十分巧妙的算法以及高速計算機的支持。二、可靠性的數學理論所謂可靠性，是指單元或由單元組成的系統在一定條件下完成其預定功能的能力。在一個由若干元、部件組成的系統中，每個元、部件都有一定的壽命。某些元、部件的失效會導致整個系統的失效。為改善系統的可靠性性能，可以采取各種措施

30、（如增設備份、預防性維修、定期更換等）。研究在各種措施下每個系統的概率規(guī)律性、可靠性程度、在給定時間內的失效數，以及在給定條件（如投資額、體積、重量等）下應采取怎樣的措施使系統可靠性達到最大的數學理論，稱為系統的可靠性理論。隨著科學技術的進步，雖然單個元部件的可靠性不斷得到改善，但是各類系統日趨復雜，要求它完成的功能也更廣泛。單個元部件失效引起整個系統失效的代價越來越昂貴，會在經濟上、信譽上造成巨大損失，有時還會造成人員傷亡及政治上、心理上的嚴重后果。因此，象大型客機、核電站、宇航系統、軍事指揮系統、大型計算機等都要求有極高的可靠性。如何正確估計大型系統的可靠性，是個重要的實際問題。三、數學、

31、編碼與通訊現代社會是信息化的社會，信息的獲得、存儲與傳遞都是十分重要的問題，而密碼則是一種獨特而重要的信息傳遞方式，其重要性在軍事對抗、政治斗爭、商業(yè)競爭等涉及不同利益的集團的對抗或競爭中是不言而喻的。一方面是有效地在我方內部迅速準確地傳遞各種信息而不被對方破譯，另一方面是尋找破譯對方信息的有效方法。因此，密碼學的研究一直是世界各國政府和軍方特別關注的。此外，密碼學在控制論、語言學、分子生物學等領域也有著重要的發(fā)展前景。現代密碼學中幾乎充滿了數學：代數學、數論、組合數學、幾何學、概率統計以及一些較新的數學分支，如信息論、自動機理論等，都對密碼學的發(fā)展作出了貢獻。近年來，計算機科學（尤其是算法論

32、與計算復雜性理論）更對密碼學產生了深刻的影響。1976年11月，美國斯坦福大學的兩位電工學工程師迪費和海爾曼發(fā)表論文密碼學的新方向，用他們提出的陷門單向函數發(fā)明了公開密鑰碼體制。傳統的保密密鑰碼，其加密過程與解密過程是對稱的，加密密鑰與解密密鑰是相同的。陷門單向函數f(n)由一個重要性質：僅由已知的計算 f(n) 的算法，要想找出計算其反函數 f-1(l) 的容易算法非常困難從而實際上是不可能的。這樣就可以用f(n)作加密密鑰并將其公開，用它的反函數 f-1(l)作為解密密鑰并嚴格保密。利用陷門單向函數，就可以構成如下的公開密鑰碼體制。有一個部門，下設 A，B，C，若干機構，各機構均有自己的陷

33、門單向函數，分別為 fA(n)，fB(n)，fC(n)，各函數的算法分別作為各部門的編碼 (加密)方法而公開，諸 fA-1(l)，fB-1(l)，fC-1(l)，的容易算法，作為解密密鑰是保密的。這樣，部門中的任一機構（包括部門外的機構）都可給其中的一個機構發(fā)保密信。例如，B向 A發(fā)保密信，方法是，設 B向 A所發(fā)的明文為 n，代入 A所公開的 fA(n)，得 fA(n) m，m 即為密文，由于只有 A知道 fA-1(m)的容易算法，可由 fA-1(m)fA-1(fA(n)n脫密。部門內的各成員可以彼此發(fā)簽名信，例如 B給 A發(fā)簽名信，方法是，先用 fB-1(l) 對明文 n加密得 fB-1(

34、n) m，再用 fA(n)對 m加密得 fA(m)t. A收到 t后，由 fA-1(t) m得 fB(m)fB(fB-1(n)n，即可讀到 B的原信。因為只有 B才能發(fā)這樣的雙重加密信，所以 B的簽名是無法偽造的。近年來在通信事業(yè)中發(fā)展起一門新的科學 安全技術，包括消息認證和身份驗證兩個方面。消息認證是檢查收到的消息是否真實的一種手段，應用十分廣泛，例如證券交易所和股票市場都離不開消息認證，在當今通信事業(yè)中，以及軍事指揮中心、軍事監(jiān)聽機構中等都要有很好的消息認證系統，以使受假消息影響的程度為最小。身份驗證是檢驗消息的來源（發(fā)信者）是否正確，或者傳遞的消息是否到達正確目的地（收信者）的方法。例如

35、，如果你擁有一個計算機網絡的終端設備，就不但可以隨時查到你所需要的資料或信息，而且可以解決許多實際生活中的問題，如預訂機票、市場購物、銀行轉賬等，甚至可以通過計算機網絡簽署文件。使用計算機網絡進行這些活動時，都需要將自己的身份告訴對方。為了使對方能確認你的身份是真實的，就需要相應的身份驗證方法。日常生活中，在信件上簽名是很普通的事，但要通過電子通信手段在遙遠的異地完成簽名就不容易了。這種通過電子通信完成簽名的手段稱為數字簽名。前面介紹的 RSA體制就是實現數字簽名的一種有效方法。數字簽名首先是一種消息認證方法，另一方面，在通信雙方發(fā)生爭執(zhí)時，又可由仲裁者進行公正裁決，因此它又是一種身份驗證方法

36、。四、數學與軍用技術雖然在今天電子計算機已經滲透到現代社會的每個角落，但它最初卻是為了軍用目的發(fā)展起來的。計算機具有運算速度快、記憶容量大、邏輯判斷能力強、計算精度高、自動化程度好等優(yōu)點，因而從一誕生起就受到了軍事家的青睞，被廣泛用于偵察、預警、指揮、通信、兵器控制、導航、定位、電子對抗、作戰(zhàn)模擬和各種保障等方面。由于計算機技術的進步和數學算法的巨大改進，已可能用數學模型來代替許多試驗，結果大大節(jié)省了成本，提高了設計的質量。這對于武器的研制特別重要，因為若進行具體的試驗，不但既費錢又危險，而且在初期階段實際上是無法辦到的。例如，假如有一天世界全面禁止核試驗，掌握了強大計算技術的國家仍然可以借助

37、在以往核試驗中獲得的數據在計算機上進行模擬核試驗，即使在核試驗尚未被禁止的情況下，模擬試驗也可以用來選擇最佳試驗方案從而減少試驗次數，節(jié)省大量投資和時間并提高設計水平。顯然，實現計算機模擬核試驗的關鍵問題是相應的數學的理論與方法是否已經建立。模擬裝置在一些發(fā)達國家的軍隊中使用已久，特別是隨著最新技術的發(fā)展，使軍隊可以把軍事演習、實戰(zhàn)演習和微觀模擬融于一體，創(chuàng)造出一種高度逼真的模擬世界，使士兵如同置身于實戰(zhàn)戰(zhàn)場，從而獲得最佳的演習效果。模擬裝置有許多種，能適應各種不同的訓練需要。虛擬模擬器，它能模擬飛機和坦克的駕駛艙，可以在無需高成本和長時間實際訓練的情況下向學員傳授基本的操作技術。實戰(zhàn)模擬，它

38、能控制在所需的范圍內，使成千上萬的真實士兵在虛擬的戰(zhàn)場上用實戰(zhàn)武器相互射擊，武器中發(fā)射的是不會造成傷害的激光束或雷達波。結構性模擬，它是一種專為高級指揮官設計的微觀軍事演習，它們基本上是電腦輔助的對弈，是一種可以取代大規(guī)模軍隊行動的軟件計算。數字化戰(zhàn)爭。主要是以先進的數字化技術，通過“數據兼容調制解調器”裝置，實現戰(zhàn)場上各軍兵種和武器系統之間的相互聯系，改變戰(zhàn)場上的信息傳遞方式，從而加快部隊的行動節(jié)奏和反應能力，提高部隊的整體戰(zhàn)斗力。與此同時，交戰(zhàn)雙方都將利用一切手段對對方指揮、控制系統進行打擊、干擾、壓制、迷惑和誤導。1982年英國與阿根廷馬島（馬爾維納斯群島）海戰(zhàn)。1991年海灣戰(zhàn)爭。19

39、99年科索沃戰(zhàn)爭。隨著高科技的發(fā)展，一些國家的軍事科技人員發(fā)現，如果將計算機病毒的破壞和繁殖功能與“邏輯炸彈”的潛伏性結合起來，加上人工智能設計一種病毒程序，便可以造出更靈巧的病毒武器，它們既能夠破壞特定目標，又可避開防毒程序。特制的計算機病毒武器能夠有效地破壞計算機系統或者使之發(fā)生誤差，在軍事上可用以破壞敵方的指揮、通信與控制系統，用于識別導彈發(fā)射、控制彈道和提供情報的戰(zhàn)略計算機系統等。在1991年的海灣戰(zhàn)爭中美國就對伊拉克使用了計算機病毒武器。五、數學與航空航天技術20世紀70年代以前，飛行器設計所依靠的數據都是靠風洞模型實驗得到的。特別是高性能飛機，過去通常主要用風洞試驗以及類似的試驗來

40、設計，然后就建造一個模型，由試飛員去試飛，這不僅周期長、費用高，而且相當危險。70年代后期，這種情況有了改變。由于電子計算機技術的飛速發(fā)展，特別是高速巨型計算機的出現，能計算出極其精確的結果，導致了計算流體力學的誕生。計算流體力學研究如何對各種類型流體（氣體、液體和特殊情況下的固體）在各種速度范圍內的復雜流動，用大型計算機進行數值模擬計算。它涉及用計算機尋求流動問題的解和計算機在流體力學研究中的應用這兩方面的問題。在當代飛行器的設計中，計算流體力學、風洞實驗和自由飛行一起構成了獲得氣動數據的三種手段。雖然風洞實驗仍是一個主要方法，但建造風洞的費用很高，而且有一定的局限性。隨著現代高速飛行器設計的需要，實驗的花費就更加巨大。如今，數值模擬方法已代替了許多實驗，因為在大多數情況下采用這種方法不僅可以大大地縮短周期，降低費用，提高安全可靠性，而且具有容易改變