第一章測量誤差數(shù)據(jù)處理不確定度的評定

1、第一章實驗數(shù)據(jù)處理的基本方法我們每做一個物理實驗，都是先對這個實驗中的物理現(xiàn)象進行觀察，然后通過相應(yīng)的測量 獲得一些實驗數(shù)據(jù)，最后經(jīng)過對這些數(shù)據(jù)的處理得到最終的實驗結(jié)果。除了通過正確的原理和 方法進行實驗外，用正確的方法對實驗數(shù)據(jù)進行處理，是獲得合理的實驗結(jié)果的關(guān)鍵。本章主 要介紹實驗數(shù)據(jù)處理的基本方法。其內(nèi)容由以下兩部分組成：第一部的主要內(nèi)容是有效數(shù)字及其運算、實驗誤差的特點及克服方法、不確定度概念及其 初步評定方法等。第二部的主要內(nèi)容是列表法、作圖法、逐差法等常用的實驗數(shù)據(jù)處理方法。§有效數(shù)字及其運算、直接測量和間接測量我們知道，量度物質(zhì)的屬性或描述物質(zhì)的運動狀態(tài)所用的各種量值叫

2、做物理量，如長度、速度、熱量、功、電流強度等。測量是用實驗方法獲得物理量量值（測量值）的過程。按照測量值獲得方法的不同，測量分為直接測量和間接測量兩種。1. 直接測量：是指不需要對被測量與其它實測量進行函數(shù)關(guān)系的輔助計算，直接從儀器或量具上得到被 測量值的測量。例如：用直尺測量長度；以秒表計時間；用天平稱質(zhì)量；用電流表測電流等。 這些用直接測量得到量值的物理量叫做直接測得量。2. 間接測量是指從一個或幾個直接測量結(jié)果按一定的函數(shù)關(guān)系計算出來的的過程。而用間接測量得到 量值的物理量叫做 間接測得量。例如：在伏安法測電阻的實驗中，用電流表直接測量流過待測 電阻的電流I，用電壓表直接測量待測電阻兩端

3、的電壓U，然后歐姆定律 R=U/I計算電阻的阻值R的過程，就是間接測量。在這里，電流I和電壓U是直接測得量，而電阻 R是間接間接測得量。、有效數(shù)字的定義由于種種原因，用任何實驗儀器直接測量的數(shù)值都不可避免地含有一定的誤差，因此，測 得的數(shù)據(jù)都只能是 近似數(shù)。由這些近似數(shù)通過計算而得到的間接測量值也一定是近似數(shù)。顯然， 幾個近似數(shù)的運算不可能使運算結(jié)果更加準(zhǔn)確，而只會使其誤差增大。因此近似數(shù)的表示和計 算都必須遵循一些規(guī)則，以便確切地表示和記錄運算結(jié)果的近似性。這些規(guī)則就是有效數(shù)字及 其運算規(guī)則。從儀器上讀出的數(shù)字，通常都要盡可能估計到儀器最小刻度的下一位。以如圖1-1所示的圖1-1用米尺測量鋼

4、棒的長度為例，我們可以讀出4.26cm, 4.27cm或4.28cm，前二位“4.2可以從米尺上直接讀出來，是 準(zhǔn)確數(shù)字，而第三位數(shù)“6；' “7或 “8是測量者估讀出來的，估讀的結(jié)果因 人而異，因此這一位是有疑問的，叫做存疑數(shù)字（又叫做不可靠數(shù)字）。由于第三位已經(jīng)存疑，因此已沒有必要估計它以后的各位數(shù)了。我們把儀器上直接讀出的數(shù)字和最后一位估讀的存疑數(shù)字，全部記錄下來，叫做有效數(shù)字。也就是說，有效數(shù)字包括從儀器上直接讀出的準(zhǔn)確數(shù)字和最后一位存疑數(shù)字，即有效數(shù)字=準(zhǔn)確數(shù)字+存疑數(shù)字而且也只有最后一位數(shù)字是存疑數(shù)字。測量結(jié)果用并且只用它的有效數(shù)字表示。上面所說的鋼棒長度的測量值4.26

5、cm, 4.27cm或4.28 cm包含三位有效數(shù)字。也就是說，有效數(shù)字的位數(shù)等于準(zhǔn)確數(shù)字的位數(shù)加上存疑數(shù)字的位數(shù)（存疑數(shù)字的位數(shù)只能為1 ）。在以下的表述中，存疑數(shù)字下面有下滑線。例：2.365 （四位）；0.21008 （五位）；0.0024 （二位）；0.260 （三位）；0.01230 （四位）。、有效數(shù)字的特點1. 有效數(shù)字前面的 “0不是有效數(shù)字，而中間和后面的 “0”都是有效數(shù)字。例：0.0003576 , 3.005 , 3.000都是四位有效數(shù)字。在上例中的0.01230和本例中的 3.000最右邊的0”是有效位數(shù)，不可以省略不寫。注意：實驗中的數(shù)字與數(shù)學(xué)上的數(shù)字是不一樣的。

6、數(shù)學(xué)的 8.35= 8.350 = 8.3500 ,實驗的8.35工8.350 *8.3500 （小數(shù)點后面的0是有意義的）。2. 單位換算時，有效數(shù)字的位數(shù)不變。即有效數(shù)字的位數(shù)與小數(shù)點的位置無關(guān)。例：23.56 cm = 0.2356 m = 0.0002356 km為了避免混淆，并使記錄和計算方便，在寫有效數(shù)字時，通常在小數(shù)點前一律取一位有效數(shù)字，其它的數(shù)字全寫在小數(shù)點之后，然后乘上10的幕來表示，即A=a 10n，且 1 w a < 10這樣寫有效數(shù)字的方法，叫做科學(xué)記數(shù)法。例：在上例中，我們可以這樣寫：1-1-4823.56 cm =2.356 X10 cm=2.35QX10

7、m = 2.356 X10 km=2.356 X10 nm例：光速c= 30萬公里每秒。不正確的寫法：c = 300000 km/s; c = 300 km/s 正確的寫法：c= 3.0 氷05 km/s = 3.0 108 m/s3. 有效數(shù)字的位數(shù)與被測物的大小和測量儀器的精密度有關(guān)。例如在圖1-1中測得物體的長度為4.27 cm，是三位有效數(shù)字，如果改用千分尺來測，其有效數(shù)字的位數(shù)有五位。四、直接測得量有效數(shù)字的讀取直接測得量的有效數(shù)字來源于測量時所用的儀器。1. 刻度式儀表（米尺、千分尺、讀數(shù)顯微鏡、常用的電流表、電壓表等），一般讀數(shù)應(yīng)讀到最小分度，然后再估讀一位，如圖1-2所示。2.

8、有時讀數(shù)的估計位，就取在最小分度位。 例如，儀器的最小分度值為0.60.9都是估計的，不必估到下一位，如圖1-3所示。0.5 ,貝U 0.1 0.4 ,讀數(shù)：18.907 mm圖1-20 1123cmI11U讀數(shù)：4.7 cm圖1-300.02mm345讀數(shù)：15.84 mm01234567890圖1-43. 游標(biāo)類量具（游標(biāo)卡尺、分光計度盤、大氣壓計等），讀到游標(biāo)分度值的整數(shù)倍。多數(shù)情況下不估讀，特殊情況估讀到游標(biāo)分度值的一半。如圖1-4所示4. 數(shù)字式儀表及步進讀數(shù)儀器（電阻箱、電橋、電位差計、數(shù)字電壓表等），不需估讀。直接讀取儀表的示值，如圖1-5所示。圖1-5讀數(shù)：4.20 cm圖1-

9、 65. 若測量值恰為整數(shù)，必須補零，直接補到存疑位，如圖1-6所示。6. 特殊情況，直讀數(shù)據(jù)的有效數(shù)字由儀器的靈敏閾決定。例如在電表的改裝”中，表頭串聯(lián)一個大電阻，改裝成電壓表時，由于線路靈敏度低，在確定串聯(lián)電阻時，調(diào)節(jié)電阻箱上“X 1Q擋時，表頭上的反映已經(jīng)不太靈敏，盡管最小步進值為“X 0.1 電阻值只記錄到 “X 1Q”五、間接測得量有效數(shù)字尾數(shù)的舍入規(guī)則如上所述，在對直接測得量進行測量時，必須用有效數(shù)字表示其量值。而要通過對有效數(shù) 字進行運算得到間接得測量時，不可避免地會遇到間接得測量有效數(shù)字尾數(shù)的舍入問題。根據(jù) 國家的相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)，將運算結(jié)果中多余的存疑數(shù)字舍去時，本課程采用“4舍6入

10、5湊偶”的方法則。根據(jù)這個法則，當(dāng)要保留n位有效數(shù)字時，如果1. 第n+1位數(shù)字w 4 ,就把它直接舍掉；2. 第n+1位數(shù)字6時，則要向第n位數(shù)字進1 ;3. 第n+1位數(shù)字=5，并且后面的數(shù)字都為0，則第n位數(shù)字若為偶數(shù)時就把這個5舍掉；第n位數(shù)字為奇數(shù)時就向前進1 ;若第n+1位數(shù)字=5且后面還有不為0的任何數(shù)字時，無論第 n位數(shù)字是奇數(shù)或偶數(shù)都進1。例：保留3位有效位數(shù)，則9.82462 = 9.82 （見上述第 1條）7.62671 = 7.63 （見上述第 2條）9.82500 = 9.82 （5后面的數(shù)字都為0,并且它前面的 2是偶數(shù)。）3.13500 = 3.14 （5后面的數(shù)

11、字都為0,并且它前面的 3是奇數(shù)。）6.32502 = 6.33 （5后面有不為 0的數(shù)字）六、有效數(shù)字的運算1. 總的原則：（1）準(zhǔn)確數(shù)字與準(zhǔn)確數(shù)字進行四則運算時，其結(jié)果仍為準(zhǔn)確數(shù)字。2）存疑數(shù)字與任何數(shù)字（準(zhǔn)確數(shù)字或存疑數(shù)字）進行四則運算時，其結(jié)果均為存疑數(shù)字。（3）在最后的結(jié)果中只保留一位存疑數(shù)字，其后多余的存疑數(shù)字數(shù)字是無意義的，應(yīng)按有效數(shù)字舍入規(guī)則截去。2. 具體規(guī)則:（1）兩數(shù)相加、減時，其結(jié)果的有效位數(shù)的最后（即最右）一位的位置與兩數(shù)中最后一位位數(shù)高者的相同例:478.2 3462 =481.662 ： 481.749.27 _ 3.4 =45.87 ： 45.9（2）兩數(shù)相乘、

12、除時，其結(jié)果的有效位數(shù)與兩數(shù)中有效位數(shù)少者相同。例如例:4834.5 23.19944.55 1.99 102569.-19.131.764132(3) 乘方、開方運算最后結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)一般取與底數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。例:(7.325)2 ： 53.66,32.8 5.73(4) 指數(shù)、對數(shù)、三角等函數(shù)運算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)由其改變量對應(yīng)的數(shù)位決定。例：在In 2.32 =0.841567中2.32的存疑數(shù)字為 0.02，那么我們將它的末位數(shù)改變1(即In 2.33 =0.845868)后比較，看出發(fā)生改變的位置在小數(shù)點后的第三位(千分位)上，就能得知In 2.32 0.842。(5) n

13、 e、1/3、等常數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)可以認為是無限的，應(yīng)取足夠的有效位數(shù)參與 運算，直接根據(jù)計算器上的計算結(jié)果取用。(6) 有效數(shù)字位數(shù)不能由數(shù)學(xué)或物理常數(shù)來確定。例：在公式：二2as中，u的計算結(jié)果不能由于 “2的存在而只取一位存疑數(shù)字，而要根據(jù)a和s來決定。以上這些結(jié)論，在一般情況下是成立的，有時會有一位的出入。為了防止數(shù)字截尾后運算 引入新誤差，在中間過程中，參與運算的數(shù)據(jù)可多取1至2有效數(shù)字。在當(dāng)今計算機時代，對參與運算的數(shù)和中間運算結(jié)果都可不作修約，也可比傳統(tǒng)方法估計 的位數(shù)適當(dāng)多取幾位，只在最后結(jié)果表示前再作修約，這樣可能更有利于實驗效率的提高。§2測量誤差和測量不確定度、

14、測量誤差的基本概念物理實驗是以測量為基礎(chǔ)的，但如前所述，是任何測量結(jié)果都不可避免地存在誤差?？梢哉f 任何測量都不可能無限準(zhǔn)確。1. 測量誤差的定義測量結(jié)果與被測量真值的差叫做測量誤差，簡稱誤差。如果用 x表示待測物理量的測量結(jié)果，X0是它的真值，則測量誤差為.X = X -Xo（ 1-1）測量誤差可以為正值，也可以為負值。顯然，這樣定義的測量誤差反映的是測量結(jié)果偏離真值 的大小和方向（正負），因此又常稱為絕對誤差。為了評價一個測量結(jié)果的優(yōu)劣，除了看測量誤差的大小和方向外，還需要看測得量本身的 大小。為此，弓I入 相對誤差的概念。相對誤差的定義為/XEr100%（1-2）Xo相對誤差的意義在于它

15、能夠反映測量結(jié)果的準(zhǔn)確程度。例如測得兩個銅棒的長度分別為23.50 cm和2.35 cm，而兩次的測量誤差均為0.03 cm，則它們的相對誤差分別為Er1 003 100% =0.13% ： 0.2%23.50Er1 二003 100% =1.3% ： 2%2.35從測量誤差看，兩者相等；但從相對誤差來看，后者是前者的10倍。我們自然認為第一個測量更準(zhǔn)確些。一個物理量的真值，是在它被觀測時本身所具有的真實大小，只有完善的測量（理想測量） 才能得到真值。而實際上任何測量都有缺陷，因此真值是一個理想化的概念。由于真值無法確 切地知道，所以誤差也無法準(zhǔn)確地知道。在實際測量中經(jīng)常用準(zhǔn)確度高的測量結(jié)果（

16、如推薦值、 最佳估計值、已修正過的算術(shù)平均值、計量標(biāo)準(zhǔn)器具所復(fù)現(xiàn)的值等）來代替真值（叫做約定真值），才能計算誤差。2. 測量誤差的分類根據(jù)誤差的性質(zhì)和產(chǎn)生的原因，可以把誤差分為系統(tǒng)誤差和隨機誤差兩類。（1）系統(tǒng)誤差在相同條件下，對同一被測量的多次測量中，誤差的絕對值和符號（正、負）保持恒定， 或在條件改變時誤差的絕對值和符號（正、負）按可預(yù)知的方式變化，這類誤差稱為系統(tǒng)誤差。 在重復(fù)性條件下，系統(tǒng)誤差等于對同一被測量進行無限多次測量所得結(jié)果的平均值與被測量的 真值之差。一般來講，系統(tǒng)誤差的主要來源包括： 儀器本身的缺陷或沒按規(guī)定條件使用儀器而引起的誤差（又叫做儀器誤差）。例如：電表的刻度不均勻

17、（示值誤差）；等臂天平的兩臂實際不等（機構(gòu)誤差）；指針式電表使用前沒調(diào) 零（零位誤差）；大氣壓強計未在標(biāo)定條件下使用引起的系統(tǒng)誤差等。 測量所依據(jù)的理論公式本身的近似性、實驗條件不能達到理論公式的要求、測量方法所帶來的系統(tǒng)誤差（又叫做作理論誤差或方法誤差）。例如：單擺運動方程小角度近似解引起的誤差、伏安法測電阻時電表內(nèi)阻引起的測量誤差等。 實驗者引入的誤差。例如個人習(xí)慣和偏向（讀數(shù)總是偏高或偏低）、感官分辨能力（觸覺、嗅覺、聽覺、視覺）等。根據(jù)誤差的符號、絕對值是否確定，系統(tǒng)誤差分為如下兩類： 已定系統(tǒng)誤差：是絕對值和符號已經(jīng)確定的系統(tǒng)誤差分量。如零位誤差、大氣壓強計室溫下使用引起的誤 差、伏

18、安法測電阻時電流表內(nèi)接或外接引起的誤差等。實驗中應(yīng)盡量消除已定系統(tǒng)誤差，或?qū)?測量結(jié)果進行修正，修正公式為：測得值（或其平均值）-已定系統(tǒng)誤差 未定系統(tǒng)誤差：是符號或絕對值未被確定的系統(tǒng)誤差分量。對這類誤差一般要估計出其限值或分布范圍。 實驗中可以通過方案選擇、參數(shù)設(shè)計、計量器具校準(zhǔn)、環(huán)境條件控制等環(huán)節(jié)來減小未定系統(tǒng)誤 差的限值。系統(tǒng)誤差是由于確定的原因，以確定的方式引起，具有確定性。它具有始終偏大、始終偏 小或周期性的特點。經(jīng)驗表明，通過增加測量次數(shù)不能減少系統(tǒng)誤差。要想減少系統(tǒng)誤差，只 能從方法、理論、儀器等方面的改進與修正來實現(xiàn)。（2）隨機誤差在相同條件下多次重復(fù)測量同一個量時，每次測量

19、出現(xiàn)的誤差的絕對值和符號以不可預(yù)知 的方式變化，這類誤差稱為隨機誤差。在重復(fù)性條件下，隨機誤差等于測量結(jié)果與對同一被測量進行無限多次測量所得結(jié)果的平均值之差。產(chǎn)生隨機誤差的原因是多方面的，如實驗條件和環(huán)境因素的起伏、估讀數(shù)的偏差、測量對 象的不穩(wěn)定、數(shù)字儀表末位取整數(shù)時的隨機舍入過程等。隨機誤差由大量、微小、不可預(yù)知的因素引起，具有隨機性。它的特點是單個測量誤差表 現(xiàn)為不可預(yù)知的隨機性，而從總體來看這類誤差服從統(tǒng)計規(guī)律。具體來講，大多數(shù)情況下，當(dāng) 測量次數(shù)足夠多時，小誤差出現(xiàn)的概率大，大誤差出現(xiàn)的概率??；正、負誤差對稱分布，具有 抵償性，能大致相消。所以可以取多次測量的平均值來作為被測量的最佳

20、估計值以消除隨機誤 差的影響。如上所述，無論是系統(tǒng)誤差，還是隨機誤差，它們都是基于無限多次測量所得總平均值的 理想概念。由于實際上只能進行有限次測量，因此只能用有限次測量的平均值作為總平均值的 估計值。類似于矢量與其各分量的關(guān)系，在以后的論述中，我們可以把系統(tǒng)誤差和隨機誤差看作總 誤差的兩個分量，分別叫做 系統(tǒng)誤差分量 和隨機誤差分量。另一類因為讀數(shù)錯誤、操作失當(dāng)?shù)仍蛟斐傻拿黠@超出規(guī)定條件下預(yù)期值的誤差，稱為粗大誤差。測量應(yīng)避免出現(xiàn)粗大誤差，已被謹慎地確定為含有粗大誤差的個別數(shù)據(jù)要剔除。系統(tǒng)誤差有時也可轉(zhuǎn)換成隨機誤差。例如某直尺的某一個或幾個刻線不準(zhǔn)。如果固定用某 一刻度起始測量，測量值有系

21、統(tǒng)誤差；而如果從不同刻線起始做多次測量，則測量值又具有隨 機分布的性質(zhì)。常用的一些術(shù)語：精密度：反映隨機誤差的大小程度；正確度：反映系統(tǒng)誤差的大小程度；準(zhǔn)確度：隨機誤差與系統(tǒng)誤差綜合大??；精 度：物理意義不明確，有時指精密度，也有時指準(zhǔn)確度。誤差雖然不可確知，但我們可以分析誤差的主要來源，盡可能消除或減小某些誤差分量對 測量的影響，把它控制在允許范圍之內(nèi)。對于最終不能消除的誤差分量，我們還可以估計出它 的限值或分布范圍，對測量結(jié)果的精確程度作出合理的評價。一般來講，誤差是普遍存在的。誤差的普遍性要求必須重視對測量結(jié)果的誤差分析和測量 結(jié)果的可信賴程度的評定，并且完整地表示測量結(jié)果。為了表示測量

22、結(jié)果的可信賴程度，我們 引入不確定度的概念。二、測量不確定度的基本概念簡單地講，測量不確定度 是指由于測量誤差的存在而對被測量值不能確定的程度，它是被 測量的真值在某一量值范圍內(nèi)的一個評定。不確定度反映了可能存在的誤差分布范圍，即誤差的隨機誤差分量和未定系統(tǒng)誤差分量的 聯(lián)合分布范圍。這個范圍叫做 置信區(qū)間，這個區(qū)間以一定的概率（叫做置信概率）包含著被測量的真值。不確定度越大，置信區(qū)間內(nèi)包含真值的置信概率就越高，即測量結(jié)果落在該區(qū)間內(nèi) 的把握就越大。置信區(qū)間的半寬度就是測量不確定度的大小。例如：測量人體溫度為 37.2 C,或加或減0.1 C，置信概率為95 %。則該結(jié)果可以表示 為（37.2

23、C ± 0.1 ）C，不確定度為0.1 C，置信概率為P = 95 %。這個表述是說，我們測量 的人體溫度處在 37.1 C到37.3 C之間，有95 %的把握。測量誤差是一個差值，而測量不確定度是一個區(qū)間，這是測量不確定度和測量誤差的最根 本的區(qū)別。此外，由于真值的不可知，誤差一般是不能計算的，它可正、可負也可能十分接近 零；而不確定度總是不為零的正值，是可以具體評定的。不確定度是評價測量質(zhì)量的一個新概念，是表達測量結(jié)果具有分散性的一個參數(shù)，是誤差 的數(shù)字指標(biāo)。在測量方法正確的情況下，不確定度越小，測量結(jié)果可信賴程度越高；不確定度 越大，測量結(jié)果可信賴程度越低。用不確定度評定實驗結(jié)

24、果的誤差，其中包含了各種來源不同的誤差對結(jié)果的影響，而它們 的計算又反映了這些誤差所服從的分布規(guī)律，這就更準(zhǔn)確地表述了測量結(jié)果的可靠程度，因而 有必要采用不確定度的概念。傳統(tǒng)的誤差理論把誤差分為“系統(tǒng)誤差”和“隨機誤差”兩類。但實際上，系統(tǒng)誤差往往 是未知的（一旦確知，則可以校正）。不確定度理論擯棄了這種分類方法，而是在修正了已定系 統(tǒng)誤差之后，將余下的不確定度分量分量按照測量數(shù)據(jù)的性質(zhì)分為兩類：（1） A類不確定度：多次重復(fù)測量時與隨機誤差有關(guān)的分量，用UA表示。它與數(shù)據(jù)的離散 性相對應(yīng)，用數(shù)理統(tǒng)計方法處理。（2） B類不確定度：多數(shù)與未定系統(tǒng)誤差有關(guān)的分量，用UB表示。它與儀器的欠準(zhǔn)確相對

25、 應(yīng)，用非數(shù)理統(tǒng)計方法處理。注意，A、B兩類不確定度與傳統(tǒng)劃分的隨機誤差、系統(tǒng)誤差并不存在簡單的對應(yīng)關(guān)系。不 確定度理論仍保留了系統(tǒng)誤差的概念。研究不確定度的意義，在于它能夠科學(xué)地反映測量結(jié)果的數(shù)值和可靠程度；可以根據(jù)對測 量不確定度的要求，確定實驗方案，選擇儀器和環(huán)境；同時能夠找出和減小系統(tǒng)誤差，提高實 驗精度。不確定度必須正確評價。如果評價得過大，則在實驗中會因懷疑結(jié)果的正確性而不能果斷 地做出判斷，在生產(chǎn)中會因測量結(jié)果不能滿足要求而造成浪費；如果評價得過小，在實驗中可 能會得出錯誤的結(jié)論，在生產(chǎn)中則產(chǎn)品質(zhì)量不能保證，造成危害。測量結(jié)果是否有用，在很大程度上取決于其不確定度的大小，所以測量

26、結(jié)果必須有不確定 度說明時，才是完整和有意義的。一個完整的測量結(jié)果應(yīng)包括測量對象、測量對象的量值、測量不確定度、測量值的單位（又稱測量的四個要素）。例如電橋法測某一電阻的結(jié)果可表示為：R= （910.3 ±0.4） Q。這里，R代表測量對象（電阻），910.3是被測量值，0.4為測量不確定度，Q是電阻的單位。§3不確定度的初步評定在測量不確定度的使用過程中，根據(jù)表示的方式不同，有三種不同的術(shù)語：標(biāo)準(zhǔn)不確定度：測量結(jié)果的不確定度用標(biāo)準(zhǔn)偏差表示。合成不確定度：測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度是各不確定度分量的合成得到的。擴展不確定度：為了提高置信水平，用包含因子k乘合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度得到的

27、一個區(qū)間來表示的測量不確定度。在1996年由中國計量科學(xué)研究院發(fā)布的測量不確定度表達指南中，對實驗的測量不確 定度有嚴(yán)格而詳盡的論述。但作為大學(xué)物理實驗教學(xué)，限于教學(xué)要求，在對不確定度進行初步 評定時，本教程只介紹標(biāo)準(zhǔn)不確定度和合成不確定度。一、隨機誤差的統(tǒng)計規(guī)律由于隨機誤差的存在，實驗數(shù)據(jù)會圍繞真值有所起伏，對某一次測量，這種起伏是不可預(yù) 測的。若進行多次測量，就會發(fā)現(xiàn)，實驗數(shù)據(jù)常滿足一定的統(tǒng)計分布規(guī)律，可用一定的分布函 數(shù)來描述。物理實驗中遇到的典型分布有正態(tài)分布、均勻分布、三角分布、t分布（可參閱相關(guān)書籍）等。在實驗中如果影響測量結(jié)果的因素很多，很細微，并且相互獨立，則當(dāng)測量次數(shù)無 限時

28、，實驗數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布。二、測量儀器的誤差測量儀器的性能可以用示值誤差和最大允許誤差來表示。測量儀器的 示值誤差，被定義為“測量儀器的示值與對應(yīng)輸入量的真值之差”。同型號的不同儀器，它們的示值誤差一般是不同的。一臺儀器的示值誤差必須通過檢定或校準(zhǔn)才能獲得， 正因為如此，才需要對每一臺儀器進行檢定或校準(zhǔn)。已知某儀器的示值誤差后，就可對其測量結(jié)果進行修正，示值誤差反號就是該儀器的修正值。修正后結(jié)果的不確定度就與修正值本身的不確定度有關(guān)，也就是說，與檢定或校準(zhǔn)所得到 的示值誤差的不確定度有關(guān)。測量儀器的 最大允許誤差（也叫允許誤差限，簡稱允差），被定義為“對給定測量儀器，規(guī) 范、規(guī)程等所允許的誤差極

29、限值。”它是由各種技術(shù)性文件，諸如國際標(biāo)準(zhǔn)、國家標(biāo)準(zhǔn)、檢定規(guī) 程、技術(shù)規(guī)范或儀器說明書等規(guī)定的，可以從儀器說明書中得到。最大允許誤差不是通過檢定 或校準(zhǔn)得到的，而是制造廠對該型號儀器所規(guī)定的示值誤差的允許范圍。顯然，它并不是某臺 儀器實際存在的誤差，因而不能作為修正值使用。物理實驗中，通常將規(guī)定條件下正確使用儀器時，儀器的最大允許誤差限作為儀器的誤差,用Am表示。允許誤差限本身不是測量不確定度，它給出儀器示值誤差的合格區(qū)間，因而可以作為評定 測量不確定度的依據(jù)。當(dāng)直接使用儀器的示值作為測量結(jié)果時，由儀器引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分 量，可以根據(jù)該型號儀器的允許誤差限按 B類評定方法得到。一些器具在實際

30、使用時，很難保證在相同條件下操作、或在規(guī)定的正常條件下測量，儀器 誤差除了允許誤差限外，還應(yīng)包含一些附加誤差分量。三、直接測得量不確定度的評定一般來講，在對隨機誤差的進行處理時，先將多次測量的平均值作為測量結(jié)果的最佳估計 值，然后研究其分布，找出其特征值，歸入A類不確定度，參與對測量結(jié)果的評價；在對系統(tǒng)誤差的進行處理對，在對已定系統(tǒng)誤差設(shè)法消除或修正后，估計未定系統(tǒng)誤差（如儀器誤差） 的限值，歸入B類不確定度，參與對測量結(jié)果的評價。1. 不確定度的A類評定不確定度的A類評定，就是用統(tǒng)計方法計算出多次重復(fù)測量時與隨機誤差有關(guān)的分量。其 基本方法和步驟如下：（1）在相同條件下對物理量 x進行次測量

31、，得到測量數(shù)據(jù)列X2、X3、xi、Xn。(2) 計算測量數(shù)據(jù)列的算術(shù)平均值:特殊情況：如果存在已定系統(tǒng)誤差(1-3)Axo，則要計算測量值的修正值：x = x . : x0。(3)用利貝塞耳(Bessel)公式計算算術(shù)平均值的實驗標(biāo)準(zhǔn)差 得到平均值x0的A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度：s(x)(請參閱相關(guān)書籍)，就Ua(x)=s(x)=n' (Xi -X)2i 1(1-4)2.不確定度的B類評定不確定度的B類評定，不是用統(tǒng)計的方法，而是用經(jīng)驗或資料以及假設(shè)的概率分布估計出 的不確定度與未定系統(tǒng)誤差有關(guān)的分量，用估計的標(biāo)準(zhǔn)偏差表示。獲得B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度的信息來源一般有：以前的觀測數(shù)據(jù)；對有關(guān)技術(shù)資料和

32、測量儀器 的了解和經(jīng)驗；生產(chǎn)部門提供的技術(shù)說明文件；校準(zhǔn)證書、檢定證書或其他文件提供的數(shù)據(jù)、 準(zhǔn)確度的級別，包括目前暫在使用的極限誤差；手冊或某些資料給出的參考數(shù)據(jù)及其不確定度； 規(guī)定實驗方法的國家標(biāo)準(zhǔn)或類似技術(shù)文件中給出的重復(fù)性限或復(fù)現(xiàn)性等。信息的來源不同，平 定的方法也不同。在本教程中，對 B類不確定度，我們主要討論儀器不準(zhǔn)確對應(yīng)的不確定度。由于儀器誤差 是儀器的最大允許誤差限 Am ,表示誤差落在去間-Am, Am 內(nèi)概率為100 %,這樣以來，B類 標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：Ub(X)_ -，;m(x)_ k(1-5)式中的厶m(X)就是置信區(qū)間的半寬度，而因子 k由可能的誤差概率分布決定：按正

33、態(tài)分布、均 勻分布和三角分布，分別取 3、 .3和.6。在大學(xué)物理實驗中，被測量既受隨機影響又受系統(tǒng) 影響，而對影響量缺乏任何其他信息的情況下，一般假設(shè)為均勻分布，即取k = .3。在相同置信概率下，把不確定度的A、B兩類分量用“方和根”方法合成，便得到 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度(也叫做總標(biāo)準(zhǔn)不確定度)，即Uc(x) vuA(x) uB(x)(1-6)直接測量量的最終測量結(jié)果可以表示為X=x 二 Uc(x)(1-7)這個結(jié)果表明置信區(qū)間為x _uc(x) , X - uc(x) , Uc(x)為置信區(qū)間的半寬度，如果是正態(tài)分 布，則置信概率為 P=68.3 %。四、間接測得量不確定度的合成(或傳遞)設(shè)

34、N為間接測量量，它是相互獨立的3個直接測得量x、y、Z的函數(shù)，即(1-8)N = f ( x,y,z)顯然，間接測量的近似真實值和合成不確定度必須由直接測量結(jié)果通過函數(shù)式計算出來。既然直接測量有誤差，那么間接測量也必有誤差，這就是誤差的傳遞(或合成)。由直接測量值及其不確定度來計算間接測量值不確定度的關(guān)系式稱為誤差的傳遞公式。設(shè)各直接觀測量的測量結(jié)果分別為X 二x_Uc(x) , y 二 y_Uc(y), z 二Z _%(z)1. 如果將各個直接測量量的近似真實值x、y、z代入函數(shù)表達式(1-8)中，即可得到間接測量的近似真實值。(1-9)相似于高等數(shù)學(xué)中的微小增量,N = f ( x, y,

35、 z)2. 求間接測量的合成不確定度。由于不確定度均為微小量, 對函數(shù)式N= f (x , y , z )求全微分，即得dN ' dx ' dy dzexdycz式中dN、dx、dy、dz均為微小量，代表各變量的微小變化，dN的變化由各自變量的變化決定，ff、蘭為函數(shù)對自變量的偏導(dǎo)數(shù)。將上面全微分式中的微分符號d改寫為不確定度excycz符號u ,并將微分式中的各項求 “方和根”，即為間接測量的合成不確定度2 1U.:f.:z_+2 11 J.17O1-13.當(dāng)間接測量的函數(shù)表達式為積和商(或含和差的積商形式)的形式時，為了使運算簡便 起見，可以先將函數(shù)式兩邊同時取自然對數(shù)，然

36、后再求全微分，即dNNdn fdxIn f:ydyfin f.:zdz同樣改寫微分符號為不確定度符號，再求其“方和根”，便得到間接測量的相對不確定度，即1711-12 11_/.VCln&pr+2 i1nn- rTL-X-N/.Vrc如果Ucr(N)、N已知，則由(1-11)式可以求出合成不確定度Uc(N)二N Ucr(N)( 1-12)在計算間接測量的不確定度時，對函數(shù)表達式僅為和差形式，可以直接利用(1-10)式，先求出間接測量的合成不確定度 Uc(N)，再利用(1-11)求出相對不確定度 ucr(N);如果函數(shù) 表達式為積和商(或積商和差混合)等較為復(fù)雜的形式，可直接采用(1-1

37、1 )式，先求出相對不確定度ucr(N)，再求出合成不確定度 uc(N)。下表列出一些常用函數(shù)的不確定度傳遞公式。函數(shù)表達式不確定度傳遞(合成)公式N = ax + byUc(N)-Ja Uc(x)+b Uc(y)N = ax byN =xyUcr(N)jWUc(y)2 I xyN =xjyN =x y zu (N) 匚 ®(X)丫 (y) 丫 ； Uc(Z) Ucr(N)飛m x jr y P z J4.最后，將對間接測得量 N的測量結(jié)果寫成如下標(biāo)準(zhǔn)形式：N 二N _ uc(N)需要指出的是，在進行測量不確定度評定時，往往不可能將所有不確定度來源所導(dǎo)致的不 確定度分量都考慮在內(nèi)，這

38、樣會使評定復(fù)雜化。所以不確定度來源的分析尤為重要，每一個有 影響的因素應(yīng)不重復(fù)同時也不能遺漏。重復(fù)將導(dǎo)致不確定度過大，遺漏將導(dǎo)致不確定度過小， 應(yīng)抓住對結(jié)果影響的不確定度來源。有些不確定度分量的數(shù)值很小時，相對而言可以略去不計。在計算合成不確定度(1-10)式中求“方和根”時，如果某一平方值小于其它平方值的1/9,則這一項就可以略去不計。這一結(jié)論叫做微小誤差準(zhǔn)則。在進行數(shù)據(jù)處理時，利用微小誤差準(zhǔn)則可減少不必要的計算。五、測量結(jié)果的表述規(guī)范1.總不確定度數(shù)值截尾時，采取“只入不舍”的方法，以保證其置信概率不降低。例：計算得到的總不確定度為uc(x) = 0.4212 m，截取后面的三位，便得到u

39、cr(x) = 0.5m。2. 如果測量結(jié)果是最終結(jié)果，其不確定度可用一位或二位數(shù)字表示。本課程約定，當(dāng)不確定度的第一位數(shù)字為 1或2時取二位，第一位數(shù)字> 3時取一位。例：某測量數(shù)據(jù)計算的不確定度為Uc(xi) = 0.01383 m，則取(xi) = 0.014 m ;另一個測量數(shù)據(jù)計算的不確定度為Uc(x2) = 0.03332 m，則取Uc(x2)= 0.04 m。如果是作為間接測量的中間結(jié)果，其不確定度位數(shù)可比正常截斷多取一位以免造成截尾誤 差的累積。本教程約定，測量結(jié)果的相對不確定度一律用二位數(shù)的百分數(shù)表示。例：某測量數(shù)據(jù)計算的相對不確定度為Ucr(x)= 1.27549 %

40、m ,則取u“(x) = 1.3%m。3. 測量結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)由不確定度來確定。測量結(jié)果的最后一位應(yīng)與不確定度的最后一位對齊，即不確定度決定測量結(jié)果的有效位數(shù)。數(shù)據(jù)截斷時其尾數(shù)按本教程采用的“4舍6入5湊偶”的方法處理。測量結(jié)果與不確定度的數(shù)量級、單位要相同。例：某測量數(shù)據(jù)計算的平均值為x =1.83549 m，其不確定度計算得 Uc(x) = 0.04347 m，則測量結(jié)果可表示為 x= (1.84 ± 0.05) m。4. 在測量結(jié)果后一般要求用括號注明置信概率的近似值。本教程中，為方便起見，在表示 測量結(jié)果時，置信概率不要求注明。六、數(shù)據(jù)處理舉例例1：用千分尺測量小鋼球的直

41、徑，八次的測量值分別為 d ( mm) = 2.125 , 2.131 , 2.121 ,2.127 , 2.124 , 2.126 , 2.123 , 2.129，千分尺的零點讀數(shù) d°為+ 0.008 mm，最小分度數(shù)值為 0.01mm，試寫出測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)式。解：(1)求直徑d的算術(shù)平均值：1 8 1ddi 2.1252.1312.1212.1272.1242.1262.1232.129n打i 8=2.126 mm(2)修正千分尺的零點誤差:d =d -do =(2.126 -0.008) =2.118 mm(3) 計算A類不確定度:"I)2.125 -2.126)2 +(2.131 -