第6講高效演練分層突破

1、基礎題組練1 .設厶ABC的內角 A, B, C的對邊分別為 a, b, c若a = 2, c= 2 3, cos A=¥且b<c,則 b=()C. 2解析：選 C.由余弦定理 b2+ c2- 2bccos A= a2,得 b2-6b + 8= 0,解得 b= 2 或 b= 4,因為b<c= 2 3,所以b = 2.選C.2.AABC的內角A, B, C所對的邊分別為 a, b, c,已知b = .7, c= 4, cos A=子,則厶ABC的面積等于（）A. 3,73,7B. 2C. 9解析：選 B .因為 cos A7,貝U sin A = 3,所以 Sbc =1 x

2、 bcsin A =色,故選 B .3.在 ABC中，已知C= n b= 4,A ABC的面積為2肅，貝V c=（）A. 2 ,7C. 2 2解析：選 D .由 S= |absin C = 2ax# = 2 .3,解得a= 2,由余弦定理得c2= a2+ b2-2abcos C = 12,故 c= 2 , 3.4. （2020湖南省湘東六校聯(lián)考）在厶ABC中，=ac,且sin C = 2sin B,則其最小內角的余弦值為.2AI"A, B,C的對邊分別為a, b, c,其中b2C. ¥解析：選C.由sin C = 2sin B及正弦定理， 得 c = . 2b.又 b2=

3、ac,所以 b= 2a,所以c = 2a ,所以A為 ABC的最小內角.由余弦定理，知cos A =b2 + c2- a22bc(2a) 2+( 2a)2 2a2a故選C.5. （多選）（2021預測）下列命題中，正確的是（）A .在 ABC 中，若 A>B，貝U sin A>sin BB.在銳角三角形 ABC中，不等式sin A>cos B恒成立。在厶ABC中，若acos A= bcosABC必是等腰直角三角形D.在 ABC中，若B= 60°, b2= ac,UA ABC必是等邊三角形解析：選ABD .對于A ,在厶ABC中，由正弦定理可得 一J =匚,所以sin

4、 A>sin B sin A sin Bnn n n? a>b? A>B,故A正確；對于B,在銳角三角形 ABC中，A ,B 0,-，且A + B/，則n>A>nnB>0,所以 sin A>sin 2 B = cos B,故 B 正確；對于 C,在 ABC 中，由 acos A = bcos B,n利用正弦定理可得 sin 2A= sin 2B，得到2A= 2B或2A= n 2B,故A= B或A= B，即 ABC是等腰三角形或直角三角形，故C錯誤；對于D ,在厶ABC中，若B= 60°, b2= ac,由余弦定理可得，b2= a2+ c2 2

5、accos B,所以 ac= a2 + c2 ac,即（a c）2= 0,解得 a= c.又 B =60°,所以 ABC必是等邊三角形，故D正確.故選 ABD .b276. 在 ABC 中，內角 A, B, C 的對邊分別為 a, b, c,且 acos B c-= 0, a2= bc,r r bb>c,則-=.c解析：由acos B c 2 = 0及正弦定理可得sin AcosB sin C sin B2=0.因為 sin C = si n(A + B) = sin Acos B + cos As in B,所以一sin B2ar-7cos A sin B = 0,所以 co

6、s A=",即 A =于由余弦定理得 a2= ?bc= b2 + c2 + bc,即 2b2 5bc+ 2c2 = 0,又 b>c,所以b= 2. c答案：27. (2020 河南期末改編)在厶 ABC 中，B=扌,AC = .3 ,且 cos2C cos2A sin2B = . 2sinBsin C,貝U C =, BC =.解析：由 cos2C cos2A sin2B= 2sin Bsin C ,可得 1 sin2C (1 sin2A) sin2B= .2sin Bsin C,即 sin2A sin2C sin2B= , 2sin BsinC.結合正弦定理得 BC2 AB2

7、 AC2=J2ACAB,所以 cos A=，A=n 則 C =冗答案：5n 28. (2020蘭州模擬)已知在 ABC中，角A, B, C的對邊分別為 a, b, c,且asin B + bcos A= 0.(1)求角A的大?。蝗鬭 = 2 5, b = 2,求邊c的長.解：(1)因為 asin B+ bcos A= 0,所以 sin Asin B+ sin Bcos A = 0,即 sin B(sin A + cos A) = 0,由于B為三角形的內角，所以 sin A + cos A = 0,所以一2si nA + n = 0,而A為三角形的內角(2)在厶 ABC 中，a2= c2 + b

8、2 2cbcos A,即 20= c2 + 4 4c 學,解得 c= 4.2(舍去)或 c= 2 ,2.9. (2020福建五校第二次聯(lián)考)在厶ABC中，角A, B, C的對邊分別是 a , b , c,且.3 acos C= (2b . 3c)cos A.(1)求角A的大小；若a = 2，求 ABC面積的最大值.解：(1)由正弦定理可得，3sin Acos C = 2sin Bcos A 3sin Ccos A,從而 3s in (A + C) = 2sin Bcos A,即.3sin B= 2sin Bcos A.又B為三角形的內角，所以sin B丸，于是cos A =寧,又a為三角形的內

9、角，所以a= n由余弦定理 a2= b2+ c2- 2bccos A,得 4 = b2 + c2-2bc23>2bc- 3bc,所以bcw 4(2 + ,3),所以1Sbc= gbcsin A< 2 + _ 3,故厶 ABC 面積的最大值為 2+ _ 3.綜合題組練1. （2020長春市質量監(jiān)測（一）在厶ABC中，內角 A, B, C的對邊分別為 a, b, c,若1b= acos C+尹，則角A等于（A. 60°B . 120°C. 45°D. 135°1 1解析：選A .法一：由b = acos C + ?c及正弦定理，可得sin B=

10、sin Acos C+?sin C,即1 1sin (A + C)= sin Acos C+ si n C,即 sin Acos C+ cos As in C = sin Acos C + si n C,所以 cos Asin1 1C= sin C,又在 ABC 中，sin C工0,所以 cos A = ,所以 A= 60°,故選 A .,1b2 + a2- c2 1法二：由 b = acos C+ c 及余弦定理，可得 b = a 藥+ Qc,即 2b2= b2+ a2- c2 +b2 + c2- a2be,整理得b2+ c2- a2= bc,于是cos A =不廠1,所以A =

11、60 °故選A .2. (2020福建漳州二模) ABC的內角A, B, =bcos C + ccos B, b + c= 3,貝U a 的最小值為(C的對邊分別為 a, b, c,已知3acos AC. 2解析：選 B .在 ABC 中，因為 3acos A = bcos C + ccos B,所以 3sin Acos A = sin Bcos C+ sin Ccos B= sin(B+ C) = sin A,1即 3sin Acos A= sin A,又 A (0, n,所以 sin A0,所以 cos A = 3.因為b + c= 3,所以兩邊平方可得 b2 + c2+ 2bc

12、 = 9,由b2+ c2>2bc,可得9>2bc+ 2bc =4bc,解得bew 9,當且僅當b = c時等號成立，所以由a2 = b2 + c2 2bccos A,可得a2= b2 + c2- |bc= (b+ c)2- 8bc> 9 4 3,當且僅當b - c時等號成立，所以a的最小值為 3. 故選B .3. （2020湖北恩施2月質檢）在銳角 ABC中，角A, B, C所對的邊分別為a, b, c,若 cos B= 3, b = 4, Sabc = 4寸2,則厶 ABC 的周長為 .3解析：由cos B = 3，得sin B = ¥,由三角形面積公式可得 2a

13、csin B=址# = 4 2,1則 ac= 12，由 b2= a2+ c2 2accos B,可得 16= a2 + c2 2X 12X?貝U a2+ c2= 24，聯(lián)立可得a = c= 2 .3,所以 ABC的周長為4.3+ 4.答案：4.3 + 4asin A + bsin B csin C 2 34在 ABC 中，角 A, B, C 的對邊分別是 a, b, c,sin Bsin C=a, a=2西若b 1 , 3,則c的最小值為解析：as in A + bs in B csi n C 2 3a2+ b2 c23由sin Bsin C= Ta，得 2ab = 3 sina2+ b2 c

14、2C.由余弦定理可知 cos C=藥,即3cos C = 3sin C,所以tan C = 3,故cos C1=2 所以 c2= b2 2 3b+ 12= (b . 3)2+ 9,因為 b 1 , 3,所以當 b= 3時，c 取最小值3.答案：355.(綜合型)在厶ABC中，角A, B, C所對的邊分別為 a, b, c , ?c a cos B = bcos A.(1)求cos B的值；若a = 2, cos C=乂求厶ABC外接圓的半徑 R.5解：(1)因為 3c a cos B = bcos A ,5所以結合正弦定理，得§sin C sin A cos B = sin Bcos

15、 A ,所以 |sin Ccos B= si n(A + B) = sin3c.又因為sin C丸，所以cos B=3.(2)由(1)知，sin B =cos2B = 5.5因為 cos C= W?,所以sin C =VT73X 40 8077 + 517 = 85所以cos A=b2 + c2-a22bc(2 ,'7) 2 + 22- 622X 2X 2.714.4所以 sin A = sin(B+ C)= sin Bcos C+ cos Bsin C= 5X1 a 1所以R=2s=齊856. (2020重慶市學業(yè)質量調研) ABC的內角A, B, C所對的邊分別為a, b, c,已知 ABC 的面積為 accos B，且 sin A= 3sin C.(1)求角B的大小;若c= 2, AC的中點為D，求BD的長.解：(1)因