土的彈塑性模型

1、土的彈塑性模型近年來，根據(jù)彈塑性理論建立的土的彈塑性模型發(fā)展很快，各國學者提出的彈塑性本構(gòu)模型很多。下面幾節(jié)分別介紹劍橋模型，修正劍橋模型，Lade-Duncan模型，以及清華模型的基本概念。 一劍橋模型英國劍橋大學Roscoc 和他的同事（1958 1963 ）在正常固結(jié)粘土和超固結(jié)粘土試樣的排水和不排水三軸試驗的基礎上，發(fā)展了Rendulic （1937）提出的飽和粘土有效應力和孔隙比成唯一關系的概念，提出完全狀態(tài)邊界面的思想。他們假定土體是加工硬化材料，服從相關聯(lián)流動規(guī)則，根據(jù)能量方程，建立劍橋模型。劍橋模型從理論上闡明了土體彈塑性的變形特性，標志著土的本構(gòu)理論發(fā)展新階段的開始。1.臨界

2、狀態(tài)線和Roscoe面各向等壓固結(jié)過程中，孔隙比或比容與有效應力的關系可用下式表示： （1）式中 當時的比容。因此 （2）（a）平面（b）平面圖1 臨界狀態(tài)線 正常固結(jié)粘土排水和不排水三軸試驗表明：它們有條共同的破壞軌跡，與排水條件無關。破壞軌跡在平面上是一條過原點的直線，在平面上也是直線，目與正常固結(jié)線平行，分別如圖（a）和（b 所示。破壞軌跡線可用下式表示： （3） （4）式中 表示臨界狀態(tài)；平面上臨界狀態(tài)線斜率；時土體的比容； 平面上臨界狀態(tài)線斜率。 一旦土體的應力路徑到達這條線，土體就會發(fā)生塑性流動。這時土體被認為處于臨界狀態(tài)，破壞軌跡被稱為臨界狀態(tài)線。臨界狀態(tài)線在空間為一條空間曲線，

3、如下圖2所示。 圖2 空間中的臨界狀態(tài)線Rendulic（1936）分析了許多三軸試驗的結(jié)果，首先提出飽和粘土有效應力和孔隙比成唯一關系的概念。Henkel（1960）把飽和粘土的固結(jié)排水三軸試驗得到的等含水量線同固結(jié)不排水三軸試驗得到的應力路徑（也是等含水量線）畫在起，發(fā)現(xiàn)其形狀是一致的，如圖4所示。等含水量線也就是等比容線。這樣的圖稱為Rendulic圖。 由Rendulic 有效應力和孔隙比關系可知，飽和粘土的有效應力與孔隙比之間存在唯一關系。也就是說，對于所有的正常固結(jié)排水和不排水三軸試驗來說，應力和比容之間有唯一的關系，與排水條件無關。因此由CID 試驗應力路徑族形成的曲面和由CIU

4、試驗應力路徑族形成的曲面應是同一個曲面。換句話說，所有正常固結(jié)三軸試驗的應力路徑都在這個面上。這個曲面，稱為Roscoe面。圖4 CID試驗和CIU試驗等含水量線對任一孔隙比e定義一個等效應力，是各向等壓正常固結(jié)達到給定孔隙比時的固結(jié)壓力。因此，對于任一比容值： （5） 在平面上，Roscoe曲面被歸一為一條曲線。圖5 Roscoe面2 Hvorslev 面在歸一化坐標平面上，可以直接比較超固結(jié)土樣排水和不排水三軸試驗的破壞點。圖6 引自Parry (1960）用Weald 粘土重塑制成的超固結(jié)土樣進行排水和不排水三軸試驗的結(jié)果。破壞點軌跡接近成一條直線。在圖6-12 中，把破壞點軌跡簡化成一

5、條直線AB 。OA 相當于受拉應力破壞，斜率為3 。直線AB 限制在直線OA 的右邊，臨界狀態(tài)線（點B）的左邊。當然，如果土體能承受拉應力，相應的張拉破壞線在OA 線的左邊。圖6超固結(jié)土樣排水和不排水三軸試驗破壞狀態(tài)通常把圖6-12 中破壞點軌跡稱為Hvorslev 面。在歸一化坐標平面上，Hvorslev 面的方程為： （6.3.6）式中 縱坐標上截矩；直線斜率。圖7 Hvorslev面圖8 不同超固結(jié)比土樣的CIU 試驗簡化應力路徑 Parry ( l958）指出，超固結(jié)土樣的應力路徑，在達到破壞點后應變增大時趨向臨界狀態(tài)。超固結(jié)比值（）不同的上樣，不排水三軸試驗的歸一化應力路徑可簡化為如

6、圖8所示。各種超固結(jié)比值土樣的應力路徑都趨向臨界狀態(tài)線，與初始的狀態(tài)無關達到臨界狀態(tài)需要有大的應變，這樣程度的應變在三軸儀中是不能產(chǎn)生的。對超固結(jié)土樣破壞后趨向臨界狀態(tài)，至今尚未有令人信服的證據(jù)。6.3.3完全的狀態(tài)邊界面在空間中，正常固結(jié)和超固結(jié)土樣的應力路徑不能超過Roscoe面和Hvorslev面，處在這兩個面包圍的空間中。正常固結(jié)土應力路徑都在Roscoe面上，超固結(jié)狀態(tài)用位于該面下面的傲表示，在該面以上是不可能有點來表示應力狀態(tài)的。Roscoe面成為個邊界，在該而的面土或以下是可能的狀態(tài)，在該面以上是不可能的狀態(tài)，Roscoe面稱為狀態(tài)邊界面。超固結(jié)土樣的應力路徑在土樣破壞時到達Hv

7、orslev面，在土樣破壞后應變增大時趨向臨界狀態(tài)。Hvorslev面也是一個邊界，在該面的面上或以下是可能的狀態(tài)，在該面以上是不可能的狀態(tài)，Hvorslev面也稱為狀態(tài)邊界面。因為通常假設土不能承受有效拉應力，狀態(tài)邊界面限于不能小于零的情況。當?shù)扔诹銜r，所以， 。因此，狀態(tài)邊界面受到對軸傾斜坡度為3 比1 的平面所限制。這樣由Roscoe 面、Hvorslev 面和對軸傾斜坡度為3 比1 的平面就構(gòu)成了一個完全的狀態(tài)邊界面。在三個面包圍的空間中的狀態(tài)是可能的狀態(tài)，在三個面以外空間中的狀態(tài)是不可能的狀態(tài)。在空間中的完全的狀態(tài)邊界面如圖6-14 所示。在歸一化坐標平面上的完全的狀態(tài)邊界面如圖6-

8、15 所示。圖6-14 空間中的完全的狀態(tài)邊界面圖6-15 平面上完全的狀態(tài)邊界面 Hvorslev 狀態(tài)邊界面的方程前面已經(jīng)得到，如式6.3.6 所示。以下兩節(jié)討論Roscoe 狀態(tài)邊界面的方程6 . 3 . 4 能量方程 土體在外力作用下，發(fā)生體積應變增量和剪切應變增量。體積應變和剪切應變分別由彈性變形和塑性變形兩部分組成，其表達式為： （6.3.8） 相應外力做功記為： （6.3.9）其中一部分為可恢復的彈性能，一部分為不可恢復的耗散功（或塑性功），即 （6.3.10） 彈性能和耗散功分別記為： （6.3.11） （6.3.12）在劍橋模型中，假定彈性體積應變可以由各向等壓固結(jié)試驗中的回

9、彈曲線求得，即 （6.3.13） 它還假定剪切變形中的彈性部分等于零，亦就是說，假定一切剪應變都是不可恢復的，于是式6.3.8可改寫為： （6.3.14） 結(jié)合式6.3.11和式6.3.13，并考慮到 ，得 （6.3.15）圖6-16 表示土樣在單剪時的變形情況。土樣高為 ，水平截面積為。剪切變形后，水平位移為，豎向位移為，如圖6-16 中所示。在剪切變形過程中，正應力和剪應力所做的功等于。假設由于摩擦所產(chǎn)生的能量消耗與摩擦系數(shù)，法向力和水平向位移成正比。同時假設正應力和剪應力所做的功等于摩擦產(chǎn)生的能量消散，于是下式成立 （6.3.16）式6.3.16也可改寫為 （6.3.17）圖6-16 單

10、剪時上樣的變形式式6.3.17表示值不但與摩擦系數(shù)有關，也與土體的剪脹性有關。為了適用更一般的情況采用等效的符號改寫式6.3.17，得 （6.3.18）式中負號是由于代表膨脹引起。這也是劍橋模型的假設之。將式6.3.18 代人式6.3.12 ，并考慮，得 （6.3.19）結(jié)合式6.3.9，式6.3.10，式6.3.15 和式6.3.19，得到能量方程 （6.3.20）6.3.5 劍橋模型屈服面方程劍橋模型屈服面在空間即為Roscoe 狀態(tài)邊界面。在劍橋模型中，假設土體是加工硬化材料，并服從相關聯(lián)的流動規(guī)則。因此，可以假定其塑性勢面和屈服面是重合的。在圖6-17 中，應力平面和應變平面重合，曲線

11、AB 為屈服軌跡，為屈服時塑性應變增量，為塑性體積應變增量分量，為塑性剪切應變增量分量。 圖6-17 屈服時塑性應變增量根據(jù)正交定律，在屈服軌跡上任何一點Q 處，應滿足下列條件： （6.3.21）式6.3.21 的幾何意義是塑性應變增量與過Q 點的屈服面法線方向重合。由能量方程式6.3.20得 （6.3.22）結(jié)合式6.3.7 、式6.3.13、式6.3.21和式6.3.22 ，得 （6.3.23）將式6.3.23 積分，可得 （6.3.24）式中 積分常數(shù)。如果屈服面軌跡經(jīng)過正常固結(jié)線上一點，則 （6.3.25）或已知屈服面軌跡經(jīng)過臨界狀態(tài)線上點，則 （6.3.26）將式6.3.25或式6.

12、3.26代人式6.3.24，可得屈服軌跡在平面上投影的公式： （6.3.27）或 （6.3.28）圖6-17 屈服時塑性應變增量屈服軌跡沿著正常固結(jié)線或沿著臨界狀態(tài)線移動所形成的曲而就是屈服面，也就是Roscoe狀態(tài)邊界面。在歸一化應力平面上，劍橋模刑的屈服面如圖6-18 所示。圖6-18 劍橋模型的屈服面我們已經(jīng)知道，Roscoe面處在正常固結(jié)線和臨界狀態(tài)線之間。已知屈服面軌跡方程，可結(jié)合正常固結(jié)線或臨界狀態(tài)線得到Roscoe。狀態(tài)邊界面方程。劍橋模型假定在同一屈服軌跡上塑性體積應變常數(shù)，也就是 （6.3.29）即 （6.3.30）體積應變增量等于彈性體積應變增量和塑性體積應變增量之和可表示

13、為： （6.3.31）結(jié)合式6.3.13和式6.3.30，得 （6.3.32）積分式6.3.32，得 （6.3.33）這說明屈服軌跡在平面上的投影，必須落在一根各向等壓固結(jié)回彈曲線上。 設屈服面與臨界狀態(tài)線上一個共同點，它一定落在一根各向等壓固結(jié)回彈曲線上，由式6.3.33，得 （6.3.34）B點在臨界狀態(tài)線上，應滿足 （6.3.35） （6.3.36）給合式6.3.28，式6.3.34 和式6.3.35，可以消去和，得到Roscoe 狀態(tài)邊界面的方程，也就是劍橋模型屈服面的方程。 （6.3.37） 同理，考慮屈服面與正常固結(jié)線上一個共同點，也可得到屈服面方程。A 點也一定落在一根各向等壓固

14、結(jié)回彈曲（線）上，即滿足 （6.3.38）A 點在正常固結(jié)線上，滿足 （6.3.39）結(jié)合式6.3.27，式6.3.38和式6.3.39，可以消去和，得到另一形式的屈服面方程： （6.3.40）式6.3.37和式6.3.40表示同一個屈服面，兩式應相等。幾個反映土的性質(zhì)的參數(shù)應滿足 （6.3.41）圖6-19 劍橋模型在主應力空間，劍橋模型的屈服面形式如圖6-19 所示。屈服面形狀為彈頭形。屈服面象一頂帽子，人們稱這類模型為帽子模型( Cap model ）。6 . 4 修正劍橋模型Roscoe 和Burland (1965）對他們自己提出的劍橋模型作了兩點重要的修正。一是對劍橋模型的彈頭形屈

15、服面形狀作了修正，認為屈服面在平面上應為橢圓。修正后的模型通常稱為修正劍橋模型。二是修正了劍橋模型認為在狀態(tài)邊界面內(nèi)土體變形是完全彈性的觀點，認為在狀態(tài)邊界面內(nèi)，當剪應力增加時，雖不產(chǎn)生塑性體積變形，但產(chǎn)生塑性剪切變形。這可認為是對修正劍橋模型的再次修正。 Burland (1965）研究了劍橋模型屈服面與臨界狀態(tài)線交點A 點和與正常固結(jié)線交點B 點的變形情況（圖6-20）。在A 點，上體處于塑性流動狀態(tài)，上體體積不變，而。代人下述塑性功增量方程， （6.4.1） 可得 （6.4.2）圖6-20修正劍橋模型的屈服面 在B 點，。代人式6.4.1，得 （6.4.3）滿足式6.4.2和式6.4.3

16、的一般表達式如下 （6.4.4） 結(jié)合式6.4.1和式6.4.4，得 （6.4.5）由流動規(guī)則，上式可改寫為： （6.4.6）積分上式，根據(jù)邊界條件，可得 （6.4.7）上式可改寫為 （6.4.8） 上式在平面為橢圓方程，橢圓中心為（圖6-20 ）。與實測結(jié)果比較，由劍橋模型計算得到的應變值，一般偏大，由修正劍橋模型得到的計算應變值，一般偏小，但總的情況，修正劍橋模型比劍橋模型好一些。 劍橋模型認為在狀態(tài)邊界面內(nèi)，土體變形是完全彈性的。Roscoe 和Burland ( 1968 ）對他們自己提出的觀點作了修正。他們認為在狀態(tài)邊界面內(nèi)時，當剪應力增加時，不產(chǎn)生塑陛體積變形，但產(chǎn)生塑性剪切變形。

17、在狀態(tài)邊界面內(nèi)存在個新的屈服面，在平面上如圖6-21 中所示。整體屈服面由修正劍橋模型屈服面和新屈服面組成。 為屈服面 過點的切線。屈服面和屈服面，在平面上把應力區(qū)分成四個部分。由和包圍的區(qū)域為彈性區(qū)，應力點在該區(qū)土體只發(fā)生彈性變形。由和包圍形成的區(qū)域，土體屈服時，塑性應變計算同修正劍橋模型。由和切線圍成的區(qū)域其塑性剪切變形增量為。由切線和圍成的區(qū)域中塑性變形為三部分之和，塑性剪切變形增量，和塑性體積變形增量。在屈服面內(nèi)，當剪應力增加，應力狀態(tài)接觸到新屈服面時，如圖中應力路徑，在加載條件下，土體的塑性剪切變形可表示為： （6.4.9）式中，下標表示塑性體積變形不變。通過試驗測定的關系，由式6.

18、4.19可以得到塑性剪切應變值。圖6-21 狀態(tài)邊界面內(nèi)的新屈服面6 . 6 Lade-Duncan模型Lade-Duncan （1975）模型把土體視為加工硬化材料，采用Lade屈服準則，并認為材料服從不相關聯(lián)流動準則，硬化規(guī)律采用塑性功硬化規(guī)律。該模型在應力空間中屈服面形狀是開口曲邊棱錐面。后來，Lade（1977 , 1979）對1975 年提出的模型進行修正和完善，在開口曲邊棱錐面上加了個球形屈服面，成了又一種帽子模型。這里只限于介紹Lade-Duncan ( 1975）模型的基本概念，對Lade (1977，1979）提出的修正模型這里不作介紹。 Lade (1972）根據(jù)對砂上的真

19、三軸試驗，提出Lade 屈服條件，其表達式為： （6.6.1）式中 分別為應力張量第一不變量和第三不變量；材料參數(shù)，是應力水平的函數(shù)，當土體破壞時，是材料常數(shù)。Lade屈服準則在主應力空間和平面上的屈服面形狀分別如圖6-24（b）和（a）所示。隨著塑性變形的發(fā)展，土體中應力的增大，屈服而擴大。該模型中破壞面是極限狀態(tài)的屈服面。 Lade-Duncan (1975）模型認為材料服從不相關聯(lián)流動準則。因此，尚需確定塑性勢函數(shù)。該模型認為塑性勢函數(shù)同屈服函數(shù)具有相同的形式，其表達式為 （6.6.2） 式中 塑勝勢函數(shù)參數(shù)，可由試驗確定。 （a）平面 （b）主應力空間圖6-24 Lade-Duncan 模型屈服面在三軸試驗中，根鋸流動規(guī)則，可得到 （6.6.3） （6.6.4）定義塑勝泊松比為： （6.6.5）將式6.6.3 和式6.6.4代人式6.6.5，解出，得 （6.6.6） 由上式可看出值是隨著加載過程變化的。在計算值后，可根據(jù)式6.6.1 計算相應的值。試驗資料表明，塑勝