初三相似三角形難題

1、初三相似三角形難題一、相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題1.如圖，在RtABC中，ACB=90，AC=3，BC=4，過點(diǎn)B作射線BB1AC動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C沿射線AC方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)過點(diǎn)D作DHAB于H，過點(diǎn)E作EFAC交射線BB1于F，G是EF中點(diǎn)，連接DG設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（1）當(dāng)t為何值時(shí)，AD=AB，并求出此時(shí)DE的長(zhǎng)度； （2）當(dāng)DEG與ACB相似時(shí)，求t的值2.如圖，在ABC中，ABC90，AB=6m，BC=8m，動(dòng)點(diǎn)P以2m/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q以1m/s的速度從C點(diǎn)出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)當(dāng)其中

2、有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，它們都停止移動(dòng)設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒（1）當(dāng)t=2.5s時(shí)，求CPQ的面積； 求CPQ的面積S（平方米）關(guān)于時(shí)間t（秒）的函數(shù)解析式；（2）在P，Q移動(dòng)的過程中，當(dāng)CPQ為等腰三角形時(shí)，求出t的值3.如圖1，在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，點(diǎn)D在邊AB上運(yùn)動(dòng)，DE平分CDB交邊BC于點(diǎn)E，EMBD，垂足為M，ENCD，垂足為N （1）當(dāng)ADCD時(shí)，求證：DEAC； （2）探究：AD為何值時(shí)，BME與CNE相似？4.如圖所示，在ABC中，BABC20cm，AC30cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以每秒3cm的速度向A

3、點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，Q點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x （1）當(dāng)x為何值時(shí)，PQBC？（2）APQ與CQB能否相似？若能，求出AP的長(zhǎng)；若不能說明理由5.如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)P沿AB邊從A開始向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng)如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（s）表示移動(dòng)的時(shí)間（0t6）。 （1）當(dāng)t為何值時(shí)，QAP為等腰直角三角形？ （2）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似？二、構(gòu)造相似輔助線雙垂直模型6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，1)，正比例函數(shù)y=kx的圖象與線段OA的夾角

4、是45，求這個(gè)正比例函數(shù)的表達(dá)式7.在ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB為邊在C點(diǎn)的異側(cè)作ABD，使ABD為等腰直角三角形，求線段CD的長(zhǎng)8.在ABC中，AC=BC，ACB=90，點(diǎn)M是AC上的一點(diǎn)，點(diǎn)N是BC上的一點(diǎn)，沿著直線MN折疊，使得點(diǎn)C恰好落在邊AB上的P點(diǎn)求證：MC：NC=AP：PB9.如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3），將矩形沿對(duì)角線AC翻折B點(diǎn)落在D點(diǎn)的位置，且AD交y軸于點(diǎn)E那么D點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A.B.C. D.10.已知，如圖，直線y=2x2與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)以AB為短邊在第一象限做一個(gè)矩形ABCD，使得

5、矩形的兩邊之比為12。 求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)。三、構(gòu)造相似輔助線A、X字型 11.如圖：ABC中，D是AB上一點(diǎn)，AD=AC，BC邊上的中線AE交CD于F。 求證：12.四邊形ABCD中，AC為AB、AD的比例中項(xiàng)，且AC平分DAB。求證：13.在梯形ABCD中，ABCD，ABb，CDa，E為AD邊上的任意一點(diǎn)，EFAB，且EF交BC于點(diǎn)F，某同學(xué)在研究這一問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)如下事實(shí)：(1)當(dāng)時(shí)，EF=；(2)當(dāng)時(shí)，EF=；(3)當(dāng)時(shí)，EF=當(dāng)時(shí)，參照上述研究結(jié)論，請(qǐng)你猜想用a、b和k表示EF的一般結(jié)論，并給出證明14.已知：如圖，在ABC中，M是AC的中點(diǎn)，E、F是BC上的兩點(diǎn)，且BEEFFC。 求

6、BN：NQ：QM15.證明：（1）重心定理：三角形頂點(diǎn)到重心的距離等于該頂點(diǎn)對(duì)邊上中線長(zhǎng)的（注：重心是三角形三條中線的交點(diǎn)）（2）角平分線定理：三角形一個(gè)角的平分線分對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩鄰邊對(duì)應(yīng)成比例四、相似類定值問題 16.如圖，在等邊ABC中，M、N分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，D為MN上任意一點(diǎn)，BD、CD的延長(zhǎng)線分別交AC、AB于點(diǎn)E、F 求證：17.已知：如圖，梯形ABCD中，AB/DC，對(duì)角線AC、BD交于O，過O作EF/AB分別交AD、BC于E、F。求證：18.如圖，在ABC中，已知CD為邊AB上的高，正方形EFGH的四個(gè)頂點(diǎn)分別在ABC上。求證：19.已知，在ABC中作內(nèi)

7、接菱形CDEF，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為a求證：五、相似之共線線段的比例問題 20.（1）如圖1，點(diǎn)在平行四邊形ABCD的對(duì)角線BD上，一直線過點(diǎn)P分別交BA，BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，S，交于點(diǎn)求證：（2）如圖2，圖3，當(dāng)點(diǎn)在平行四邊形ABCD的對(duì)角線或的延長(zhǎng)線上時(shí)，是否仍然成立？若成立，試給出證明；若不成立，試說明理由（要求僅以圖2為例進(jìn)行證明或說明）；21.已知：如圖，ABC中，ABAC，AD是中線，P是AD上一點(diǎn)，過C作CFAB，延長(zhǎng)BP交AC于E，交CF于F求證：BP2PEPF 22.如圖，已知ABC中，AD，BF分別為BC，AC邊上的高，過D作AB的垂線交AB于E，交BF于G，交AC延長(zhǎng)線于H。求

8、證： DE2=EGEH23.已知如圖，P為平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)，過P的直線與AD、BC、CD的延長(zhǎng)線、AB的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn)E、F、G、H.求證：24.已知，如圖，銳角ABC中，ADBC于D，H為垂心（三角形三條高線的交點(diǎn)）；在AD上有一點(diǎn)P，且BPC為直角求證：PD2ADDH 。六、相似之等積式類型綜合25.已知如圖，CD是RtABC斜邊AB上的高，E為BC的中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線交CA于F。 求證：26如圖，在RtABC中，CD是斜邊AB上的高，點(diǎn)M在CD上，DHBM且與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E. 求證：（1）AEDCBM；（2）27.如圖，ABC是直角三角形，ACB=90，CD

9、AB于D，E是AC的中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F. （1）求證：.（2）若G是BC的中點(diǎn)，連接GD，GD與EF垂直嗎？并說明理由.28.如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG,AE與CG相交于點(diǎn)M，CG與AD相交于點(diǎn)N求證：29.如圖，BD、CE分別是ABC的兩邊上的高，過D作DGBC于G，分別交CE及BA的延長(zhǎng)線于F、H。求證：（1）DG2BGCG；（2）BGCGGFGH七、 相似基本模型應(yīng)用 30.ABC和DEF是兩個(gè)等腰直角三角形，A=D=90，DEF的頂點(diǎn)E位于邊BC的中點(diǎn)上（1）如圖1，設(shè)DE與AB交于點(diǎn)M，EF與AC交于點(diǎn)N，求證：BEMCNE；（2）

10、如圖2，將DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，使得DE與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，EF與AC交于點(diǎn)N，于是，除（1）中的一對(duì)相似三角形外，能否再找出一對(duì)相似三角形并證明你的結(jié)論31.如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點(diǎn)R為DE的中點(diǎn)，BR分別交AC、CD于點(diǎn)P、Q （1）請(qǐng)寫出圖中各對(duì)相似三角形（相似比為1除外）； （2）求BP：PQ：QR32.如圖，在ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F。求證：答案：1.答案：解：（1）ACB=90，AC=3，BC=4 AB=5 又AD=AB，AD=5t t=1，此時(shí)CE=3， DE=3+3-5=1（2）如圖當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)E左側(cè)，即：0t時(shí)，DE=3t

11、+3-5t=3-2t 若DEG與ACB相似，有兩種情況：DEGACB，此時(shí)，即：，求得：t=；DEGBCA，此時(shí)，即：，求得：t=；如圖，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)E右側(cè)，即：t時(shí)，DE=5t-(3t+3)=2t-3 若DEG與ACB相似，有兩種情況：DEGACB，此時(shí)，即：，求得：t=；DEGBCA，此時(shí)，即：，求得：t=綜上，t的值為或或或3.答案：解：（1）證明：AD=CDA=ACD DE平分CDB交邊BC于點(diǎn)E CDE=BDE CDB為CDB的一個(gè)外角 CDB=A+ACD=2ACD CDB=CDE+BDE=2CDE ACD=CDE DEAC （2）NCE=MBE EMBD，ENCD， BMECNE，如

12、圖NCE=MBEBD=CD又NCE+ACD=MBE+A=90 ACD=A AD=CDAD=BD=AB在RtABC中，ACB90，AC6，BC8AB=10 AD=5NCE=MEB EMBD，ENCD， BMEENC，如圖NCE=MEBEMCD CDAB 在RtABC中，ACB90，AC6，BC8AB=10A=A，ADC=ACBACDABC綜上：AD=5或時(shí)，BME與CNE相似4.答案：解（1）由題意：AP=4x，CQ=3x，AQ=30-3x，當(dāng)PQBC時(shí)，即：解得：（2）能，AP=cm或AP=20cmAPQCBQ，則，即解得：或（舍）此時(shí)：AP=cmAPQCQB，則，即解得：（符合題意）此時(shí)：A

13、P=cm故AP=cm或20cm時(shí)，APQ與CQB能相似5.答案：解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則DQ=t，AQ=6-t，AP=2t，BP=12-2t（1）若QAP為等腰直角三角形，則AQ=AP，即：6-t=2t，t=2（符合題意） t=2時(shí)，QAP為等腰直角三角形 （2）B=QAP=90當(dāng)QAPABC時(shí)，即：，解得：（符合題意）；當(dāng)PAQABC時(shí)，即：， 解得：（符合題意） 當(dāng)或時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似6.答案：解：分兩種情況第一種情況，圖象經(jīng)過第一、三象限過點(diǎn)A作ABOA，交待求直線于點(diǎn)B，過點(diǎn)A作平行于y軸的直線交x軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作BDAC 則由上可知：90由雙垂直模型知：OC

14、AADBA（2，1），45OC2，AC1，AOAB ADOC2，BDAC1 D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3） B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3） 此時(shí)正比例函數(shù)表達(dá)式為：y3x第二種情況，圖象經(jīng)過第二、四象限過點(diǎn)A作ABOA，交待求直線于點(diǎn)B，過點(diǎn)A作平行于x軸的直線交y軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作BDAC 則由上可知：90由雙垂直模型知：OCAADBA（2，1），45OC1，AC2，AOABADOC1，BDAC2 D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1） B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）此時(shí)正比例函數(shù)表達(dá)式為：yx7.答案：解：情形一：情形二：情形三：8.答案：證明：方法一：連接PC，過點(diǎn)P作PDAC于D，則PD/BC 根據(jù)折疊可知MNCP 2+PCN=90

15、，PCN+CNM=90 2=CNM CDP=NCM=90 PDCMCN MC：CN=PD：DC PD=DA MC：CN=DA：DC PD/BC DA：DC=PA：PB MC：CN=PA：PB方法二：如圖，過M作MDAB于D，過N作NEAB于E由雙垂直模型，可以推知PMDNPE，則，根據(jù)等比性質(zhì)可知，而MD=DA，NE=EB，PM=CM，PN=CN，MC：CN=PA：PB9.答案：A解題思路：如圖過點(diǎn)D作AB的平行線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，則M=DNA=90，由于折疊，可以得到ABCADC， 又由B（1，3）BC=DC=1，AB=AD=MN=3，CDA=B=90 1+2=90 DNA

16、=90 3+2=90 1=3 DMCAND，設(shè)CM=x，則DN=3x，AN=1x，DM3x3x，則。答案為A10.答案：解：過點(diǎn)C作x軸的平行線交y軸于G，過點(diǎn)D作y軸的平行線交x軸于F，交GC的延長(zhǎng)線于E。 直線y=2x2與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn) A（1,0），B（0,2） OA=1，OB=2，AB=AB：BC=1:2 BC=AD=ABO+CBG=90，ABO+BAO=90CBG=BAO 又CGB=BOA=90 OABGBCGB=2，GC=4GO=4C（4,4） 同理可得ADFBAO，得DF=2，AF=4OF=511.答案：證明：（方法一）如圖延長(zhǎng)AE到M使得EM=AE，連接CM BE=CE，

17、AEB=MEC BEACEM CM=AB，1=B ABCM M=MAD，MCF=ADFMCFADFCM=AB，AD=AC（方法二）過D作DGBC交AE于GD（5,2）則ABEADG，CEFDGF，AD=AC，BE=CE12.答案：證明：過點(diǎn)D作DFAB交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則2=3 AC平分DAB1=2 1=3 AD=DFDEF=BEA，2=3 BEADEFAD=DFAC為AB、AD的比例中項(xiàng) 即又1=2 ACDABC13.答案：解：證明：過點(diǎn)E作PQBC分別交BA延長(zhǎng)線和DC于點(diǎn)P和點(diǎn)Q ABCD，PQBC 四邊形PQCB和四邊形EQCF是平行四邊形PBEFCQ，又ABb，CDaAPPB-A

18、BEF-b，DQDC-QCa-EF14.答案：解：連接MFM是AC的中點(diǎn)，EFFCMFAE且MFAEBENBFMBN：BMBE：BFNE：MFBEEFBN：BMNE：MF1:2BN：NM1:1設(shè)NEx，則MF2x，AE4xAN3xMFAENAQMFQNQ：QMAN：MF3:2BN：NM1:1，NQ：QM3:2BN：NQ：QM5:3:215.答案：證明：（1）如圖1，AD、BE為ABC的中線，且AD、BE交于點(diǎn)O 過點(diǎn)C作CFBE，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F CFBE且E為AC中點(diǎn) AEOACF，OBDFCD，AC2AE EAOCAF AEOACFD為BC的中點(diǎn)，ODBFDCBODCFD BOCF同理

19、，可證另外兩條中線三角形頂點(diǎn)到重心的距離等于該頂點(diǎn)對(duì)邊上中線長(zhǎng)的（2）如圖2，AD為ABC的角平分線過點(diǎn)C作AB的平行線CE交AD的延長(zhǎng)線于E則BAD=E AD為ABC的角平分線 BAD=CAD E=CAD ACCE CEAB BADCED 16.答案：證明：如圖，作DPAB，DQAC則四邊形MDPB和四邊形NDQC均為平行四邊形且DPQ是等邊三角形BP+CQMN，DPDQPQ M、N分別是邊AB，AC的中點(diǎn)MNBCPQDPAB，DQAC CDPCFB，BDQBEC，DPDQPQBCABAB（）17.答案：證明：EF/AB，AB/DC EF/DCAOEACD，DOEDBA，18.答案：證明：E

20、FCD，EHAB ，AFEADC，CEHCAB，EFEH 19.答案：證明：EFAC，DEBC ，BFEBCA，AEDABC，EFDEa20.答案：（1）證明：在平行四邊形ABCD中，ADBC， DRP=S，RDB=DBSDRPBSP同理由ABCD可證PTDPQB（2）證明：成立，理由如下： 在平行四邊形ABCD中，ADBC， PRD=S，RDP=DBS DRPBSP同理由ABCD可證PTDPQB21.答案：證明:ABAC，AD是中線， ADBC,BP=CP1=2 又ABC=ACB 3=4 CFAB 3=F,4=F 又EPC=CPF EPCCPFBP2PEPF即證所求22.答案：證明：DEAB

21、 90 90 ADEDBE DE2= BFAC 9090且BEGHEADE2=EGEH23.答案：證明：四邊形ABCD為平行四邊形 ABCD，ADBC1=2，G=H，5=6 PAHPCG又3=4APECPF 24.答案：證明：如圖，連接BH交AC于點(diǎn)E，H為垂心BEAC EBC+BCA=90ADBC于D DAC+BCA=90 EBC=DAC又BDH=ADC=90 BDHADC，即BPC為直角，ADBCPD2BDDCPD2ADDH25.答案：證明：CD是RtABC斜邊AB上的高，E為BC的中點(diǎn) CE=EB=DEB=BDE=FDA B+CAB=90，ACD+CAB=90 B=ACD FDA=ACDF=FFDAFCDADC=CDB=90，B=ACD ACDCBD即26.答案：證明：（1）ACBADC90 AACD90BCMACD90 ABCM 同理可得：MDHMBDCMBCDBMBD90MBD ADEADCMDH90MDH ADECMB AEDCBM（2）由上問可知：，即故只需證明即可AA，ACDA