高考圓錐曲線解析幾何專題分析

1、第二部分 解析幾何中的范圍問題一、“題設(shè)條件中的不等式關(guān)系”之運(yùn)用例1、已知雙曲線中心在原點(diǎn)，右頂點(diǎn)為A（1，0），點(diǎn)P、Q在雙曲線右支上，點(diǎn)M（m，0）到直線AP的距離為1.（1）若直線AP的斜率為k，且 ，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）當(dāng) 時，APQ的內(nèi)心恰好是點(diǎn)M，求此雙曲線方程.解：（1）由已知設(shè)直線AP的方程為yk(x1)，即kxyk0點(diǎn)M到直線AP的距離為1 ，解得 或 所求m的取值范圍為 .（2）根據(jù)已知條件設(shè)雙曲線方程為 當(dāng) 時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（ ）.A(1,0)， ，點(diǎn)M到直線AP的距離為1，APQ的內(nèi)切圓半徑r1，PAM45°， （不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限）直線PQ的方程為

2、 ，直線AP的方程為yx1因此解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）將點(diǎn)P坐標(biāo)代入雙曲線方程 得 所求雙曲線方程為 即 .例2、設(shè)橢圓 的兩個焦點(diǎn)是 ，且橢圓上存在點(diǎn)P使得直線 垂直.（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）設(shè)L是相應(yīng)于焦點(diǎn) 的準(zhǔn)線，直線 與L相交于點(diǎn)Q，若 ，求直線 的方程.解：（1）由題設(shè)知 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為 ，則有 化簡得 將與 聯(lián)立，解得 m>0，且 m1即所求m的取值范圍為 .（2）右準(zhǔn)線L的方程為 設(shè)點(diǎn) （）將 代入得 又由題設(shè)知 由得 ，無解.（）將 代入得 由題設(shè)得 由此解得m2從而有 于是得到直線 的方程為 二、“圓錐曲線的有關(guān)范圍”之運(yùn)用我們在學(xué)習(xí)中已經(jīng)看到，橢圓、雙曲線和拋物線

3、的“范圍”，是它們的第一幾何性質(zhì)。事實(shí)上，我們研究“范圍”，一在于認(rèn)知：認(rèn)知圓錐曲線特性；二在于應(yīng)用：“應(yīng)用”它們來解決有關(guān)問題。例、以 為焦點(diǎn)的橢圓 與x軸交于A，B兩點(diǎn)（1）過 作垂直于長軸的弦MN，求AMB的取值范圍；（2）橢圓上是否存在點(diǎn)P，使APB120°？若存在，求出橢圓離心率e的取值范圍.解：（1）基于橢圓的對稱性，不妨設(shè)定 為右焦點(diǎn)，M在第一象限，則易得 ，設(shè)A(a,0)，B(a,0)，則AMB為直線AM到BM的角，又 利用公式得 此時注意到橢圓離心率的范圍：0<e<1， 由得 由此解得 （2）設(shè)橢圓上存在點(diǎn)P使APB120°基于橢圓的對稱性，不

4、妨設(shè)點(diǎn)P（x，y）在第一象限則有x>0，y>0根據(jù)公式得 整理得 又這里 代入得 此時注意到點(diǎn)P在橢圓上，故得 由得 由得 于是可知，當(dāng) 時，點(diǎn)P存在且此時橢圓離心率的取值范圍為 ；當(dāng) 時，點(diǎn)P不存在.三、“一元二次方程有二不等實(shí)根的充要條件”之運(yùn)用例1、已知橢圓的一個頂點(diǎn)A(0,1)，焦點(diǎn)在x軸上，且右焦點(diǎn)到直線 的距離為3，若斜率不為0的直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)M、N，使M、N關(guān)于過A點(diǎn)的直線對稱，求直線l的斜率取值范圍。解：（既設(shè)又解）設(shè)右焦點(diǎn)F(c,0)，則由 又b1， 橢圓方程為 設(shè)直線l的方程為ykxm 將代入得 由題意 且 點(diǎn)P坐標(biāo)為 又根據(jù)題意知M、N關(guān)于直線AP對

5、稱，故有 于是將代入得 因此可知，所求k的取值范圍為 .例2、已知橢圓C的中心在原點(diǎn)上，焦點(diǎn)在x軸上，一條經(jīng)過點(diǎn) 且方向向量為 的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)M，又 （1）求直線l的方程；（2）求橢圓C的長軸長的取值范圍.解：（1）由題意設(shè)橢圓C的方程為 .直線l的方向向量為 亦為直線l的方向向量直線l的斜率 因此，直線l的方程為 即 （2）設(shè) 將直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，消去x得 由題設(shè) 且 又這里M(1,0)由 得 進(jìn)而由得 由得 代入得 注意到由得 故由得 因而得1<a<3由解出 代入并利用得 另一方面，再注意到 ，再由得 .因此有 即所求橢圓C的長軸的取值范圍為

6、 .四、“點(diǎn)在圓錐曲線內(nèi)部的充要條件”之運(yùn)用例、已知橢圓的焦點(diǎn)為 ，過點(diǎn) 且垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點(diǎn)為B， ，又橢圓上不同兩點(diǎn)A、C滿足條件： 成等差數(shù)列.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)弦AC的垂直平分線方程為ykxm，求m的取值范圍.解：（1）由題設(shè)得2a10，c4a5，b3，c4橢圓方程為 （2）（設(shè)而不解）設(shè) 則由題意得 故有點(diǎn) A、C在橢圓 上 兩式相減得 由及所設(shè)得 弦AC的垂直平分線方程為 由題意得 注意到當(dāng)x4時橢圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ，又點(diǎn) 在橢圓內(nèi)部故得 于是由、得 所求的取值范圍為 五、“圓錐曲線的定義或幾何性質(zhì)中隱蔽的不等關(guān)系”之運(yùn)用例、已知雙曲線 的左、右焦點(diǎn)分別為

7、、 ，若在其左支上存在點(diǎn)P且點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離與 成等比數(shù)列，求離心率e的取值范圍.解：（1）確立不等關(guān)系注意到這里 （2）不等關(guān)系演變之一設(shè)左支上的點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為d，則由題意得 （變形目的：利用第二定義，尋找兩焦半徑與e的聯(lián)系） 又點(diǎn)P在雙曲線左支上 （點(diǎn)P在左支這一條件的應(yīng)用） 由解得 將代入得 （3）不等關(guān)系演變之二：由得 故解得 于是可知，所求離心率e的范圍為 第三部分 直線與圓錐曲線問題的解題策略（1）向弦中點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化例1.已知雙曲線 =1（a>0,b>0）的離心率 ，過點(diǎn)A（0,-b）和B（a,0）的直線與原點(diǎn)間的距離為 （1）求雙曲線方程；（2）若直線（km0）

8、與雙曲線交于不同兩點(diǎn)C、D，且C、D兩點(diǎn)都在以A為圓心的同一個圓上，求m取值范圍。解：（1）所求雙曲線方程為（過程略）（2）由 消去y得： 由題意知，當(dāng) 時， 設(shè) 中點(diǎn) 則C、D均在以A為圓為的同一圓上 又 于是由得 由代入得 ，解得m<0或m>4于是綜合、得所求m的范圍為 （2）向弦長問題轉(zhuǎn)化例2設(shè)F是橢圓 的左焦點(diǎn)，M是C1上任一點(diǎn)，P是線段FM上的點(diǎn)，且滿足 （1）求點(diǎn)P的軌跡C2的方程；（2）過F作直線l與C1交于A、D兩點(diǎn)，與C2交點(diǎn)B、C兩點(diǎn)，四點(diǎn)依A、B、C、D順序排列，求使 成立的直線l 的方程。解：橢圓C1的中心 點(diǎn)P分 所成的比=2。（1）點(diǎn)P的軌跡C2的方程為

9、 （過程略）（2）設(shè)直線l的方程為 代入橢圓C1的方程得 ，故有 故弦AD中點(diǎn)O1坐標(biāo)為 代入橢圓C2的方程得 ，又有 故弦BC中點(diǎn)O2坐標(biāo)為 由、得 注意到 于是將、代入并化簡得： 由此解得 因此，所求直線l的方程為 2化繁為簡例3如圖，自點(diǎn)M（1，-1）引直線l交拋物線 于P1 、P2兩點(diǎn)，在線段P1 、P2上取一點(diǎn)Q，使 、 、 的倒數(shù)依次成等差數(shù)列，求點(diǎn)Q的軌跡方程。解：設(shè) 又設(shè)直線l的方程為 代入 得 由題意得 或 且 又由題意得 作P1、Q、P2在直線y=-1上的投影P1、Q、P2（如圖）又令直線l的傾斜角為 則由 得 同理， 將上述三式代入得 將代入得 將代入得 于是由、消去參數(shù)

10、k得 再注意到式，由得 或 因此，由、得所求點(diǎn)Q的軌跡方程為 （2）避重就輕例4已知 點(diǎn)P、Q在橢圓 上，橢圓中心為O，且 ， 求橢圓中心O到弦PQ的距離。解（避重就輕，解而不設(shè)）：設(shè) 則由 得 （1）當(dāng)點(diǎn)P、Q不在坐標(biāo)軸上時，設(shè)直線OP的方程 則直線OQ的方程為 將代入橢圓方程 易得 將代入橢圓方程 易得 由、得 又在 中作 于H，于是由 及式得 = （2）當(dāng)點(diǎn)P、Q在坐標(biāo)軸上時，同樣可得 ，從而有 。于是由（1）（2）知所求橢圓中心O到弦PQ的距離為 。二、求解交點(diǎn)坐標(biāo)的“度”的把握例1.設(shè)斜率為2的直線與拋物線 相交于A、B兩點(diǎn)，以線段AB為邊作矩形ABCD，使 ，求矩形ABCD的對角線

11、交點(diǎn)M的軌跡方程。解：設(shè) 直線AB的方程為 。由 由題意 由韋達(dá)定理得 再設(shè)AB中點(diǎn)為 ，則有 ， 注意到四邊形ABCD為矩形，故有 ，且 ，由此得 由（4）得 代入（5）得 化簡得 再注意到中 ，由（5）得 因此由、得所求動點(diǎn)M的軌跡方程為 。2、真心實(shí)意，求解到底當(dāng)目標(biāo)的轉(zhuǎn)化結(jié)果不是交點(diǎn)橫標(biāo)（或縱標(biāo)）的對稱式，而是交點(diǎn)坐標(biāo)的個體時，則需要真心實(shí)意地將求解交點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行到底。例2.正方形ABCD的中心為M（3，0），一條頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸正半軸上的拋物線E，一條斜率為 的直線l，若A、B兩點(diǎn)在拋物線E上，而C、D兩點(diǎn)在直線l上，求拋物線E和直線l的方程。解：由題意設(shè)拋物線E的方程為 ，直線

12、l的方程為 。又設(shè)正方形ABCD的（一條）對角線的斜率為k，則由 直線AM、BM的方程分別為 再設(shè) 則由 得 又點(diǎn)A、B在拋物線E上，故有 于是由、解得 。故得A（4，2）、B（1，1）、 因此可知，所求拋物線E的方程為 ； 所求直線l方程為 。三、求解交點(diǎn)坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換與回避1、設(shè)而不解這里所謂的“設(shè)而不解”，是指設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)之后，借助已知方程，運(yùn)用交點(diǎn)坐標(biāo)去表示已知條件或主要目標(biāo)。其中，用所設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)去構(gòu)造有關(guān)直線的斜率最為多見。例1設(shè)橢圓 的上半部有不同三點(diǎn)A、B、C，它們到同一焦點(diǎn)的距離依次成等差數(shù)列，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)與橢圓的半焦距相等，求線段AC的中垂線在y軸上的截距。解：設(shè) ，弦AC中點(diǎn)

13、M(x0,y0)。由已知橢圓方程得 又運(yùn)用橢圓第二定義可得 ， 由題設(shè)條件得 而 此時，注意到點(diǎn)A、C在橢圓 上，故有 -得 代入得 由此得 由、得 ，即AC中點(diǎn) 于是可知弦AC的中垂線方程為 在中令x=0得 由此可知，所求弦AC的中垂線在y軸上的截距為 2、不設(shè)不解1）利用圓錐曲線定義回避交點(diǎn)坐標(biāo)例2已知F1、F2為橢圓的兩個焦點(diǎn)，過F2的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)， ，且 ，求橢圓的離心率。解：注意到這里涉及點(diǎn)P處兩條焦點(diǎn)半徑，故考慮利用橢圓定義1。設(shè)橢圓方程為 。又設(shè) ，則由題意得 根據(jù)橢圓定義得 代入得 ，解得 再由 得 代入得 化簡得 ，由此解得 。（2）借助有關(guān)圖形性質(zhì)回避交點(diǎn)坐標(biāo)例3

14、已知直線l： 與 相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng) 時，求C的方程。提示：圓心C到弦AB的距離（弦心距） 注意到 由圓的弦的性質(zhì)得 ，由此解得a的值。（3）利用有關(guān)問題的深入認(rèn)知回避交點(diǎn)坐標(biāo)例4已知圓M與圓 相交于不同兩點(diǎn)A、B，所得公共弦AB平行于已知直線 ，又圓M經(jīng)過點(diǎn)C（-2，3），D（1，4），求圓M的方程。解（利用對圓的根軸方程的認(rèn)知廻避交點(diǎn)坐標(biāo)）：設(shè)圓M方程為 又已知圓方程為 得上述兩圓公共弦AB所在直線方程 由題設(shè)得 注意到點(diǎn)C、D在圓M上，故有 將、聯(lián)立解得 所求圓M的方程為 四、高考真題1.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過橢圓在焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)， 與

15、共線。（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且 ，證明 為定值。分析：（1）求橢圓離心率，首先要求關(guān)于a，b，c的等式。為此，從設(shè)出橢圓方程與直線AB的方程切入，運(yùn)用對A、B坐標(biāo)“既設(shè)又解”的策略；（2）注意到這里的點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，故考慮對點(diǎn)的坐標(biāo)“設(shè)而不解”。解：（1）設(shè)橢圓方程為 則直線AB方程為 設(shè) 將代入橢圓方程 得 由題意 ，顯然成立由韋達(dá)定理得 又 ， ， 與 共線 即所求橢圓的離心率為 （2）由（1）得 ，橢圓方程化為 設(shè) ，由題設(shè)得 點(diǎn)M在橢圓上 又由（1）知， 而 , 將、代得 ， 即 為定值。2.P、Q、M、N四點(diǎn)都在橢圓 上，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，

16、已知 與 共線， 與 共線，且 ，求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值。 解：這里 ，b=1，c=1，F(xiàn)（0，1），由 得 ，即 直線PQ，MN中至少有一條直線斜率存在。不妨設(shè)PQ的斜率為k，則直線PQ的方程為 又設(shè) 將代入橢圓方程得 且 （1）當(dāng) 時，直線MN的斜率為 ，同理可得 四邊形PMQN的面積 令 ，則 （當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立） 當(dāng) 時， ，S是以 為自變量的增函數(shù) （2）當(dāng) 時，MN為橢圓的長軸， ， ， 于是（1）（2）得 四邊形PMQN的面積的最大值為2，最小值為 3.設(shè)A、B是橢圓 上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn)。（1）

17、確定 的取值范圍，并求直線AB的方程；（2）試判斷是否存在這樣的 ，使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個圓上？并說明理由。解：（1）由題意，設(shè)直線AB方程為 設(shè) 將代入橢圓方程 得 則由題設(shè)知 且 由N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)得 解得 將 代入得 所求 的取值范圍為 ，直線AB的方程為 即 （2）由題設(shè)知，線段CD垂直平分線段AB直線CD的方程為 即 將與橢圓方程聯(lián)立，消去y得 又設(shè) ，CD的中點(diǎn)為 ，則 為方程的根 且 ，即 注意到由（1）可得 由（2）可得 當(dāng) 時， 假設(shè)存在 ，使得A、B、C、D四點(diǎn)共圓，則CD必為圓的直徑，點(diǎn)M為圓心又點(diǎn)M到直線AB的距離 由勾股定理得 故當(dāng) 時，A、B、C、D四點(diǎn)均在以M為圓心，以 為半徑的圓上。4.已知方向向量為 的直線l過點(diǎn) 和橢圓 的焦點(diǎn)，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在過點(diǎn)E（-2，0）的直線m交橢圓C于點(diǎn)M、N，滿足 （0為原點(diǎn)）。若存在，求直線m的方程；若不存在，請說明理由。解：（1）由已