材料非線性有限元法

1、第四章 材料非線性有限元法以上三章分別研究了線性彈性有限元法，材料非線性本構方程和非線性方程 組解法，本章就可以研究材料非線性有限元法了。在材料非線性基本方程中，除第二章所述的本構方程外，與線性彈性一樣， 而非線性有限元法又歸結為一系列線性彈性問題。因此，只要在第一章中改用第二 章的本構方程，就可建立材料非線性有限元法的基本內容。§4-1非線性彈性有限元法第二章提到，非線性彈性本構方程與形變理論彈塑性本構方程在形式上相 同，所以與第二章一樣，這里也按塑性力學形變理論，研究非線性彈性有限元法， 以便把二者統(tǒng)一起來。1.非線性彈性基本方程為了便于以后直接引用，這里列出全量形式的非線性彈性

2、（或形變理論彈塑性）基本方程，并用矩陣表示。幾何方程：(1.14)本構方程：二D-IMa(2.13):l平衡方程:（在(1.20)邊界條件:(在A(1.22)(在A(1.23)虛功方程:(1.28)位能變分方程:=01.31)其中(1.32)(4.1)2. 非線性方程組的建立由于虛功方程本身不涉及材料性質，所以第一章由虛功方程得到的單元平衡方程（1.48）式和總體平衡方程（1.109）式完全適 用于非線性彈性（或形變理論彈塑性）問題。可見，只要把非線性彈性（或形變理 論彈塑性）本構方程代入單元或總體的平衡方程，就可以建立非線性方程組。（1）割線剛度方程仿照線性彈性有限元法，把（1.36）式代入

3、（2.13）式后，再把（2.13）代入（1.48）式使得單元割線剛度方程，即(4.2)其中單元割線剛度矩陣(4.3)而割線本構矩陣（2.14）式所示。仿照（1.113）式的推導，同樣可得總體割線剛度方程(4.4)其中總體割線剛度矩陣(4.5)而總體節(jié)點載荷P仍如（1.110）式所示由（4.5）式可知，總體割線剛度矩陣K取決于各單元的等效應變 ;又由（2.5）式可知，等效應變 是由應變|s|計算出來的；再由（1.36）和（1.106）式可知，應變回與總體節(jié)點位移U有關?？梢?，總體割線剛度矩陣KId是總體節(jié)點位移U的函數(shù)，所以總體割線剛度方程（4.4）式是一個非線性方程 組。必須指出，建立非線性方

4、程組（4.4）式，只是為了說明非線性彈性（或形變 理論彈塑性）有限元方程的非線性性質。實際求解時并不用（4.4）式。因為求解（4.4）式要用直接迭代法，而正如 3-2指出，直接迭代法不但計算量太大，而 且常常不收斂。（2）切線剛度矩陣由3-2-3-6 可知，在求解非線性方程組時，除上述直接迭代法外，都要用到切線剛度矩陣（至少要用到初始切線剛度矩陣k0間和K0）。為此，這里討論一下建立非線性彈性（或形變理論彈塑性）有限元方程中的切 線剛度矩陣問題。由（1.109）和（3.11 ）式可知(4.6)于是由（3.10）和（4.6）式可得(4.7)由于由（2.16） , （1.36）和（1.106）式，

5、并考慮到符號d畫和d悒|分別是d和8 ,有(4.8)(4.9)(4.10)所以把（4.8） - （4.10）式代入式（4.7）式使得總體割線剛度矩陣，即(4.11)其中單元切線剛度矩陣(4.12)（3）具有初應變理論或初應力的剛度方程仿照線性彈性有限元法，把形式上相同的（3.101）式代入（2.13）式，并令0=0或E=0,再把（2.13）式代入（1.48）式使得單元剛度方程，即(4.13)(4.14)其中單元剛度矩陣和初應變，初應力節(jié)點載荷仍分別如（1.50）和（1.53）、W 一（1.54）式所小。但要強調，這里k的含義是單元初始切線剛度矩陣;中的初應變 或中的初應力 隨迭代過程而變仿照線

6、性彈性有限元法，同樣可得總體剛度方程，即(4.15)(4.16)其中總體剛度矩陣Idfl和總體初應變、初應力節(jié)點載荷Id卜Id）在形式上均與線性彈性有限元法相同。3.等效應力、等效應變關系由（4.11） - （4.16）式可知，要建立并求解非線性彈性（或形變理論彈塑性）有限元方程，關鍵是要具體知道材料的本 構矩陣。而由（2.14）和（2.18）式可知，只要（2.15）和（2.19）式中的函數(shù)關 系I T是已知的，那么本構矩陣就是顯式的。根據單一曲線假設,的關系與單向拉伸時相同，即(4.17)再考慮體積不可壓縮條件（L=J(4.18)其中取決于所采用的簡化模型。理想塑性(見圖4-1 ):(4.1

7、9)線性強化塑性（見圖4-2）:日(4.20)幕次強化塑性（見圖4-3）:riL-J（4.21 ）4,迭代公式的具體化由于非線性彈性（或形變理論彈塑性）有限元方程一般都寫成全量形式，所以這里只相應的列出幾種迭代類型解法的具體迭代公由（1.36）、 （1.106）和（2.5）式以及(1) Newton-Raphson法(3.17)和(3.18)式，有(4.(22)(4.24)(4.25)(4.(26)(4.(27)（2）初應變迭代法由（2.10）、（2.13）和（3.99）、(3.101 )式可知(4.(28)(4.(29)(4.(30)所以仿照Newton-Raphson法，并考慮到（3.10

8、9）和（3.110）式，有(4.31 )(4.(32)(4.(33)(4.(34)(3)初應力迭代法 由(2.10)、 (2.13)和(3.118)、 (3.120)式可知I 一 (4.(35)I 1 (4.(36)(4.(37)所以仿照Newton-Raphson法，并考慮至U ( 3.126)和(3.127)式，有I(4.40)(4.41)(4.42)(4.43)§4-2 非線性彈性手算例題為了熟悉非線性彈性(或形變理論彈塑性)有限元法及其非線性方程組的求解 過程，這里以圖4-4(a)所示的彈塑性拉壓超靜定問題為例，用 Newton-Raphson 法、初應變迭代法、初應力迭代法進行手算。其中用Newton-Raphson法的求解作較詳細的敘述，以便了解非線性彈性(或形變理論彈塑性)有限元分析的全過程，而 用其他方法的求解只給出主要計