華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)試驗(yàn)上機(jī)作業(yè)3

1、實(shí)驗(yàn)三微分方程地點(diǎn)： 計(jì)算中心XX心實(shí)驗(yàn)臺號： XXX實(shí)驗(yàn)日期與時(shí)間：20XX年X月XX日評 分：預(yù)習(xí)檢查紀(jì)錄：實(shí)驗(yàn)教師： XX電子文檔存放位置：電子文檔文件名：批改意見：1 .實(shí)驗(yàn)?zāi)康? 了解求解微分方程解析解的方法。- 了解求微分方程數(shù)值解的方法。- 學(xué)會建立一些簡單的微分方程模型，并能分析解決這些問題。2 .問題1用dsolve函數(shù)求解微分方程：y''(x) y'(x)2y(x)y(0)i,y'(0)0實(shí)驗(yàn)過程：根據(jù)dsolve格式，微分方程為D2y = Dy + 2y ,初始條件為y(0) = 1 Dy(0) = 0 ,將其帶入dsolve函數(shù)可得到方程

2、字符串 y = (2*exp(-t)/3 + exp(2*t)/3 ,再用函數(shù)ezplot即可畫出該函數(shù)圖像。y = dsolve( 'D2y=Dy+2*y' , 'y(0)=1,Dy(0)=0');hold on;t = 0, 3;set(ezplot(diff(diff(y), t),'Color' , 'k');set(ezplot(diff(y), t), 'Color' , 'b ');set(ezplot(y, t), 'Color' , 'y');leg

3、end( 'y”''', 'y''', 'y' , 0)實(shí)驗(yàn)結(jié)果:圖1曲線各階圖像結(jié)果分析:經(jīng)驗(yàn)證y"(x) y'(x)&(刈，初始條件符合，故結(jié)果合理,2te33 .問題2設(shè)河邊點(diǎn)。的正對岸為A;河寬OA=h兩岸為水平直線，水流的速度為 min。有一只鴨子從點(diǎn)A游向點(diǎn)0,設(shè)鴨子在靜水中的游動速度為 1m/min, 且鴨子的游動方向始終朝著點(diǎn) O,求鴨子游過的軌跡方程，用 MATLABt解, 并做出軌跡圖。實(shí)驗(yàn)過程：圖2受力分析圖如圖2,我們進(jìn)行受力分析。水流方向向右邊，鴨子的坐標(biāo)為xi+

4、yj。鴨子水平速度為 vi = v_water-v_duck*cos(theta)鴨子垂直速度為vj = -v_duck*sin(theta)其中 cos(theta) = x/sqrt(xA2+yA2), sin(theta)= y/sqrt(xA2+yA2)所以速度表達(dá)式：dy/dt = -v_duck*y/sqrt(xA2+yA2)dx/dt = v_water-v_duck*x/sqrt(xA2+yA2)相除并化簡得到：dx/dy = (x/y)- (v_water/v_duck)*sqrt(x/y)A2+1)用MATLA倒程得到的代碼為：% save asfunction dvar

5、= fun(,var)v_water =;v_duck = 1;dvar = zeros(size(var);dvar(1) = (-v_duck*var(1)./norm(var)+v_water;dvar(2) = (-v_duck*var(2)./norm(var);end% press F5 to run tspan = 0 ;x0y0 = 0 1;t,var = ode45( 'fun' ,tspan,x0y0);plot(var(:,1),var(:,2)axis(0 0 1)% get the equationdsolve( 'Dx=(x/y)*sqrt(

6、x/y)A2+1)','x(1)=0' , 'y')實(shí)驗(yàn)結(jié)果：圖3鴨子軌跡圖輸出：-y*sinh(log(y)/2)再用以下代碼畫出軌跡方程的圖:y = 0:1;plot(-y.*sinh(log(y)/2),y)解析方程圖：圖4解析方程的圖像所得的方程表達(dá)式x = -y*sinh(log(y)/2).1n y y sinh2結(jié)果分析:鴨子的軌跡為類似于拋物線的形狀，大約在x=時(shí),被水流沖走使得水平位移最大，之后快速回到目標(biāo)點(diǎn) Q鴨子成功游到對岸。1n y ，得到的解析方程x y sinh-2-形狀與求微分方程數(shù)值解ode45所回出的圖像形狀相同，驗(yàn)證了解析解和數(shù)值解均正確。4 .實(shí)驗(yàn)總結(jié)和實(shí)驗(yàn)感悟經(jīng)過此次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓我們學(xué)會了如何使用 MATLAEfr的dsolve和ode45函