《正弦定理》教學(xué)設(shè)計

1、正弦定理教學(xué)設(shè)計一、教材分析正弦定理是高中新教材人教A版必修(1)已知兩角和一邊，解三角形；(2)已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形。？?？?？二、學(xué)情分析？本節(jié)授課對象是高一學(xué)生，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了必修基本初等函數(shù)U和三角恒 等變換的基礎(chǔ)上，由實際問題出發(fā)探索研究三角形邊角關(guān)系， 得出正弦定理。高 一學(xué)生對生產(chǎn)生活問題比較感興趣，由實際問題出發(fā)可以激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣， 使學(xué)生產(chǎn)生探索研究的愿望。根據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析，立足學(xué)生的認(rèn)知水平，制定如下教學(xué)目標(biāo)和重、難點。三、教學(xué)目標(biāo)：1.知識與技能：通過創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正弦定理，并推證正弦定 理。會初步運用正弦定理與三角形的內(nèi)角和定理解

2、斜三角形的兩類問題。2.過程與方法：引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識出發(fā)，共同探究在任意三角形中，邊 與其對角正弦的比值之間的關(guān)系， 培養(yǎng)學(xué)生通過觀察，猜想，由特殊到一般歸納 得出結(jié)論的能力和化未知為已知的解決問題的能力。3.情感、態(tài)度與價值觀：面向全體學(xué)生，創(chuàng)造平等的教學(xué)氛圍，通過學(xué)生之 間、師生之間的交流、合作和評價，調(diào)動學(xué)生的主動性和積極性，給學(xué)生成功的 體驗，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。四、教學(xué)重點與難點：重點：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。難點：1正弦定理的證明；2了解已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，解的情況不唯、學(xué)法與教法學(xué)法：引導(dǎo)學(xué)生首先從直角三角形中揭示邊角關(guān)系：abcsinAsinBsi

3、nC，接著就一般斜三角形進(jìn)行探索，發(fā)現(xiàn)也有這一關(guān)系；分別利用傳統(tǒng)證法和向量證 法對正弦定理進(jìn)行推導(dǎo)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)向量知識的簡捷，新穎，培養(yǎng)學(xué)生“會觀察”、“會類比”、“會分析”、“會論證”的能力。教法：運用“發(fā)現(xiàn)問題一自主探究一嘗試指導(dǎo)一合作交流”的教學(xué)模式（1）新課引入一一提出問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲。（2） 掌握正弦定理的推導(dǎo)證明-分類討論，數(shù)形結(jié)合，動腦思考，由特殊 到一般，組織學(xué)生自主探索，獲得正弦定理及證明過程。（3）例題處理一一始終從問題出發(fā)，層層設(shè)疑，讓他們在探索中自得知識。（4）鞏固練習(xí)一一深化對正弦定理的理解。？六、教學(xué)過程創(chuàng)設(shè)問題情境：如圖，設(shè)A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之

4、間的距離。 測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點C，測出兩點間A、C的距離55m，引導(dǎo)學(xué)生理清題意，研究設(shè)計方案，并畫出圖形，探索解決問題的方法.啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題實質(zhì)是：已知ABC中ZA、/C和AC長度，求AB距離.即：已知三角形中兩角及其夾邊，求其它邊.新知探究1.提出問題：我們知道，在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角 關(guān)系我們是否能得到這個邊、角關(guān)系的準(zhǔn)確量化的表示呢？2.解決問題：回憶直角三角形中的邊角關(guān)系： 根據(jù)正弦函數(shù)的定義有：ab. z-x .sin A ,sin B，sinC=1。cc經(jīng)過學(xué)生思考、交流、討論得出:abcsin A sin B sin CZACB=6

5、0,/BAC=45求A、B兩點間的距離。問題1:這個結(jié)論在任意三角形中還成立嗎？（引導(dǎo)學(xué)生首先分為兩種情況，銳角三角形和鈍角三角形，然后按照化未知 為已知的思路，構(gòu)造直角三角形完成證明。）當(dāng)厶ABC是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有CDasinB ,CD -bsinA。思考：你還有其它方法證明正弦定理嗎？（由學(xué)生討論、分析）證明一：（等積法）在任意斜厶ABC當(dāng)中111SZABC=absi nCacs in Bbcsi nA222由此，得a bsinAsinB同理可得csinCsin B 故有麗 A從而這個結(jié)論在銳角三角形中成立.當(dāng)厶ABC是鈍角三角形時，過點C作A

6、B邊上的高，交AB的延長線于點D，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義， 有CD二asin CBDasin ABC CD =bsinA。，C由此，得sinAsin/ABC同理可得c _ bsinCsinABC由可知,_bsinZABCsinC在ABC中,歆二島從而得到：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比值相等，即a _ b _ csinAsinBsinC這就是我們今天要研究的正弦定理a _ b _ csin Asin B sinC（R是ABC外接圓的半徑）接著給出解三角形的概念：一般地，把三角形的三個角A、B、C和它們的 對邊a、b、c叫做三角形的元素，已知三角形的幾個元素求其它元素的過程叫 做解三角

7、形.問題2:你能否從方程的角度分析一下，解三角形需要已知三角形中的幾個 元素？問題3:我們利用正弦定理可以解決一些怎樣的解三角形問題呢？（1）已知三角形的任意兩個角與一邊，求其他兩邊和另一角變形：a: b: c二sin A:sin B:sin C。兩邊同除以那be即得:a=b=csin A sinB sinC證明二：（外接圓法）如圖所示,/A = /D_aaCD =2Rsi nA sin D同理丄=2R，亠=2Rsin BsinC證明三：（向量法）過A作單位向量j垂直于 AC由 AC+CB=AB兩邊同乘以單位向量j得j（AC+CB）=j *AB貝UjAC+j * CB=j * ABj |AC|

8、cos90：+| j |CB|cos(90 :：C)=| j |AB|cos(90 :A).asi nC =cs inAsin A sinC同理，若過C作j垂直于 CB 得:c=bsinC sinB正弦定理:_a=b=c=2Rsin A sin BsinC(2)已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，計算另一邊的對角，進(jìn)而計算 出其他的邊和角3.應(yīng)用定理:例1.應(yīng)用正弦定理解決提出的求河岸兩側(cè)兩點間距離問題題目見創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生給出解決方法例2.(1)在 ABC中，b = 3,B = 60,c =1,求a 和代 C .(2)在:ABC中，c =一6,A =450,a =2,求b和B,C. bc

9、,B =60,. C : B,C 為銳角,.C=30,B =90/-a =. b2c2= 2C C =300或C =1500，而C B二210 180)a ccsin A、6 sin 450- 3(2)sinC =sin A sin Ca22、t,oz0csi nBV6si n750l.當(dāng)C =60。時，B =750,b03 1，sin C sin 600變式訓(xùn)練:根據(jù)已知條件，求解三角形七、課堂小結(jié)：(學(xué)生發(fā)言，互相補充，老師評價)1.用三種方法證明了正弦定理：(1) 轉(zhuǎn)化為直角三角形中的邊角關(guān)系；(2) 利用向量的數(shù)量積.(3)外接圓法2.理論上正弦定理可解決兩類問題：(1)兩角和任意一邊

10、，求其它兩邊和一角；(2)兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進(jìn)而可求其它的邊和角.八、布置作業(yè)：解：(1)bsin Bccsin B,sinC =sin Cb1 sin60_ 1.3=2，1.思考：已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，解的情況可能有幾種？試 從理論上說明.2.Pio九、教學(xué)反思：本設(shè)計通過解斜三角形的一個實際問題引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形的邊角關(guān)系，將斜三角形的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為直角三角形的邊角關(guān)系導(dǎo)出正弦定理，思路自然，學(xué)生樂于接受。通過引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)直角三角形中的正弦定理， 進(jìn)而探究在任意三角 形中是否還成立？將學(xué)生帶入探索新知的氛圍，學(xué)生從已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，探 索得出新結(jié)論，體驗了成功的樂趣，對如何運用定理解決問題也是躍躍欲試， 在 課堂小結(jié)教學(xué)中，給學(xué)生一個暢所欲言的機會，互相評價，最終得到完善的答 案這樣做，可以鍛煉學(xué)生的語言表達(dá)能力，這也體現(xiàn)了一個人成長、發(fā)展所必 須經(jīng)歷的過程，對于培養(yǎng)意