概率論課設論文1

1、成 績 評 定 表學生姓名 班級學號專 業(yè)統(tǒng)計學課程設計題目物體表面腐蝕深度與腐蝕時間的回歸分析評語組長簽字：成績?nèi)掌?2014 年 6 月 19 日課程設計任務書學 院專 業(yè)統(tǒng)計學學生姓名班級學號課程設計題目物體表面腐蝕深度與腐蝕時間的回歸分析實踐教學要求與任務:通過該課程設計，使學生進一步理解概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念、理論和方法；初步掌握Excel統(tǒng)計工作表在隨機模擬中是應用，MATLAB統(tǒng)計軟件包對數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計檢驗和統(tǒng)計分析；具備初步的運用計算機完成數(shù)據(jù)處理的技能，使課堂中學習到理論得到應用。1數(shù)據(jù)整理：收集數(shù)據(jù)，錄入數(shù)據(jù)，畫出相應圖形；建立數(shù)學模型，數(shù)據(jù)的輸入與整理，各種數(shù)據(jù)的圖形顯

2、示。2假設檢驗： MATLAB繪制出直方圖，做數(shù)據(jù)分布的推測；參數(shù)估計，假設檢驗，繪制概率密度圖。3單因素、多因素方差分析：正態(tài)總體的方差分析問題； MATLAB統(tǒng)計軟件中關(guān)于方差分析的相關(guān)命令，做出方差分析表，box圖，能對結(jié)果進行簡單分析。4一元、多元線性回歸模型：回歸系數(shù)的估計與檢驗，數(shù)據(jù)散點與回歸直線的圖示，殘差圖。運用MATLAB統(tǒng)計軟件，對給定的數(shù)據(jù)擬合回歸方程。指導教師： 2014年 月 日 專業(yè)負責人：2014年 月 日學院教學副院長：2012年 月 日摘 要數(shù)理統(tǒng)計是具有廣泛應用的數(shù)學分支，而區(qū)間估計和線性相關(guān)的顯著性檢驗，相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗，預測與監(jiān)控問題在其中占有很重要

3、的地位。區(qū)間估計和線性相關(guān)的顯著性檢驗，相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗已有完備的結(jié)論；對于非正態(tài)總體期望和方差的區(qū)間估計和線性相關(guān)的顯著性檢驗，相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗，預測與監(jiān)控在大樣本的情況下，可利用中心極限定理轉(zhuǎn)化為正態(tài)總體來解決。但實際問題中常常碰到非正態(tài)總體，而且是小樣本的情況，因此對它的區(qū)間估計和線性相關(guān)的顯著性檢驗，相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗，預測與監(jiān)控是一個值得研究的問題。本文利用概率論與數(shù)理統(tǒng)計基本原理對小樣本常用分布參數(shù)置信區(qū)間和線性相關(guān)的顯著性檢驗，相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗 , 預測與監(jiān)控，進行了深入研究，提出了小樣本常用分布參數(shù)的置信區(qū)間與線性相關(guān)的顯著性檢驗，相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗，預測與監(jiān)控

4、，的解決方法。本文利用小樣本情形的統(tǒng)計量法解決離散型的0-1分布、二項分布以及連續(xù)型的指數(shù)分布參數(shù)的置信區(qū)間與線性相關(guān)的顯著性檢驗，相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗，對于泊松分布的參數(shù)的置信區(qū)間與線性相關(guān)的顯著性檢驗，相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗則采用數(shù)學方法進行分析。對于均勻分布，利用兩個參數(shù)的最大似然估計求出聯(lián)合概率密度進行求解。 關(guān)鍵詞：方差分析；置信區(qū)間；線性相關(guān)；預測與監(jiān)控目 錄1 設計目的12 設計問題13 設計原理23.1 回歸方程顯著性檢驗33.2 回歸系數(shù)的置信區(qū)間53.3 利用模型預測54 設計程序65 設計總結(jié)13致 謝13參考文獻14111 設計目的了解一元回歸方程，回歸系數(shù)的檢驗方法及應

5、用一元回歸方程進行預測的方法；學會應用MATLAB軟件進行一元回歸實驗的分析方法。同時更好的了解概率論與數(shù)理統(tǒng)計的知識，熟練掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計在實際問題上的應用，并將所學的知識結(jié)合Excel對數(shù)據(jù)的處理解決實際問題。本設計是利用一元線性回歸理論對物體降落的距離與時間的關(guān)系建立數(shù)學模型，并用Excel分析工具庫中的回歸分析軟件進行解算。2 設計問題 為了更好的弄清楚物體表面腐蝕深度與腐蝕時間的關(guān)系，測得腐蝕深度與腐蝕時間的數(shù)據(jù)如下：時間x腐蝕深度y時間x腐蝕深度y555019108602315107025201390293016120464017由此，我們利用這些數(shù)據(jù)做出腐蝕時間關(guān)于腐蝕深度的

6、線性回歸方程。3 設計原理 假設變量Y與X之間存在線性關(guān)系，則由實驗數(shù)據(jù)得到的點點（），（）·····（）將散布在某一直線的周圍。因此我們可以用線性方程大致的描述變量Y與X之間的關(guān)系。設隨機變量 按最小二乘法求未知參數(shù)a及b的估計值時，我們有偏差平方和 為了使S取得最小值，分別求S對a及b 的偏導數(shù)，并令它們等于零，得到方程組，整理得 解方程組得 上式中 其中是觀測值的樣本方差； 為了以后進一步分析的需要我們在引進 其中是觀測值的樣本方差。所求的線性方程為：3.1 回歸方程顯著性檢驗建立一元線性回歸方程當且僅當變量之間存在線性相關(guān)關(guān)系時才是有意

7、義的，因此必須對變量之間的線性相關(guān)的顯著性進行檢驗，即對建立的回歸模型進行顯著性檢驗。我們首先引入幾個概念：（1） ，稱為總偏差平方和，它表示觀測值總的分散程度；（2） ，稱為回歸平方和，它是由回歸變量的變化引起的，放映了回歸變量對變量線性關(guān)系的密切程度；（3） ，稱為殘差（剩余）平方和，它是由觀測誤差等其他因素起誤差，它的值越小說明回歸方程與原數(shù)據(jù)擬合越好?？梢宰C明下列關(guān)系成立 即 =+ 我們主要考慮回歸平方和在總偏差和中所占的比重，記。(0<=R<=1),稱R為復相關(guān)系數(shù)，用R的大小來評價模型的有效性，R越大，則反映回歸變量與相應變量之間的線性函數(shù)關(guān)系越密切。引入F統(tǒng)計量。 定

8、義，可知FF（1，n-2）.對于給定的顯著水平a(一般這里取0.05或0.01)，查表可得臨界值F（1,n-2） 如果F> F（1,n-2）,則認為y與x之間的線性關(guān)系顯著；如果F<= F（1,n-2），則認為y與x之間的線性關(guān)系不顯著，或者不存在線性關(guān)系，在實際應用中也可以通過F對應的概率P<來說明y與x之間的線性相關(guān)性顯著。3.2 回歸系數(shù)的置信區(qū)間回歸方程（1）的回歸系統(tǒng),是一個點估計值，給定置信水平1-后，可得到他們對應的置信區(qū)間，并且回歸區(qū)間越短越好，如果摸個回歸系數(shù)的置信區(qū)間包含0點，則說明該回歸變量的影響不顯著，需要進一步地修改回歸方程，盡量是每個回歸系數(shù)的置信

9、區(qū)間都不包含0點。3.3 利用模型預測在對所建立的回歸模型進行相關(guān)程度檢驗與分析之后，如果預測變量y與相關(guān)變量x的每一個給定值x，帶入回歸模型，就可以求得一個相對應的回歸預測值,稱為模型的點估計值。4 設計程序>> y=5 8 10 13 16 17 19 23 25 29 46;>> x=5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120;>> plot(x,y,'*')生成圖（1），可以看出x和y大體成線性關(guān)系。圖（1）x與y的散點圖（2）作一元回歸分析，輸入：>> X=ones(11,1),x'>

10、> b , bint ,r ,rint ,s=regress(y',X,0.05);>> b ,bint ,sb = 4.6681 0.3130bint = 2.1583 7.1778 0.2696 0.3565s =0.9673 265.9816 0.0000 這個結(jié)果可整理成表1的形式?；貧w系數(shù)回歸系數(shù)估計值回歸系數(shù)置信區(qū)間4.66812.1583,7.17780.31300.2696,0.3565 表 1 MATLAB回歸分析結(jié)果表一元回歸方程為： 從幾個方面都可以檢驗模型是有效的：檢驗-接近于0；的置信區(qū)間不含零點；用MATLAB命令finv(0.95,1,2

11、8)計算得到，F(xiàn)為統(tǒng)計量觀測值，所以X與Y的相關(guān)性顯著。殘差及其置信區(qū)間作圖代碼輸入：rcoplot(r,rint)圖 1 殘差圖（橫軸：腐蝕時間 縱軸：殘差分析值）所謂殘差是指實際觀察值與回歸估計值的差，殘差分析就是通過殘差所提供的信息，分析出數(shù)據(jù)的可靠性、周期性或其它干擾。從殘差圖可以看出，數(shù)據(jù)的殘差離零點較近，且殘差的置信區(qū)間均包含零點，這說明回歸模型能很好的符合原始數(shù)據(jù)。（3）講上面的回歸系數(shù)估計值，帶入回歸方程，物體表面腐蝕深度的測試中，對時間間隔為120/h的腐蝕深度進行預測，得到 。在，腐蝕深度預測區(qū)間簡化為，輸入計算指令： >> y=5 8 10 13 16 17

12、19 23 25 29 46; >> x=5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120; >> polytool(x,y,1,0.05)作出散點圖及擬合曲線，并對時的進行預報，結(jié)果如圖 3 所示。 圖 2 散點圖及擬合曲線如圖3所示，紅線表示為數(shù)據(jù)離合區(qū)間，藍色“+”表示為數(shù)據(jù)散點分布，綠色表示為擬合曲線。 5 設計總結(jié)通過對概率論與數(shù)理統(tǒng)計的這道實際問題的解決，不僅使我更加深刻的理解了概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基礎知識，而且使我對這些知識在實際中的應用產(chǎn)生了濃厚的興趣，同時對我學習好概率論與數(shù)理統(tǒng)計這門課有很大幫助。在實現(xiàn)這道題的過程中我應用了Excel軟件，學會了該軟件的一些新的應用，更加熟練的操作該軟件進行一些數(shù)據(jù)上的處理。致 謝本論文是張玉春老師指導下完成的。她嚴肅的科學態(tài)度，嚴謹?shù)闹螌W精神，精益求精的工作作風，深深地感染和激勵著我。在此，我向張老師致以誠摯的謝意和崇高的敬意。同時我還要