圖形計算器在高一函數(shù)教學(xué)中的幾個應(yīng)用

1、圖形計算器在高一函數(shù)教學(xué)中的幾個應(yīng)用李光輝 天津外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校（300230）lgh1985王光明天津師范大學(xué)教師教育學(xué)院（300387）bd690310 摘要：函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容。應(yīng)用圖形計算器的函數(shù)功能和繪圖功能，可以大大的簡化問題，使學(xué)生在應(yīng)用中加深對函數(shù)概念的理解，逐步體會數(shù)形結(jié)合的重要思想，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。利用圖形計算器建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟：首先，運用圖形計算器做出散點圖；其次，猜測函數(shù)模型，求出函數(shù)解析式；最后，做出函數(shù)圖像，對擬合程度進行分析比較，也可運用相應(yīng)數(shù)值進行檢驗分析。關(guān)鍵字：圖形計算器；函數(shù)教學(xué)；函數(shù)模型；數(shù)學(xué)應(yīng)用引言：現(xiàn)代信息技術(shù)的廣泛應(yīng)

2、用正在對數(shù)學(xué)課程內(nèi)容、數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)等方面產(chǎn)生深刻的影響。高中數(shù)學(xué)課程注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的有機整合，利用信息技術(shù)來呈現(xiàn)以往教學(xué)中難以呈現(xiàn)的課程內(nèi)容，在保證筆算訓(xùn)練的前提下，盡可能使用科學(xué)型計算器、各種數(shù)學(xué)教育技術(shù)平臺，加強數(shù)學(xué)教學(xué)與信息技術(shù)的結(jié)合，鼓勵學(xué)生運用計算機、計算器等進行探索和發(fā)現(xiàn)，這樣有利于學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。使現(xiàn)代信息技術(shù)成為學(xué)生學(xué)習(xí)的有效手段和工具，成為獲取信息資源和開展學(xué)習(xí)交流的廣闊平臺。在認(rèn)識并發(fā)揮現(xiàn)代信息技術(shù)對數(shù)學(xué)課程改革的積極作用的同時，高中數(shù)學(xué)課程隨著圖形計算器、計算機等輔助工具的進入逐步搭建了基于信息技術(shù)的數(shù)學(xué)活動平臺，學(xué)生借

3、助計算器和簡單的數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件在數(shù)值計算和圖像、圖形等問題的探索研究中經(jīng)歷了通過數(shù)字化數(shù)學(xué)活動觀察數(shù)學(xué)現(xiàn)象、探究數(shù)學(xué)問題的過程，體驗應(yīng)用現(xiàn)代信息技術(shù)解決數(shù)學(xué)問題的可能性和優(yōu)越性，認(rèn)識它與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方法不同的特點?！皥D形計算器（Graphing Calculator，GC），是一種手持的數(shù)學(xué)工具，更具體的說是一種專門用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)（中學(xué)與大學(xué)）的手持技術(shù)。” 王長沛.圖形計算器,不可替代的“數(shù)學(xué)工具”?J.中小學(xué)信息技術(shù)教育,2007(3).圖形計算器具有如：“便攜，實時，準(zhǔn)確，綜合，直觀” 吳紹兵,于明.關(guān)于課堂教學(xué)圖形計算器使用恰當(dāng)性的研究J.數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2009(2).等優(yōu)點，它具有強大

4、的數(shù)據(jù)處理功能、函數(shù)功能、圖形功能、簡單的編程功能和進行一些數(shù)理實驗功能，可以用數(shù)字的、解析的和圖形的等多種方式表示各種數(shù)學(xué)對象，具有很好的交互性。利用這些功能學(xué)生可以充分動手實踐進行數(shù)學(xué)活動。因此，信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合可以基于圖形計算器作為手持技術(shù)搭建教師和學(xué)生理想的數(shù)學(xué)活動平臺。下面結(jié)合自身教學(xué)實踐，談一下圖形計算器在高一數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中的一些應(yīng)用。函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，高中數(shù)學(xué)的絕大多數(shù)問題都與函數(shù)有緊密地聯(lián)系。但是，因為函數(shù)部分的概念抽象，綜合程度高，解題方法靈活多樣，故其難點較多，學(xué)生學(xué)習(xí)起來也很吃力。應(yīng)用圖形計算器的函數(shù)功能和繪圖功能，可以大大的簡化問題，使學(xué)生在應(yīng)用中加

5、深對函數(shù)概念的理解，逐步體會數(shù)形結(jié)合的重要思想，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。1 借助GC，研究初等函數(shù)的性質(zhì)基本初等函數(shù)是高一數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是教學(xué)中的重難點。傳統(tǒng)的教學(xué)主要是老師傳授知識，學(xué)生學(xué)得慢，忘得快，而且學(xué)習(xí)興趣不高。借助圖形計算器讓學(xué)生自主探究這些基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣高，學(xué)得快，而且記得牢。例如：在指數(shù)函數(shù)的教學(xué)中，指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，既是教學(xué)的重點，又是難點。多數(shù)情況下，老師會直接給出函數(shù)的圖像，然后通過圖像告訴學(xué)生指數(shù)函數(shù)的一些性質(zhì)。這樣教學(xué)雖然教師講起來會比較省力，但是學(xué)生接受起來會比較困難，更重要的一點是，學(xué)生忘得快。俗話說：“紙上得來終覺淺，絕

6、知此事要躬行”，如果能將探索指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的任務(wù)交給學(xué)生，讓學(xué)生利用圖形計算器來探究指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，教師做適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)。這樣處理，一方面減輕了教師的負(fù)擔(dān)，另一方面也能取得較為理想的效果，可謂一舉兩得。案例一：指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)教學(xué)案例節(jié)選問題：你能類比前面討論函數(shù)性質(zhì)時的思路，提出研究指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的內(nèi)容和方法嗎？教學(xué)方法：利用圖形計算器，分組探究，合作學(xué)習(xí)。研究方法：全班分成若干小組，小組成員借助圖形計算器，畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。研究內(nèi)容：指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、特殊點、單調(diào)性、最大（小）值、奇偶性。探索研究：教師設(shè)疑：1請你利用圖形計算器，作出下列函數(shù)的圖

7、象：（1），觀察這三個函數(shù)圖像與底數(shù)之間有什么關(guān)系？小組探究：，的圖像分別如下： 總結(jié)歸納：當(dāng)?shù)讛?shù)>1時，底數(shù)越大，圖像在第一象限上升越快。（2），觀察這三個函數(shù)圖象與底數(shù)之間有什么關(guān)系？小組探究：，的圖像分別如下： 總結(jié)歸納：當(dāng)0<底數(shù)<1時，底數(shù)越小，圖像在第二象限下降越快。教師設(shè)疑：2請在同一直角坐標(biāo)系中作出下列函數(shù)的圖像：（1）和；從圖象中你能發(fā)現(xiàn)二者的圖象有什么關(guān)系？小組探究： 問題回答：二者圖像關(guān)于y軸對稱。（2）和；從圖象中你能發(fā)現(xiàn)二者的圖象有什么關(guān)系？小組探究： 問題回答：二者圖像關(guān)于y軸對稱。（3）和；從圖象中你能發(fā)現(xiàn)二者的圖象有什么關(guān)系？小組探究： 問題回

8、答：二者圖像關(guān)于y軸對稱。歸納總結(jié)：底數(shù)互為倒數(shù)的兩個指數(shù)函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對稱。3你能根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象的特征歸納出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)嗎？圖象特征函數(shù)性質(zhì)向x、y軸正負(fù)方向 函數(shù)的定義域為 圖象關(guān)于原點和y軸是否對稱 函數(shù)的奇偶性 函數(shù)圖象都在x軸 方（填“上”或者“下”）函數(shù)的值域為 函數(shù)圖象都過定點 自左向右看，圖象 （填“上升”或者“下降”）自左向右看，圖象 （填“上升”或者“下降”）在定義域上是 函數(shù)（填“增”或“減”）在定義域上是 函數(shù)（填“增”或“減”）在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都 1（填“>”or“<”）在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都 1（填“>”or“<”）W

9、hen 1（填“>”or“<”）When 1（填“>”or“<”）在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都 1（填“>”or“<”）在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都 1（填“>”or“<”）When 1（填“>”or“<”）When 1（填“>”or“<”）   通過學(xué)生自己動手，在教師的引導(dǎo)下主動探究，歸納總結(jié)出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，一方面激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，活躍了課堂氣氛，同時培養(yǎng)了學(xué)生自己研究問題的意識和能力，另外，還取得了較傳統(tǒng)教學(xué)好的教學(xué)效果，可謂一舉多得。2 借助GC，研究未知函數(shù)圖像和性質(zhì)在學(xué)習(xí)函數(shù)

10、的性質(zhì)時，對于未知的函數(shù)，學(xué)生往往無從下手。此時，如果我們能夠借助圖形計算器，讓學(xué)生自己動手畫出圖像，總結(jié)性質(zhì)，無疑將會有利于培養(yǎng)學(xué)生的自主探究意識和數(shù)學(xué)能力。尤其是在研究復(fù)合函數(shù)時，學(xué)生往往不明白為什么需要判斷“內(nèi)、外”層函數(shù)的單調(diào)性，在處理這一問題時，教師往往也沒用很好的辦法，只能讓學(xué)生先記住方法，通過死記硬背來做題。如果借助圖形計算器，讓學(xué)生能夠首先直觀的得到復(fù)合函數(shù)的圖像，再來研究和理解“同增異減”，就容易多了。案例二：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的研究1 請你利用圖形計算器，研究函數(shù)的單調(diào)性，以及的單調(diào)性與，單調(diào)性的關(guān)系？2 可以讓學(xué)生分別作出函數(shù)，和的圖像，然后通過觀察和教師的引導(dǎo)，得出復(fù)合函數(shù)

11、單調(diào)性的判斷方法“同增異減”。內(nèi)層函數(shù)的圖像： 單調(diào)區(qū)間：單調(diào)減區(qū)間；單調(diào)增區(qū)間。外層函數(shù)的圖像： 單調(diào)區(qū)間：在整個定義域上為增函數(shù)。復(fù)合函數(shù)的圖像： 單調(diào)區(qū)間：單調(diào)減區(qū)間；單調(diào)增區(qū)間?？偨Y(jié)：在區(qū)間上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，二者單調(diào)性相異，所以復(fù)合函數(shù)在上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增，也單調(diào)遞增，二者單調(diào)性相同，所以復(fù)合函數(shù)在上單調(diào)遞增。接下來，我再以高中階段一個重要的函數(shù)“對勾函數(shù)”為例，簡單介紹一下GC在研究未知函數(shù)圖像和性質(zhì)中的應(yīng)用。案例三：研究函數(shù)的圖象及性質(zhì)在函數(shù)的教學(xué)中，遇到函數(shù)的時候，老師會直接給出它的圖像和關(guān)鍵點，并讓學(xué)生牢記，以便運用。學(xué)生可利用圖形計算器作出它的圖像，總結(jié)出它的性

12、質(zhì)，和以前老師講解的進行驗證比對。利用圖形計算器作出函數(shù)的圖象畫出函數(shù)圖象后，利用坐標(biāo)跟蹤功能可度量出函數(shù)圖象在第一象限和第三象限的最低點的橫坐標(biāo)是1和1， 歸納性質(zhì)：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是( ,1)和( 1 ,+)，單調(diào)遞減區(qū)間是( 1 ,0) 和 ( 0 , 1) ，圖象關(guān)于原點對稱，是一個奇函數(shù)拓展延伸：由此，我們又畫出了的圖象，發(fā)現(xiàn)了圖象在第一象限和第三象限的最低點的橫坐標(biāo)分別是和， 可知：圖象在第一象限和第三象限的最低點的橫坐標(biāo)是和，并且函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是( ,)和(,+)，單調(diào)遞減區(qū)間是( ,0) 和 ( 0 , ) ，圖象關(guān)于原點對稱，是奇函數(shù)小結(jié)：利用圖形計算器研究未知函數(shù)的一

13、般步驟：利用圖形計算器的繪圖功能，作出函數(shù)圖像（可以先選擇特殊的，如要研究的性質(zhì)，可以先做出的圖像）；根據(jù)函數(shù)圖象，找到圖像的最值點；利用最值點，將圖像劃分為幾部分，分別判斷函數(shù)在這幾部分的單調(diào)性和奇偶性；將這些性質(zhì)推廣到一般形式。學(xué)生可以通過更多的操作，感知和體會知識的發(fā)生過程及數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，方便學(xué)生對規(guī)律的探究和結(jié)果的驗證。這樣的學(xué)習(xí)不僅僅使學(xué)生獲取知識更具有實踐性、主動性，同時也有助于學(xué)生形成一種良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)觀念，讓學(xué)生認(rèn)識到：數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不能只是被動的接受，而是需要自己主動地建構(gòu)。3 借助GC，建立數(shù)學(xué)模型，解決實際問題在中學(xué)開展數(shù)學(xué)建?；顒?，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機和興趣；可以

14、培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力和發(fā)散思維能力。培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)建模解決實際問題的能力，關(guān)鍵是把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題。因此必須首先通過觀察分析、提煉出實際問題的數(shù)學(xué)模型，再把數(shù)學(xué)模型納入某知識系統(tǒng)去處理。 學(xué)生借用圖形計算器這一數(shù)學(xué)工具既培養(yǎng)了他們的數(shù)學(xué)思想，又提高了他們的信息素養(yǎng)。在使用圖形計算器的過程中，他們能夠方便、快捷地建立函數(shù)模型，從而培養(yǎng)他們利用數(shù)學(xué)解決生活實際問題的能力，使他們得到成功的喜悅，進一步建立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。例如，在高一數(shù)學(xué)必修一第三章函數(shù)的應(yīng)用部分，我們就可以利用圖形計算器來讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模的一般方法和步驟，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。案例四：利用圖形計算器，建立數(shù)學(xué)模型，解決

15、實際問題在一次對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)：年齡23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年齡53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6根據(jù)以上數(shù)據(jù)，人體的脂肪含量與年齡之間有怎樣的關(guān)系？ 首先，運用圖形計算器做出散點圖： 其次， 可以運用必修一中函數(shù)應(yīng)用的相關(guān)知識，求解相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，但是基于圖形計算器強大的操作功能，所以學(xué)生可以直接根據(jù)不同需要選擇不同的函數(shù)類型進行猜想并擬合。猜想可能的函數(shù)模型并求解相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式：（1）一次函數(shù)：（回歸直線） （2）二次函數(shù)： （

16、3）指數(shù)函數(shù)： （4）對數(shù)函數(shù)： （5）冪函數(shù)： 第三，運用圖形計算器既可以通過圖形觀察函數(shù)圖像與散點圖的擬合程度，又可以直接找到相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，簡化了我們求解函數(shù)表達(dá)式的過程。但是問題也隨之產(chǎn)生，有時候單純從函數(shù)圖像，我們并不能發(fā)現(xiàn)哪一個函數(shù)與實際數(shù)據(jù)的擬合程度更好。這時我們可以借助選修2-3統(tǒng)計案例中學(xué)到的擬合函數(shù)的函數(shù)值與實際數(shù)據(jù)的誤差平方和來衡量不同擬合函數(shù)的優(yōu)劣。平方和越小代表函數(shù)的擬合程度就越高。具體數(shù)據(jù)如下： 一次函數(shù)擬合誤差 二次函數(shù)擬合誤差 指數(shù)函數(shù)擬合誤差 對數(shù)函數(shù)擬合誤差冪函數(shù)擬合誤差所以根據(jù)誤差平方和數(shù)值的大小，我們可以判斷出與這一實際數(shù)據(jù)相對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的擬合程度最

17、高。通過上述的建模的過程，學(xué)生不但解決了實際問題，同時對于初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)有了更深的認(rèn)識和了解。通過以上這個例子的講解，可以看出，借助圖形計算器我們可以引導(dǎo)學(xué)生把不同模塊的內(nèi)容整合在一起，從不同的角度，不同的方面去思考解決問題的方法。指引學(xué)生去尋找解決問題的多種不同方法，讓他們形成做數(shù)學(xué)，玩數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)習(xí)慣，這樣才能更大限度的發(fā)揮出圖形計算器強大的功能。小結(jié)：利用圖形計算器建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟首先，運用圖形計算器做出散點圖；其次，猜測函數(shù)模型，求出函數(shù)解析式；最后，做出函數(shù)圖像，對擬合程度進行分析比較，也可運用相應(yīng)數(shù)值進行檢驗分析。4 結(jié)束語作為高中階段最重要的知識點之一，函數(shù)既是教學(xué)中的

18、重難點，又是學(xué)生學(xué)習(xí)中容易出問題的地方。充分利用圖形計算器，發(fā)揮手持技術(shù)的優(yōu)勢，結(jié)合高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)，通過觀察、猜想、動手操作、問題解決等一系列的學(xué)習(xí)過程,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。 參考文獻：王長沛（2007）.圖形計算器,不可替代的“數(shù)學(xué)工具”.中小學(xué)信息技術(shù)教育,3，9-12.吳紹兵,于明（2009）.關(guān)于課堂教學(xué)圖形計算器使用恰當(dāng)性的研究.數(shù)學(xué)教育學(xué)報, 18(2)，59-62.史炳星（2001）.談?wù)剤D形計算器對我國數(shù)學(xué)教育的影響.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，10（1），38-41.郭立昌（2001）.圖形計算器與中學(xué)數(shù)學(xué)創(chuàng)新教育幾個值得思考的問題.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，10（4），47-51. 劉艷云（2004）.運用TI圖形計算器開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造潛能.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，13（1），56