圖形計算器在高一函數(shù)教學中的幾個應用

1、圖形計算器在高一函數(shù)教學中的幾個應用李光輝 天津外國語大學附屬外國語學校（300230）lgh1985王光明天津師范大學教師教育學院（300387）bd690310 摘要：函數(shù)是高中數(shù)學教學的重要內容。應用圖形計算器的函數(shù)功能和繪圖功能，可以大大的簡化問題，使學生在應用中加深對函數(shù)概念的理解，逐步體會數(shù)形結合的重要思想，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。利用圖形計算器建立數(shù)學模型的一般步驟：首先，運用圖形計算器做出散點圖；其次，猜測函數(shù)模型，求出函數(shù)解析式；最后，做出函數(shù)圖像，對擬合程度進行分析比較，也可運用相應數(shù)值進行檢驗分析。關鍵字：圖形計算器；函數(shù)教學；函數(shù)模型；數(shù)學應用引言：現(xiàn)代信息技術的廣泛應

2、用正在對數(shù)學課程內容、數(shù)學教學、數(shù)學學習等方面產(chǎn)生深刻的影響。高中數(shù)學課程注重信息技術與數(shù)學課程的有機整合，利用信息技術來呈現(xiàn)以往教學中難以呈現(xiàn)的課程內容，在保證筆算訓練的前提下，盡可能使用科學型計算器、各種數(shù)學教育技術平臺，加強數(shù)學教學與信息技術的結合，鼓勵學生運用計算機、計算器等進行探索和發(fā)現(xiàn)，這樣有利于學生認識數(shù)學的本質，激發(fā)學習數(shù)學的熱情，提高數(shù)學素養(yǎng)。使現(xiàn)代信息技術成為學生學習的有效手段和工具，成為獲取信息資源和開展學習交流的廣闊平臺。在認識并發(fā)揮現(xiàn)代信息技術對數(shù)學課程改革的積極作用的同時，高中數(shù)學課程隨著圖形計算器、計算機等輔助工具的進入逐步搭建了基于信息技術的數(shù)學活動平臺，學生借

3、助計算器和簡單的數(shù)學應用軟件在數(shù)值計算和圖像、圖形等問題的探索研究中經(jīng)歷了通過數(shù)字化數(shù)學活動觀察數(shù)學現(xiàn)象、探究數(shù)學問題的過程，體驗應用現(xiàn)代信息技術解決數(shù)學問題的可能性和優(yōu)越性，認識它與傳統(tǒng)數(shù)學方法不同的特點?！皥D形計算器（Graphing Calculator，GC），是一種手持的數(shù)學工具，更具體的說是一種專門用于數(shù)學學習與教學（中學與大學）的手持技術。” 王長沛.圖形計算器,不可替代的“數(shù)學工具”?J.中小學信息技術教育,2007(3).圖形計算器具有如：“便攜，實時，準確，綜合，直觀” 吳紹兵,于明.關于課堂教學圖形計算器使用恰當性的研究J.數(shù)學教育學報,2009(2).等優(yōu)點，它具有強大

4、的數(shù)據(jù)處理功能、函數(shù)功能、圖形功能、簡單的編程功能和進行一些數(shù)理實驗功能，可以用數(shù)字的、解析的和圖形的等多種方式表示各種數(shù)學對象，具有很好的交互性。利用這些功能學生可以充分動手實踐進行數(shù)學活動。因此，信息技術與數(shù)學課程的整合可以基于圖形計算器作為手持技術搭建教師和學生理想的數(shù)學活動平臺。下面結合自身教學實踐，談一下圖形計算器在高一數(shù)學函數(shù)教學中的一些應用。函數(shù)是高中數(shù)學教學的重要內容，高中數(shù)學的絕大多數(shù)問題都與函數(shù)有緊密地聯(lián)系。但是，因為函數(shù)部分的概念抽象，綜合程度高，解題方法靈活多樣，故其難點較多，學生學習起來也很吃力。應用圖形計算器的函數(shù)功能和繪圖功能，可以大大的簡化問題，使學生在應用中加

5、深對函數(shù)概念的理解，逐步體會數(shù)形結合的重要思想，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。1 借助GC，研究初等函數(shù)的性質基本初等函數(shù)是高一數(shù)學的重要內容，也是教學中的重難點。傳統(tǒng)的教學主要是老師傳授知識，學生學得慢，忘得快，而且學習興趣不高。借助圖形計算器讓學生自主探究這些基本初等函數(shù)的圖像和性質，學生學習興趣高，學得快，而且記得牢。例如：在指數(shù)函數(shù)的教學中，指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與函數(shù)圖象的關系，既是教學的重點，又是難點。多數(shù)情況下，老師會直接給出函數(shù)的圖像，然后通過圖像告訴學生指數(shù)函數(shù)的一些性質。這樣教學雖然教師講起來會比較省力，但是學生接受起來會比較困難，更重要的一點是，學生忘得快。俗話說：“紙上得來終覺淺，絕

6、知此事要躬行”，如果能將探索指數(shù)函數(shù)性質的任務交給學生，讓學生利用圖形計算器來探究指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與函數(shù)圖象的關系，教師做適當?shù)囊龑?。這樣處理，一方面減輕了教師的負擔，另一方面也能取得較為理想的效果，可謂一舉兩得。案例一：指數(shù)函數(shù)的圖象和性質教學案例節(jié)選問題：你能類比前面討論函數(shù)性質時的思路，提出研究指數(shù)函數(shù)性質的內容和方法嗎？教學方法：利用圖形計算器，分組探究，合作學習。研究方法：全班分成若干小組，小組成員借助圖形計算器，畫出函數(shù)的圖象，結合圖象研究指數(shù)函數(shù)的性質。研究內容：指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、特殊點、單調性、最大（?。┲?、奇偶性。探索研究：教師設疑：1請你利用圖形計算器，作出下列函數(shù)的圖

7、象：（1），觀察這三個函數(shù)圖像與底數(shù)之間有什么關系？小組探究：，的圖像分別如下： 總結歸納：當?shù)讛?shù)>1時，底數(shù)越大，圖像在第一象限上升越快。（2），觀察這三個函數(shù)圖象與底數(shù)之間有什么關系？小組探究：，的圖像分別如下： 總結歸納：當0<底數(shù)<1時，底數(shù)越小，圖像在第二象限下降越快。教師設疑：2請在同一直角坐標系中作出下列函數(shù)的圖像：（1）和；從圖象中你能發(fā)現(xiàn)二者的圖象有什么關系？小組探究： 問題回答：二者圖像關于y軸對稱。（2）和；從圖象中你能發(fā)現(xiàn)二者的圖象有什么關系？小組探究： 問題回答：二者圖像關于y軸對稱。（3）和；從圖象中你能發(fā)現(xiàn)二者的圖象有什么關系？小組探究： 問題回

8、答：二者圖像關于y軸對稱。歸納總結：底數(shù)互為倒數(shù)的兩個指數(shù)函數(shù)，其圖像關于y軸對稱。3你能根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象的特征歸納出指數(shù)函數(shù)的性質嗎？圖象特征函數(shù)性質向x、y軸正負方向 函數(shù)的定義域為 圖象關于原點和y軸是否對稱 函數(shù)的奇偶性 函數(shù)圖象都在x軸 方（填“上”或者“下”）函數(shù)的值域為 函數(shù)圖象都過定點 自左向右看，圖象 （填“上升”或者“下降”）自左向右看，圖象 （填“上升”或者“下降”）在定義域上是 函數(shù)（填“增”或“減”）在定義域上是 函數(shù)（填“增”或“減”）在第一象限內的圖象縱坐標都 1（填“>”or“<”）在第一象限內的圖象縱坐標都 1（填“>”or“<”）W

9、hen 1（填“>”or“<”）When 1（填“>”or“<”）在第二象限內的圖象縱坐標都 1（填“>”or“<”）在第二象限內的圖象縱坐標都 1（填“>”or“<”）When 1（填“>”or“<”）When 1（填“>”or“<”）   通過學生自己動手，在教師的引導下主動探究，歸納總結出指數(shù)函數(shù)的性質，一方面激發(fā)了學生學習數(shù)學的興趣，活躍了課堂氣氛，同時培養(yǎng)了學生自己研究問題的意識和能力，另外，還取得了較傳統(tǒng)教學好的教學效果，可謂一舉多得。2 借助GC，研究未知函數(shù)圖像和性質在學習函數(shù)

10、的性質時，對于未知的函數(shù)，學生往往無從下手。此時，如果我們能夠借助圖形計算器，讓學生自己動手畫出圖像，總結性質，無疑將會有利于培養(yǎng)學生的自主探究意識和數(shù)學能力。尤其是在研究復合函數(shù)時，學生往往不明白為什么需要判斷“內、外”層函數(shù)的單調性，在處理這一問題時，教師往往也沒用很好的辦法，只能讓學生先記住方法，通過死記硬背來做題。如果借助圖形計算器，讓學生能夠首先直觀的得到復合函數(shù)的圖像，再來研究和理解“同增異減”，就容易多了。案例二：復合函數(shù)單調性的研究1 請你利用圖形計算器，研究函數(shù)的單調性，以及的單調性與，單調性的關系？2 可以讓學生分別作出函數(shù)，和的圖像，然后通過觀察和教師的引導，得出復合函數(shù)

11、單調性的判斷方法“同增異減”。內層函數(shù)的圖像： 單調區(qū)間：單調減區(qū)間；單調增區(qū)間。外層函數(shù)的圖像： 單調區(qū)間：在整個定義域上為增函數(shù)。復合函數(shù)的圖像： 單調區(qū)間：單調減區(qū)間；單調增區(qū)間?？偨Y：在區(qū)間上單調遞減，單調遞增，二者單調性相異，所以復合函數(shù)在上單調遞減；在區(qū)間上單調遞增，也單調遞增，二者單調性相同，所以復合函數(shù)在上單調遞增。接下來，我再以高中階段一個重要的函數(shù)“對勾函數(shù)”為例，簡單介紹一下GC在研究未知函數(shù)圖像和性質中的應用。案例三：研究函數(shù)的圖象及性質在函數(shù)的教學中，遇到函數(shù)的時候，老師會直接給出它的圖像和關鍵點，并讓學生牢記，以便運用。學生可利用圖形計算器作出它的圖像，總結出它的性

12、質，和以前老師講解的進行驗證比對。利用圖形計算器作出函數(shù)的圖象畫出函數(shù)圖象后，利用坐標跟蹤功能可度量出函數(shù)圖象在第一象限和第三象限的最低點的橫坐標是1和1， 歸納性質：函數(shù)的單調遞增區(qū)間是( ,1)和( 1 ,+)，單調遞減區(qū)間是( 1 ,0) 和 ( 0 , 1) ，圖象關于原點對稱，是一個奇函數(shù)拓展延伸：由此，我們又畫出了的圖象，發(fā)現(xiàn)了圖象在第一象限和第三象限的最低點的橫坐標分別是和， 可知：圖象在第一象限和第三象限的最低點的橫坐標是和，并且函數(shù)的單調遞增區(qū)間是( ,)和(,+)，單調遞減區(qū)間是( ,0) 和 ( 0 , ) ，圖象關于原點對稱，是奇函數(shù)小結：利用圖形計算器研究未知函數(shù)的一

13、般步驟：利用圖形計算器的繪圖功能，作出函數(shù)圖像（可以先選擇特殊的，如要研究的性質，可以先做出的圖像）；根據(jù)函數(shù)圖象，找到圖像的最值點；利用最值點，將圖像劃分為幾部分，分別判斷函數(shù)在這幾部分的單調性和奇偶性；將這些性質推廣到一般形式。學生可以通過更多的操作，感知和體會知識的發(fā)生過程及數(shù)學問題的本質，方便學生對規(guī)律的探究和結果的驗證。這樣的學習不僅僅使學生獲取知識更具有實踐性、主動性，同時也有助于學生形成一種良好的學習習慣和學習觀念，讓學生認識到：數(shù)學的學習不能只是被動的接受，而是需要自己主動地建構。3 借助GC，建立數(shù)學模型，解決實際問題在中學開展數(shù)學建模活動，可以激發(fā)學生的學習動機和興趣；可以

14、培養(yǎng)學生的直覺思維能力和發(fā)散思維能力。培養(yǎng)學生運用數(shù)學建模解決實際問題的能力，關鍵是把實際問題抽象為數(shù)學問題。因此必須首先通過觀察分析、提煉出實際問題的數(shù)學模型，再把數(shù)學模型納入某知識系統(tǒng)去處理。 學生借用圖形計算器這一數(shù)學工具既培養(yǎng)了他們的數(shù)學思想，又提高了他們的信息素養(yǎng)。在使用圖形計算器的過程中，他們能夠方便、快捷地建立函數(shù)模型，從而培養(yǎng)他們利用數(shù)學解決生活實際問題的能力，使他們得到成功的喜悅，進一步建立學好數(shù)學的信心。例如，在高一數(shù)學必修一第三章函數(shù)的應用部分，我們就可以利用圖形計算器來讓學生了解數(shù)學建模的一般方法和步驟，提高學生的數(shù)學應用能力。案例四：利用圖形計算器，建立數(shù)學模型，解決

15、實際問題在一次對人體脂肪含量和年齡關系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)：年齡23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年齡53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6根據(jù)以上數(shù)據(jù)，人體的脂肪含量與年齡之間有怎樣的關系？ 首先，運用圖形計算器做出散點圖： 其次， 可以運用必修一中函數(shù)應用的相關知識，求解相應的函數(shù)表達式，但是基于圖形計算器強大的操作功能，所以學生可以直接根據(jù)不同需要選擇不同的函數(shù)類型進行猜想并擬合。猜想可能的函數(shù)模型并求解相應的函數(shù)表達式：（1）一次函數(shù)：（回歸直線） （2）二次函數(shù)： （

16、3）指數(shù)函數(shù)： （4）對數(shù)函數(shù)： （5）冪函數(shù)： 第三，運用圖形計算器既可以通過圖形觀察函數(shù)圖像與散點圖的擬合程度，又可以直接找到相應的函數(shù)表達式，簡化了我們求解函數(shù)表達式的過程。但是問題也隨之產(chǎn)生，有時候單純從函數(shù)圖像，我們并不能發(fā)現(xiàn)哪一個函數(shù)與實際數(shù)據(jù)的擬合程度更好。這時我們可以借助選修2-3統(tǒng)計案例中學到的擬合函數(shù)的函數(shù)值與實際數(shù)據(jù)的誤差平方和來衡量不同擬合函數(shù)的優(yōu)劣。平方和越小代表函數(shù)的擬合程度就越高。具體數(shù)據(jù)如下： 一次函數(shù)擬合誤差 二次函數(shù)擬合誤差 指數(shù)函數(shù)擬合誤差 對數(shù)函數(shù)擬合誤差冪函數(shù)擬合誤差所以根據(jù)誤差平方和數(shù)值的大小，我們可以判斷出與這一實際數(shù)據(jù)相對應的對數(shù)函數(shù)的擬合程度最

17、高。通過上述的建模的過程，學生不但解決了實際問題，同時對于初等函數(shù)的圖像和性質有了更深的認識和了解。通過以上這個例子的講解，可以看出，借助圖形計算器我們可以引導學生把不同模塊的內容整合在一起，從不同的角度，不同的方面去思考解決問題的方法。指引學生去尋找解決問題的多種不同方法，讓他們形成做數(shù)學，玩數(shù)學的學習習慣，這樣才能更大限度的發(fā)揮出圖形計算器強大的功能。小結：利用圖形計算器建立數(shù)學模型的一般步驟首先，運用圖形計算器做出散點圖；其次，猜測函數(shù)模型，求出函數(shù)解析式；最后，做出函數(shù)圖像，對擬合程度進行分析比較，也可運用相應數(shù)值進行檢驗分析。4 結束語作為高中階段最重要的知識點之一，函數(shù)既是教學中的

18、重難點，又是學生學習中容易出問題的地方。充分利用圖形計算器，發(fā)揮手持技術的優(yōu)勢，結合高中數(shù)學函數(shù)教學，通過觀察、猜想、動手操作、問題解決等一系列的學習過程,培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，樹立學習數(shù)學的自信心。 參考文獻：王長沛（2007）.圖形計算器,不可替代的“數(shù)學工具”.中小學信息技術教育,3，9-12.吳紹兵,于明（2009）.關于課堂教學圖形計算器使用恰當性的研究.數(shù)學教育學報, 18(2)，59-62.史炳星（2001）.談談圖形計算器對我國數(shù)學教育的影響.數(shù)學教育學報，10（1），38-41.郭立昌（2001）.圖形計算器與中學數(shù)學創(chuàng)新教育幾個值得思考的問題.數(shù)學教育學報，10（4），47-51. 劉艷云（2004）.運用TI圖形計算器開發(fā)學生的創(chuàng)造潛能.數(shù)學教育學報，13（1），56