2022年(輔導班適用)高二數學寒假講義08《圓錐曲線標準方程和幾何性質》（含詳解）

1、2022年(輔導班適用)高二數學寒假講義08圓錐曲線標準方程和幾何性質一、選擇題與橢圓9x24y2=36有相同焦點，且短軸長為2的橢圓的標準方程為()A.=1 B.x2=1 C.y2=1 D.=1 “2<m<6”是“方程=1表示橢圓”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件已知雙曲線的離心率為2，焦點是(4，0)，(4，0)，則雙曲線的方程為()A.=1 B.=1 C.=1 D.=1已知雙曲線=1(a0，b0)的一個焦點在拋物線y2=16x的準線上，且雙曲線的一條漸近線過點(，3)，則雙曲線的方程為()A.=1 B.=1 C.=1 D.=1已知

2、點A(2，3)在拋物線C：y2=2px(p0)的準線上，記C的焦點為F，則直線AF的斜率為()A. B.1 C. D.已知AB是拋物線y2=2x的一條焦點弦，|AB|=4，則AB中點C的橫坐標是()A.2 B. C. D.設F1，F2為橢圓=1的兩個焦點，點P在橢圓上，若線段PF1的中點在y軸上，則的值為()A. B. C. D.已知橢圓=1(ab0)的左焦點為F，右頂點為A，點B在橢圓上，且BFx軸，直線AB交y軸于點P.若=2，則橢圓的離心率是()A. B. C. D.已知點P，A，B在雙曲線=1(a0，b0)上，直線AB過坐標原點，且直線PA，PB的斜率之積為，則雙曲線的離心率為()A.

3、 B. C.2 D.過雙曲線=1(a0，b0)的右焦點F作圓x2y2=a2的切線FM(切點為M)，交y軸于點P，若M為線段FP的中點，則雙曲線的離心率為()A. B. C.2 D.已知拋物線C：y2=8x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點.若=4，則|QF|等于()A. B. C.3 D.2已知拋物線y2=2px(p0)過點A(,)，其準線與x軸交于點B，直線AB與拋物線的另一個交點為M，若=，則實數為()A. B. C.2 D.3二、填空題設e是橢圓=1的離心率，且e=，則實數k的值是_.設F1，F2分別是雙曲線x2=1的左、右焦點，A是雙曲線上在第一象限內的點，

4、若|AF2|=2且F1AF2=45°，延長AF2交雙曲線右支于點B，則F1AB的面積等于 .在直角坐標系xOy中，有一定點M(1，2)，若線段OM的垂直平分線過拋物線x2=2py(p0)的焦點，則該拋物線的準線方程是_.已知拋物線C的方程為y2=2px(p0)，圓M的方程為x2y28x12=0，如果拋物線C的準線與圓M相切，那么p的值為_.三、解答題設O為坐標原點，動點M在橢圓C：y2=1(a1，aR)上，過O的直線交橢圓C于A，B兩點，F為橢圓C的左焦點.(1)若FAB的面積的最大值為1，求a的值；(2)若直線MA，MB的斜率乘積等于，求橢圓C的離心率.設F1，F2分別是橢圓C：=

5、1(ab0)的左、右焦點，M是C上一點且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個交點為N.(1)若直線MN的斜率為，求C的離心率；(2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|=5|F1N|，求a，b的值.已知雙曲線C：=1(a>0，b>0)的離心率為，點(，0)是雙曲線的一個頂點.(1)求雙曲線的方程；(2)經過雙曲線右焦點F2作傾斜角為30°的直線，直線與雙曲線交于不同的兩點A，B，求|AB|.已知雙曲線C：x2y2=1及直線l：y=kx1.(1)若l與C有兩個不同的交點，求實數k的取值范圍；(2)若l與C交于A，B兩點，O是坐標原點，且AOB的面積為，求實數k的值.

6、已知拋物線y2=4px(p0)的焦點為F，圓W：(xp)2y2=p2的圓心到過點F的直線l的距離為p.(1)求直線l的斜率；(2)若直線l與拋物線交于A，B兩點，WAB的面積為8，求拋物線的方程.已知橢圓C：=1(ab0)的離心率為，左焦點為F(1，0)，過點D(0，2)且斜率為k的直線l交橢圓于A，B兩點.(1)求橢圓C的標準方程；(2)在y軸上，是否存在定點E，使·恒為定值？若存在，求出E點的坐標和這個定值；若不存在，說明理由.已知直線y=k(x2)與拋物線：y2=x相交于A，B兩點，M是線段AB的中點，過M作y軸的垂線交于點N.(1)證明：拋物線在點N處的切線與直線AB平行；(

7、2)是否存在實數k使·=0？若存在，求k的值；若不存在，請說明理由.答案解析答案為：B；解析：橢圓9x24y2=36可化為=1，可知焦點在y軸上，焦點坐標為(0，±)，故可設所求橢圓方程為=1(ab0)，則c=.又2b=2，即b=1，所以a2=b2c2=6，則所求橢圓的標準方程為x2=1.答案為：B解析：若=1表示橢圓，則有2<m<6且m4.故“2<m<6”是“=1表示橢圓”的必要不充分條件.答案為：A；解析：已知雙曲線的離心率為2，焦點是(4，0)，(4，0)，則c=4，a=2，b2=12，即雙曲線方程為=1，故選A.答案為：C；解析：雙曲線=1(

8、a0，b0)的漸近線方程為y=±x，由雙曲線的一條漸近線過點(，3)，可得=，由雙曲線的一個焦點(c,0)在拋物線y2=16x的準線x=4上，可得c=4，即有a2b2=16，由解得a=2，b=2，則雙曲線的方程為=1.故選C.答案為：C；解析：由已知，得準線方程為x=2，所以F的坐標為(2，0).又A(2，3)，所以直線AF的斜率為k=.答案為：C解析：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|=x1x2p=4.又p=1，所以x1x2=3.所以點C的橫坐標是=.答案為：D；解析：如圖，設線段PF1的中點為M，因為O是F1F2的中點，所以OMPF2，可得PF2x軸，|PF2|=，

9、|PF1|=2a|PF2|=，=，故選D.答案為：D；解析：=2，|=2|.又POBF，=，即=，e=.答案為：A；解析：根據雙曲線的對稱性可知點A，B關于原點對稱，設A(x1，y1)，B(x1，y1)，P(x，y)，所以=1，=1，兩式相減得=，即=，因為直線PA，PB的斜率之積為，所以kPA·kPB=·=，所以雙曲線的離心率為e=.故選A.答案為：A；解析：連接OM.由題意知OMPF，且|FM|=|PM|，|OP|=|OF|，OFP=45°，|OM|=|OF|·sin 45°，即a=c·，e=.故選A.答案為：C；解析：因為=4，

10、所以|=4|，所以=.如圖，過Q作QQl，垂足為Q，設l與x軸的交點為A，則|AF|=4，所以=，所以|QQ|=3，根據拋物線定義可知|QQ|=|QF|=3.答案為：C；解析：把點A(,)代入拋物線的方程得2=2p×，解得p=2，所以拋物線的方程為y2=4x，則B(1，0)，設M，則=，=(1，yM)，由=，得解得=2或=1(舍去)，故選C.答案為：或.解析：當k4 時，有e= =，解得k=；當0k4時，有e= =，解得k=.故實數k的值為或.答案為：4.解析：由題意可得|AF2|=2，|AF1|=4，則|AB|=|AF2|BF2|=2|BF2|=|BF1|.又F1AF2=45

11、76;，所以ABF1是以AF1為斜邊的等腰直角三角形，則|AB|=|BF1|=2，所以其面積為×2×2=4.答案為：y=.解析：依題意可得線段OM的垂直平分線的方程為2x4y5=0，把焦點坐標(0,)代入可求得p=，所以準線方程為y=.答案為：12或4.解析：將圓M的方程化為標準方程為(x4)2y2=4，圓心的坐標為(4,0)，半徑r=2.又拋物線的準線方程為x=，|4|=2，解得p=12或4.解：(1)SFAB=|OF|·|yAyB|OF|=1，所以a=.(2)由題意可設A(x0，y0)，B(x0，y0)，M(x，y)，則y2=1，y=1，kMA·kM

12、B=·=，所以a2=3，所以a=，所以c=，所以橢圓的離心率e=.解：(1)根據c=及題設，知M，2b2=3ac.將b2=a2c2代入2b2=3ac，解得=或=2(舍去)，故C的離心率為.(2)由題意知，原點O為F1F2的中點，MF2y軸，所以直線MF1與y軸的交點D(0,2)是線段MF1的中點，故=4，即b2=4a.由|MN|=5|F1N|，得|DF1|=2|F1N|.設N(x1，y1)，由題意知y10，則即代入C的方程，得=1.將及c=代入，得=1.解得a=7，b2=4a=28，故a=7，b=2.解：(1)雙曲線C：=1(a>0，b>0)的離心率為，點(，0)是雙曲線

13、的一個頂點，解得c=3，b=，雙曲線的方程為=1.(2)雙曲線=1的右焦點為F2(3,0)，經過雙曲線右焦點F2且傾斜角為30°的直線的方程為y=(x3).聯立得5x26x27=0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2=，x1x2=.所以|AB|=×=.解：(1)若雙曲線C與直線l有兩個不同的交點，則方程組有兩個不同的實數根，整理得(1k2)x22kx2=0，所以解得k且k±1.即雙曲線C與直線l有兩個不同的交點時，k的取值范圍是(，1)(1,1)(1，).(2)設交點A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l與y軸交于點D(0，1)，由(1)知，C與

14、l聯立的方程為(1k2)x22kx2=0，所以當A，B在雙曲線的一支上且|x1|x2|時，SOAB=SOADSOBD=(|x1|x2|)=|x1x2|；當A，B在雙曲線的兩支上且x1x2時，SOAB=SODASOBD=(|x1|x2|)=|x1x2|.所以SOAB=|x1x2|=，所以(x1x2)2=(x1x2)24x1x2=(2)2，即2=8，解得k=0或k=±.又因為k，且k±1，所以當k=0或k=±時，AOB的面積為.解：(1)易知拋物線y2=4px(p0)的焦點為F(p,0)，由題意知直線l的斜率存在且不為0，設直線l的方程為x=myp，因為W(p,0)，

15、所以點W到直線l的距離為=p，解得m=±，所以直線l的斜率為±.(2)由(1)知直線l的方程為x=±yp，由于兩條直線關于x軸對稱，不妨取x=yp，聯立消去x得y24py4p2=0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2=4p，y1y2=4p2，所以|AB|=·=16p.因為WAB的面積為8，所以p×16p=8，解得p=1.所以拋物線的方程為y2=4x.解：(1)由已知可得可得a2=2，b2=1，所以橢圓C的標準方程為y2=1.(2)設過點D(0，2)且斜率為k的直線l的方程為y=kx2，由消去y整理得(12k2)x28kx6=0，設

16、A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2=，x1x2=.又y1y2=(kx12)(kx22)=k2x1x22k(x1x2)4=，y1y2=(kx12)(kx22)=k(x1x2)4=.設存在點E(0，m)，則=(x1，my1)，=(x2，my2)，所以·=x1x2m2m(y1y2)y1y2=m2m×=.要使·=t(t為常數)，只需=t，從而(2m222t)k2m24m10t=0，即解得m=，從而t=，故存在定點E，使·恒為定值.解：(1)證明：由消去y并整理，得2k2x2(8k21)x8k2=0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2=，x1x2=4，xM=，yM=k(xM