初中幾何模型角含半角模型

1、幾何模型：角含半角模型角含半角模型，顧名思義即一個(gè)角包含著它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角 模型；正方形中角含半角模型兩種類型。解決類似問題的常見辦法主要有兩種：旋轉(zhuǎn)目標(biāo)三角形法和翻折 目標(biāo)三角形法。類型一：等腰直角三角形角含半角模型(1)如圖，在厶 ABC 中，AB=AC，/ BAC=90,點(diǎn) D , E 在 BC 上，且/ DAE=45,貝U： bd2+ce2=de2.圖示(1)C作法1:將厶ABD旋轉(zhuǎn)90°作法2:分別翻折厶ABD, ACE(2)如圖，在 ABC 中，AB=AC，/ BAC=90，點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在BC延長線上，且/DAE=45貝y： BD

2、2+CE2=DE2.圖示(2)期折法(3)如圖，將等腰直角三角形變成任意等腰三角形時(shí)，亦可以進(jìn)行兩種方法的操作處理任意等腰三角形類型二：正方形中角含半角模型(1)如圖，在正方形 ABCD中，點(diǎn)E, F分別在邊BC , CD上，/ EAF=45 °，連接EF，過點(diǎn)A作AG丄于 EF 于點(diǎn) G,則：EF=BE+DF , AG=AD.圖示(1)作法：將厶ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°(2)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在邊 CB , DC的延長線上，/ EAF=45，連接 EF,則：EF=DF-BE.圖示(2)作法：將厶ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°(3)如圖，將正

3、方形變成一組鄰邊相等，對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，在四方形ABCD 中，AB=AD，/BAD+ /貝EF=BE+DF.C=180。，點(diǎn)E, F分別在邊 BC,1CD 上，/ EAF= / BAD，連接 EF,28圖示(3)作法：將厶ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)/BAD的大小典題探究 啟迪思維探究重點(diǎn)例題1.如圖，正方形 ABCD的邊長為4,點(diǎn)E, F分別在AB, AD上，若CE = 5，且/ ECF = 45°，貝U CFCB【解答】解：如圖，延長 FD到G,使DG = BE;連接CG、EF ;CCB=CD四邊形 ABCD 為正方形，在 BCE 與厶 DCG 中，三， BCE DCG ( SAS),

4、Ibe=dg CG = CE,Z DCG = Z BCE,./ GCF = 45°,GC=JCZGCF=ZECF,A GCF ECF ( SAS) , GF = EF ,CF=CF/ CE= 5, CB = 4,. BE= 3, AE = 1,設(shè) AF = x,貝V DF = 4 - x, GF = 1+ (4 - x)= 5 - x,. EF =寸婕？ +/=寸,( 5 - x) 2= 1+x2,. x=，即 AF =, DF = 4 -=丄5555 CF = _宀 ：= . 4 I ； J =4'',故答案為：4.一 <變式練習(xí)>>>ABC

5、D 中，AD / BC,Z BCD = 90°,.若CD = 4,則厶ABE的面積為(AB = BC+AD，/ DAC = 45)E為CD上一點(diǎn)，且/1.如圖四邊形BAE = 45 °D 24【解答】解法一：作 AF丄CB交CB的延長線于F，在CF的延長線上取一點(diǎn)50使得FG = DE ./ AD / BC,/ BCD+ / ADC = 180°,/ ADC = / BCD =Z AFC = 90°,四邊形ADCF是矩形，/ CAD = 45°, AD = CD,四邊形ADCF是正方形， AF = AD，/ AFG =Z ADF = 90

6、76;, AFG ADE, AG = AE, / FAG=Z DAE ,/ FAG+ / FAB = Z EAD + / FAB= 45 ° =Z BAE, BAE BAG , BE= BG= BF+GF = BF+DE ,設(shè) BC = a，則 AB= 4+a, BF = 4 - a,在 Rt ABF 中，42+ (4- a) 2=( 4+a) 2,解得 a = 1,BC= 1, BF = 3,設(shè) BE= b,貝 U DE = b - 3, CE= 4-( b- 3 )= 7- b.在 Rt BCE 中，12+2525一久八a o匕久八a a乂乂 4 門- ,2 77(7 - b)

7、2= b2,解得 b=BG = BE =例題2如圖，在四邊形 若厶BKN的周長為ABABCD的2倍,中，求/AB=BC，/ A= / C=90。，/ B=135 ° , K , N 分別是 AB , BC 上的點(diǎn), KDN的度數(shù).變式練習(xí)>>>2.如圖，正方形被兩條與邊平行的線段2倍,邸 八劇 - 口3 礦 fl F P4K P fJX E,WZ-ZCiJt - Z.Cb-ZCV<I8O¥路 yEF, GH分割成四個(gè)小矩形，P是EF與GH的交點(diǎn)，若矩形 PFCH試確定/HAF的大小并證明你的結(jié)論【解答】解：如圈連結(jié)F"延氏CF到忖(AM rTRtbARM空r:.AMAH AMAB-HAD中圖 i呂 j"F方形訕長為。t A (r m , (rPn t 貝I Ff 二err , Cf! n m t因?yàn)槊娣e是二倍所以列式得到；丁- (刑十丹)口十網(wǎng)刀二2眄”在直角三角形FCW