六年級奧數(shù)一至十講教案(共37頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上小學(xué)六年級奧數(shù)教案01比較分?jǐn)?shù)的大小同學(xué)們從一開始接觸數(shù)學(xué)，就有比較數(shù)的大小問題。比較整數(shù)、小數(shù)的大小的方法比較簡單，而比較分?jǐn)?shù)的大小就不那么簡單了，因此也就產(chǎn)生了多種多樣的方法。對于兩個不同的分?jǐn)?shù)，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三種情況，其中前兩種情況判別大小的方法是：分母相同的兩個分?jǐn)?shù)，分子大的那個分?jǐn)?shù)比較大；分子相同的兩個分?jǐn)?shù)，分母大的那個分?jǐn)?shù)比較小。第三種情況，即分子、分母都不同的兩個分?jǐn)?shù)，通常是采用通分的方法，使它們的分母相同，化為第一種情況，再比較大小。由于要比較的分?jǐn)?shù)千差萬別，所以通分的方法不一定是最簡捷的。下面我們介紹另外幾種方法。1.“通

2、分子”。當(dāng)兩個已知分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)比較大，而分子的最小公倍數(shù)比較小時，可以把它們化成同分子的分?jǐn)?shù)，再比較大小，這種方法比通分的方法簡便。如果我們把課本里的通分稱為“通分母”，那么這里講的方法可以稱為“通分子”。2.化為小數(shù)。這種方法對任意的分?jǐn)?shù)都適用，因此也叫萬能方法。但在比較大小時是否簡便，就要看具體情況了。3.先約分，后比較。有時已知分?jǐn)?shù)不是最簡分?jǐn)?shù)，可以先約分。4.根據(jù)倒數(shù)比較大小。5.若兩個真分?jǐn)?shù)的分母與分子的差相等、則分母（子）大的分?jǐn)?shù)較大；若兩個假分?jǐn)?shù)的分子與分母的差相等，則分母（子）小的分?jǐn)?shù)較大。也就是說，6.借助第三個數(shù)進(jìn)行比較。有以下幾種情況：（1）對于分?jǐn)?shù)m和n，若m

3、k，kn，則mn。（2）對于分?jǐn)?shù)m和n，若m-kn-k，則mn。前一個差比較小，所以mn。（3）對于分?jǐn)?shù)m和n，若k-mk-n，則mn。注意，（2）與（3）的差別在于，（2）中借助的數(shù)k小于原來的兩個分?jǐn)?shù)m和n；（3）中借助的數(shù)k大于原來的兩個分?jǐn)?shù)m和n。（4）把兩個已知分?jǐn)?shù)的分母、分子分別相加，得到一個新分?jǐn)?shù)。新分?jǐn)?shù)一定介于兩個已知分?jǐn)?shù)之間，即比其中一個分?jǐn)?shù)大，比另一個分?jǐn)?shù)小。利用這一點，當(dāng)兩個已知分?jǐn)?shù)不容易比較大小，新分?jǐn)?shù)與其中一個已知分?jǐn)?shù)容易比較大小時，就可以借助于這個新分?jǐn)?shù)。比較分?jǐn)?shù)大小的方法還有很多，同學(xué)們可以在學(xué)習(xí)中不斷發(fā)現(xiàn)總結(jié)，但無論哪種方法，均來源于：“分母相同，分子大的分?jǐn)?shù)大

4、；分子相同，分母小的分?jǐn)?shù)大”這一基本方法。練習(xí)11.比較下列各組分?jǐn)?shù)的大小：答案與提示練習(xí)1 小學(xué)六年級奧數(shù)教案02巧求分?jǐn)?shù)我們經(jīng)常會遇到一些分?jǐn)?shù)的分子、分母發(fā)生變化的題目，例如分子或分母加、減某數(shù)，或分子與分母同時加、減某數(shù)，或分子、分母分別加、減不同的數(shù)，得到一個新分?jǐn)?shù)，求加、減的數(shù)，或求原來的分?jǐn)?shù)。這類題目變化很多，因此解法也不盡相同。數(shù)。分析：若把這個分?jǐn)?shù)的分子、分母調(diào)換位置，原題中的分母加、減1就變成分子加、減1，這樣就可以用例1求平均數(shù)的方法求出分子、分母調(diào)換位置后的分?jǐn)?shù)，再求倒數(shù)即可。個分?jǐn)?shù)。分析與解：因為加上和減去的數(shù)不同，所以不能用求平均數(shù)的方法求解。 ，這個分?jǐn)?shù)是多少？分析

5、與解：如果把這個分?jǐn)?shù)的分子與分母調(diào)換位置，問題就變?yōu)椋哼@個分?jǐn)?shù)是多少？于是與例3類似，可以求出在例1例4中，兩次改變的都是分子，或都是分母，如果分子、分母同時變化，那么會怎樣呢？數(shù)a。分析與解：分子減去a，分母加上a，（約分前）分子與分母之和不變，等于29+43=72。約分后的分子與分母之和變?yōu)?+5=8，所以分子、分母約掉45-43=2。 求這個自然數(shù)。同一個自然數(shù)，得到的新分?jǐn)?shù)如果不約分，那么差還是45，新分?jǐn)?shù)約分后變例7 一個分?jǐn)?shù)的分子與分母之和是23，分母增加19后得到一個新分?jǐn)?shù)，分子與分母的和是1+5=6，是由新分?jǐn)?shù)的分子、分母同時除以42÷6=7得到分析與解：分子加10，

6、等于分子增加了10÷5=2（倍），為保持分?jǐn)?shù)的大小不變，分母也應(yīng)增加相同的倍數(shù)，所以分母應(yīng)加8×2=16。在例8中，分母應(yīng)加的數(shù)是在例9中，分子應(yīng)加的數(shù)是由此，我們得到解答例8、例9這類分?jǐn)?shù)問題的公式：分子應(yīng)加（減）的數(shù)=分母所加（減）的數(shù)×原分?jǐn)?shù)；分母應(yīng)加（減）的數(shù)=分子所加（減）的數(shù)÷原分?jǐn)?shù)。分析與解：這道題的分子、分母分別加、減不同的數(shù)，可以說是這類題中最難的，我們用設(shè)未知數(shù)列方程的方法解答。（2x+2）×3=（x+5）×4，6x+6=4x+20，2x=14，x=7。練習(xí)2是多少？ 答案與提示練習(xí)25.5。解：(53+79)&#

7、247;(4+7)=12， a=53-4×12=5。6.13。解：（67-22）÷（16-7）=5，7×5-22=13。解：設(shè)分子為x，根據(jù)分母可列方程小學(xué)六年級奧數(shù)教案03分?jǐn)?shù)運(yùn)算技巧對于分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算，除了掌握常規(guī)的四則運(yùn)算法則外，還應(yīng)該掌握一些特殊的運(yùn)算技巧，才能提高運(yùn)算速度，解答較難的問題。1.湊整法與整數(shù)運(yùn)算中的“湊整法”相同，在分?jǐn)?shù)運(yùn)算中，充分利用四則運(yùn)算法則和運(yùn)算律（如交換律、結(jié)合律、分配律），使部分的和、差、積、商成為整數(shù)、整十?dāng)?shù)從而使運(yùn)算得到簡化。2.約分法3.裂項法若能將每個分?jǐn)?shù)都分解成兩個分?jǐn)?shù)之差，并且使中間的分?jǐn)?shù)相互抵消，則能大大簡化運(yùn)算。

8、例7 在自然數(shù)1100中找出10個不同的數(shù)，使這10個數(shù)的倒數(shù)的和等于1。分析與解：這道題看上去比較復(fù)雜，要求10個分子為1，而分母不同的就非常簡單了。括號。此題要求的是10個數(shù)的倒數(shù)和為1，于是做成：所求的10個數(shù)是2，6，12，20，30，42，56，72，90，10。的10和30，仍是符合題意的解。4.代數(shù)法5.分組法分析與解：利用加法交換律和結(jié)合律，先將同分母的分?jǐn)?shù)相加。分母為n的分?jǐn)?shù)之和為原式中分母為220的分?jǐn)?shù)之和依次為 練習(xí)38.在自然數(shù)160中找出8個不同的數(shù)，使這8個數(shù)的倒數(shù)之和等于1。 答案與提示 練習(xí)31.3。 8.2，6， 8， 12， 20， 30， 42，

9、 56。9.5680。解：從前向后，分子與分母之和等于2的有1個，等于3的有2個，等于4的有3個人一般地，分子與分母之和等于n的有(n-1)個。分子與分母之和小于9+99=108的有1+2+3+106=5671（個），5671+9=5680（個）。 小學(xué)六年級奧數(shù)教案05工程問題一顧名思義，工程問題指的是與工程建造有關(guān)的數(shù)學(xué)問題。其實，這類題目的內(nèi)容已不僅僅是工程方面的問題，也括行路、水管注水等許多內(nèi)容。在分析解答工程問題時，一般常用的數(shù)量關(guān)系式是：工作量=工作效率×工作時間，工作時間=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作時間。工作量指的是工作的多少，它可以是

10、全部工作量，一般用數(shù)1表示，也可工作效率指的是干工作的快慢，其意義是單位時間里所干的工作量。單位時間的選取，根據(jù)題目需要，可以是天，也可以是時、分、秒等。工作效率的單位是一個復(fù)合單位，表示成“工作量/天”，或“工作量/時”等。但在不引起誤會的情況下，一般不寫工作效率的單位。例1 單獨(dú)干某項工程，甲隊需100天完成，乙隊需150天完成。甲、乙兩隊合干50天后，剩下的工程乙隊干還需多少天？分析與解：以全部工程量為單位1。甲隊單獨(dú)干需100天，甲的工作效例2 某項工程，甲單獨(dú)做需36天完成，乙單獨(dú)做需45天完成。如果開工時甲、乙兩隊合做，中途甲隊退出轉(zhuǎn)做新的工程，那么乙隊又做了18天才完成任務(wù)。問：

11、甲隊干了多少天？分析：將題目的條件倒過來想，變?yōu)椤耙谊犗雀?8天，后面的工作甲、乙兩隊合干需多少天？”這樣一來，問題就簡單多了。答：甲隊干了12天。例3 單獨(dú)完成某工程，甲隊需10天，乙隊需15天，丙隊需20天。開始三個隊一起干，因工作需要甲隊中途撤走了，結(jié)果一共用了6天完成這一工程。問：甲隊實際工作了幾天？分析與解：乙、丙兩隊自始至終工作了6天，去掉乙、丙兩隊6天的工作量，剩下的是甲隊干的，所以甲隊實際工作了例4 一批零件，張師傅獨(dú)做20時完成，王師傅獨(dú)做30時完成。如果兩人同時做，那么完成任務(wù)時張師傅比王師傅多做60個零件。這批零件共有多少個？分析與解：這道題可以分三步。首先求出兩人合作完

12、成需要的時間，例5 一水池裝有一個放水管和一個排水管，單開放水管5時可將空池灌滿，單開排水管7時可將滿池水排完。如果一開始是空池，打開放水管1時后又打開排水管，那么再過多長時間池內(nèi)將積有半池水？例6 甲、乙二人同時從兩地出發(fā)，相向而行。走完全程甲需60分鐘，乙需40分鐘。出發(fā)后5分鐘，甲因忘帶東西而返回出發(fā)點，取東西又耽誤了5分鐘。甲再出發(fā)后多長時間兩人相遇？分析：這道題看起來像行程問題，但是既沒有路程又沒有速度，所以不能用時間、路程、速度三者的關(guān)系來解答。甲出發(fā)5分鐘后返回，路上耽誤10分鐘，再加上取東西的5分鐘，等于比乙晚出發(fā)15分鐘。我們將題目改述一下：完成一件工作，甲需60分鐘，乙需4

13、0分鐘，乙先干15分鐘后，甲、乙合干還需多少時間？由此看出，這道題應(yīng)該用工程問題的解法來解答。答：甲再出發(fā)后15分鐘兩人相遇。練習(xí)51.某工程甲單獨(dú)干10天完成，乙單獨(dú)干15天完成，他們合干多少天才可完成工程的一半？2.某工程甲隊單獨(dú)做需48天，乙隊單獨(dú)做需36天。甲隊先干了6天后轉(zhuǎn)交給乙隊干，后來甲隊重新回來與乙隊一起干了10天，將工程做完。求乙隊在中間單獨(dú)工作的天數(shù)。3.一條水渠，甲、乙兩隊合挖需30天完工?，F(xiàn)在合挖12天后，剩下的乙隊單獨(dú)又挖了24天挖完。這條水渠由甲隊單獨(dú)挖需多少天？則完成任務(wù)時乙比甲多植50棵。這批樹共有多少棵？5.修一段公路，甲隊獨(dú)做要用40天，乙隊獨(dú)做要用24天。

14、現(xiàn)在兩隊同時從兩端開工，結(jié)果在距中點750米處相遇。這段公路長多少米？6.蓄水池有甲、乙兩個進(jìn)水管，單開甲管需18時注滿，單開乙管需24時注滿。如果要求12時注滿水池，那么甲、乙兩管至少要合開多長時間？7.兩列火車從甲、乙兩地相向而行，慢車從甲地到乙地需8時，比快車從40千米。求甲、乙兩地的距離。答案與提示 練習(xí)52.14天。3.120天。4.350棵。5.6000米。6.8時。提示：甲管12時都開著，乙管開7.280千米。小學(xué)六年級奧數(shù)教案06工程問題二上一講我們講述的是已知工作效率的較簡單的工程問題。在較復(fù)雜的工程問題中，工作效率往往隱藏在題目條件里，這時，只要我們靈活運(yùn)用基本的

15、分析方法，問題也不難解決。 例1 一項工程，如果甲先做5天，那么乙接著做20天可完成；如果甲先做20天，那么乙接著做8天可完成。如果甲、乙合做，那么多少天可以完成？分析與解：本題沒有直接給出工作效率，為了求出甲、乙的工作效率，我們先畫出示意圖：從上圖可直觀地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。于是可用“乙工作4天”等量替換題中“甲工作5天”這一條件，通過此替換可知乙單獨(dú)做這一工程需用20+4=24（天）甲、乙合做這一工程，需用的時間為例2 一項工程，甲、乙兩隊合作需6天完成，現(xiàn)在乙隊先做7天，然后么還要幾天才能完成？分析與解：題中沒有告訴甲、乙兩隊

16、單獨(dú)的工作效率，只知道他們合作們把“乙先做7天，甲再做4天”的過程轉(zhuǎn)化為“甲、乙合做4天，乙再單獨(dú)例3 單獨(dú)完成一件工作，甲按規(guī)定時間可提前2天完成，乙則要超過規(guī)定時間3天才能完成。如果甲、乙二人合做2天后，剩下的繼續(xù)由乙單獨(dú)做，那么剛好在規(guī)定時間完成。問：甲、乙二人合做需多少天完成？分析與解：乙單獨(dú)做要超過3天，甲、乙合做2天后乙繼續(xù)做，剛好按時完成，說明甲做2天等于乙做3天，即完成這件工作，乙需要的時間是甲的，乙需要10+5=15（天）。甲、乙合作需要例4 放滿一個水池的水，若同時打開1，2，3號閥門，則20分鐘可以完成；若同時打開2，3，4號閥門，則21分鐘可以完成；若同時打開1，3，4

17、號閥門，則28分鐘可以完成；若同時打開1，2，4號閥門，則30分鐘可以完成。問：如果同時打開1，2，3，4號閥門，那么多少分鐘可以完成？分析與解：同時打開1，2，3號閥門1分鐘，再同時打開2，3，4號閥門1分鐘，再同時打開1，3，4號閥門1分鐘，再同時打開1，2，4號閥門1分鐘，這時，1，2，3，4號閥門各打開了3分鐘，放水量等于一例5 某工程由一、二、三小隊合干，需要8天完成；由二、三、四小隊合干，需要10天完成；由一、四小隊合干，需15天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、四、的順序，每個小隊干一天地輪流干，那么工程由哪個隊最后完成？分析與解：與例4類似，可求出一、二、三、四小隊的工作

18、效率之和是例6 甲、乙、丙三人做一件工作，原計劃按甲、乙、丙的順序每人一天輪流去做，恰好整天做完，并且結(jié)束工作的是乙。若按乙、丙、甲的順序輪流件工作，要用多少天才能完成？分析與解：把甲、乙、丙三人每人做一天稱為一輪。在一輪中，無論誰先誰后，完成的總工作量都相同。所以三種順序前面若干輪完成的工作量及用的天數(shù)都相同（見下圖虛線左邊），相差的就是最后一輪（見下圖虛線右邊）。由最后一輪完成的工作量相同，得到練習(xí)61.甲、乙二人同時開始加工一批零件，每人加工零件總數(shù)的一半。甲完成有多少個？需的時間相等。問：甲、乙單獨(dú)做各需多少天？3.加工一批零件，王師傅先做6時李師傅再做12時可完成，王師傅先做8時李師

19、傅再做9時也可完成?，F(xiàn)在王師傅先做2時，剩下的兩人合做，還需要多少小時？獨(dú)修各需幾天？5.蓄水池有甲、乙、丙三個進(jìn)水管，甲、乙、丙管單獨(dú)灌滿一池水依次需要10，12，15時。上午8點三個管同時打開，中間甲管因故關(guān)閉，結(jié)果到下午2點水池被灌滿。問：甲管在何時被關(guān)閉？6.單獨(dú)完成某項工作，甲需9時，乙需12時。如果按照甲、乙、甲、乙、的順序輪流工作，每次1時，那么完成這項工作需要多長時間？7.一項工程，乙單獨(dú)干要17天完成。如果第一天甲干，第二天乙干，這樣交替輪流干，那么恰好用整天數(shù)完成；如果第一天乙干，第二天甲干，這樣交替輪流干，那么比上次輪流的做法多用半天完工。問：甲單獨(dú)干需要幾天？答案與提示

20、練習(xí)61.360個。2.甲18天，乙12天。3.7.2時。解：由下頁圖知，王干2時等于李干3時，所以單獨(dú)干李需12+6÷2×3=21（時），王需21÷3×2=14（時）。所求為5.上午9時。6.10時15分。7.8.5天。解：如果兩人輪流做完的天數(shù)是偶數(shù)，那么不論甲先還是乙先，兩種輪流做的方式完成的天數(shù)必定相同（見左下圖）。甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙 甲現(xiàn)在乙先比甲先要多用半天，所以甲先時，完成的天數(shù)一定是奇數(shù)，于是得到右上圖，其中虛線左邊的工作量相同，右邊的工作量也相同，說明乙做1天等于甲做半天，所以乙做17天等于甲做8.5天。 小學(xué)六年級奧數(shù)教案07巧

21、用單位“1”在工程問題中，我們往往設(shè)工作總量為單位“1”。在許多分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，都會遇到單位“1”的問題，根據(jù)題目條件正確使用單位“1”，能使解答的思路更清晰，方法更簡捷。分析：因為第一天、第二天都是與全書比較，所以應(yīng)以全書的頁數(shù)為單位答：這本故事書共有240頁。分析與解：本題條件中單位“1”的量在變化，依次是“全書的頁數(shù)”、“第一天看后余下的頁數(shù)”、“第二天看后余下的頁數(shù)”，出現(xiàn)了3個不同的單位“1”。按照常規(guī)思路，需要統(tǒng)一單位“1”，轉(zhuǎn)化分率。但在本題中，不統(tǒng)一單位“1”反而更方便。我們先把全書看成“1”，看成“1”，就可以求出第三天看后余下的部分占全書的共有多少本圖書？分析與解：故事書增加

22、了，圖書的總數(shù)隨之增加。題中出現(xiàn)兩個分率，這給計算帶來很多不便，需要統(tǒng)一單位“1”。統(tǒng)一單位“1”的一個竅門就是抓“不變量”為單位“1”。本題中故事書、圖書總數(shù)都發(fā)生了變化，而其它書的本數(shù)沒有變，可以以 圖書室原來共有圖書分析與解：與例3類似，甲、乙組人數(shù)都發(fā)生了變化，不變量是甲、乙組的總?cè)藬?shù)，所以以甲、乙組的總?cè)藬?shù)為單位“1”。例5 公路上同向行駛著三輛汽車，客車在前，貨車在中，小轎車在后。在某一時刻，貨車與客車、小轎車的距離相等；走了10分鐘，小轎車追上了貨車；又過了5分鐘，小轎車追上了客車，再過多少分鐘，貨車追上客車？分析與解：根據(jù)“在某一時刻，貨車與客車、小轎車的距離相等”，設(shè)這段距離

23、為單位“1”。由“走了10分鐘，小轎車追上了貨車”，可知小轎可知小轎車(10+5)分鐘比客車多行了兩個這樣的距離，每分鐘多行這段距離的兩班各有多少人？乙班有84-48=36（人）。練習(xí)7樹上原有多少個桃？剩下的部分收完后剛好又裝滿6筐。共收西紅柿多少千克？ 7.六年級兩個班共有學(xué)生94人，其中女生有39人，已知一班的女生占本答案與提示練習(xí)71.35個。2.60個。3.64噸。4.384千克。6.男生15人，女生21人。7.一班45人，二班49人。  小學(xué)六年級奧數(shù)教案08比和比例比的概念是借助于除法的概念建立的。兩個數(shù)相除叫做兩個數(shù)的比。例如，5÷6可記作56。比值。表示兩

24、個比相等的式子叫做比例（式）。如，37=921。判斷兩個比是否成比例，就要看它們的比值是否相等。兩個比的比值相等，這兩個比能組成比例，否則不能組成比例。在任意一個比例中，兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積。即：如果ab=cd，那么a×d=b×c。兩個數(shù)的比叫做單比，兩個以上的數(shù)的比叫做連比。例如abc。連比中的“”不能用“÷”代替，不能把連比看成連除。把兩個比化為連比，關(guān)鍵是使第一個比的后項等于第二個比的前項，方法是把這兩項化成它們的最小公倍數(shù)。例如， 甲乙=56，乙丙=43， 因為6，4=12，所以 5 6=10 12， 43=129， 得到甲乙丙=10129。例1

25、已知3(x-1)=79，求x。解： 7×(x-1)=3×9，x-1=3×9÷7，例2 六年級一班的男、女生比例為32，又來了4名女生后，全班共有44人。求現(xiàn)在的男、女生人數(shù)之比。分析與解：原來共有學(xué)生44-4=40（人），由男、女生人數(shù)之比為32知，如果將人數(shù)分為5份，那么男生占3份，女生占2份。由此求出女生增加4人變?yōu)?6+4=20（人），男生人數(shù)不變，現(xiàn)在男、女生人數(shù)之比為 2420=65。在例2中，我們用到了按比例分配的方法。將一個總量按照一定的比分成若干個分量叫做按比例分配。按比例分配的方法是將按已知比分配變?yōu)榘捶輸?shù)分配，把比的各項相加得到總份數(shù)

26、，各項與總份數(shù)之比就是各個分量在總量中所占的分率，由此可求得各個分量。例3 配制一種農(nóng)藥，其中生石灰、硫磺粉和水的重量比是1212，現(xiàn)在要配制這種農(nóng)藥2700千克，求各種原料分別需要多少千克。分析：總量是2700千克，各分量的比是1212，總份數(shù)是1+2+12=15， 答：生石灰、硫磺粉、水分別需要180，360和2160千克。在按比例分配的問題中，也可以先求出每份的量，再求出各個分量。如例3中，總份數(shù)是1+2+12=15，每份的量是2700÷15=180（千克），然后用每份的量分別乘以各分量的份數(shù)，即用180千克分別乘以1，2，12，就可以求出各個分量。例4 師徒二人共加工零件40

27、0個，師傅加工一個零件用9分鐘，徒弟加工一個零件用15分鐘。完成任務(wù)時，師傅比徒弟多加工多少個零件？分析與解：解法很多，這里只用按比例分配做。師傅與徒弟的工作效率有多少學(xué)生？ 按比例分配得到例6 某高速公路收費(fèi)站對于過往車輛收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：大客車30元，小客車15元，小轎車10元。某日通過該收費(fèi)站的大客車和小客車數(shù)量之比是56，小客車與小轎車之比是411，收取小轎車的通行費(fèi)比大客車多210元。求這天這三種車輛通過的數(shù)量。分析與解：大客車、小轎車通過的數(shù)量都是與小客車相比，如果能將56中的6與411中的4統(tǒng)一成4，6=12，就可以得到大客車小客車小轎車的連比。由56=1012和411=1233，得到

28、大客車小客車小轎車=101233。以10輛大客車、12輛小客車、33輛小轎車為一組。因為每組中收取小轎車的通行費(fèi)比大客車多10×33-30×10=30（元），所以這天通過的車輛共有210÷30=7（組）。這天通過大客車=10×7=70（輛），小客車=12×7=84（輛），小轎車=33×7=231（輛）。練習(xí)81.一塊長方形的地，長和寬的比是53，周長是96米，求這塊地的面積。2.一個長方體，長與寬的比是43，寬與高的比是54，體積是450分米3。問：長方體的長、寬、高各多少厘米？3.一把小刀售價6元。如果小明買了這把小刀，那么小明與小

29、強(qiáng)的錢數(shù)之比是35；如果小強(qiáng)買了這把小刀，那么小明與小強(qiáng)的錢數(shù)之比是911。問：兩人原來共有多少錢？5.甲、乙、丙三人分138只貝殼，甲每取走5只乙就取走4只，乙每取走5只丙就取走6只。問：最后三人各分到多少只貝殼？6.一條路全長60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的長度之比是123，某人走各段路程所用的時間之比是345。已知他走平路的速度是5千米/時，他走完全程用多少時間？7.某俱樂部男、女會員的人數(shù)之比是32，分為甲、乙、丙三組，甲、乙、丙三組的人數(shù)之比是1087。如果甲組中男、女會員的人數(shù)之比是31，乙組中男、女會員的人數(shù)之比是53，那么丙組中男、女會員的人數(shù)之比是多少？答案與提

30、示練習(xí)81.540米2。2.長100厘米，寬75厘米，高60厘米。解：長寬高=201512，÷(20×15×12)=125=53。長=20×5=100（厘米），寬=15×5=75（厘米），高=12×5=60（厘米）。3.86元。解：設(shè)小明有x元錢。根據(jù)小強(qiáng)的錢數(shù)可列方程36+50=86（元）。4.2640元。5.甲50只，乙40只，丙48只。解：甲乙丙=252024，138÷(25+20+24)=2，甲=2×25=50（只），乙=2×20=40（只），丙=2×24=48（只）。6.12時。7.5

31、：9 小學(xué)六年級奧數(shù)教案09百分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)有兩種不同的定義。 （1）分母是100的分?jǐn)?shù)叫做百分?jǐn)?shù)。這種定義著眼于形式，把百分?jǐn)?shù)作為分?jǐn)?shù)的一種特殊形式。（2）表示一個數(shù)（比較數(shù)）是另一個數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)數(shù)）的百分之幾的數(shù)叫做百分?jǐn)?shù)。這種定義著眼于應(yīng)用，用來表示兩個數(shù)的比。所以百分?jǐn)?shù)又叫百分比或百分率。百分?jǐn)?shù)通常不寫成分?jǐn)?shù)形式，而采用符號“”來表示，叫做百分號。在第二種定義中，出現(xiàn)了比較數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)數(shù)、分率（百分?jǐn)?shù)），這三者的關(guān)系如下：比較數(shù)÷標(biāo)準(zhǔn)數(shù)=分率（百分?jǐn)?shù)），標(biāo)準(zhǔn)數(shù)×分率=比較數(shù)，比較數(shù)÷分率=標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。根據(jù)比較數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)數(shù)、分率三者的關(guān)系，就可以解答許多與百分?jǐn)?shù)有關(guān)的應(yīng)用題。

32、例1 紡織廠的女工占全廠人數(shù)的80，一車間的男工占全廠男工的25。問：一車間的男工占全廠人數(shù)的百分之幾？分析與解：因為“女工占全廠人數(shù)的80”，所以男工占全廠人數(shù)的1-80=20。又因為“一車間的男工占全廠男工的25”，所以一車間的男工占全廠人數(shù)的20×25=5。例2 學(xué)校去年春季植樹500棵，成活率為85，去年秋季植樹的成活率為90。已知去年春季比秋季多死了20棵樹，那么去年學(xué)校共種活了多少棵樹？分析與解：去年春季種的樹活了500×85=425（棵），死了500-425=75（棵）。去年秋季種的樹，死了75-20=55（棵），活了 55÷（1-90）×

33、90=495（棵）。所以，去年學(xué)校共種活425+495=920（棵）。例3 一次考試共有5道試題。做對第1，2，3，4，5題的人數(shù)分別占參加考試人數(shù)的85，95，90，75，80。如果做對三道或三道以上為及格，那么這次考試的及格率至少是多少？分析與解：因為百分?jǐn)?shù)的含義是部分量占總量的百分之幾，所以不妨設(shè)總量即參加考試的人數(shù)為100。由此得到做錯第1題的有100×（1-85）=15（人）；同理可得，做錯第2，3，4，5題的分別有5，10，25，20人?？偣沧鲥e15+5+10+25+20=75（題）。一人做錯3道或3道以上為不及格，由75÷3=25（人），推知至多有25人不及格

34、，也就是說至少有75人及格，及格率至少是75。例4 育紅小學(xué)四年級學(xué)生比三年級學(xué)生多25，五年級學(xué)生比四年級學(xué)生少10，六年級學(xué)生比五年級學(xué)生多10。如果六年級學(xué)生比三年級學(xué)生多38人，那么三至六年級共有多少名學(xué)生？分析：以三年級學(xué)生人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，則四年級是三年級的125，五年級是三年級的125×（1-10），六年級是三年級的125×（1-10）×（1+10）。因為已知六年級比三年級多38人，所以可根據(jù)六年級的人數(shù)列方程。解：設(shè)三年級有x名學(xué)生，根據(jù)六年級的人數(shù)可列方程： x×125×（1-10）×（1+10）=x+38， x

35、5;125×90×110=x+38， 1.2375x=x+38， 0.2375x=38， x=160。三年級有160名學(xué)生。四年級有學(xué)生 160×125=200（名）。五年級有學(xué)生200×（1-10）180（名）。六年級有學(xué)生 160+38=198（名）。160+200+180+198=738（名）。答：三至六年級共有學(xué)生738名。在百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中有一類叫溶液配比問題。我們都知道，將糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶質(zhì)，水叫溶劑，糖水叫溶液。如果水的量不變，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是說，糖水甜的程度是由糖（溶質(zhì)）與糖水（溶液=糖+水）二者重量的比值

36、決定的，這個比值就叫糖水的含糖量或糖含量。類似地，酒精溶于水中，純酒精與酒精溶液二者重量的比值就叫酒精含量。溶質(zhì)、溶劑、溶液及溶質(zhì)含量有如下基本關(guān)系：溶液重量=溶質(zhì)重量+溶劑重量，溶質(zhì)含量=溶質(zhì)重量÷溶液重量，溶液重量=溶質(zhì)重量÷溶質(zhì)含量，溶質(zhì)重量=溶液重量×溶質(zhì)含量。溶質(zhì)含量通常用百分?jǐn)?shù)表示。例如，10克白糖溶于90克水中，含糖量（溶例5 有含糖量為7的糖水600克，要使其含糖量加大到10，需要再加入多少克糖？分析與解：在600克含糖量為7的糖水中，有糖（溶質(zhì)）600×7=42（克）。設(shè)再加x克糖，可使其含糖量加大到10。此時溶質(zhì)有（42+x）克，溶液

37、有（600+x）克，根據(jù)溶質(zhì)含量可得方程需要再加入20克糖。例6 倉庫運(yùn)來含水量為90的一種水果100千克，一星期后再測，發(fā)現(xiàn)含水量降低到80?，F(xiàn)在這批水果的總重量是多少千克？分析與解：可將水果分成“水”和“果”兩部分。一開始，果重100×（1-90）=10（千克）。一星期后含水量變?yōu)?0，“果”與“水”的比值為因為“果”始終是10千克，可求出此時“水”的重量為所以總重量是10+40=50（千克）。練習(xí)91.某修路隊修一條路，5天完成了全長的20。照此計算，完成任務(wù)還需多少天？2.服裝廠一車間人數(shù)占全廠的25，二車間人數(shù)比一車間少20，三車間人數(shù)比二車間多30。已知三車間有156人，

38、全廠有多少人？3.有三塊地，第二塊地的面積是第一塊地的80，第三塊地的面積比第二塊多20，三塊地共69公頃，求三塊地各多少公頃。4.某工廠四個季度的全勤率分別為90，86，92，94。問：全年全勤的人至少占百分之幾？5.有酒精含量為30的酒精溶液若干，加了一定數(shù)量的水后稀釋成酒精含量為24的溶液，如果再加入同樣多的水，那么酒精含量將變?yōu)槎嗌伲?.配制硫酸含量為20的硫酸溶液1000克，需要用硫酸含量為18和23的硫酸溶液各多少克？7.有一堆含水量14.5的煤，經(jīng)過一段時間的風(fēng)干，含水量降為10，現(xiàn)在這堆煤的重量是原來的百分之幾？答案與提示練習(xí)91.20天。解：5÷20-5=20（天）

39、。2.600人。解：156÷(1-20) × (1+30)÷25=600（人）。3.第一、二、三塊依次為25，20和24公頃。解：第一塊地的面積為69÷1+80+80×(1+20)=25（公頃），第二塊地為25×80=20（公頃），第三塊地為69-25=24（公頃）。4.62。解；設(shè)全廠有100人，則四個季度沒有全勤的共有10+14+8+6=38（人次）。當(dāng)四個季度沒有全勤的人互不相同時，全年沒有全勤的人最多，為38人，所以至少有100-36=62（人）全勤，即全年全勤率至少為62。5.20。解：設(shè)酒精含量為30的酒精溶液有100克，

40、則溶質(zhì)為30克。稀釋成酒精含量為24的酒精溶液需加水30÷24-100=25（克）。若再加入25克水，則酒精含量變?yōu)?0÷(100+25+25)=20。6.600克，400克。提示：設(shè)需要18的溶液x克，則需要23的溶液(100-x)克。根據(jù)溶質(zhì)重量可得x×18+(1000-x)×23=1000×20。解得x=600。7.95。解：設(shè)原有100噸煤，則有水份14.5噸。又設(shè)風(fēng)干掉水份x噸，則由含現(xiàn)在煤的重量為100-5=95（噸），是原來的95。小學(xué)六年級奧數(shù)教案10商業(yè)中的數(shù)學(xué)市場經(jīng)濟(jì)中有許多數(shù)學(xué)問題。同學(xué)們可能都有和父母一起去買東西的經(jīng)歷，

41、都知道商品有定價，但是這個價格是怎樣定的？這就涉及到商品的成本、利潤等聽起來有些陌生的名詞。這一講的內(nèi)容就是小學(xué)數(shù)學(xué)知識在商業(yè)中的應(yīng)用。利潤=售出價-成本，例如，一件商品進(jìn)貨價是80元，售出價是100元，則這件商品的利潤是100-80=20（元），利潤率是在這里我們用“進(jìn)貨價”代替了“成本”，實際上成本除了進(jìn)貨價，還包括運(yùn)輸費(fèi)、倉儲費(fèi)、損耗等，為簡便，有時就忽略不計了。例1某商品按每個7元的利潤賣出13個的錢，與按每個11元的利潤賣出12個的錢一樣多。這種商品的進(jìn)貨價是每個多少元？解：設(shè)進(jìn)貨價是每個x元。由“售出價=進(jìn)貨價+利潤”，根據(jù)前、后兩次賣出的錢相等，可列方程（x+7）×13

42、=（x+11）×12， 13x+91=12+132 x=41。答：進(jìn)貨價是每個41元。例2 租用倉庫堆放3噸貨物，每月租金7000元。這些貨物原計劃要銷售3個月，由于降低了價格，結(jié)果2個月就銷售完了，由于節(jié)省了租倉庫的租金，所以結(jié)算下來，反而比原計劃多賺了1000元。問：每千克貨物的價格降低了多少元？分析與解：原計劃租倉庫3個月，現(xiàn)只租用了2個月，節(jié)約了1個月的租金7000元。如果不降低價格，那么應(yīng)比原計劃多賺7000元，但現(xiàn)在只多賺了1000元，說明降價損失是7000-1000=6000（元）。因為共有3噸，即3000千克貨物，所以每千克貨物降低了6000÷3000=2（

43、元）。例3 張先生向商店訂購了每件定價100元的某種商品80件。張先生對商店經(jīng)理說：“如果你肯減價，那么每減價1元，我就多訂購4件?！鄙痰杲?jīng)理算了一下，若減價5，則由于張先生多訂購，獲得的利潤反而比原來多100元。問：這種商品的成本是多少元？分析與解：設(shè)這種商品的成本是x元。減價5就是每件減100×5=5（元），張先生可多買4×5=20（件）。由獲得利潤的情況，可列方程（100-x）×80 +100=（100-5-x）×（80 + 20）， 8000-80x+100=9500-100x， 20x=1400， x=70，這種商品的成本是70元。由例2、例3看出，商品降價后，由于增加了銷售量，所以獲得的利潤有時反而比原來多。例4 某商店到蘋果產(chǎn)地去收購蘋果，收購價為每千克1.20元。從產(chǎn)地到商店的距離是400千米，運(yùn)費(fèi)為每噸貨物每運(yùn)1千米收1.50元。如果在運(yùn)輸及銷售過程中的損耗是10，商店要想實現(xiàn)25的利潤率，零售價應(yīng)是每千克多少元？分析與解：本題的成本包括收購價、運(yùn)費(fèi)、損耗。每千克的收購價加運(yùn)費(fèi)是1.20+1.50×400÷1000=1.80（元）。因為有10的損耗，所以每千克的成本為1.80÷（1-10）=2.00（元）。售出